der gtr in der sekundarstufe ii - stand: 19.03.20131 der graphikfähige taschenrechner (gtr) im...
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Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20131
Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe
UnterrichtlicherMehrwert
Sek. II
Einsatz-möglichkeiten
Sek. I
UnterrichtlicherMehrwert
Sek. II
Einsatz-möglichkeiten
Sek. I
Funktionalitätendes GTR
Funktionalitätendes GTR
Fortbildungs-möglichkeiten
Fortbildungs-möglichkeiten
FachübergreifendeMöglichkeiten
FachübergreifendeMöglichkeiten
Finanzierungs-modelle
Finanzierungs-modelle
RechtlicheGrundlagen
RechtlicheGrundlagen
Einsatzdes GTR
in der Sek. II
Einsatzdes GTR
in der Sek. II
Vorschläge zur Einführung
Vorschläge zur Einführung
ÜbersichtDer GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20132
Der graphikfähige Taschenrechner unterstützt den Erwerb mathematischer Kompetenzen.
Unterrichtlicher Mehrwert in der S II
Entdecken mathematischer
Zusammenhänge
Verständnis-förderung durch Visualisierung
Reduktion schematischer
Abläufe
Verarbeitung größerer
Datenmengen
Kontrolle von Ergebnissen
Konzentration auf den mathe-
matischen Kern eines Problems
Experimentieren und Erkunden
Unterstützung von begriffsbildendem
Arbeiten
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20133
Rechtliche Grundlagen
Übersicht
Übersicht
Verpflichtung zum Einsatz des graphikfähigen Taschenrechners (GTR) ab dem Schuljahr 2014/15 (Erlass vom 27.6.2012)
• in der gymnasialen Oberstufe (Gymnasien, Gesamtschulen, Weiterbildungskollegs, Waldorfschulen)
• im Beruflichen Gymnasium
Alternativ weiterhin möglich: • Einsatz von Computer-Algebra-Systemen (CAS)
Rechtliche Grundlagen
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20134
Übersicht
Konsequenz für Zentralabitur und zentrale Klausuren
• Einsatz des GTR ab dem Zentralabitur 2017
• Einsatz des GTR bereits in der zentralen Klausur am Ende der Einführungsphase ab dem Schuljahr 2014/2015 vorgesehen (Gesamtschulen, Gymnasien und Weiterbildungskollegs)
• Vorgaben zum Zentralabitur und zu den zentralen Klausuren
(CAS-Aufgabensatz sowohl für die zentrale Klausur als auch für das Zentralabitur 2017)
Rechtliche Grundlagen
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20136
Übersicht
Nutzung eines CAS
• Schulen können statt eines GTR auf freiwilliger Basis ein CAS mit erweiterter Funktionalität einführen.
• Im Zentralabitur wird weiterhin CAS als Hilfsmittel zugelassen.• Die Entscheidung zwischen CAS und GTR liegt in der
Verantwortung der Schule.
Rechtliche Grundlagen
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20137
Übersicht
Einführung des GTR in der Sekundarstufe I
• GTR-Einsatz für alle Schulformen in der Sek. I möglich• keine Verpflichtung, Schule entscheidet über Zeitpunkt und
Klassenstufe der GTR-Einführung in der Sek. I• Wenn alle Schülerinnen und Schüler einer Klasse in der Sek. I einen
GTR zur Verfügung haben, kann er auch mit allen Funktionen genutzt werden.
Rechtliche Grundlagen
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20138
Übersicht
Verpflichtung zur Anschaffung des GTR in der gymnasiale Oberstufe und am Beruflichen Gymnasium
• Taschenrechner sind keine Lernmittel, sondern Gegenstände der persönlichen Ausstattung der Schülerinnen und Schüler.
• Die Anschaffung obliegt damit grundsätzlich den Erziehungsberechtigten bzw. den volljährigen Schülerinnen und Schülern.
Empfehlung: Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells mit sozialer Komponente auf der Basis umfassender Information und Beteiligung der schulischen Mitwirkungsgremien.
Rechtliche Grundlagen
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20139
Übersicht
Taschenrechnermodelle• Kein Zulassungsverfahren für Taschenrechnermodelle • Eingeführter Taschenrechner muss durch Graphikfähigkeit und
weitere Funktionalitäten dem Einsatz im Unterricht und in Prüfungen gerecht werden.
• Die innerhalb einer Lerngruppe verwendeten Geräte müssen in ihrer Funktionalität vergleichbar sein.
• Die vollständige Integration in die unterrichtliche Arbeit wird durch ein einheitliches Taschenrechnermodell erleichtert.
• Die Verpflichtung zur Anschaffung von Taschenrechnern bezieht sich jedoch nur auf die Funktionalitäten und nicht auf ein bestimmtes Modell.
Rechtliche Grundlagen
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201310
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201311
Vorschläge zur Einführung des GTR
an der Schule
Übersicht
Übersicht
Mögliche Entscheidungswege und Zeitplan
Ab Frühjahr 2013:• Beratungen der Fachschaft Mathematik zur Auswahl eines GTR-
Modells – Beachtung der geforderten Funktionalitäten– Preisvergleich und Vergleich der Lieferbedingungen der
Hersteller/Händler – Überlegungen zu einem Einsatz des GTR bereits in der S I,
ggf. gestufte Einführung – Längerfristige Nutzung eines Modells (Verlässlichkeit,
Wiederverkaufsmöglichkeit, Aufbau eines Gerätepools)
Vorschläge zur Einführung des GTR
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201312
Übersicht
• Einbeziehung weiterer Fachschaften zur Abstimmung fachübergreifender Nutzungsmöglichkeiten
• Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells in einem Arbeitskreis (Schulleitung, evtl. weitere Vertreterinnen und Vertreter der Lehrerkonferenz, Mitglieder der Schulpflegschaft, der Schülervertretung und des Fördervereins)
• Beschluss der Fachkonferenz Mathematik als Empfehlung zur Einführung des ausgewählten GTR-Modells
• Erstellung einer Vorlage für die schulischen Gremien• Planung der Fortbildungsmaßnahmen zum GTR-Einsatz
Hinweise zur Einführung des GTR
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201313
Übersicht
Ab September 2013:• Information und Beteiligung der Mitwirkungsgremien• Wahrnehmung der Fortbildungsmaßnahmen• Methodische und didaktische Überlegungen zum GTR-Einsatz im
Mathematikunterricht
Zum Beginn des Schuljahres 2014/15:• Nutzung des GTR im Rahmen des erarbeiteten
Finanzierungsmodells und der verhandelten Konditionen
Hinweise zur Einführung des GTR
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201314
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201315
Funktionalitäten des GTR
Übersicht
Übersicht
Anforderungen an die Funktionalität eines GTR in der S II
I. Wertetabellen und Listen• Erstellen und bearbeiten von Tabellen und Listen• graphische Darstellung von Werten einer Tabelle (z. B. als
Punktwolke)
II. Analysis• Graphische Darstellung von
o Funktioneno Tangenten an einen Funktionsgraphen an einer Stelleo Integralfunktionen
• Variieren von Parametern von Funktionstermen
Funktionalitäten des GTR
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201316
Übersicht
• Ermitteln von Koordinaten ausgewählter Punkte, auch durch Abfahren der Graphen (Trace-Modus), Kontrolle rechnerischer Ergebnisse (z. B. lokale Extremstellen, Wendestellen, Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen)
• Numerische Berechnungen o Ableitung einer Funktion an einer Stelleo bestimmte Integrale o Lösen von Gleichungen
Funktionalitäten des GTR
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201317
Übersicht
III. Lineare Algebra
Lineare Gleichungssysteme (mind. mit 6 Unbekannten)
• Bestimmung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen • Lösungsmengen auch von unterbestimmten linearen
Gleichungssystemen z.B. mithilfe der reduzierten Zeilenstufenform einer erweiterten Koeffizientenmatrix
Analytische Geometrie/Matrizen (mind. bis zur Dimension 6 x 6)• Elementare Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen• Matrizenmultiplikation• Potenzieren quadratischer Matrizen
Funktionalitäten des GTR
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201318
Übersicht
IV. Stochastik• Berechnen von Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert,
Standardabweichung)• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
– Erstellen von Histogrammen– Variieren der Parameter– Berechnen von Kennzahlen (Erwartungswert,
Standardabweichung)• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomial- und
normalverteilten Zufallsgrößen• Berechnen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten• Generieren von Listen mit Zufallszahlen
Funktionalitäten des GTR
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201319
ÜbersichtDer GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201320
Finanzierungsmodelle
Übersicht
In der Schulpraxis bieten sich oft Mischmodelle an.
Finanzierungsmodelle
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201321
Kauf Miete Ausleihe
Soziale Komponente
Übersicht
Kaufmodell• Sammelbestellung über die Schule (Beteiligung freiwillig)
– vergünstigte Konditionen– Nutzung von Sozialprogrammen der Hersteller möglich– Freigeräte
• Freigeräte werden bedürftigen Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellt
• Schule hält ggf. zusätzliche Geräte zur Ausleihe bereit• Option: Nach einem Durchgang wird eine Börse für gebrauchte
GTR eingerichtet (z. B. Weiterverkauf der GTR von Abiturienten)
Finanzierungsmodelle
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201322
Beispiel 1: Variante eines Kaufmodells
Übersicht
Mietmodell• Schule schafft einen Satz GTR zur Vermietung an
– vergünstigte Konditionen– Freigeräte
• Anschubfinanzierung durch den Förderverein• Festlegung eines angemessenen Mietpreises für den GTR• Schriftliche Nutzungsvereinbarung zwischen Schule und
Erziehungsberechtigten• Bei bedürftigen Schülerinnen und Schülern übernimmt der
Förderverein den Mietpreis oder es wird unentgeltlich ein GTR ausgeliehen.
Finanzierungsmodelle
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201323
Beispiel 2: Variante eines Mietmodells
Übersicht
Finanzierungsmodelle
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201324
Übersicht
Wahlmöglichkeit zwischen drei Optionen:• Kauf des Gerätes über Sammelbestellung der Schule• Mieten des Gerätes von der Schule• Anschaffung des Gerätes in eigener Verantwortung
Für bedürftige Schülerinnen und Schüler übernimmt der Förderverein der Schule die Mietkosten.
Anschubfinanzierung durch den Förderverein (Sponsoren, Darlehen)
Finanzierungsmodelle
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201325
Beispiel 3: Mischmodell
ÜbersichtDer GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201326
Unterrichtlicher Mehrwert in der S II
27
Übersicht über die Beispiele
1 EFModellieren mit Exponentialfunktionen
5EF, Q1Extremwertprobleme
9Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander(LGS lösen)
2Q1Ein Weg zurlinearen Regression
6Q1Berechnen von Integralen (mit/ohne Bilanzierung)
10Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen
3EFEntdecken derPotenzregel
7Q1Untersuchung von Integralfunktionen
11Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung
4EFElemente einerKurvendiskussion
8Q1, Q2Ein Weg zur e-Funktion
12Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall
Übersicht
Beispiel 1
EFModellieren mit Exponentialfunktionen
Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.:
Der GTR …
• nimmt die Daten auf (Tabelle),
• zeigt die Punktwolke (Streudiagramm),
• zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch),
• übernimmt weitere Rechnungen („Wie lange dauert es, bis …“)
28
Bierschaum-zerfall
Schoko-linsen-abnahme
Abkühlungs-prozesse
Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 1
EFModellieren mit Exponentialfunktionen
Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.:
Der GTR …
• nimmt die Daten auf (Tabelle),
• zeigt die Punktwolke (Streudiagramm),
• zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch),
• übernimmt weitere Rechnungen („Wie lange dauert es, bis …“)
29
Bierschaum-zerfall
Schoko-linsen-abnahme
Abkühlungs-prozesse
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die experimentellermittelten Daten
als Liste
3.Ein mögliches
Modell:Funktionsterm
5.Ziel: Zeit bis„Höhe“ 0,5
2.Der Datensatzals Punktplot
(Streudiagramm)
4.Ein mögliches
Modell:Graph
6.Wertetabelle
zu Y1
30 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die experimentellermittelten Daten
als Liste
3.Ein mögliches
Modell:Funktionsterm
5.Ziel: Zeit bis„Höhe“ 0,5
2.Der Datensatzals Punktplot
(Streudiagramm)
4.Ein mögliches
Modell:Graph
6.Wertetabelle
zu Y1
31 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 2
EFEin Weg zur linearen Regression
Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz „optimal“ beschreibt.
Der GTR
• zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle,
• berechnet Qualitätskriterien,
• berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b),
• zeigt den optimalen Graphen, und
• berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen.
32 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 2
EFEin Weg zur linearen Regression
Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz „optimal“ beschreibt.
Der GTR
• zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle,
• berechnet Qualitätskriterien,
• berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b),
• zeigt den optimalen Graphen und
• berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen.
33 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die originalen
Daten
3.Ein erster
Versuch für eineAusgleichsgerade
5.Ein besseres
Modell(oder
GTR-Regression)
2.Das Streudiagramm
4.Eine ersteEvaluation:
Quadratsumme
6.Eine weitereEvaluation
34 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die originalen
Daten
3.Ein erster
Versuch für eineAusgleichsgerade
5.Ein besseres
Modell(oder
GTR-Regression)
2.Das Streudiagramm
4.Eine ersteEvaluation:
Quadratsumme
6.Eine weitereEvaluation
35 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 3
EFEntdeckung der Potenzregel
Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2 bis x4) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt?
Der GTR …
• berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten,
• plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion,
• Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x3.
Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis.
36 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 3
EFEntdeckung der Potenzregel
Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2 bis x4) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt?
Der GTR …
• berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten,
• plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion,
• Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x3.
Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis.
37 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Graph zu
f(x) = x4
4.Der Plot der
Änderungsraten
2.Die Stützstellen
5.Bildungsgesetz für die
Änderungsraten(1. Versuch: x3)
3.Die Änderungsraten
6.(2. Versuch: 4x3)
38 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Graph zu
f(x) = x4
4.Der Plot der
Änderungsraten
2.Die Stützstellen
5.Bildungsgesetz für die
Änderungsraten(1. Versuch: x3)
3.Die Änderungsraten
6.(2. Versuch: 4x3)
39 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 4
EFElemente einerKurvendiskussion
Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B.
• Nullstellen
• Hoch-/Tiefpunkte
• Wendepunkte
hin untersucht werden.
Der GTR …
• liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),
• berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen,
• zeigt die Ableitungsfunktion,
• berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen,
• zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente.
40 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 4
EFElemente einerKurvendiskussion
Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B.
• Nullstellen
• Hoch-/Tiefpunkte
• Wendepunkte
hin untersucht werden.
Der GTR …
• liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),
• berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen,
• zeigt die Ableitungsfunktion,
• berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen,
• zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente.
41 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Graph
4.Die Ableitung anisolierten Stellen
7.Der Hochpunkt
2.Das Ablaufen
mit „Trace“(erste Näherung)
5.Der Ableitungs-
befehl
8.Die Wende-
stellen
3.Die Nullstellen
6.Der Ableitungs-
graph
9.Die Wende-tangente(n)
42 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Graph
4.Die Ableitung anisolierten Stellen
7.Der Hochpunkt
2.Das Ablaufen
mit „Trace“(erste Näherung)
5.Der Ableitungs-
befehl
8.Die Wende-
stellen
3.Die Nullstellen
6.Der Ableitungs-
graph
9.Die Wende-tangente(n)
43 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 5
EF, Q1Extremwertprobleme
Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden.
Der GTR …
• zeigt den Graphen der Zielfunktion,
• berechnet ein (numerisches) Optimum.
Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind.
44 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 5
EF, Q1Extremwertprobleme
Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden.
Der GTR …
• zeigt den Graphen der Zielfunktion,
• berechnet ein (numerisches) Optimum.
Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind.
45 Übersicht Beispiele Übersicht
46
1.Das Problem
2.Die Zielfunktion
3.der Graph
und sein Hochpunkt
Übersicht Beispiele Übersicht
47
1.Das Problem
2.Die Zielfunktion
3.der Graph
und sein Hochpunkt
Übersicht Beispiele Übersicht
48
Beispiel 6
Q1Berechnen von Integralen(mit/ohne Bilanzierung)
In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B.• „Veränderung der Wassermenge
im Becken“ vs.• „Menge an gepumptem Wasser“
Der GTR …
• berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen („Veränderung im Becken“)
• berechnet mithilfe der Betragsfunktion die „echte/bilanzfreie“ Fläche („Menge gepumpten Wassers“),
• zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation.
Übersicht Beispiele Übersicht
49
Beispiel 6
Q1Berechnen von Integralen(mit/ohne Bilanzierung)
In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B.• „Veränderung der Wassermenge
im Becken“ vs.• „Menge an gepumptem Wasser“
Der GTR …
• berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen („Veränderung im Becken“)
• berechnet mithilfe der Betragsfunktion die „echte/bilanzfreie“ Fläche („Menge gepumpten Wassers“),
• zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation.
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Funktionsterm
2.Der Graph:
„Zufluss/Abfluss“(Änderungsrate)
3.„Die Veränderungnach 5 Minuten“
4.Der neue Term
5.Der neue Graph
6.„In den 5 Minuten
bewegteWassermenge“
50 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Funktionsterm
2.Der Graph:
„Zufluss/Abfluss“(Änderungsrate)
3.„Die Veränderungnach 5 Minuten“
4.Der neue Term
5.Der neue Graph
6.„In den 5 Minuten
bewegteWassermenge“
51 Übersicht Beispiele Übersicht
52
Beispiel 7
Q1Untersuchung von Integralfunktionen
Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können.
Die Integralfunktion kann genutzt werden, …
• um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen,
• ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten,
• Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen.
Übersicht Beispiele Übersicht
53
Beispiel 7
Q1Untersuchung von Integralfunktionen
Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können.
Die Integralfunktion kann genutzt werden, …
• um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen,
• Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen,
• ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten.
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Randgraph
4.„Ist es schon 1?“
Flächeninhaltvon 0 bis b sei 1
2.Eingabe der
Integralfunktion,Start bei a = 0
5.Lösung mittelsSchnittpunktenvon Funktionen
3.Der Graph derIntegralfunktion(a = 0, a = -1)
6.Lösung mittelsWertetabelle
54 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Randgraph
4.„Ist es schon 1?“
Flächeninhaltvon 0 bis b sei 1
2.Eingabe der
Integralfunktion,Start bei a = 0
5.Lösung mittelsSchnittpunktenvon Funktionen
3.Der Graph derIntegralfunktion(a = 0, a = -1)
6.Lösung mittelsWertetabelle
55 Übersicht Beispiele Übersicht
56
Beispiel 8
Q2Ein Weg zur e-Funktion
Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen einer Exponentialfunktion und ihren Ableitungen.
Der GTR …
• berechnet für y = 2x (und y = 3x) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten,
• führt mithilfe einerTabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
• ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e:Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).
Übersicht Beispiele Übersicht
57
Beispiel 8
Q2Ein Weg zur e-Funktion
Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und ihren Ableitungen.
Der GTR …
• berechnet für y = 2x (und y = 3x) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten,
• führt mithilfe einer Tabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
• ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e:Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Stützstellen,
Funktionswerte,Änderungsraten
für f(x) = 2x
3.Der Graph zu
f(x) = 2x und dieÄnderungsraten
5.b = 3Graph
2.Quotienten-
probe
4.Variation der Basis:
b = 3Quotientenprobe
6.gezielte Suche:
b = 2.7
58 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Stützstellen,
Funktionswerte,Änderungsraten
für f(x) = 2x
3.Der Graph zu
f(x) = 2x und dieÄnderungsraten
5.b = 3Graph
2.Quotienten-
probe
4.Variation der Basis:
b = 3Quotientenprobe
6.gezielte Suche:
b = 2.7
59 Übersicht Beispiele Übersicht
60
Beispiel 9
Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen)
Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren:Lösen eines LGS mit dem Gauss-Algorithmus.
Der GTR …
• übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix
• berechnet zu der Koeffizienten-matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix.
Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter.
Übersicht Beispiele Übersicht
61
Beispiel 9
Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen)
Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren:Lösen eines LGS mit dem Gauss-Algorithmus.
Der GTR …
• übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix
• berechnet zu der Koeffizienten-matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix.
Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter.
Übersicht Beispiele Übersicht
62
1.Die drei Fälle
2.g schneidet E
(in genau einem Punkt)
3.g ist echt parallel
zu E
4.g liegt in E
Übersicht Beispiele Übersicht
63
1.Die drei Fälle
2.g schneidet E
(in genau einem Punkt)
3.g ist echt parallel
zu E
4.g liegt in E
Übersicht Beispiele Übersicht
64
Beispiel 10
Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen.
Der GTR …• führt die Potenzbildung für kleine
und große Intervalle durch,• berechnet mittels der inversen
Matrix zurückliegende Zustände,• nutzt die Einheitsmatrix, um den
Fixvektor zu berechnen.
Übersicht Beispiele Übersicht
65
Beispiel 10
Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen.
Der GTR …• führt die Potenzbildung für kleine
und große Intervalle durch,• berechnet mittels der inversen
Matrix zurückliegende Zustände,• nutzt die Einheitsmatrix, um den
Fixvektor zu berechnen.
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die Übergangsmatrix
4.Die Verteilung
am Ende der Woche
7.Fixvektor,Schritt I
2.Die Verteilung
zu Beginn
5.Die Verteilungnach 1 Monat
8.Fixvektor,Schritt II
3.Die Verteilung
nach 1 Tag
6.Hatte die
Startverteilungeinen Vorlauf?
9.Fixvektor,Schritt III
66 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die Übergangsmatrix
4.Die Verteilung
am Ende der Woche
7.Fixvektor,Schritt I
2.Die Verteilung
zu Beginn
5.Die Verteilungnach 1 Monat
8.Fixvektor,Schritt II
3.Die Verteilung
nach 1 Tag
6.Hatte die
Startverteilungeinen Vorlauf?
9.Fixvektor,Schritt III
67
x1 - 0.91x4 = 0…
x1 + x2 + x3 + x4 = 1Þ x4 0,42
x1 0,39, x2 0,1, x3 0,09
Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 11
Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung
Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine „Normierung“ nutzen?
Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“, wenn man den Graphen
• um µ Einheiten nach links verschiebt,
• dann mit σ in x-Richtung staucht und
• zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt.
Als Modellfunktion bietet sich an
68
2
2
1
4,0)(x
exf
Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 11
Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung
Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine „Normierung“ nutzen?
Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“, wenn man den Graphen
• um µ Einheiten nach links verschiebt,
• dann mit σ in x-Richtung staucht und
• zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt.
Als Modellfunktion bietet sich an
69
2
2
1
4,0)(x
exf
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die Grunddatenund Kenngrößen
3.Die neu berechneten
Werte
5.Ein weiteres Beispiel
mit neuen Wertenfür n und p
2.Die Werte der
Verteilung
4.Die graphische
Darstellung
6.Die Modellfunktion
70 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die Grunddatenund Kenngrößen
3.Die neu berechneten
Werte
5.Ein weiteres Beispiel
mit neuen Wertenfür n und p
2.Die Werte der
Verteilung
4.Die graphische
Darstellung
6.Die Modellfunktion
71 Übersicht Beispiele Übersicht
72
Beispiel 12
Q1, Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall
Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage
621 Stimmen von1200 Befragten.
Kann die Partei „halbwegs sicher“ sein, bei der Wahl 50% der Stimmen zu bekommen?
Der GTR
• berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ-Umgebung liegt,
• unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse.
Übersicht Beispiele Übersicht
73
Beispiel 12
Q1, Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall
Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage
621 Stimmen von1200 Befragten.
Kann die Partei „halbwegs sicher“ sein, bei der Wahl mindestens 50% der Stimmen zu bekommen?
Der GTR
• berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ-Umgebung liegt,
• unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse.
Übersicht Beispiele Übersicht
1.µ und σ
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
2.die 2σ-Umgebungenfür 0.45 ≤ p ≤ 0.55
und …
3.… die „plausiblen“
Wahrscheinlichkeiten
4.graphischeDarstellung
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
5.graphischeDarstellungfür 0 ≤ p ≤ 1
6.Rekonstruktion
mit Wurzelfunktionenund Schnittpunkten
74 Übersicht Beispiele Übersicht
1.µ und σ
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
2.die 2σ-Umgebungenfür 0.45 ≤ p ≤ 0.55
und …
3.… die „plausiblen“
Wahrscheinlichkeiten
4.graphischeDarstellung
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
5.graphischeDarstellungfür 0 ≤ p ≤ 1
6.Rekonstruktion
mit Wurzelfunktionenund Schnittpunkten
75 Übersicht Beispiele Übersicht
Ein GTR im Mathematikunterricht unterstützt u.a.:
Beispiele
Exploratives und entdeckendes Arbeiten38
Potenzregele , e-Funktion
Begriffsbildendes Arbeiten2
12RegressionVertrauensintervall
Wechsel zwischen Darstellungsformen:Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph
71
IntegralfunktionExponentialfunktion
Reduktion von Routine-Algorithmen:mehr Zeit für vertiefendes Verständnis
469
10
KurvendiskussionIntegrationLGSÜbergangsmatrizen
Modellieren,außer- und innermathematisch
511
ExtremwerteNormalverteilung
76 Übersicht Beispiele Übersicht
ÜbersichtDer GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.201377
Einsatzmöglichkeiten in der S I
Übersicht über die Beispiele
1
Wechsel der Darstellungsform:Term, Tabelle, Graph
4
Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen
7
Vergleich von Testläufen mit Boxplots
2
Experimentell ermittelter Näherungswert für
5
Bestimmung von Extremwerten in Sachsituationen
8
Heron – graphisch und algebraisch
3
Variation von Parametern bei Funktionen
6
Auswertung von Zufallsversuchen in Histogrammen
9
Modellieren mit der Sinusfunktion
78 Übersicht
Beispiel 1
Wechsel der Darstellungsform:Term, Tabelle, Graph
Eine Sach-/Problemsituation (z.B. der Vergleich zweier Vorschläge zu Lohnerhöhungen) wird in unterschiedlichen Darstellungs-formen wiedergegeben.
Der GTR …
• sammelt erste (ggf. Kopf-) Rechenergebnisse
• stellt die Ergebnisse graphisch dar
• zeigt zu geeigneten Funktionstermen die Graphen an
• liefert Wertetabellen
79 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 1
Wechsel der Darstellungsform:Term, Tabelle, Graph
Eine Sach-/Problemsituation (z.B. der Vergleich zweier Vorschläge zu Lohnerhöhungen) wird in unterschiedlichen Darstellungs-formen wiedergegeben.
Der GTR …
• sammelt erste (ggf. Kopf-) Rechenergebnisse
• stellt die Ergebnisse graphisch dar
• zeigt zu geeigneten Funktionstermen die Graphen an
• liefert Wertetabellen
80 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Erste Werte
(Kennenlernen der Situation)
2.Formeln in
Listen bzw. Tabellen(Vorform für Terme)
3.GraphischeDarstellung(Punktplot)
4.Funktionsterme
5.Funktionsgraphen
6.Wertetabellen
81 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Erste Werte
(Kennenlernen der Situation)
2.Formeln in
Listen bzw. Tabellen(Vorform für Terme)
3.GraphischeDarstellung(Punktplot)
4.Funktionsterme
5.Funktionsgraphen
6.Wertetabellen
82 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 2
Experimentell ermittelter Näherungswert für
Für eine Vielzahl von zylindrischen Objekten werden Umfang und Durchmesser gemessen und als Tabelle und Graph aufbereitet. Gesucht wird ein systematischer Zusammenhang.
Der GTR …
• erfasst die Daten in einer Tabelle bzw. Urliste
• zeigt deren graphische Darstellung
• zeichnet die Graphen von Modellfunktionen
• berechnet die Quotienten der Wertepaare und deren Mittelwert
83 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 2
Experimentell ermittelter Näherungswert für
Für eine Vielzahl von zylindrischen Objekten werden Umfang und Durchmesser gemessen und als Tabelle und Graph aufbereitet. Gesucht wird ein systematischer Zusammenhang.
Der GTR …
• erfasst die Daten in einer Tabelle bzw. Urliste
• zeigt deren graphische Darstellung
• zeichnet die Graphen von Modellfunktionen
• berechnet die Quotienten der Wertepaare und deren Mittelwert
84 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Die Rohdatender Erhebung
3.Ein erstes Modell
(proportional)
5.Quotienten
(Proportionalitäts-faktor)
2.Die graphische
Darstellung
4.Der zugehörige
Graph(Ursprungsgerade)
6.Mittelwert
85 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Die Rohdatender Erhebung
3.Ein erstes Modell
(proportional)
5.Quotienten
(Proportionalitäts-faktor)
2.Die graphische
Darstellung
4.Der zugehörige
Graph(Ursprungsgerade)
6.Mittelwert
86 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 3
Variation von Parameternbei Funktionen
Ein Parameter - z.B. in der Scheitelpunktform - soll zunächst in seiner Bedeutung für den Verlauf des Graphen erkannt werden.Um das beobachtete Verhalten zu erklären wird untersucht, wie sich die Wertetabelle bei der Variation des Parameters ändert.
Der GTR …
• zeigt die zugehörigen Parabeln
• berechnet die zugehörigen Wertetabellen
• liefert bei dem Vergleich beider Darstellungsformen Hinweise, die eine Erklärung für das beobachtete Verhalten zulassen.
87 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 3
Variation von Parameternbei Funktionen
Ein Parameter - z.B. in der Scheitelpunktform - soll zunächst in seiner Bedeutung für den Verlauf des Graphen erkannt werden.Um das beobachtete Verhalten zu erklären wird untersucht, wie sich die Wertetabelle bei der Variation des Parameters ändert.
Der GTR …
• zeigt die zugehörigen Parabeln
• berechnet die zugehörigen Wertetabellen
• liefert bei dem Vergleich beider Darstellungsformen Hinweise, die eine Erklärung für das beobachtete Verhalten zulassen.
88 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Auswahl des Parameters,Definition der
Funktion
3.Variiere d
5.Die Wertetabellen
2.Die beiden Graphen
im Vergleich
4.Vermutung für
(x+3)2 ?
6.Variiere d
89 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Auswahl des Parameters,Definition der
Funktion
3.Variiere d
5.Die Wertetabellen
2.Die beiden Graphen
im Vergleich
4.Vermutung für
(x+3)2 ?
6.Variiere d
90 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 4
Graphisches Lösenquadratischer Gleichungen
Quadratische Gleichungen werden als Schnittpunktsituationen interpretiert (oder umgekehrt).Die äquivalente Umformung führt zu der Frage, wo die zugehörige Differenzfunktion ihre Nullstellen hat.
Der GTR …
• zeigt die Graphen zu den beiden Seite der Gleichung
• berechnet die Schnittpunkte
• zeigt die „äquivalente Differenzfunktion“
• berechnet die zugehörigen Nullstellen
91 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 4
Graphisches Lösenquadratischer Gleichungen
Quadratische Gleichungen werden als Schnittpunktsituationen interpretiert (oder umgekehrt).Die äquivalente Umformung führt zu der Frage, wo die zugehörige Differenzfunktion ihre Nullstellen hat.
Der GTR …
• zeigt die Graphen zu den beiden Seite der Gleichung
• berechnet die Schnittpunkte
• zeigt die „äquivalente Differenzfunktion“
• berechnet die zugehörigen Nullstellen
92 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Die beiden Seiten
der Gleichung
3.Schnittpunkt-
näherung(„Trace“)
5.Die Differenzfunktion
2.Die Graphen
4.Schnittpunkt-berechnung
6.Nullstelle
93 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Die beiden Seiten
der Gleichung
3.Schnittpunkt-
näherung(„Trace“)
5.Die Differenzfunktion
2.Die Graphen
4.Schnittpunkt-berechnung
6.Nullstelle
94 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 5
Bestimmung von Extremwertenin Sachsituationen
Mit 900 m Zaun soll an einem Bachlauf ein rechteckiges Gelände abgesteckt werden. Benötigt werden10 ha. • Schafft man das?• Wie viel fehlt bzw. ist nach oben
noch Luft?
Der GR …
• erfasst tabellarisch erste Daten für „Kandidaten“
• stellt die Ergebnisse graphisch dar (Punktplot)
• zeichnet den Graphen der Zielfunktion
• liefert den Hochpunkt
• liefert ggf. ein sinnvolles Ziel-Intervall
95 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 5
Bestimmung von Extremwertenin Sachsituationen
Mit 900 m Zaun soll an einem Bachlauf ein rechteckiges Gelände abgesteckt werden. Benötigt werden10 ha. • Schafft man das?• Wie viel fehlt bzw. ist nach oben
noch Luft?
Der GR …
• erfasst tabellarisch erste Daten für „Kandidaten“
• stellt die Ergebnisse graphisch dar (Punktplot)
• zeichnet den Graphen der Zielfunktion
• liefert den Hochpunkt
• liefert ggf. ein sinnvolles Ziel-Intervall
96 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Kandidaten
(parallel – senkrecht,Flächeninhalt)
3.Der zugehörige
Graph (Parabel?)samt Hochpunkt
5.Der Graph der
Zielfunktion (Parabel!)samt Maximum
2.(ggf. systematische)
Variation der Parallelstrecke
4.Der Term der Zielfunktion
6.sinnvolles Intervall(Schnittstellen mit
y = 100.000)
97 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Kandidaten
(parallel – senkrecht,Flächeninhalt)
3.Der zugehörige
Graph (Parabel?)samt Hochpunkt
5.Der Graph der
Zielfunktion (Parabel!)samt Maximum
2.(ggf. systematische)
Variation der Parallelstrecke
4.Der Term der Zielfunktion
6.sinnvolles Intervall(Schnittstellen mit
y = 100.000)
98 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 6
Auswertung von Zufallsversuchen in Histogrammen
Die Summe zweier Würfel soll simuliert werden. Die Simulation soll die Grundlage für ein erstes Modell für eine Wahrscheinlichkeits-verteilung liefern.
Der GTR …
• simuliert die beiden Würfe,
• berechnet deren Summe,
• führt 100, 500, … Würfe durch,
• zeigt das zugehörige Histogramm.
99 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 6
Auswertung von Zufallsversuchen in Histogrammen
Die Summe zweier Würfel soll simuliert werden. Die Simulation soll die Grundlage für ein erstes Modell für eine Wahrscheinlichkeits-verteilung liefern.
Der GTR …
• simuliert die beiden Würfe,
• berechnet deren Summe,
• führt 100, 500, … Würfe durch,
• zeigt das zugehörige Histogramm.
100 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.100 Doppelwürfe
3.Das Histogramm
5.500 Doppelwürfe
2.Die 100 Summen
4.100 neueVersuche
6.Ein weiterer500-Lauf
101 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.100 Doppelwürfe
3.Das Histogramm
5.500 Doppelwürfe
2.Die 100 Summen
4.100 neueVersuche
6.Ein weiterer500-Lauf
102 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 7
Vergleich von Testläufenmit Boxplots
Wie lang ist eigentlich eine Minute? Wenn ich beim ersten Mal daneben lag, werde ich dann beim zweiten Mal besser liegen? Wie kann ich die beiden Durchläufe vergleichen?
Der GTR …
• sammelt die Daten der beiden Testdurchläufe in einer Tabelle
• berechnet die Abweichungen von der anvisierten Minute
• stellt die jeweiligen Datensätze als Boxplots dar und zeigt die Quartile an
103 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 7
Vergleich von Testläufenmit Boxplots
Wie lang ist eigentlich eine Minute? Wenn ich beim ersten Mal daneben lag, werde ich dann beim zweiten Mal besser liegen? Wie kann ich die beiden Durchläufe vergleichen?
Der GTR …
• sammelt die Daten der beiden Testdurchläufe in einer Tabelle
• berechnet die Abweichungen von der anvisierten Minute
• stellt die jeweiligen Datensätze als Boxplots dar und zeigt die Quartile an
104 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Die beiden
Testdurchläufe(Klassensätze)
3.Die Abweichungen
5.Statistische
Daten
2.Die zugehörigen
Boxplots(samt Median)
4.Die zugehörigen
Boxplots(samt 1. Quartil)
6.Die individuellenVeränderungen
105 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Die beiden
Testdurchläufe(Klassensätze)
3.Die Abweichungen
5.Statistische
Daten
2.Die zugehörigen
Boxplots(samt Median)
4.Die zugehörigen
Boxplots(samt 1. Quartil)
6.Die individuellenVeränderungen
106
?
ÜbersichtDer GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Übersicht Beispiele
Beispiel 8
Heronverfahren:graphisch
Ein (1) Aspekt des Heronverfahrens – die Annäherung von Rechtecken an Quadrate gleichen Flächeninhalts – soll für eine elegante Berechnung von Wurzeln genutzt werden.
Der GTR …
• berechnet die jeweils zweite Rechtecksseite
• zeigt möglicher Rechtecks-varianten (unterschiedliche Seitenlängen) im KOS
• plottet die zugehörige Hyperbel
• berechnet den Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden (gleiche Seitenlängen)
107 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 8
Heronverfahren:graphisch
Éin Aspekt des Heronverfahrens – die Annäherung von Rechtecken an Quadrate gleichen Flächeninhalts – soll für eine elegante Berechnung von Wurzeln genutzt werden.
Der GTR …
• berechnet die jeweils zweite Rechtecksseite
• zeigt möglicher Rechtecks-varianten (unterschiedliche Seitenlängen) im KOS
• plottet die zugehörige Hyperbel
• berechnet den Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden (gleiche Seitenlängen)
108 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Rechteckemit A = 12im KOS
3.Punktplot
5.Schnittpunkt
mit y = x
2.Einzelne Eckpunkte
4.Zugehörige
Hyperbel-Funktion
6.Probe
109 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Rechteckemit A = 12im KOS
3.Punktplot
5.Schnittpunkt
mit y = x
2.Einzelne Eckpunkte
4.Zugehörige
Hyperbel-Funktion
6.Probe
110 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 9
Modellierenmit der Sinusfunktion
Zu einem gegebenen Datensatz, der eine periodische Entwicklung – z.B. die tägliche Sonnenscheindauer – beschreibt, soll eine Modellfunktion ermittelt werden. Als Ausgangspunkt wird die Sinusfunktion genommen.
Der GTR …
• erfasst die experimentellen Daten,
• zeigt die Modellfunktion(en),
• ermöglicht Variation der Parameter für die Anpassung/Optimierung von Modellen
• Vertiefung in EF bzw. Q1:- Transformationen- Regression
111 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Beispiel 9
Modellierenmit der Sinusfunktion
Zu einem gegebenen Datensatz, der eine periodische Entwicklung beschreibt, z.B.
die tägliche Sonnenscheindauer (Durchschnitt pro Monat),
soll eine Modellfunktion ermittelt werden. Als Ausgangspunkt wird die Sinusfunktion genommen.
Der GTR …
• erfasst die experimentellen Daten,
• zeigt die Modellfunktion(en),
• ermöglicht Variation der Parameter für die Anpassung/Optimierung von Modellen
• Vertiefung in EF bzw. Q1:- Transformationen- Regression (fachübergreifend)
112 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Der Datensatz
Monat Anzahl Stunden
pro Tag ()
3.Die nicht angepasste
Sinusfunktion(Einstellung: DEG)
5.Verschieben
in y-Richtung:4,5sin(360/12x)+12
2.Der Punktplot
zum Datensatz
4.Anpassung von
Periode undAmplitude:
4,5sin(360/12x)
6.Verschieben in
x-Richtung:4,5 sin(360/12(x-3))+12
113 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
1.Der Datensatz
Monat Anzahl Stunden
pro Tag ()
3.Die nicht angepasste
Sinusfunktion(Einstellung: DEG)
5.Verschieben
in y-Richtung:4,5sin(360/12x)+12
2.Der Punktplot
zum Datensatz
4.Anpassung von
Periode undAmplitude:
4,5sin(360/12x)
6.Verschieben in
x-Richtung:4,5 sin(360/12(x-3))+12
114 Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele
Ein GTR im Mathematikunterricht unterstützt u.a.:
Beispiele
Exploratives und entdeckendes Arbeiten 3 Parametervariation
Begriffsbildendes Arbeiten26
Histogramme
Wechsel zwischen Darstellungsformen:Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph
18
DarstellungsformenHeron
Reduktion von Routine-Algorithmen:mehr Zeit für vertiefendes Verständnis
74
BoxplotsQuadratische Gleichungen
Modellieren,außer- und innermathematisch
59
ExtremwerteSinusfunktion
115 Übersicht Beispiele Übersicht
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
ÜbersichtDer GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013116
Fachübergreifende Möglichkeiten
Beispiel 1
Physik:Speicherung elektrischer Energie, Kondensator
Der Kondensator bietet eine gute Möglichkeit zum Einsatz von Schülerexperimenten in der Sek II. Untersucht werden kann z.B. der Entladevorgang.
Nutzung des GTR•Eingabe/Aufnahme der Messwerte•Graphische Darstellung der Punktwolke•Bestimmung einer Regressions- kurve•Bestimmung von Gesetzmäßigkeiten bei der Kondensatorentladung
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013117
Kondensator
Übersicht
1.Der Versuchsaufbau
(Schaltplan)
3.Ein Beispielgraph
2.Erfassung der
Messwerte
118 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht
Beispiel 2
Chemie:Erstellen einer Eichkurve, Konzentrationsbestimmung
Bei der Bestimmung der Konzentration von Natriumchlorid in Meerwasser soll eine Eichkurve erstellt werden.
Nutzung des GTR•Eingabe/Aufnahme der Messwerte•Graphische Darstellung der Punktwolke•Bestimmung der Eichkurve als Funktion
Eichkurve
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013119 Übersicht
1.Versuchsaufbau
3.Messwertabelle
2.Auswählen der
Sensoren
4.Eichkurve
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013120 Übersicht
Beispiel 3
Technik:Kennlinie einer Solarzelle
Bei der Untersuchung einer Solarzelle stellt sich die Frage nach einem optimalen Betriebspunkt, dazu wird eine Kennlinie erstellt.
Nutzung des GTR• Eingabe/Aufnahme der Messwerte• Graphische Darstellung der
Punktwolke• Berechnung der Leistung;• Graphische Darstellung der
Kennlinie• Bestimmung des optimalen
Betriebspunktes
121 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Solarzelle
Übersicht
1.Die experimentellermittelten Datenals Liste
3.Die berechnete Leistung
2.Der Datensatzals Punktplot(Streudiagramm)
4.Ein möglichesModell:Graph
122 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Übersicht
Beispiel 4
Sport/Biologie:Trainingslehre und Stoffwechselphysiologie
Zur Verknüpfung von Theorie und Praxis wird der Puls vor, während und nach einer Belastung gemessen und anschließend hinsichtlich der Fragestellung nach der Sauerstoffversorgung ausgewertet.
Nutzung des GTR• Eingabe/Aufnahme der Messwerte• Graphische Darstellung• Bestimmung und Vergleich der
Flächen zu Beginn und nach der Belastung hinsichtlich der Sauerstoffversorgung
123 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Übersicht
1.Die experimentellermittelten Datenals Liste
3.Vergleich der Flächen
2.Der Datensatzals Punktplot(Streudiagramm)
124 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
„Sauerstoffdefizit“ „Sauerstoffschuld“
Übersicht
ÜbersichtDer GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013125
Fortbildungs-möglichkeiten