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Einfuhrung Definition Eigenschaften

Digitale Signalverarbeitung,Vorlesung 10 - Diskrete Fouriertransformation

Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung

23. Januar 2017

Siehe Skript “Digitale Signalverarbeitung”, Abschnitte 10.1 und 11,Kammeyer & Kroschel (7.1-7.3)


Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 10 - Diskrete Fouriertransformation


Neues Thema in der DSV

Signalverarbeitung im Frequenzbereich.

Neue Moglichkeiten:

Schnelle, adaptive Algorithmen

Effiziente Implementierung auf DSPs und PCs

Methoden basieren auf diskreter Fouriertransformation (DFT).




Anwendungen der diskreten Fouriertransformation

Test von analogen und Implementierung von digitalenKommunikationssystemen (z.B. OFDM - u.a. in DAB/DVBT)

Analyse von MRT-, MEG- und EEG-Signalen

Komprimierung von Audio- und Musiksignalen (z.B. mp3) undVerarbeitung (z.B. Equalizer)

Entwurf von modellbasierten Regelungen

Maschinelle Mustererkennung




Verhaltnis zu anderen Fourier-Transformationen

Figure : Vier Klassen der Fourier-Transformation [3]Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung



Grunde fur diskrete Fouriertransformation

Diskret im Zeit- und Frequenzbereich →Endliche Datenmenge durch Diskretisierung

Effiziente Algorithmen zur Berechnung und Invertierung

Geeignet fur Kurzzeitanalyse (Berechnung von“Spektrogrammen”)




DFT als abgetastetes Spektrum

Die Signalfolge besteht aus N Werten n ∈ 0, 1, . . . ,N − 1.Das Linienspektrum soll jetzt auch genau an N aquidistantenStutzstellen berechnet werden, die dann die Abstande

∆f =fAN

=1

NT(1)

besitzen. Dann ergeben sich folgende Frequenzstutzstellen:

Ωn = 2πn∆f

fA= 2π

n

N, n = 0, 1, . . . ,N − 1. (2)





Ωn = 2πn

N, n = 0, 1, . . . ,N − 1. (3)

Einsetzen in

V(e jΩ)

= DTFT v(k) =∞∑k=0

v(k)e−jkΩ (4)

ergibt zusammen mit der endlichen Signallange N:

V (e jΩn) := V (n) =N−1∑k=0

v(k)e−jk2πnN . (5)





V (n) =N−1∑k=0

v(k)e−jk2πnN (6)

kann mit der Abkurzung WN = e−j2πN geschrieben werden. Das

ergibt das DFT-Transformationspaar:

Definition DFT

V (n) = DFT v(k) =N−1∑k=0

v(k)W knN , (7)

v(k) = IDFT V (n) =1

N

N−1∑n=0

V (n)W−knN . (8)





Zum Beweis der Beziehung fur die IDFT wird (7) in (8) eingesetzt:

v(k) =1

N

N−1∑n=0

[N−1∑l=0

v(l)W lnN

]W−kn

N =N−1∑l=0

v(l)1

N

N−1∑n=0

Wn(l−k)N = v(k).

Hierfur wurde die Summenorthogonalitat der komplexenDrehoperatoren WN benutzt:

1

N

N−1∑n=0

Wn(l−k)N =

1

N

N−1∑n=0

e−j2πNn(l−k) = δ(l − k).




Matrixdarstellung der DFT

Matrixdarstellung der DFTAus den drei Definitionen

Spalten-Vektor der DFT-Spektralwerte

V = [V (0), . . . ,V (n), . . . ,V (N − 1)]T

Spalten-Vektor der Signalfolge

v = [v(0), . . . , v(k), . . . , v(N − 1)]T

N × N DFT-Matrix [WN ]:

[WN ]lm = W lmN ; l ,m = 0, 1, 2, . . . ,N − 1.

(l ist die Zeilennummer, m die Spaltennummer) folgt:

V = WNv (9)





DFT-Spektralanalyse: Vorgehensweise

Figure : Prinzip der Spektralanalyse: Vorgehensweise (a) undInterpretation (b)






Definitionsgemaß ([WN ]lm = W lmN ) ist WN symmetrisch, so dass

fur die transjugierte1 DFT-Matrix gilt:

W†N = W∗TN = W∗N . (10)

1konjugiert komplexe, transponierteArbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung





Fur die DFT-Matrix gilt:

W†NWN = NIN (11)

mit IN als NxN Einheitsmatrix.

Fur die Inverse folgt

W−1N =

1

NW†N =

1

NW∗N . (12)






Damit ergibt sich die IDFT aus (9):

v = W−1N V =

1

NW∗NV. (13)

Aus dem Vergleich des DFT-Transformationspaares inMatrixdarstellung (9) und (13) wird klar, dass sich Hin- undRucktransformation im Wesentlichen mit demselben Verfahrenberechnen lassen, was nutzlich ist.




Periodizitat des Zeitsignals

Die DFT

V (n) =N−1∑k=0

v(k)e−j2πNkn (14)

entspricht einer Abtastung der DTFT

V(e jΩ)

=∞∑k=0

v(k)e−jkΩ, (15)

im Frequenzbereich. Aus der Abtastung im Frequenzbereich mitdem Deltakamm δ 2π

Nwird wegen

IDTFT(X (e jΩ) · Y (e jΩ)) = x(k) ∗ y(k) (16)

eine Faltung von v(k) mit dem Deltakamm δN im Zeitbereich.





Also wird das Signal v(k), k = 0, 1, . . . ,N − 1, zu einer Periode deszeitlich unbegrenzten, nichtkausalen, periodischen Signals

vp (k) = v((k)N), k = . . .− 1, 0, 1, . . . (17)

Diese kurze Schreibweise benutzt die Modulo-Arithmetik:

(k)N = k mod N ∈ 0, 1, . . . ,N − 1 ∀k ∈ Z. (18)





Die Zusammenhange sind hier fur N = 5 gezeigt [2]:

Figure : Periodizitat von diskretem Signal v(k) und zugehorigemDFT-Spektrum V (n) . Hieraus wird klar, dass das Spektrum einer langenFolge mit M > N nur dann mit der DFT der Lange N korrekt berechnetwird, wenn es N-periodisch ist.




Faltung

Bisher wurde die lineare (aperiodische) Faltung behandelt:

ylin(k) = v1(k) ∗ v2(k) =N−1∑ν=0

v1(ν)v2(k − ν)zT←→ V 1(z) · V 2(z),

wobei sich die Lange des Faltungsprodukts N = M1 + M2 − 1 ausden Langen Mi der Einzelsignale v i (k) ergibt.




Faltung

Ahnlich gilt fur die DFT mit der zyklischen bzw. periodischenFaltung (Faltung periodischer Signale gleicher Periode N, wobeidas Ergebnis wieder N-periodisch ist [1]):

Faltungssatz der DFT

y ((k)N) = v1(k) ~ v2(k)

=N−1∑ν=0

v1(ν)v2 ((k − ν)N)DFT←→ V 1(n) · V 2(n) (19)

So wie die lineare Faltung ist die zyklische Faltung eine lineareOperation, sie ist kommutativ und assoziativ.




Faltung

Zyklische und lineare Faltung sind hier gegenubergestellt. Nur diegrau hinterlegten Werte der beiden Ergebnisse derFaltungsoperationen sind identisch:

Figure : Vergleich von linearer und zyklischer Faltung: M1 = M2 = 4 [2]Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung



Faltung

(a) linear

(b) zyklisch

Figure : Lineare und zyklische Faltung: M1 = M2 = 4 [2]Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung



Faltung

Wie kann die zyklische Faltung zur Berechnung der beiLTI-Systemen interessierenden linearen Faltung verwendet werden?

Dazu setzt man zwei Signale (bzw. Signal und Impulsantwort)endlicher Lange M1 und M2 voraus.

Das Ergebnis der linearen Faltung hat die LangeN = M1 + M2 − 1.

Also mussen beide Signale durch Anfugen von Nullen auf diegemeinsame Lange N verlangert werden.

Das Ergebnis der zyklischen Faltung der Lange N mit diesenso modifizierten Signalen ist identisch mit dem der linearenFaltung: Abb. 6.




Faltung

Figure : Zyklische und lineare Faltung von zwei Folgen der LangeM1 = 33, M2 = 24, v i (k): vi (k) mit Zero-Padding [4]




Faltung

Zur Herleitung der zyklischen Faltungsbeziehung (19) wird dieIDFT verwendet:

IDFT V 1(n) · V 2(n) =1

N

N−1∑n=0

V 1(n)V 2(n)W−knN

=1

N

N−1∑n=0

N−1∑p=0

v1(p)W pnN

N−1∑q=0

v2(q)W qnN

W−knN

=N−1∑p=0

N−1∑q=0

v1(p)v2(q)1

N

N−1∑n=0

W−(k−p−q)nN .




Faltung

Weil wegen der Summenorthogonalitat der Drehfaktoren (11) furi ∈ Z

1

N

N−1∑n=0

W−(k−p−q)nN = δ((k−p−q)N) =

1 fur k = iN + p + q,

0 fur k 6= iN + p + q,

gilt, kann in (20) p = (k − q)N oder q = (k − p)N eingesetzt undeine der Summationen eliminiert werden. Daraus folgt:

V 1(n)·V 2(n)DFT←→

N−1∑p=0

v1(p)v2((k−p)N) =N−1∑q=0

v1((k−q)N)v2(q).




Multiplikation, Linearitat, Verschiebung, Energieerhaltung

MultiplikationssatzDie Herleitung des Multiplikationssatzes entspricht der derzyklischen Faltung, man muss nur Frequenz- und Zeitbereichvertauschen. Ergebnis:

Multiplikationssatz der DFT

v1(k) · v2(k)DFT←→ 1

N

N−1∑p=0

V 1(p)V 2 ((n − p)N)

=1

N

N−1∑q=0

V 1((n − q)N)V 2(q)

=1

NV 1(n) ~ V 2(n)





Eigenschaften

LinearitatEntsprechend der Definition als Matrixmultiplikation ist die DFTlinear.

Zyklische VerschiebungVerschiebt man ein Signal v(k) der Lange N, um lT nach rechts(Verzogerung l < 0) oder nach links (l > 0), dann entspricht dieswegen (17) und (18) einer zyklischen Verschiebung.





Zyklische Verschiebung

Man kann schreiben v ((k + l)N) = vp (k + l) .Weil vp(k + l) eine zweiseitige (nichtkausale) Folge reprasentiert,gilt der Verschiebungssatz der zT fur zweiseitige Signale:Verschiebung um l Samples entspricht Multiplikation mit z l .

Aus z l = e jlΩn = e j2πNnl = W−nl

N folgt

Verschiebungssatz der DFT

DFT v ((k + l)N) = V (n)W−nlN





Parsevalsche Beziehung der DFT

Die Herleitung der Parsevalschen Beziehung geht am einfachstenmit der Matrixdarstellung der DFT. Es gilt mit (9) und (11):

‖V‖22 = V†V = v†W†NWNv = Nv†v = N‖v‖2

2. (20)

Damit ergibt sich die Parsevalsche Beziehung in der ublichen Form:

‖v‖22 =

N−1∑k=0

|v(k)|2 =1

N

N−1∑n=0

|V (n)|2 =1

N‖V‖2

2. (21)

So kann die Energie bzw. Leistung uber die l2-Norm im Zeitbereichoder im Frequenzbereich berechnet werden.





Lernziele

Sie sollten die DFT und die inverse DFT von Signalenbestimmen konnen.

Sie sollten den Multiplikationssatz und den Verschiebungssatzder DFT kennen,

wissen, wie die zyklische Faltung von zwei Signalen berechnetwird,

und wie man durch zero padding aus der zyklischen Faltungeine lineare Faltung machen kann.

Sie sollten aus der Signalenergie im DFT-Bereich dieSignalenergie im Zeitbereich berechnen konnen.





Heinz Gunther Gockler.Signale und Systeme.Skript zur Vorlesung Signale und Systeme, Ruhr-UniversitatBochum, 2006.

Karl Dirk Kammeyer and Kristian Kroschel.Digitale Signalverarbeitung.5. Auflage, Stuttgart: Teubner, 2002.

R. A. Roberts and C. T. Mullis.Digital Signal Processing.Reading/MA: Addison Wesley Publ. Co., 1987.

Hans Wilhelm Schußler.Digitale Signalverarbeitung, volume 1.4. Auflage, Berlin: Springer, 1994.



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