Die Sinus-FunktionenDie Sinus-FunktionenEine Einführung

Definitions- und WertebereichDefinitions- und Wertebereich

Man definiert die Funktion y = sin x,mit x є R und y є R mit -1≤y≤1

Da Sinus eine „Winkelfunktion“ ist, wird normalerweise der „Sinus eines Winkels“ gebildet

Um einen reellen Definitionsbereich zu schaffen, rechnet man Grad ° in das Bogenmaß um

Definitions- und WertebereichDefinitions- und Wertebereich

Die allgemeine Verhältnisgleichung für das Umrechnen von Grad ins Bogenmaß lautet:

2360

x

in ° Im Bogenmaß

Berechne die wichtigsten Winkel im Bogenmaß:

2360

x

Winkel in °

0°

45°

90°

135°

180°

225°

270°

315°

360°

Winkel im Bogenmaß

0

¼ π = 0,7854

½ π = 1,5708

¾ π = 2,3562

π = 3,1416

1 ¼ π = 3,9270

1 ½ π = 4,7124

1 ¾ π = 5,4978

2 π = 6,2832

FunktionsgraphFunktionsgraph

Mit Hilfe einer Tabellierung der Sinus-funktion und dem Graphen lässt sich die Funktion darstellen:

X 0 0,25ϖ 0,5ϖ 0,75ϖ ϖ 1,25ϖ 1,5ϖ 1,75ϖ 2ϖ

Sin x 0,00 0,71 1,00 0,71 0 -0,71 -1,00 -0,71 0

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 1 2 3 4 5 6 7

FunktionsgraphFunktionsgraph

Die Werte werden nicht starr verbunden, es entsteht eine Art „Welle“

FunktionsgraphFunktionsgraph

Die Welle wiederholt sich mit einer Periodenlänge von 2ϖ Durch Anpassung der x-Achse mit vielfachen von ϖ wird es

übersichtlicher:

FunktionsgraphFunktionsgraph

Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π(Schrittweite 0,25π)

Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.

Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)

FunktionsgraphFunktionsgraph

Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π)

x sin x

−2π 0

−1,75π 0,71

−1,5π 1

−1,25π 0,71

− π 0

−0,75π -0,71

−0,5π -1

−0,25π -0,71

0 0

0,25π 0,71

x sin x

0,5π 1

0,75π 0,71

π 0

1,25π -0,71

1,5π -1

1,75π -0,71

2π 0

2,25π 0,71

2,5π 1

2,75π 0,71

3π 0

3,25π -0,71

3,5π -1

3,75π -0,71

4π 0

FunktionsgraphFunktionsgraph

Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π)

Die Sinusfunktion besitzt eine Periodizität mit einer Periodenlänge von 2ϖ

Funktionsgraph - EigenschaftenFunktionsgraph - Eigenschaften

Die Sinusfunktion besitzt die Nullstellen…, −4π, −3π, −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, …,allgemein k∙π mit k ∈ Z

Der Maximalwert (1) wird erreicht für…, -7/2 π, -3/2 π, 1/2 π, 5/2 π, …,allgemein π/2 + k∙π mit k ∈ Z

Der Minimalwert (−1) wird erreicht für…, -5/2 π, -1/2 π, 3/2 π, 7/2 π, …,allgemein 3/2 π + k∙π mit k ∈ Z

Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x

Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = 3 sin x und g(x) = y = 0,5sin x im Intervall von -2π bis 2π(Schrittweite 0,25π)

Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.

Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)

Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x

Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = 3 sin x und g(x) = y = 0,5sin x

x 3 sin x 0,5 sin x

−2π 0 0

−1,75π 2,12 0,35

−1,5π 3 0,5

−1,25π 2,12 0,35

− π 0 0

−0,75π -2,12 -0,35

−0,5π -3 -0,5

−0,25π -2,12 -0,35

0 0 0

0,25π 2,12 0,35

x 3 sin x 0,5 sin x

0,5π 3 0,5

0,75π 2,12 0,35

π 0 0

1,25π -2,12 -0,35

1,5π -3 -0,5

1,75π -2,12 -0,35

2π 0 0

2,25π 2,12 0,35

2,5π 3 0,5

2,75π 2,12 0,35

3π 0 0

3,25π -2,12 -0,35

3,5π -3 -0,5

3,75π -2,12 -0,35

4π 0 0

Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x

Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion y = sin x im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π)

Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x

Der Parameter a in der Form y = a sin x…◦Verändert Nullstellen oder Periodizität (2π) nicht◦Verändert den Maximalwert von 1 auf a◦Verändert den Minimalwert von −1 auf −a◦Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen

Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x

Der Parameter a in der Form y = a sin x…◦ Verändert den Maximalwert von 1 auf a◦ Verändert den Minimalwert von −1 auf −a◦ Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen

Man nennt die maximale Auslenkung einer Sinusförmige Welle auch Amplitude.

y(max) = 1 Amplitude ist 1y(max) = 3 Amplitude ist 3y(max) = 0,5 Amplitude ist 0,5

Funktionsgraph: y = sin (bx)Funktionsgraph: y = sin (bx)

Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun die Funktionen f(x) = y = sin (2x) und g(x) = y = sin (0,5x) im Intervall von -2π bis 2π(Schrittweite 0,25π)

Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.

Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)

Funktionsgraph: y = sin (bx)Funktionsgraph: y = sin (bx)

Aufgabe:Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktionen im Intervall von -2 π bis 4π (SW: 0,25π)

x sin (2x) sin (0,5x)

−2π 0 0

−1,75π 1 -0,38

−1,5π 0 -0,71

−1,25π -1 -0,92

− π 0 -1

−0,75π 1 -0,92

−0,5π 0 -0,71

−0,25π -1 -0,38

0 0 0

0,25π 1 0,38

x sin (2x) sin (0,5x)

0,5π 0 0,71

0,75π -1 0,92

π 0 1

1,25π 1 0,92

1,5π 0 0,71

1,75π -1 0,38

2π 0 0

2,25π 1 -0,38

2,5π 0 -0,71

2,75π -1 -0,92

3π 0 -1

3,25π 1 -0,92

3,5π 0 -0,71

3,75π -1 -0,38

4π 0 0

Funktionsgraph: y = sin (bx)Funktionsgraph: y = sin (bx)

Die Periodizität der Sinusfunktion wurde durch den Parameter b geändert.

◦ b = 2: die Periodenlänge wird halbiert, doppelt so viele periodische Wiederholungen◦ b = ½ : die Periodenlänge wird verdoppelt, halb so viele periodische Wiederholungen

Funktionsgraph: y = sin (bx)Funktionsgraph: y = sin (bx)

Der Parameter b in der Form y = sin (bx)…◦Verändert die Amplitude nicht◦Verändert Nullstellen und Periodizität!◦Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen in x-

Richtung

Funktionsgraph: y = a sin xFunktionsgraph: y = a sin x

Für y = sin (bx) gilt …◦b > 1: Periodenlänge verkürzt sich◦b = 1: Periodenlänge von 2π◦0 < b < 1: Periodenlänge vergrößert sich

b = 1 Periodenlänge 2πb = 2 Periodenlänge 1π b = 0,5 Periodenlänge 4 π