05.12.01 1
Elektronisch
messen, steuern, regeln
FilterTiefpass (TP), Hochpass (HP),
Bandpass (BP), Bandsperre (BS)
05.12.01 2
Warum Filter ?
• Verbesserung der Qualität einer Messung
• Unterdrückung von Frequenzbereichen mit grossen Störsignalen und kleinem Nutzsignalanteil.
• Beschränkung der Bandbreite, um bei der Abtastung Frequenzfaltung zu vermeiden.
05.12.01 3
Wann analog ? / Wann digital ?
Analog Digital Analog
FilterAnalog-DigitalWandler
notwendig, sonstVerfälschung derMessung
verbessertQualität derMessung
FilterSignal-Verarbeitungz.B. mit Filter
Digital-AnalogWandler
verbessertQualität derMessung
05.12.01 4
Tiefpass 1. Ordnung
RC
i
V
iR
R
U
UV
iR
U
R
UIundII
iR
UIRCwenn
RC)i(R
U
Ci
U
R
U I
g
a
aa
aa
aaaa
1 enzGrenzfrequ
1)1(
)1(
)1(:
11
:fliessen Cdurch und Rdurch die nenten,
-Kompoden ausbesteht I StromDer
0
11
1
111
a
U1
IaI1
C
R
R1
Ua
05.12.01 5
Frequenzverhalten Tiefpass 1.Ordnung
-40
-30
-20
-10
0
0.01 0.1 1 10 100
normierte Frequenz
Am
plit
ud
e [
dB
] -3 dB bei der Grenzfrequenz
-20 dB pro Frequenz-Dekade
05.12.01 6
Sprungantwort Tiefpass 1.Ordnung
0
1
0 1 2 3 4 5
normierte Zeit [RC]
Impu
lsan
twor
t
Eine Tangente an einem beliebigen Punkt der Kurve schneidet die Asymptote nach einer Zeitkonstante RC.
05.12.01 7
Tiefpass 2. Ordnung
U1
IaI1
C
R
R/2
Ua
R/2
4C
2
1111
11
11
1
1
1
1
:Eingesetzt
122
1222
212212
2
122
4
1
242
12
4
1
24
:enungsquellErsatzspan
;11
RCiUa
UV
RCiR
U
RRCiRR
U
RCiRR
UI
R
RCi
RRCi
UR
R
UI
RCi
R
Ci
RCi
RR
RCi
U
Ci
RCi
UU
IICRi
RI
CiRCi
RIU
x
x
x
x
aaa
a
05.12.01 8
Tiefpass 2.Ordnung
1 wennDämpfung, cheüberkritis
1 wennDämpfung, kritische
10 wennDämpfung, scheunterkriti
21
12
i
V
05.12.01 9
Frequenzverhalten Tiefpass 2.Ordnung
-3 dB bei der Grenzfrequenz
-80
-60
-40
-20
0
20
0.01 0.1 1 10 100
normierte Frequenz
Am
plit
ud
e [d
B]
05.12.01 10
SprungantwortTiefpass 2.Ordnung
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zeit
Sig
na
l
= 1
= 0.5
= 0.2
05.12.01 11
Mehrfach-Gegenkopplung
Ue
R1
Ua
R3
C2
R2C1
05.12.01 12
Einfach Mitkopplung
Ue
R1
Ua
R2
C1
C2
(-1)R3
R3
.4
,4
1
21
1
1
121
21
1
Cf
aRRRwird
a
b
C
CundWenn
llSpiezialfa
g
234.23
,586.1
,268.1
,1
:
21;21
2
effTschebyschdB
hButterwort
Bessel
kritisch
fürwirddann
CCCRRR
lSpezialfal
05.12.01 13
Tiefpass n-ter Ordnung
iPnPcPbPaP
Vn...1
1
gVerstärkunder Betrag
32
05.12.01 14
Unterteilung in Glieder 1. + 2.Ordnung
0,
111
1
:2.Ordnung und 1.Glieder in Zerlegung
...1
1
1
2222
211
32
bungeradenwenn
PbPaPbPaPbPaV
nPcPbPaPV
ii
n
05.12.01 15
Filtertypen
• Aneinanderreihung passiver, entkoppelter Tiefpässe Filter kritischer Dämpfung (ohne Überschwingen bei Impulsen)
• Bessel-Filter: optimale Sprungantwort, allerdings nimmt der Amplituden-Frequenzgang nicht so scharf ab, wie bei den nachfolgenden Filtern.
• Butterworth-Filter: Frequenzgang möglichst lang flach, dann bei der Grenzfrequenz möglichst scharfes Abknicken, dafür Sprungantwort mit beträchtlichem Überschwingen.
• Tschebyscheff-Filter: oberhalb der Grenzfrequenz noch steilerer Abfall, dafür erzeugen sie im Durchlassbereich eine Welligkeit definierter Amplitude z.B. 3dB. Sprungantwort unbrauchbar.
• Elliptische Filter: noch steilerer Abfall, sie zeigen eine Welligkeit im Durchlassband, aber auch im Sperrband. Sprungantwort unbrauchbar.
05.12.01 16
Lage der Pole (ästhetisch ?)
• Bei allen Filtern mit minimaler Phasenverschiebung liegen die Pole bei konjugiert komplexen Werten mit negativem reellen Anteil.
• Beim Butterworth-Filter liegen die konjugiert, komplexen Pole auf einem Halbkreis (Radius=1).
05.12.01 17
Frequenzverhalten der Filtertypen(4. Ordnung)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0.01 0.1 1 10 100
normierte Frequenz
dB
krit.Dämpfung
Bessel
Butterworth
0.5dB Tschebyscheff
3dB Tschebyscheff
05.12.01 18
Sprungantwort der Filtertypen
05.12.01 19
Transformation TP HP(HP = HochPass)
i
ii
P
b
P
a
APA
PP
AA
2
0
1
/1durchersetzen
bzw./1durchersetzen
:spiegeln1umngFrequenzga
-80
-60
-40
-20
0
20
0.01 0.1 1 10 100
normierte Frequenz
Am
plit
ud
e [
dB
]
-80
-60
-40
-20
0
20
0.01 0.1 1 10 100
normierte Frequenz
05.12.01 20
Ue
R1
Ua
R2
C1
C2
(-1)R3
R3
Tiefpass
Hochpass 2.Ordnung
Ue
C1Ua
C2
R1
R2
(-1)R
R
Hochpass
Cfb
aR
CfaR
Awird
CCCundWenn
g
g
1
12
11
21
4
1
1
1
05.12.01 21
Transformation TP --> BP(BP = BandPass)
2
minmax
1)(
1-
ersetzen11
durchriableFrequenzva
PP
PAPA
Q
PP
P
M
-80
-60
-40
-20
0
20
0.01 0.1 1 10 100
normierte Frequenz
Am
plit
ud
e [
dB
]
-80
-60
-40
-20
0
20
0.01 0.1 1 10 100
normierte Frequenz
Am
plit
ud
e [
dB
]
05.12.01 22
Bandpass 2. Ordnung
Ue
RUa
C
2R
R
(-1)R3
R3
C
3
13
)(
2
1
QGüte
AfbeigVerstärkun
RCfuenzMittenfreq
MM
M
05.12.01 23
Transformation TP --> BS(BS = BandSperre)
2
20
11
1)(
1
ersetzen1
durchriableFrequenzva
PPQ
PAPA
Q
PP
P
-80
-60
-40
-20
0
20
0.01 0.1 1 10 100
normierte Frequenz
Am
plit
ud
e [
dB
]
-80
-60
-40
-20
0
20
0.01 0.1 1 10 100
normierte Frequenz
Am
plit
ud
e [
dB
]
05.12.01 24
Bandsperre 2.Ordnung
Ue
C
Ua
C
R
R/2
(-1)R3
R3
R
2C )2(2
1
)(
2
1
QGüte
AfbeigVerstärkun
RCfuenzMittenfreq
MM
M
05.12.01 25
Allpass
iii
iii
PbPa
PbPaPA
)1(
)1()(
2
2
• Verstärkung konstant, nur frequenzabhängige Phasenverschiebung
• Anwendung: Phasenentzerrung / Signalverzögerung.
05.12.01 26
Allpass 1.Ordnung
U1
R
RUa
R
C
RCi
RCiA
RCi
RCi
RCiU
UA
RCi
UUU
UUUU
U
RCi
U
CiRCi
UU
a
a
a
1
1
1
121
1
2
122
;22
11
1
11
1
11
05.12.01 27
Einstellbarer Phasenschieber
U1
R
RUa
R
C
Bei einer vorgegebenen Frequenz, kann die Phasenverschiebung im Bereich 0 < < 180° durch R justiert werden.
05.12.01 28
Digitalfilter
0
1
2
3
4
5
1 6 11 16 21
Sprungantwort eines digitalen Filters 1.Ordnung
05.12.01 29
Digitalfilter z.B. 1.Ordnung
• Ähnliches Verhalten wie analoge Filter
• bestehen aus Multiplikationen für die Koeffizienten, Summierern und Verzögerungsgliedern
X
1 Y
Verzögerungsglied
Ta
D0
-C0
D1
++
z.B.D0 = D1 = 1C0 =-0.75
05.12.01 30
Digitalfilter 2.Ordnung
1 Y
Verzögerungsglied
Ta
-C1
D2
++
X
1
Verzögerungsglied
Ta
D0
-C0
D1
++