05 Mathematik
Lösungen2011 ZKM
Mathematik Übungsserie
Aufgaben Serie 8
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien, Mathematik 81
1. Gib die Lösung in Stunden und Minuten an:
❑ h : 87 = 3/36 d — 1 3/10 h 3/36 d = 1/12 d = 24 h : 12 = 2 h3/10 h = 60 min : 10 3 = 18 min 2 h — 1 h 18 min ❑ h : 87 =
42 min ❑ h : 87 =
= 87 42 min
3654 min
❑ h
=
❑ h 3654 min : 60 min/h = 60.9 h
❑ h 60 h 54 min
=
60 9/10 h
9/10 h = 60 min : 10 9 = 54 min
12
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2. Die Summe von 1/8 einer Zahl und 5/6 derselben Zahl ist um 132 grösser als die Hälfte dieser Zahl. Wie heisst die Zahl?
Zahl =
1/8 + 5/6 = 1/2 + 132 Gleichnamig machen!3/24 + 20/24 = 12/24 + 132
3 4 12 3 4
23/24 = 12/24 + 13223/24 = 13212/24 —
11/24 = 132
1/24 = 132 : 11 = 24/24 = 24 12 = 288
: 11
2412
/8; /6; /2 = /24
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3. Die sieben Zwerge schenken Schneewittchen zur Hochzeit aus ihren sieben Geldbeutelchen je 6 Goldtaler. Jetzt haben sie noch so viele Taler wie vorher in 4 Beutelchen zusammen waren. Wie viele Taler hatte jeder Zwerg vor der Hochzeit, wenn die Taler gleichmässig verteilt waren?
7 — 42 T = 4
6 Taler • 7 = 42 Taler (T)
7 — 42 T=4
42 T=3 42 T= : 3 = 14 Taler
= Anzahl Taler in einem Beutel
6 km/h
+ 19 min
+ 7 min
18 min
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4. Laura macht sich um 13:45 Uhr mit dem Fahrrad auf den Weg zu ihrem Freund Timo, der 10.3 km entfernt wohnt. Sie fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 18 km/h. Nach 18 min ist ihr Reifen platt und sie geht 7 min zu Fuss weiter mit einem Drittel der Velofahrgeschwindigkeit. Der Velomechaniker braucht 19 Minuten für die Reparatur und Laura fährt danach doppelt so schnell wie zu Beginn den letzten Hang zu Timos Haus hinunter. Wann kommt Laura bei Timo an?
Laura
zu Fuss
Velo
Mec
hani
ker
Timo
13:45 Uhr10.3 km
18 km/h
36 km/ha) Strecken ausrechnen
b) Reststrecke ausrechnen
c) Zeit für Reststrecke
Zeit?
Ankunft: ? Uhr
Vorgehen:
TimoRest
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18 min + 7 min + 19 min + 7 min = 51 min
18 km/h 6 km/h
19 m
in
36 km/h
Velo zu Fuss
Mec
hani
ker
ganze Strecke: 10.3 km
Laura
60 min ---------- 18.0 km
6 min ---------- 1.8 km
18 min ---------- 5.4 km
: 10 : 10
3 3
60 min ---------- 6.0 km
1 min ---------- 0.1 km
7 min ---------- 0.7 km
: 60 : 60
7 7
10.3 km – 5.4 km – 0.7 km = 4.2 kmReststrecke:
5.4 km 0.7 km
4.2 km
36 km ---------- 60 min
0.6 km ---------- 1 min
4.2 km ---------- 7 min
: 60 : 60
7 7
7 min
13:45 Uhr + 51 min = 14:36 Uhr
18 min 7 min
14:36 Uhr
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5. Daniel, Alberto, Claudia und Beda wiegen zusammen 224 kg. Beda wiegt 8 kg mehr als Alberto, Claudia 28 kg weniger als Beda, und Daniel wiegt 4 kg mehr als Claudia. Wie schwer ist jede der vier Personen?
A B C D () + 8 kg ( + 8 kg) – 28 kg ( + 8 kg – 28 kg) + 4 kg
(B – 28 kg) (C + 4 kg)(A + 8 kg)
? kg + 4kg + 28 kg + 20 kg
A 43 kg + 20 kgB 43 kg + 28 kg C 43 kg + 0 kgD 43 kg + 4 kg
Neu: Leichteste Person ist Claudia .
4 x + 20 kg + 28 kg + 4 kg =4 x 4 x = 172 kg
=
Alberto ist 63 kg Beda ist 71 kg Claudia ist 43 kg Daniel ist 47 kg
(Keine Minuszahlen!!)Jetzt sieht es so aus:
224 kg224 kg – 20 kg – 28 kg – 4 kg=
43 kg=: 4172 kg = 63 kg= 71 kg
= 47 kg= 43 kg
= 172 kg
Dadurch sind alle andern Kinder Claudia + einige Kilos.
(B – 8 kg)
+ 28 kg- 8 kg + 4 kg
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6. Zwei Gefässe, deren Inhalte 5 l und 7 I sind, stehen bei einem Wettbewerb bereit. Die Teilnehmer müssen durch Umleeren am Schluss 4 l Wasser in einem der beiden Behälter haben. Wie ist das möglich?
1) 7-I-Gefäss füllen und umleeren in 5-I-Gefäss, Rest: 2 I im 7-1-Gefäss 2) 5-I-Gefäss ausleeren und 2 I aus dem 7-I-Gefäss ins 5-I-Gefäss umfüllen 3) 7-I-Gefäss neu füllen und mit 7-l-Gefäss die fehlenden 3 I ins 5-I-Gefäss auffüllen, Rest im 7- I - Gefäss = 4 I
7 l
7 l 5 l0 l + 7 l = 7 l
1.
7 l
7 l – 5 l = 2 l
2.
0 l + 5 l = 5 l 5 l – 5 l = 0 l
7 l
2 l – 2 l = 0 l
3.
0 l + 2 l = 2 l
5 l5 l
weg-giessen
7 l
4.2 l
7 l
5.neu: 7 l
7 l
7 l – 3 l = 4 l
6.
2 l + 3 l = 5 l
3 l
+7 l
2 0 7 0
0 27
2 5 4
noch leer = 0 l
5 2
2 l bleiben
0 l + 7 l = 7 l 2 l bleiben
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7. Du siehst in der nebenstehenden Figur 4 hellgraue Quadrate, deren Seitenlänge sich immer verdoppelt. Die Fläche des dunkelgrauen Rechtecks beträgt 192 cm2. Wie gross ist die Seitenlänge des grössten Quadrates, das den Rahmen für alle anderen bildet?
192 cm2
1x
2x
4x
8x
Muss bei den neuen Anforderungen ab 2012 nicht mehr gemacht werden: Flächenberechnung!!
Dunkles Rechteck ist ¾ des grauen daneben:
192 cm2 : 3 4 = 256 cm2
256 cm2 ist eine Quadratzahl: 16cm 16cm = 256 cm2
16 c
m8
cm4
cm32
cm
60 c
m
F1=192 cm2
2x
16 c
m8
cm
1x
1.
3/44/4
F2=256 cm2
16 c
m
F1 F2
2. 3. 1. 2. 3. 4.
4 cm + 8 cm + 16 cm + 32 cm = 60 cm
oder:
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8. Die Erstklässler Adriano, Bruno und Claudio helfen Konzertstühle in die Mehrzweckhalle zu transportieren. Die Knaben tragen die schweren Stühle einzeln in die Halle. Adriano braucht für 6 Stühle gleich lang wie Claudio für 4 und Bruno für 3. In 23 min 24 s sind 338 Stühle in der Halle. Wie lange braucht Adriano für 5 Stühle?
1 Durchgang (D) = 6 Stühle (St) + 4 St + 3 St = 13 St pro Durchgang
Adriano braucht 45 s für 5 Stühle.
Für einen Durchgang brauchen die drei:
338 St : 13 St/D = 26 D Alles in s umwandeln: 23 min 24 s = 1404 s
1404 s : 26 D = 54 s/D (54 s pro Durchgang und 13 Stühle)
6 St ---------- 54 s1 St ---------- 9 s5 St ---------- 45 s
: 6 : 6 5 5
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9. Bauer B will Land bewalden. Seine Landgrenze zu Bauer A schneidet die Luftlinie zwischen den Höfen genau in der Mitte mit einem 90°- Winkel. Die Grenze ist gerade. Parallel zur Eisenbahnlinie (g) und der Landgrenze gibt es eine gesetzlich geregelte Sperrzone von 600 m. Damit Bauer B noch unbewaldetes Land hat, halbiert er kurzerhand die zwei Winkel, die sich beim Schnittpunkt Bahnlinie und Landgrenze ergeben. Nun bewaldet er je eine Fläche auf beiden Seiten der Bahnlinie, und zwar jene, welche weiter weg vom Haus liegen. Diese sind in der Lösung zu schraffieren.
200 m
x g
Bauer „B“
Bauer „ A“
Eis
enba
hnlin
ie
600 m
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200 m
g
B
A
Schraffiere die Felder.
Halbiere die Schnittpunkte der Bahn und der Mittelsenkrechten.
Zeichne auch zur Bahnlinie (g) auf beiden Seiten eine Parallele mit Abstand 600 m
Zeichne zu dieser Geraden im Abstand von 3 • 200 m auf beiden Seiten eine Parallele.
Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke AB.
600 m
600 m 600 m
600
m60
0 m
S