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1
11. Elektronen im Festkörper
11.1 Elektrische Leitung in Festkörpern
Ohmsches Gesetz
Wiedemann-Franz-Gesetz
Drude-Modell und Erweiterungen
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2
Theorien zur elektrischen Leitung in Metallen
• Um 1900 unabhängig voneinander:
• Paul Drude (Leipzig, Giessen,Berlin)
• Hendrik Antoon Lorentz (Leiden)
• J.J. Thomson (Cambridge)
• Modell des freien Elektronengases
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3
Drude-Theorie
• 1900
• freie Elektronen im Ionenkristall
• „Elektronengas“ durch kinetische Gastheorie (Boltzmann-Statistik) beschrieben
• Äußeres elektrisches Feld beschleunigt Elektronen NICHT kontinuierlich, da Stöße mit Gitter ( Relaxationszeit)
Paul Karl Ludwig Drude (1863-1906)
[wikipedia]
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4
Drude-Theorie • Im Gleichgewicht ist mittlere Geschwindigkeit der
Elektronen proportional zur Feldstärke E
• Bewegungsgleichung:
• Stationärer Zustand:
𝑚 ∙ 𝑣 +𝑚
𝜏𝑣𝐷 = −𝑒𝐸
𝑣 = 0 ⇒ 𝑣𝐷 = −𝜏 ∙ 𝑒
𝑚∙ 𝐸
beschleunigte Masse F=m∙a
elekt. Feld wirkt auf Ladung
geschwind.-abhän. Reibungswiderstand
Driftgeschwindigkeit
Streuzeit
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5
Drude-Theorie • Mit der Ladungsträgerdichte n ist die Stromdichte j
• Leitfähigkeit σ ist
Erinnerung Ohmsche Gesetz
• Beweglichkeit 𝜇 ist
𝑗 ≝ −𝑒𝑛𝑣𝐷 =𝑒2 ∙ 𝜏 ∙ 𝑛
𝑚∙ 𝐸
𝜎 ≝𝑗
𝐸=𝑒2 ∙ 𝜏 ∙ 𝑛
𝑚
1
𝑅=𝐼
𝑈 ∙ 𝑅,∙ 𝑈 ⇒ 𝑈 = 𝑅𝐼
Drude-Formel
𝜇 ≝𝑣𝐷
𝐸
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6
Drude-Theorie
• erstmals das ohmsche Gesetz erklärt
• mit diesem Modell berechnete Widerstandswert etwa sechs mal größer als der gemessene
• Wiedemann-Franz-Gesetz näherungsweise erhalten
• Jedes Elektron müsste also 3/2 kBT liefern. Messungen haben aber gezeigt, dass der elektronische Beitrag zur Gesamtenergie etwa tausendmal kleiner ist (berechnete spezifische Wärme viel zu groß)
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7
Drude-Theorie
• Proportionalität von Widerstand und Elektronengeschwindigkeit zur Wurzel aus der Temperatur, was experimentell nicht stimmt
• Es kann überhaupt keine Aussage darüber getroffen werden, ob ein Material ein metallischer Leiter, Halbleiter oder ein Isolator ist
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8
1 10 100 100010
-11
1x10-9
1x10-7
1x10-5
1x10-3
1x10-1
1x101
1x103
1x105
1x107
La0.75
Ca0.25
MnO3
Na2O*11Al
2O
3
YBa2Cu
3O
7
Supraleiter >1023
Cu
Pb
Graphit
Ge
Si
Glas
Isola
tore
nH
alb
leiter
Meta
lle
ele
ktr
ische
Le
itfä
hig
keit [
-1cm
-1]
Temperatur [K]
Elektrische Leitfähigkeit
Die elektrische Leitfähigkeit von Metallen nimmt mit der wachsender Temperatur ab.
Supraleitung: beim Abkühlen fällt der Widerstand sprungartig auf Null.
Die Leitfähigkeit von Halbleitern und Isolatoren nimmt mit der wachsender Temperatur zu.
[ K. Conder ]
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9
Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)
• Elektron als Träger der Ladung
• Lorentzkraft
• Lorenz-Transformation
• Nobelpreis 1902 mit P. Zeeman (Zeeman-Effekt)
[Wikipedia]
Gemälde von Menso Kamerlingh Onnes
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10
Drude-Lorentz-Theorie
• 1905
• Beschreibung der zusätzlichen Absorptionsmaxima (z.B. durch Bandübergänge)
• Dielektrische Funktion von Halbleitern und Isolatoren beschrieben
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11
Wechselfelder: Drudeformel
𝑚𝑥 + 𝑚𝛽𝑥 + 𝑚𝜔02𝑥 = −𝑒𝐸0𝑒
−𝑖𝜔𝑡
𝑥 𝑡 = −𝑒
𝑚∙
1
𝜔02 − 𝜔2 − 𝑖𝛽𝜔
∙ 𝐸0𝑒−𝑖𝜔𝑡
𝐸 =𝐷
휀=
𝐷
휀𝑟휀0 𝑗 𝑡 = 𝜎 𝜔 ∙ 𝐸0𝑒
−𝑖𝜔𝑡
휀 𝜔 = 1 +𝑁𝑣𝑒
2
휀0𝑚∙
1
𝜔02 − 𝜔2 − 𝑖𝛽𝜔
dielektrische Funktion
elektrische Flussdichte D
Bewegungsgleichung
stationäre Lösung
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12
Bewegung im Magnetfeld
Lorentzkraft
Zyklotronfrequenz Leitfähigkeitstensor
𝑒𝑣 × 𝐵 = 𝐹 𝐿
𝑚𝑣2
𝑟= 𝐹 𝑍 Zentrifugalkraft
𝑒−
𝑚𝑣2
𝑟= 𝑒𝑣𝐵
𝑚𝑣
𝑟= 𝑒𝐵 𝑣 = 𝜔𝑐 ∙ 𝑟
𝑚𝜔𝑐𝑟
𝑟= 𝑒𝐵
𝜔𝑐 =𝑒𝐵
𝑚
𝜎 =𝜎0
1 + 𝜔𝑐2𝜏2
1 −𝜔𝑐𝜏 0𝜔𝑐𝜏 1 0
0 0 1 + 𝜔𝑐2𝜏2
𝑗 = 𝜎 ∙ 𝐸
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13
Hall-Effekt 𝐹 = 𝑞𝑣 × 𝐵 𝑞𝐸 = 𝑞𝑣 × 𝐵 𝐵 = (0,0, 𝐵𝑧)
𝑣 = (0, 𝑣𝑦 , 0) 𝐸𝑥 = 𝑣𝑦 ∙ 𝐵𝑧
𝑗 = 𝑛 ∙ 𝑞 ∙ 𝑣𝑦
𝑣𝑦 =𝑗𝑦
𝑛 ∙ 𝑞 𝐸𝑥 =
1
𝑛𝑞∙ 𝑗𝑦𝐵𝑧
𝐸𝑥 = 𝐴𝐻 ∙ 𝑗𝑦𝐵𝑧 𝐴𝐻 =1
𝑛𝑞
𝐸𝑥 =𝑈𝐻𝐿𝑥
𝑗𝑦 =𝐼
𝐿𝑥𝐿𝑧 𝑈𝐻
𝐿𝑥= 𝐴𝐻
𝐼
𝐿𝑥𝐿𝑧 𝑈𝐻 =
𝐴𝐻𝐼
𝐿𝑧
𝐴𝐻 =𝑈𝐻𝐿𝑧𝐼
𝑳𝒙
𝑳𝒚
𝑳𝒙
𝑩
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14
Hall-Effekt
𝐴𝐻 =1
𝑛𝑞
𝐴𝐻 =𝑈𝐻𝐿𝑧𝐼
𝑳𝒙
𝑳𝒚
𝑳𝒙
𝑩
Hall-Konstante
n Ladungsträger-Dichte q Ladungsträger-Art Beispiele AH bei RT in 10-10 m3/C:
Bismut -5000 Kupfer −0,5 Silber −0,9 Gold −0,7 Platin −0,2
Aber: Rhenium +3,1 Beryllium +2,4 Zink +0,6
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15
Edwin Herbert Hall (1855-1938)
• 1879 Halleffekt
• 1881-1921 Harvard
• Thermoelektrizität
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16
11.2 Freies Elektronengas im Sommerfeld-Modell
• Leitungselektronenwolke
• Fermistatistik
• Zustandsdichte
• Fermikugel
• Beitrag zur spezifischen Wärme
• Dispersionsrelation
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17
Drude-Sommerfeld-Theorie
• 1927
• Verbesserung der Drude-Theorie durch Anwendung der Quantenmechanik
• Sommerfeldsches Modell des freien Elektronengases (Schrödingergleichung für Kastenpotential)
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18
Elektron im unendlichen Kastenpotential
x
2 22
2
31
2
0.1nm
9.1 10 kg
nE nma
a
m
0 a
2
1( )x
2
2 ( )x
2
3( )x
2
15( )x
2 22( ) sinn
nxx
a a
[Tolan,Stolze] Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15
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19
E(k)
kX 0
Schnitt durch den k-Raum in der kX - kY – Ebene
mit den erlaubten k – Werten und der Fermikugel
Potentialkastenmodell:
Darstellung der nach den Randbedingungen
(Potentialkasten) erlaubten Werte für E(k) und kX
mit kY = kZ = 0
kZ
kY
kF
2π/lY
2π/lZ
Schematische Darstellung der besetzten Zustände im a) Potentialkastenmodell und b) E(k) Schema
kX
E(k)
EF
EA
E0
a) b)
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20
E EF
N(E)
Darstellung der Zustandsdichte N(E) des
dreidimensionalen Potentialkastens
Besetzung der Zustände im Potentialkastenmodell für T ≠ 0:
Fermi-Verteilungsfunktion f0(E,T) für verschiedene T,
EF = 5eV
f0(E)
E/eV
5 0 10
1
10000 K
5000 K
2000 K
500 K
f0
E
N(E)
n(E)
n(E) = N(E)·f0(E,T)
N(E)
Besetzung der Energieniveaus des dreidimensionalen
Potentialkastens für T > 0
f E TE E
k TF
B
0
1
1
,
exp
mit:
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21
3-D Zustandsdichte
𝐸 𝑣 =𝑚
2𝑣2 𝑝 = 𝑚𝑣 ⇒ 𝑣 =
𝑝
𝑚
𝐸 𝑝 =𝑚
2
𝑝
𝑚
2
=1
2𝑚∙ 𝑝2 𝑝 = ℏ ∙ 𝑘
𝐸 𝑘 =1
2𝑚∙ ℏ𝑘 2
𝐸 𝑘 =ℏ2
2𝑚∙ 𝑘2 ⇒ 𝐸 𝑘 ~ 𝑘2
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22
3-D Zustandsdichte
𝐸 𝑘 =ℏ2
2𝑚∙ 𝑘2
𝐷 𝑘 = 𝛿 𝐸 − 𝐸 𝑘
𝑘𝑚𝑠
𝐷 𝑘 = 2 ∙ 𝛿 𝐸 − 𝐸 𝑘
𝑘
𝐷 𝑘 = 2𝑉
2𝜋 3∙ 𝛿 𝐸 − 𝐸 𝑘 𝑑3𝑘
𝐷 𝑘 =𝑉
𝜋2∙ 𝑘2 ∙ 𝛿 𝐸 − 𝐸 𝑘
∞
0
𝑑𝑘
𝐷 𝐸 =1
2𝜋22𝑚
ℏ2
32
∙ 𝐸
𝐷 𝑘 =𝑉
𝜋2∙ 𝑘2 ∙ 𝛿 𝐸 −
ℏ2𝑘2
2𝑚
∞
0
𝑑𝑘
𝐸 =ℏ2
2𝑚∙ 𝑘2
Substitution:
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23
Zustandsdichten (Volumen-bezogen)
𝐷3𝐷 𝐸 =1
2𝜋2ℏ32𝑚
32 ∙ 𝐸
𝐷2𝐷 𝐸 =1
2𝜋ℏ2𝐿𝑧2𝑚 ∙ 𝜃 𝐸 − 𝐸𝑙 𝑚𝑖𝑡 𝜃 − 𝑆𝑝𝑟𝑢𝑛𝑔𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑙
𝐷1𝐷 𝐸 =1
𝜋ℏ𝐿𝑦𝐿𝑧2𝑚
12 ∙
1
𝐸 − 𝐸𝑙𝑙
𝑉 = 𝐿𝑥 ∙ 𝐿𝑦 ∙ 𝐿𝑧
𝐷0𝐷 𝐸 =2
𝐿𝑥𝐿𝑦𝐿𝑧∙ 𝛿 𝐸 − 𝐸𝑙
𝑙
𝑚𝑖𝑡 𝛿 − 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛
Bulk
Quantentopf
Quantendraht
Quantenpunkt
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24
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25
Fermi-Kugel
[ Bechstedt ]
Radius der Fermi-Kugel:
𝑘𝐹 = 3𝜋2𝑛3
𝑚𝑖𝑡 𝑛 =𝑁
𝑉
Fermi-Geschwindigkeit:
𝑣𝐹 =ℏ
𝑚𝑘𝐹
Fermi-Temperatur:
𝑇𝐹 =𝐸𝐹𝑘𝐵
Fermi-Energie:
𝐸𝐹 = 𝐸 𝑘𝐹 =ℏ2
2𝑚∙ 𝑘𝐹
2
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26
11.3 Bändermodell des Festkörpers
• Elektron im periodischen Potenzial
• Bloch-Wellen
• Energielücke
• Reduziertes Energieschema
• Periodisches Energieschema
• Fermiflächen
• Bandstrukturen
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27
Gitterperiodisches Potential
[ Bechstedt ]
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28
Felix Bloch ( 1905-1983)
• Studium ETH
• Leipzig (Heisenberg)
• Bandstruktur (Bloch-Theorem)
• 1929 Assistent Pauli (ETH)
• 1934-71 Stanford
• „Manhattan project“
• Ferromagnetismus (B.-Wand)
• 1952 Nobelpreis (NMR)
[nobelprize.org ]
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29
Blochwelle
[ Hunklinger ]
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30
[http://www.falstad.com/qm1dcrystal/index.html ]
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32
4a 3a 2a a 0 E
Git
ter –
E0
|Ψ
1 (
x)|
2
|Ψ2 (
x)|
2
x
x
x
E
x
Veranschaulichung der Energieaufspaltung unter der Einwirkung des periodischen Gitterpotentials
für den eindimensionalen Fall
Wirkung des periodischen Gitterpotentials:
Schematische Darstellung der Bänder erlaubter Energiezustände im periodischen Gitterpotential
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33 [ruby.chemie.uni-freiburg.de]
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34 [ruby.chemie.uni-freiburg.de]
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[ Magnussen ]
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40 [ Magnussen ]
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41 [ Magnussen ]
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46 [ Magnussen ]
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47 [ Magnussen ]
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48 [ Magnussen ]
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49 [ Magnussen ]
Elektronen im Magnetfeld: Landau-Niveaus
Quantisierung der Elektronenbahnen durch äußeres Magnetfeld!
𝐸 =ℏ2𝑘𝑧
2
2𝑚∗+ ℏ𝜔𝑐 𝑛 +
1
2
𝑛 = 0, 1, 2, …
𝜔𝑐 =𝑒𝐵
𝑚∗ 𝐵 = 0,0, 𝐵
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50 [ Magnussen ]
Experimentelle Bestimmung von Fermiflächen
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[aus Kittel, Einführung in die Festkörperphysik]
Beispiel: Fermi-Fläche von Gold
de Haas van Alphen Effekt thermodyn. Parameter oszillieren mit 1/B in starken Feldern, tiefen Temp.
B111
B100
experimentelle Ergebnisse: Perioden in 1/B in 10-5 T-1: B111: 2,05 B100: 1,95 Fläche der Extremalbahn: S=4,8 10-16 cm-2
weitere Periode: in [111]-Richtung: 60 S=4,5 10-15 cm-2
"Halsbahn"
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52
EF Fermi-Energie
EC Leitungsband
EV Valenzband
𝒉𝝂 = 𝟏, 𝟏 𝒆𝑽 𝝀 = 𝟏, 𝟏 µ𝒎
𝒉𝝂 = 𝟐, 𝟐 𝒆𝑽 𝝀 = 𝟓𝟓𝟎 𝒏𝒎
Eg Energielücke z.B. 1,1 eV
optische Spektroskopie
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53
äußere photoelektrische Effekt
Photoelektronenspektroskopie UV-Licht: UPS Ultraviolett- Photoelektronenspektroskopie Röntgen-Strahlung: XPS X-ray- Photoelektronenspektroskopie
[wikipedia]
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winkelaufgelöster Messungen: ARPES (angle-resolved PES) / ARUPS (angle-resolved UPS)
[wikipedia]
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55
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Rhenium
Hall-Konstante AH in 10−10 m3/C
-1,7
-2,5
-4,2
-5
-8
+2,4
-0,8
-2
-0,5
-0,7
-0,6
-0,7
-0,2
+0,3
+0,6
+3,1
-0,9