174
12 RLC - Netzwerke
12.1 Einführung
Dieser Versuch befasst sich mit den Grundzügen der Wechselstromtechnik. Neben den bekann-ten Vorgängen im statischen Zustand (Gleichstrom) kommen nun dynamische Prozesse zur Wir-kung. Neben dem Ein- und Ausschaltverhalten wird hier das Frequenzverhalten unterschiedli-cher Komponenten und Schaltungen im Zeit- und Frequenzbereich untersucht.
12.1.1 Beschreibung von sinusförmigen Wechselgrößen im Zeitbereich
Sinusförmige Größen, z. B. Ströme und Spannungen lassen sich wie folgt darstellen:
u(t) = u · sin(ωt+ ϕ) . (12.1)
Der Augenblickswert der Zeitfunktion schwankt zwischen u und−u. Die positive extreme Aus-lenkung u heißt Amplitude oder Scheitelwert. Der Parameter ω wird als Kreisfrequenz bezeich-net. Die Frequenz f des Signals ergibt sich zu
f =ω
2π, ω = 2πf . (12.2)
Der Kehrwert aus der Frequenz wird als Periodendauer T bezeichnet
T =1
f=
2π
ω. (12.3)
Die Periodendauer bezeichnet das Zeitintervall T nachdem sich die Zeitfunktion wiederholt.Eine Zeitfunktion s(t) heißt periodisch, wenn ein T existiert für das die Bedingung s(t) =
s(t+ T ) für alle t Gültigkeit hat.
Die Festlegung der Zeitachse mit t = 0 ist für einzelne Signale willkürlich. Treten mehrereharmonische Signale in Beziehung zueinander, so ist die Angabe von Phasenverschiebungen
notwendig. Diese Phasenverschiebung wird über den Nullphasenwinkel ϕ definiert. Bei der re-lativen Phasenlage zweier harmonischer Signale spricht man von Voreilen, wenn der Nullpha-senwinkel ϕ0 positiv ist, andernfalls von Nacheilen.
12.1.2 Lade- und Entladeverhalten von Kondensatoren
Ein Kondensator, der an Gleichspannung betrieben wird, lädt sich einmal auf und entlädt sicherst wieder, wenn sich die von außen anliegende Spannung ändert. Bei Wechselspannung ge-schieht dies periodisch. Da die Spannung alterniert, lädt und entlädt sich der Kondensator per-manent. Der Augenblickswert der Spannung ist daher abhängig von der Änderung des Stromes:
uC =1
C·∫i(t) dt . (12.4)
12.1 Einführung 175
Durch Lösen von Differentialgleichungen erhält man für eine allgemeine Schaltung mit einemVorwiderstand und einen Kondensator für das Ladeverhalten
u(t) = u(1− e−tτ ) (12.5)
und für das Entladeverhaltenu(t) = u · e−
tτ . (12.6)
Bei diesen beiden Funktionen ist zu beachten, dass es sich hierbei um eine konstante Spannunghandelt, die entweder zu- oder abgeschaltet wird. Daher kann man diese Gleichungen nutzen,um die Momentanwerte bei einmaligem Schalten oder bei Anlegen einer Rechteckspannung zuberechnen.
Die Zeitkonstante τ
Für einen Kondensator lässt sich aus dem Produkt des Vorwiderstandes R der Schaltung undder Kapazität des Kondensators C die Zeitkonstante τ bestimmen:
τ = R · C . (12.7)
Allgemein gibt τ die Zeit an, die der Kondensator benötigt, um sich auf den Wert 1 − e−1 ≈63,2 % zu laden, bzw. sich auf e−1 ≈ 36,8 % zu entladen. Nach t = 5τ ist der Kondensator aufden Wert
u(t)
u= 1− e−5 ≈ 99,3 %
geladen. Der Ladevorgang kann als abgeschlossen betrachtet werden.
12.1.3 Beschreibung von sinusförmigen Wechselgrößen imZeigerdiagramm
Eine reelle harmonische Funktion u(t) = u·cos(ωt+ϕ) kann als Realteil einer komplexwertigenExponentialfunktion geschrieben werden. Wegen
e jωt = cosωt+ j sinωt (12.8)
folgtu(t) = u · <e j (ωt+ϕ) = <u · e j (ωt+ϕ) . (12.9)
Formal fasst man den letzten Term in Klammern als komplexe Zeitfunktion auf
u(t) = u · e j (ωt+ϕ) = u · e jϕ · e jωt = u · e jωt . (12.10)
Das Produkt der Amplitude u und des Phasenfaktors e jϕ bezeichnet man als komplexe Ampli-
tude u. Die komplexe Amplitude lässt sich als Zeiger in der komplexen Ebene darstellen.
12.1 Einführung 176
Z
jX
Re
Im
R
I
U I=Z
Abbildung 12.1: Impedanz Z, Strom I und Spannung U im Zeigerdiagramm
12.1.4 Komplexer Widerstands- und Leitwertoperator
Analog zum Gleichstromwiderstand definiert man einen komplexen Widerstand
Z =u
ı=u · e jϕu
ı · e jϕi=u
ı· e j (ϕu−ϕi) . (12.11)
Der Widerstandsoperator ergibt sich zu
Z = Z · e jϕZ bzw. Z = R + jX . (12.12)
Dabei istZ =
√R2 +X2 , ϕZ = arctan
(=Z<Z
)= arctan
(XR
). (12.13)
Für den Leitwertoperator ergibt sich entsprechend
Y = Y · e jϕY bzw. Y = G+ jB (12.14)
mitY =
√G2 +B2 , ϕY = arctan
(=Y <Y
)= arctan
(BG
). (12.15)
12.1.5 Wechselstromwiderstände
An einer Induktivität L ist die induzierte Spannung proportional der Stromänderung di/dt:
u(t) = L · didt. (12.16)
Für einen sinusförmigen Strom ergibt sich hieraus
u(t) = L · ddt
(ı · sinωt) = ı ωL cosωt = ı ωL sin(ωt+
π
2
). (12.17)
12.1 Einführung 177
Der induktive Blindwiderstand und der sich hieraus ergebende komplexe Widerstandsoperatorsind dann
XL = ωL, Z = jXL = jωL . (12.18)
An einer Kapazität C ergibt sich die Spannung aus dem Integral des in die Kapazität fließendenStromes
u(t) =1
C
∫i(t) dt . (12.19)
Der kapazitive Blindwiderstand und der sich hieraus ergebende komplexe Widerstandsoperatorsind dann
XC = − 1
ωC, Z = jXC = −j
1
ωC. (12.20)
12.1.6 Frequenzabhängiger Spannungsteiler
Betrachtet wird ein komplexer Spannungsteiler als Vierpol.
R
L u (t)2u (t)1
Abbildung 12.2: Frequenzabhängiger Spannungsteiler
Untersucht werden soll das Verhältnis zwischen Ausgangsspannung u2(t) zur Eingangsspan-nung u1(t). Hierzu bestimmt man analog zur Berechnung am Spannungsteiler eines Gleich-stromkreises das Spannungsverhältnis u2/u1:
u2u1
=Z2
Z1 + Z2
=jωL
R + jωL
=(ωL)2
R2 + (ωL)2+ j
ωRL
R2 + (ωL)2.
(12.21)
Es ergibt sich ein komplexes Ergebnis. Dieses lässt sich auch als Betrag und Phase angeben:∣∣∣∣ u2u1∣∣∣∣ =
√((ωL)2
R2 + (ωL)2
)2
+
(ωRL
R2 + (ωL)2
)2
=
√ω4L4 + ω2R2L2
(R2 + (ωL)2)2=
√(ωL)2
(R2 + (ωL)2
)(R2 + (ωL)2)2
=ωL√
R2 + (ωL)2=u2u1,
(12.22)
12.1 Einführung 178
ϕ = arctan=Z<Z
= arctanωRL
(ωL)2. (12.23)
Wir erhalten also zwei Gleichungen: eine für das Amplitudenverhältnis und eine für die Pha-senverschiebung, jeweils in Abhängigkeit von der Frequenz
u2u1
=ωL√
R2 + (ωL)2und ϕ = arctan
R
ωL. (12.24)
Diese Funktionen lassen sich für konkrete Bauteilwerte wie in Abb. 12.3 zu sehen als Amplitu-dengang und Phasengang oder wie aus Abb. 12.4 ersichtlich als Ortskurve graphisch darstellen.
Abbildung 12.3: Amplituden- und Phasengang
Abbildung 12.4: Ortskurve
12.1 Einführung 179
12.1.7 Resonanzkreise (Schwingkreise)
Schaltungen mit einer Kombination von Widerständen R, Kondensatoren C oder Induktivitä-ten (Spulen) L werden auch als RLC-Glieder bezeichnet (z. B. RL-, RC- oder LC-Glied).Einen Sonderfall stellen die Schaltungen dar, in denen alle drei Bauteile (R, L und C) Verwen-dung finden. Je nach Anordnung unterscheidet man Reihen- oder Parallelresonanzkreise – auchReihen-/Serien- oder Parallelschwingkreise genannt. Bei Resonanz sind UC und UL bzw. ICund IL gleich groß. Allgemein berechnet man die Frequenz mit dem Ansatz:
=Z = 0 . (12.25)
Bei einer Kapazität C eilt die Phase des Stroms gegenüber der Phase der anliegenden Spannungum 90 voraus. Bei einer Induktivität L läuft die Stromphase gegenüber der Spannungsphaseum 90 nach. Betrachtet man Schwingkreise im Frequenzbereich, wird der Amplitudengang imVerhältnis von Aus- und Eingangsleistung (P2 und P1) in dB aufgetragen. Eine dabei wichtigeFrequenz ist die sogenannte Grenzfrequenz. Dabei handelt es sich um einen Wert von −3 dB,welcher einer Leistungsübertragung von 50 % entspricht. Bei einem Wert von 0 dB wird diegesamte Leistung übertragen. Die Grenzfrequenz kann ebenfalls mit Hilfe der GesamtimpedanzZ berechnet werden. Hierbei gilt für einfache Schaltungen:
<Z = =Z . (12.26)
12.2 Vorbereitung 180
12.2 Vorbereitung
12.2.1 Allgemein
Bereiten Sie sich mit Hilfe der Einleitung, den Vorlesungsunterlagen und mit weiteren Quel-len (Bibliothek, Internet) ausführlich vor. Sollten Fragen offen bleiben, wenden Sie sich bitterechtzeitig an einen Betreuer oder Herrn Schneider, R. −1325, WA 73.
12.2.2 Fragen zur Vorbereitung
Beantworten Sie bitte zur Vorbereitung dieses Versuches schriftlich folgende Fragen:
1. Skizzieren Sie den Verlauf einer Ladekurve eines Kondensators. Es handelt sich umein RC-Glied, wie es in Abb. 12.8 gezeigt wird. Nehmen Sie U = 5 V, R = 10 kΩ,C = 100 nF an. Tragen Sie die Strom- und Spannungskurve ein. Erstellen Sie hierzu eineWertetabelle für u(t) und i(t) mit den Werten τ bis 5τ . Wie viel Prozent der Gesamtspan-nung bzw. des Gesamtstroms machen die einzelnen Werte aus?
2. Was versteht man unter einem Hochpass und einem Tiefpass? Geben Sie eine kurze Er-klärung an und skizzieren Sie geeignete Schaltungen.
3. Berechnen Sie die Grenzfrequenz der in Abb. 12.9 gezeigten Schaltung.
Hinweis: Bestimmen Sie die Gesamtimpedanz der Schaltung und gebrauchen Sie den inder Vorbereitung genannten Ansatz.
4. Welchen Einfluss haben die Bauteile auf die Schaltung?
5. Was versteht man unter einem Bandpass und einer Bandsperre. Geben Sie eine kurzeErklärung an und skizzieren Sie geeignete Schaltungen.
6. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz der in Abb. 12.11 gezeigten Schaltung.
Hinweis: Bestimmen Sie die Gesamtimpedanz der Schaltung und gebrauchen Sie den inder Vorbereitung genannten Ansatz.
7. Welchen Einfluss haben die Bauteile des Serienresonanzkreises auf die Schaltung?
12.3 Versuchsdurchführung 181
12.3 Versuchsdurchführung
Verwenden Sie folgende Module:
• mainboard,
• analog & digital data unit,
• function generator,
• component board.
Beachten Sie die Fragen für die Ausarbeitung. Sie dienen als Leitfaden für das Protokoll. Alledie von Ihnen bearbeiteten Ergebnisse sollen strukturiert in das Protokoll eingegliedert werden.Als Hauptleitfrage dient Ihnen: Wie sind die graphischen Ergebnisse zu deuten? (Vergleich zuähnlichen Ergebnissen, Erklärung, . . . )
12.3.1 Widerstand R an Wechselspannung (Zeit- und Zeigerdiagramm)
12.3.1.1 Aufbau
Bauen Sie die Schaltung in Abbildung 12.5 auf dem Komponentenmodul auf. Stellen Sie amFunktionsgenerator die angegebenen Parameter ein und verbinden Sie die Schaltung mit denOszilloskopeingängen des Datenmoduls.
IN A
+IN A
Ri
10k
uR
ui
uAC
5V
120Hz
IN B1
IN B2
+IN B2
+IN B1
R
20k
i
Abbildung 12.5: Widerstand im Wechselstromkreis
12.3.1.2 Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Oszilloskop aus.
Stellen Sie die beiden Messungen UB1 = f(UA) und UB2 = f(UA) gemeinsam dar (Zeit- undZeigerdiagramm). Wählen Sie hierzu die Phasor-Darstellung und nutzen Sie die Sequence-
Option. Wählen Sie zudem einen geeigneten Reference-Phasor aus. Drucken Sie das Ergebnisaus.
12.3 Versuchsdurchführung 182
12.3.2 Spule L und Kapazität C an Wechselspannung (Zeit- undZeigerdiagramm)
12.3.2.1 Aufbau und Aufgaben
Bauen Sie die Schaltungen 12.6a, 12.6b, 12.7a und 12.7b nacheinander auf und wiederholenSie die Aufgaben der Messung am Widerstand. Bitte führen Sie die Messungen mit folgendenWiderständen durch:
• Schaltung 12.6b: R ∈ 200 Ω, 1 kΩ, 5 kΩ
• Schaltung 12.7b: R ∈ 1 kΩ, 5 kΩ, 200 kΩ
Drucken Sie die Ergebnisse separat aus. Hierbei müssen Sie auch erneut UB1 über dem Vorwi-derstand messen.
IN A
+IN A
R 2k
uL
uR
uAC
5V
120Hz
IN B1
IN B2
+IN B2
+IN B1
i
L
1H
IN A
+IN A
R 2k
uL
uR
uAC
5V
120Hz
IN B1
IN B2
+IN B2
+IN B1
iL
1H
RS
Abbildung 12.6: a) L (ideal), b) L (real)
IN A
+IN A
R 10k
uC
uR
uAC
5V
120Hz
C
100nF
IN B1
IN B2
+IN B2
+IN B1
i
IN A
+IN A
R 10k
uC
uR
uAC
5V
120Hz
RP
C100nF
IN B1
IN B2
+IN B2
+IN B1
i
Abbildung 12.7: a) C (ideal), b) C (real)
12.3.2.2 Fragen
• Welchen Reference-Phasor haben Sie gewählt und warum?
• Welche Änderungen treten für die Schaltung mit den unterschiedlichen Widerständenauf?
12.3 Versuchsdurchführung 183
12.3.3 Untersuchung von RC-Gliedern: Integrier-/Differenzierglied
12.3.3.1 Aufbau
Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für ein Integrierglied (Abb. 12.8a) und ein Differen-zierglied (Abb. 12.8b) auf.
IN INA B
+IN +INA B
AC
5V
300Hz
10k
R
Cu1
u2
IN INA B
+IN +INA B
AC
5V
300Hz
C
R
10ku
1u
2
Abbildung 12.8: a) RC (Integrierglied), b) CR (Differenzierglied)
12.3.3.2 Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Oszilloskop aus.
Stellen Sie jeweils die Messungen UB = f(UA) mit unterschiedlichen Werten für
C ∈ 4 nF, 40 nF, 240 nF
gemeinsam dar. Wählen Sie hierzu die YT-Darstellung und nutzen Sie die Sequence-Option.Drucken Sie das Ergebnis aus.
12.3.3.3 Fragen
• Ermitteln Sie die Zeitkonstante τ für die Kapazität von 40 nF grafisch. Prüfen Sie ihrErgebnis. Was muss hierbei beachtet werden?
12.3.4 Untersuchung von RC-Gliedern (Zeitbereich): Tief-/Hochpass
12.3.4.1 Aufbau
Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für einen Tiefpass (Abb. 12.9a) und einen Hochpass(Abb. 12.9b) auf.
12.3.4.2 Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Oszilloskop aus.
Stellen Sie die Messung UB = f(UA) für beide Schaltungen gemeinsam dar. Wählen Sie hierzudie Phasor-Darstellung und nutzen Sie die Sequence-Option. Wählen Sie zudem einen geeig-neten Reference-Phasor aus. Drucken Sie das Ergebnis aus.
12.3 Versuchsdurchführung 184
IN INA B
+IN +INA B
AC5V
5k
R
C
100nFu
1u
2
IN INA B
+IN +INA B
AC5V
100nF
C
R
5ku
1u
2
Abbildung 12.9: a) RC (Tiefpass), b) CR (Hochpass)
12.3.4.3 Fragen
• Geben Sie den Rechenweg zur Berechnung der Grenzfrequenz an!
12.3.5 Untersuchung von RC-Gliedern (Frequenzbereich):Tief-/Hochpass
12.3.5.1 Aufbau
Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für einen Tiefpass (Abb. 12.10a) und einen Hoch-pass (Abb. 12.10b) auf. Verwenden Sie statt des Funktionsgenerators den analog Ausgang desDatenmoduls.
IN INA B
+IN +INA B
5k
R
C
100nFu
1u
2
GND
OUT
IN INA B
+IN +INA B
100nF
C
R
5ku
1u
2
GND
OUT
Abbildung 12.10: a) RC (Tiefpass), b) CR (Hochpass)
12.3.5.2 Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Frequency Characteristics aus.
Stellen Sie die Messung UB = f(UA) für beide Schaltungen gemeinsam dar. Wählen Sie hierzudie Darstellung Nyquist und nutzen Sie die Sequence-Option. Drucken Sie das Ergebnis für denAmplitudengang und für den Phasengang aus.
12.3.5.3 Fragen
• Vergleichen Sie das Ergebnis mit den Resultaten des vorherigen Versuchs. Was fällt Ihnendabei auf?
12.3 Versuchsdurchführung 185
12.3.6 RLC Serienresonanzkreis
12.3.6.1 Aufbau
Bauen Sie die Schaltung aus Abbildung 12.11 auf.
C
100nF
L
1H
R
2kIN B1
IN B2
IN B3IN A
+IN B2
+IN B3
+IN B1+IN A
uR
uLu
uC
AC1,2V
i
Abbildung 12.11: RLC Serienresonanzkreis
12.3.6.2 Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Oszilloskop aus.
Lassen Sie Sich die Messungen UB1−3 = f(UA) anzeigen. Wählen Sie hierzu die DarstellungPhasor und nutzen Sie die Sequence-Option. Wählen Sie zudem einen geeigneten Reference-
Phasor aus. Drucken Sie das Ergebnis aus.
12.3.6.3 Fragen
• Geben Sie den Rechenweg zur Berechnung der Resonanzfrequenz an!
• Wie viel Prozent der Eingangsspannung der Schaltung fällt über dem Widerstand ab?Erklären Sie das Ergebnis!
12.3 Versuchsdurchführung 186
12.3.7 Bandpass und Bandsperre
12.3.7.1 Aufbau
Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für einen Bandbass (Abb. 12.12a) und eine Bandsper-re (Abb. 12.12b) auf. Verwenden Sie statt des Funktionsgenerators den Analog-Ausgang desDatenmoduls.
IN INA B
+IN +INA B
3 F,31H
CL
Ru1
u2
GND
OUT
IN INA B
+IN +INA BR
C
3 F,3
L
1H
u2
u1
GND
OUT
Abbildung 12.12: a) LCR (Bandpass), b) RLC (Bandsperre)
12.3.7.2 Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Frequency Characteristics aus.
Stellen Sie jeweils die Messungen UB = f(UA) mit unterschiedlichen Werten für
R ∈ 100 Ω, 200 Ω, 500 Ω
gemeinsam dar. Wählen Sie hierzu die Darstellung Freq. ch. und nutzen Sie die Sequence-
Option. Lassen Sie sich je Aufbau einmal die Amplituden und die Phasengänge anzeigen. Dru-cken Sie die Ergebnisse aus.
187
Literatur
[1] CLAUSERT, H. ; WIESEMANN, G. : Grundgebiete der Elektrotechnik 1. 8. Auflage. Mün-chen, Wien : Oldenbourg, 2003
[2] SCHRÜFER, E. : Elektrische Messtechnik – Messung elektrischer und nichtelektrischer
Größen. 9., aktualisierte Auflage. München : Hanser Verlag, 2007
[3] STÖCKER, H. (Hrsg.): Taschenbuch der Physik. 3. Auflage. Thun, Frankfurt am Main :Verlag Harri Deutsch, 1998
[4] TIETZE, U. ; SCHENK, C. : Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Auflage. Berlin : Springer,2002