Dipl.-I",. Z_ P. eA!ANT. C.Sc.

Mothemotische Ermittlung der rheologischen Eigenschoften von glosfoserverstarJcten Plosten fur die Berechnung von Konstruktionen Mitteilun, aus dem Bauforschunlsinstitut der Technischen Hochschule. Prag (tSSR)

In der .,orUee.nden Arbeit wird Juerst das Kriechen von ,Iasfaserverstirkten Plasten unter der Annahme der lineare" ViskoelastWtitsth eorit behandelt Fur die Berucksichti&,un, Yon irreversibl ... Kriechformanderun,en wird dann tin neues rheo'olisches Modell en,warieR. f. seiner einfachsten Form die nut fur ein beerenltes InteryaU nuh dem Aulbrin,en der Last gilt. besttht das Modell aus 5 Feder" und Dampl'e,n und eille'" Schnapp" I der die Hichtlinearitat in Beziehun, JUt la~Jleitilen yltd zur bleibenden Delornu.tion brin,t. Det Vortei' dieses ModeUs ist seine itt., ... ruthematische Be-handlunl. In den meisten Fillen der Bunspruchunc yon Konstruktionen. z. 8. konstante l.ast: oder konsante erzwuncette forminderunc. fuhrt dieses Modell lour linearen ViskoelutizitiL Weiterhin werdeR fteue Form"n sur msthem:ttischen Ermittlunl der E'lastizitatskonstanten fUr die ebene Beanspruchun, oder elie 8ietebean,prucbun, einer GfP·Platte in Abhi'lickeit YO, der Gh,ilJ.ltrverstirkuft. ableleitet. in denen auch der EinfluB von Guerfasern berUcksidlti,r: ,.,ird. Fur die Be. aMpruchunc schric %ura: Gewebe wird die Ermictlunl VOlt kurueitileft Formindenlnleft anleaeben, die auch im nichdinearen Bereich (,ekrummtes Arbeitldiacramm) ,ulric ist. AuBerdem werden ceeirnete Gleichuftlen rur die Berucksichticun, des Temperatureirdlusses und fur die Bestimmunc der l.ebaftsdauer _,h dem S~n· nun,s· und Forntuderun,sverlaur entworfen.

1. SpezifiKhe Probleme der Berechnung von GFP-Konstruktionen

Konstruktionf"n aus glasfasen'erstiirkten Plasten IG FP) werden in ocr let'dell Zeit im Bauwcsen. SchilToau. :\Iaschi-ncullan, FIllg7.CUg'~ und Raketenbull in{lner hiiufigcr ange~ w(,lIdet. Es ist deshalb Ilotwendig. ihre "pezilisch~n Eig-en-schaften eingehcna zu untcrsuchen und mathematisch zu formulicren. Fiir .tas mechanisl'iIc ""rhalten von G FP sino Yor aHem fol::ende Probl{'me charakteristisch: 1. die Zeit unci ihr Ein-1J,,'ll aul die Spanllungsyerteilung. die Df"lormationen, die J)allerfestigkpitcn und die Leoensdauer. :.!. die Ermittlung-.\{,l' durch die Glasfasen'erstarkung yerllrSilcht('n .\niso-tropic und Inhomogcnitiit. :3. del' Templ'ratul'einflui.l. 4. das Brut' hkriteriun1 ftir den lnehrachsigen Spanllllllg-:;7.Ustand, auch unter Beriicksichtig-ung des Zeiteinllusses. In dipser _\rlwit werden hauptsU{'hlich die rheologischpll Faktoren. d. h. die Probleme 1 und :.!. behandelt. wobei der Fall sehr hoher Tcmperaturen ausgenommen ist. Langzeitige Formiinderung~n_ die als Kriechen l",z"ichnet w('r,len, beeinHussen in aen Konstruktionen: L die Span-nllng~umlagerungen infol~E" der innert"n Inhoologenitiit und . \Ilisotropie des C;FP un'! die Inhomogenit'it der statisch Illlbestimmtl'n Konstruktionen odeI' Element ... :.!. die Stabi-liliit unter Dauerlast. 3_ die Grof3e aer Deformationen_ 4. die Sicherhpit gegen Bruch unter Dauerlast (Dauerlestigkeit als Funktion des SpannulIgswrlaufs)_ Die innere Inhomogenitiit hesteht im Zusammcnwirken VOIl Harz una Glasfasern. Die Inhomogenitiit der Konstruktioll wird hauptsiichlich aurch das Zusammenwirken mit anderI'll :\/atl'rialien verursacht. z. B. mit Stahl. Leiehtmetallen, Bl,ton, Holz u. a. Werkstoffen .. \ls Beispiel dienen Sandwich-konstruktioncn, wie Triiger. Platten um: Schalen. die mit ;'Ietall verstiirkt sind. Bogen oder Schalen mit Zugbiindcrn, lIiillg'etriigcr (statisch unbestimmte Systeme)_ Verbindungen von ,"crschiedenen GFP-Teilell usw_ Eine bedeutende Inho-mogenitiit enlsteht manchmal in Konstruktionen. deren Teife aus GFP verschiedcner Art. vor allem in Verbuna-triigern. b,,~tehen, z. B. geschichtete Platten mit unter-schie~lli('hem Verstarkllngsanteil oder unterschiedlicher Art der \ crstiirkung (Gewebe, :\[atte) del' einzelnen Sehichten_

Die Inhornogcnitiit bewirkt beim Kriechen die l'mlagerung der Innenkriifte aus den Teilen, hei denen das Kriechen gruUer ist, in ,lie Teil", rli" weniger kriechen (hoherer Ver-stiirkungsanteil, ~Ictall. Gins). Die orthotrope Struktur des C ~.~p v~rllrsaeht die SpanJlun~sulnlag'('rung. z. 13. bei clcr ll.":gllng von ol'thotropen G FP-Platten. bei denen das I".{'ct."" iiiI' ,lie Drillmomente betleutend "ruBer ist als liir dip Bi,·g~momente. so daB sleh unter Dau~rlast die llie"e-IIIOIl1

I t

~---,--------

.. BUd L

.tCI' ~[odul fiir den End",,,rt Ex(oo'j = a",jEp=, Ep= :0; Ep : rp ist die so/!', Retardationszeit, Fiir Pol~'cster ist ge",uhnlich Epco = 0,25 bis 0,3 Ep , Tp = 30 his 1i0 Tage, \).'t \',~rla\\( von £,,(1) (iir 7.eitlich ..,'er;;ndedi~he Spannun)!s-!>panspruchnng ax(l) ist in einfachster \Veise zu ermitteln, ,n'llil die Giiltigkeit des Superpositionsprinzips fiir die ill 1"C1',('hiecienen Zeitpunkten aufgehrachtell Belastungen odl-I' rerforOlungell yorallsgesetzt win!. Dann ist

to

WOI'ans Jllan nach eincr partiellell Intpg"l'ation ('rhiilt:

t t-T

(.r: " ax II , 1 (l 1 ) I'" Tp d = Ep T ~ \Epoo - F.p • arlT) e T to

\YpnIl tier Y('rInuf '"nil f'x(tl gf'lZf'ben ist. hiltlt't dipsf' Gleiehulll!' die Integ-ralgleiehung- \'011 J'o/terra fiil' die l' nh .. kannt!' ITr,tl. Infolf!f' df'1' Einfuhrllllg' del' Expol1t)llti:lIrullktion ill ta,·ichung- 11 kann llIan ciiese Gleichllng' leirht in pine ,Dirf!'· f"(\ntialglt'ichung' iiberfiihrell. \Yenn die 1. _\bleitung yon ta .. iehung :ri nach t gehildet ",ird. find.-t man, daf3 dal'in das gll'iche Integral wie ill Gleichung {:\I ",.cl"itt, Wit'd diese, I"to~:!ral aus hl'iden (;Ieichullgen eliminiel't. so hekomml lIlall fnlg-ende linenre Differentiaigieichulig 1. Ol'dnung luit ko"sta"tell Koeffiziellten:

• Tp • 1 Tp Ex + Ex = "iC- ax + -E' ax

L'~p Pee ('t)

Sic hilclet die (;rundgieichllllg £iiI' ,las KrieEhen, j-lipr be-dcutpt ix, ax die erste .\bleitung lIarh lier Zeit t I,ci, h, Ce-,chwindigkeit).

\\' .. nn man in Gleichung (4) Ex = ° und fx = Exo(TI r.Rplaxa· tinn bei konstanter, i/O Zeitpuukt T e!'zw'lOgenpr Form· 'inderung Exo) einsetzt. ergiht sich nach Lusung del' Differcn· tial;,d .. ichung die Helaxationsklll'\'e:

Es wiire ~leich gewesell, 'venn nlUIl. unl zu diesel' Gleichung liis die RplaxationskUf\'e Zli ko/O/Oeu, statt von Gleichllng 1, \'1111 Gleichllng iii) aus/!,egangpn wiire, ~Ian hiilte dann

I.arlt dem Sliperpositionsprinzip fiir die Formiinlierullgen ill "Io"IICIo"r \\'ei,p die Integl'algleichllng

t Ep t-<

f1 I) E (t) (Ep 1) Ep {' Exi,T,1 e- Ep= TP d T

Lp (I) od('r Qp (I) sind hier allgemeine, jl'doch miteillnnder eindeutig Vl'l'bulld('ne Funktiollell (K!'rJw). Cleichung' (!la), 9 bl w!'l"den als Theorie der elaslisdlCJI .'iachwirkung be-

zeichne!. Sehr nnschaulich ist ps. wenn man di" angl'f(ihrten Glei-chung"n durch ein mechanisl'hes, aus Fl'dern und Diimpfern zu,allllllellgesetztes rheologisehes )[odell darstdlt. Glpi-chung 1.4) wird durch das sog. normale )[odell nnch Bild 2a odl'r das ii'luivalente )lodell nach Bild 2 b dargestdlt.

1m allgl'meinsten Fall der linearen Yiskoelastizitiit, Glei-ehung (7) oder (9a), (9b). steigt dil' Zahl dl'r Federn und Diimpfl'r sowie die ihrer Yerbindungen "erschiedpner c\rt his ins l·nI'IHlliche. Der allgemeine Fall der Relaxation bei gel!ebenem Formiinderungs"erlauf liiLlt sich als unendliche Reihe von parallel geschalteten Maxwel\-Elenll'nten aus-driicken (Wiechert-)Iodell, Bild 2d), Da, allgemeine I"rie-chen bei vorgl'schril'henell1 Spannungs\'er\auf kann man mit einer unendlichen Reihe "on hilltereinandcrgeschaltl'ten Yoigt-(Keh'in- )EIementell (allgemeines Kelvin-)Iodell, Bild 2 c j besehreihen. Fur die Berechnung einer Konstruktioll ist cs jedoch nicht ,·orteilhaft. ein aus mehr als ;, Elelllenten hestehendes. auf I'illl' Gleichung 2. Ordnllnl! fiihrendes )Iodell allzuwenden. Die Yel'hiiltnisse der Yiskositiit zur Federkollslante einzelner Yoigt-Elemente beim \Yiech"rt-)[od('l\ sind gleich den RI'-laxationszeiten T;'I' T;'. ... Die Abhiillgigkeit del' Feder-konstantpn E" E.. .., "Oil dpn Hl'laxatiollsz('ilcn T;'" T;' •.... bild"t das SOil" Relaxationsspektrum. In iilllllieher \Yeis(' wird das II.etardatiollsspektrlll1l heil1l Keh"in-~Iodell hergeleitl't. Dieses Spektrlllll hl'sehreibt die Helaxation odpr die Krieehkun"e. Bl'im ~Iodell mit ('iner Ilnendlichen Zahl yon Elementpn ist es diskret. .\nah-tiseh isl '" abel' alleh miigli.-l. und Illanchmal yortedhaft.· ein stetig('s :-pekl I'll 111 , Z. H. in Form der FlInktion Ep = CT;' -n ('-TPlT,'. mit d(,11 KOllstnnt(,1l c. 11 und TO' zu heiIand£'11l ~ clie ()reluung del' 1.;leiehllllg 7) steigt hier ins t"ll('ndliche:.

\\,,,it"l'hill ist PS lIot\\'('llIlig, di,· Illl!'l'dt'hllllng fy I h('i df'r ~pallllllll~ Gx(t; 7.U t'l"Initteill. \\'PIIIl :ulI· sind di"S(· I lp"l'a-loren enl.-pr('eiH'nd der Elaslizitiitsthpori,· dll .... h dil' H,·-ziehull~ 2!,;p 11 + I.!.P = £'p milI'I'('ch(,lIde Operatorcn £po l!.p. Lip ersl'lzt. Dns am l1l('isten hel\lltzle I.iisungs, "Nfahr(,1l ist die Laplae!'sche TransfOl'lIlation. die

';;it' zeit'luIPt sich his zu ('iner gewissf'n Telnpf'l'atur Tl d1llTIl iallC-,sulue Y("riindcrung (Ulll cillig-e Proz('nlt-l :IUS. uln dunn "h,,';,halh tlicser TernpNatur schll('lI ahzusillk"Il, so .Ial.l .Ii .. Cber~anf!sten\peratur 1\ einf" wit~htig(' ~laterii.llk()n!'Otanle hcdeutct und in Baukonstrllktionell nil'ht iihersdll'itt"l\ "'I'I'.!t'1I soli,

4. Inhomogene und orthotrope Struktur von GFP - Kurueitige Formanderungen

J)it' Forlniindcl'lll1g-cn yon C FP r(,~lIlti('r(,1l 'HIS lastiseh his zur Festigkeits{!rpnzl'.

weise aher nur yon eiller l\:olnpollC'lItc ill aer Fortn GXY = GZY ;1'z,,), !lxy = 11x'!l(TXyl aI.ltiing-if!' angellOlllIl1CIl wcrdC'll. r.lan kann dann I"i('hl fi,ul"n. dall di{' Gleicl,"nf!{'n (17 ai. (17b). (17c) aueh dann f!dtl'lI. (;Ieiehung (17a) ('rgibt mit dt'IH von cler SpaBllung ahhiillf!'i~wn 'Ycrt Fx die gekriiJnmh' SpannuJlgs- D("hnun~s- Kury{'. '''('nn J~Xll Jli.ihcruH~sweisc nur ,'on TXII abhiingig: Hng'PllOlllJl1ell ,,·ird FXJJ = F;ry(ixy), dann braueht Jl1au nul' das Ding-rullun fiil' q; = It;) 0 Zll llICSSt'n. und Ciir aile and{'n'n fP kann man das Diag'ranlll1 mil Funk-

tion Fxy = FXN (ax' ~ sin '21j') I)(·rechnen. Das Bi('gcv('rhalt(,11 ei,wr C FP-Plalt{' kallll in iihnlid"'r 'Yeise ermiltelt werdell 1I11t! wil'll d"shalb hil'r lIiehl wcit!'r untersucht.

5. Uneares Kriechen von GFP

Aueh die langzeitigcn l~riechrorll1iinderullf!{'n kann Illan reehnerisch durch das ZlIsammcllwirkclI von Harz ulld Glas ausdriicken. Del' Einfachheit halbpr untcrsueiwn wir zuerst eine nur in einer Richtunf! .r Y('rstiirkte PIaU" und ('rmilteln die Beziehung a" (I) und Ex(I). :'iaeh GI('ich'"1f! (Ii) und (13) sind die elastisehen ForJlliindl'rung('n mit GIl'ichung (EsF"s + Ep Fxp) Ex = Exd Ex = axd gegehen (Fvs = 01. Die Dif-ferentialgleichllnf! fiir das Kriechen leitet Illan ah. illdem Illall Ep dllrch den 0p('l'ator Ep nach Gleichllng I,B a) ,·rsetzt. die Gleichung (4) elltspficht. So ergibt sich:

[E,,Fxs + (1 + TP;') (I'~oo + l~;,r F7 P] ex = axd. l'nd lIach delll l'mfornlt'n erhiilt lIIall [la;' [lb::

. + TRx. + 1 \'I~L»' TRx ex Ex = E- ax -y-- a r · ---x "::ex

wobci

Erd = f:s Frs + EpFxp· I:'oox = Es Fxs + }:'/'oo "-x/" H)) Epoo Ex

TRx = 7- F Tp. P -~I

Fiir eill(, Platte. die ill ~\\'ei Hi .. hl nnf!

tr . I

~yl

\ - 1m} f1Xb p _______ a

I-.. ----.------- ... ~

_

11'

-~

11 ---~

l:j"'lL ___ ~ __ ~======~~ i.-· ________ d ... ______ -a

--------- .... ·--· .. b

-------, ..

Bilcl 4

Fur .I[ = konstant uudTCiir I ---+ (Xl ist .1I,. '\[2 einfa .. h .llIrt'l, die Heziehun!!en .U,(co)/£,=J, = '\[2(CO)/£,oo.l" .\[,(00) + .1I,(co) =.\[ ge!!Chell. Re.·hnerisch sollen jctzt die (-;renzwerte Ciir .. inl' YPrhuud· piatte P!'mittplt werden: E, = 1;:'~)I)OO kpjpm', £, = IO()O\) kplcm'. E,oo = E,I1,1l'" E,oo ~ .E.J/~.70: _ !~: J, = ,,~: 3 3 = Ii": '2\_ E.'.J.tE,.!,.,~ (;10.1.).,/21' ,0 = .').b. Dann 1St .\[,,0) = .J ••• ) ·1I/1 l + .1. •. ») = O.~"() .II. ,\12 '0) = O. HiO .\[: 1:"00/ J, = £200/ J, = :;.l.> , LitJ/US = i .. -Ji. .1I,(co) = 7.5i/(1 + i .. ')i) = 0.883 .\[ . . \1 .. x \ = 0.11 i' .1[. Die Spall nUIlg-s\"eriindel'ung hf'tl'agt al,;, + :;,l hzw. - 2i%. Die Sielll'rheit der nnll'r Dl'Ilck ,tehend.'n Deckschi"ht gegen Druckhrllch "\ 1I,kni .. kpTl hzw. Dehllninierung) wirrl also yerringert.

6. Nichtlinearitiit der Beziehung der reversiblen und der blei-benden Kriechrormiinderungen von GFP

Fur cine steigentle oder ,\"enj~ sink~ntlc BeJas.tung oder Formiinderuner Kriech· und Relaxationskun'e lllsgesamt 1 scheint die Theorie del' linearen Yiskoelnstizitiit fiir (; FP \'prhilitnismaBig gut annehnlhar. Di~ gro13ten _.\hweichullgen I'ntstehen hei dcn Verformungen nnch nllgenhlickli .. her Entlastung. :\ ach dern Snperpositionsprinzip, unter ,\er .\nllnhme. daB sieh die Formiindl'runrrf'Il unter Dauerlast "inelll endlichen Grenzwert fur t ---+ 00 niihern. miiBten naeh Jcr Entlastung fur t ...... 00 aile Formiinderungcn prakti,;~h verschwinden, d. h. his nuf :\ ull zuruck!!eh .. n (Cedel'llele Fortnanderung); ebenso miiUten uu('h die Spa~lnun~en v~~rschwinden, wenn die Formiinderung zu :'lull wlrd. So ergIllt z. B. Gleichnng (18) hei (fx = 0 fur t > I, und del' ,\nCnngs-h .. Jingung Ex = Erl fiir t = 1, den Verlauf

t-t1

Ex(l) = Er, e TRx

Dies stimmt nber mit den Yersuchen nieht libel·ein. Die lnng-z('itigl'n Formiinderun g-f>i)ffnt·tp ~t{'llllng elI'S ~ .. ltniil'pl'rs latltPl Ex - ax/ fx ::::: O. Da tlas Yerhaltl'll yon Plu:o;ten auf Zll~ uUll Druck ungeftihr 7.1eieh i~t. ist C's llolwendior. den "hsolutpn \Yerl, d. h. (o/el Ex- a I Ex I ::::: n, Zll nehlll~n. Ons ~[I)dell nnch Bild :3 slpllt sclbstwr_tiindJich die Forlll:illdel'llIH!"f'1l nul' fUI' ,·in ull\·t>riiIHlel'lidlt"s YOI'-zeit-hen yon ex - ;'x/ Ex dar. d. h. HiI' pint" YPI'liinl!en.ng ode-r cine yprklirzung I.illl Bild't Huf HiI' t"'ine Yel'l~in~('rullt!). Es Itat alwr keinell Zweck ein lohzwar f'S mi;glil'h iSI) Ciil' beiell' Fiill,' gleidlzpitig geltendps' ~[odl'll ZIl l'nt;\'i"kt'in. Bcinl ~\llrhring('n dpr ersten Bdastun~~: ist ilnnwr' (2/0'\ !Ex - axl Ex ~ O. so dal3 (;lpichllIlg' i: l~) g-ultig ist g-t·.:.rfoeler Sdln~ipper'. ~[an sehreiht dann dip Li)~ung' ~'Oll :I une[ .ax 11:1ch t~leil'hung (H~). \Yenn dip ;lngf'fiihrte L ng-Iplchung liB Zpitpllnkt tIl) nlit \Ycl'ten Exlth tT;:(t) in PilH' _CJpi( .. hllll~ iih~~rgf'ht uud YOnl Zeitpllukt til) uillgekehrt I nglf'lChhplt g-tlt. ist fiir 1 > 1(1) Colgcnde (;h'ichuIIg giiltig:

, ~ T~% _ tTx -l1XIlI TRx ex + lIt) nicht erfiillt wirel, gilt fiil' t > lIt':

o ' ax fiir .,,- Ex - v ::::: ().

(il lOx (loa)

.\Is Bl'ispiei elTedllll'll wir den Yerlallf yon er(l), wenn \'011 t = 0 his I = 1(,). (fz = (fra = konsl. > 0 [GIt'ichung (1), ist unu sich 1m ZC1tpunkt t \Iill' I > 1(,)) .\ie Spannnnp:. ani ax = kons!. iindcrt (Bil,1 .;'1. .\lIf del' f.;rllndlage \on ~ ,II'" chung' ',:3) findct man fiir t > '(1) nach SlIpel'position'prlllz,1' den .\usdl'u,'k

t l-t(J)

E.c(t) = J~rb _(£1 _ }~ ')[(fxa,,-:;R-'::-;-(axb-ax,,).,--TRX ], ~xco ~xco "X

(li "I o I ax:,

dl'r nllr gilt, welln - I Ex -~: ::::: O(a). D'"'aus enbtdlt elie al: Ax:

Bedingullrr (frb ::::: (fr. (1- e·'(l}/'fRr) = (fI(l)' Fiir(fIb = (fX(l)

~07

CTxI11 eXb

t.-------a •••••••••••• •••••• b I-------c

-----_Q ••• •••••••••••••••••• b 0JL-----~--·-----:=·:=·:·=-~ t v' 1m

IJihl ti

ist EX(t. = fX(11 = (I~lli/Exoo = konsl. 10:1. \Yelln die Span. uUllg zu stark abHinllnt~ crhiilt Juall flir

(1 ..... 1> (lxb ;:::: (lx(ll (E;l, - E;;}) 'E;~ - £;1)-1

dl'n Y (lxb/ Exoo . Die Formiind!'rung ist also nieht "'"ersih,,1 - federnd - sOlldern Lleihend. Fur

-(lx(ll (E-;lx, - E;-J,) (£;-J, - £-;1)-1> (lxb

gilt GI"il'hllng 1'27 h) nllr fiir t(ll < I ::; ' 121 , woh!'i 1(21 dlln·h £Ii,· GI .. il'illlng

( t(~)-tl1))

(E~-cb - £;t) (aX{I) - O'Xb) ) - c---:;;;;-. = ·~E-;d:o - f~';I) f.r(Il f!'egellt·n ist~ \\';,III'£'nd flir I :2: '(2) wit'dcr (;}cichung " J8 ~ilt (d . in iiilllli('iI"r \,"ei,,' (',·hiilt lila" die LiisulIg \'011 (Ix (I) fii,· Er = fIa = kOlls!. > () his 1(,1 IIl1d fI = fXb = kon,!. ;:::: 0 fiil' I 2: 1(11 (Bile! (3,. \,"('nn

(' ._J·x !. 'II)' Fiir

trill> fXb ;:::: - fX(11 (1-;;"" - /:;xoo)/(/:x - 10';00

finti.·t lUall (e):

(fx (I , = J,'x= £xlll- (Exll' - fIb' [I-;;oc -,-

onensi,'hlli"h is! die Sl'allll(lIl~ danll lIi"hl 1",·",·,'sih,,1. \'"CBII dl(, FOl'JlliiIHh'nlll~ ill 'll) lIoell JHt'hr :-iillkt~ gill run~(,1I lIUT ein Schlliippcl' aJlg'ew('nci('t wird, kalll1 man ·dic (;iiltigk,·it d!'r (;I"ichllllg (:!I\ wk,'d ..

iJ I ' durch die Bedingllng.".. I E:z; - ~.x : ;:::: 0 ahgl'l·nzpn. \\"('1111 illl ell LXj Zeitl'lIl1kt 'hi diese die Glcit'hungcll

E' (i) x 01

Bc-ding-ung iiherschritten wil'tl~ IllUU 111011

, :IOa "

, , c ,. en a o + a l 6t + ... + a. 0 In

mit anderen J"ocffizienten ycrwend,·n. Dil' enlsprl'l'iI,,"d. iJ ! ax I

Bedingung ist dann iii! E:z; - Ex' ::; O. \\"elln au" I dil'lt wi!'der iilJl'rschritten wird. gilt YOll ncu('m Glf'ichllll~ (21~ Die Fiille d .. s mehrnciIsigen Spallnungszuslands k:nlll mal in iihnlicher W!'ise ahleiten. Fiir die Praxis ist j('(loch auch hier del' h"qu!'mste \'""f!. eia Zll langes J nl!'n'all auf kiirz('rc zu Yerll'il!'lI, Iwi dem'" mal in jed('m Zeitahsch"itt \"crschi .. dene GI!'ichuIIg('n ill Form \'Oll (;J!'ichulIg i.l~) IIl1d (2(;', mit dem entspl'('chellden ~Iodtl nach Hild 3 arl\\'l>lIdc!.

U"lIl1'rkllllg

Die :Xichtllmk!'hrharkeit dl'r Formiind"rull!!"1I kOllnt(' ma. hisb!'r mit Hilf!' \"011 im ~lod!'11 eill~"sl'haltpien llich(lille"re~l EIt'mcntcn "rmitt(')n. z. B. mit Hilfe YOll zwpi ZIISalllllll·n·' t!£'cirul"ktpll Heihplatten od£'J' zwci Stiibell IBit g-(,~clls('iti~('r,_ hei cinclll hestinllnten e ('iUl'llstelldcl' YerzahulJlli!. Dit' pin: fat'h:-otell Fiill(' eiller zunehluenden Spanllung odeI' Form-;iudt'l'llllg wlirdf'll dann aber nicht liJlC'ar sein. ])C'l' YOl'ui des yom _\utOI' YOl'gl'sl'hlag('n!'n Yerfahrells :lfkel, :-;trcnge G)'('nz(~n ulal theorC'ti:.-clw Crulldlugcn Jur ih1 BCButzung. r

7. Beziehung zwischen Spannung und Formanderungsverlauf uri, der Dauerfestigkeit i

Die Z('it TB. na('h

,,,I"r mit d!'n f~lgenine B(~d;llgullg' die FornI

F:eX(tB". ExiIB)' a/IBi: = O. I:Hi

F bezeidl!lct .. ille gewisse Funklion, ,\m einr"dlsten wil'd F'Ex, ex. ax) = Ex - C,ax/F.x - C" in del' C, IInci C. ge-wisse ~I"terialkonstantcll bed"ut"n. Fiir die Ermittlllllg del' L"hellsc!ullcr yon KOllstrllktiolls-teilton wird es :)1:'00 notwf'lldig sein. dpll unfeh das Kl'ipchen ht'einllu(hen Spnnnung-s- lIull FOI'lllnnd(,l'lln~s\"(,l'lalif Zll bestinlillcll.

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