1Andreas Schulte-Kemper, Finanzmathematik11.04.23
Berechnungsverfahren und Einflussgrößen
Die Duration von Standard Anleihen
Symbolverzeichnis
- D: Duration
- Zt: Zins- und Tilgungszahlungen
- t: Betrachtungszeitpunkt- r: gegenwärtige Marktrendite des betrachteten Titels- n: Frist bis zur letzten Fälligkeit
- P0: Barwert oder Marktwert des Finanztitels
- dP: infinitesimale Marktwertänderung- dr: infinitesimale Marktzinsänderung
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Gliederung
Malcauly durationdefinitionbeispielrechnung
Modified durationdefinitionbeispielrechnung
Übungsaufgaben
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Macauly Duration
Definition:•Gewichteter Durchschnitt der Zeitpunkte der Zahlungen•Angabe über durchschnittliche Kapitalbindung
Beispiel 1:•Anleihe über 5 Jahre•Kupon 4 %•Marktzinsniveau 5 %•Duration 4,62 Jahre
Merke:1.Malcauly Duration Maßeinheit in Jahren2.Je höher der Coupon desto größer die Duration3.Je höher die Laufzeit desto länger die Duration4.Je höher das Marktzinsniveau desto kürzer die Duration
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Berechnung Beispiel 1
Marktzinsniveau 5%Zeitpunkt
(t)Cashflow
(Z)Barwert Gewichteter
Zahlungsstrom
1 4 3,81 3,81
2 4 3,63 7,26
3 4 3,46 10,37
4 4 3,29 13,16
5 104 81,49 407,4395,67 (Kurs der Anleihe) 442,03
Duration 4,62 Jahre
In einer Formel ausgedrückt heisst dies:
=D =
95,67
442,03
= 4,62 Jahre
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Ableitung aus der Barwertformel:Die Duration kann insbesondere zur Herstellung einesZusammenhangs zwischen einer bestimmten marginalen Änderungdes Marktzinssatzes und der aus ihr resultierenden relativenMarktwertänderung verwendet werden:
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Modified Duration
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Definition:•Instrument zur Analyse des Zinsänderungsrisikos•Die Modified Duration (MD) misst die Zinssensivität einer Anleihe•Die MD gibt an, wie sich der Dirty Price* einer Anleihe verhält wenn man sich die Rendite um einen Prozentpunkt verändert
*Dirty Price = Barwert der Anleihe, bzw. Preis incl Stückzinsen
Merke:1.Modified Duration Maßeinheit in Prozent2.Je höher der Coupon desto größer die MD3.Je höher die Laufzeit desto niedriger die MD4.Je höher das Marktzinsniveau desto niedriger die MD
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Berechnung der Modified Duration anhand der Malcauly Duration:
( 1 +
Malcauly Duration
Marktzinsniveau)100
Modified Duration =
In Anwendung auf Beispiel 1:
( 1 +
4,62
5)100
Modified Duration = = 4,40 %
Dies multipliziert mit dem Kurs von 95,66 € ergibt 4,21 €
Fazit: Verändert sich die Rendite um 1 %, verändert sich der Kurs um 4,21 €!
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Vereinfachung der Formel (6) durch die Modified Duration:
(7) [mit MD =D / (1+i)] MD *
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Damit die Darstellungen übersichtlich bleiben, gelten folgende Vorraussetzungen:
•Auf- und Abzinsungen erfolgen mit dem klassischen Zinseszinskalkül (i: diskreter Jahreszins)•Die untersuchten Anleihen (Bonds) bestehen aus endfälligen Kupons, der erste Kupon in höhe Z, ist ein Jahr nach dem Planungezeitpunkt (=Kaufzeitpunkt) t= 0 fällig, die Restlaufzeit der Anleihe beträgt n Jahre, am Ende der Restlaufzeit wird die Anleihe zum rücknahmekurs Cn (meist mit 100 %, d.h. zu pari angenommen) vollständig getilgt. Die untersuchten Anleihen haben also folgende zeitliche Zahlungsstruktur, bezogen auf einen Nominalwert von 100 €:
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Wegen t1 = 1, t2 = 2, …, tn = n sowie Z1 = Z2 = … = Z (Wobei Zn ungleich Z + Cn) lässt wie folgt schreiben:
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Im Nenner steht als Kurs-Funktion C0(i) der übliche Anleihen- Barwert mit 1 + i
=q):
(Kursfunktion C0(q) bzw. C
0(i))
Der Zähler besteht mit Ausnahme des letzten Summaneden aus einem Summen Term
Stellt man die dabei abzuzinsende gewichteten Zahlungen t * Z auf dem Zahlenstrahl so dar, so ergibt sich (Ohne Berücksichtigung des Rücknahmekurses C0:
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d.h. wie haben es mit einer arithmetisch veränderlichen Rente zu tun, bei der die Differenz zweier aufeinander folgenden Zahlungen Z beträgt
umformen
Addiert man hierzu noch den gewichteten Rücknahmekurs n * Cn und zins
tann auf t = 0 ab, so erhält man (nach Division durch C0 und unter
Berücksichtigung der Tatsache dass sich der Abszinsunfaktor q-n
herauskürzt) schließlich die Macauly Duration zu:
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Bzw. nach einiger Umformung:
D = Malcauly Duration für endfällige Kupon-Anleihen
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Kupon Z sowie Rücknahmekurs Cn sind entweder a) nur in Geldeinheiten oder b)
nur in dezimal einzusetzen. Mit den Zahlen aus dem ersten Beispiel ergibt sich folgendes für eine Rechnung in Geldeinheiten:
Beispiel 1:•Volumen 100•Anleihe über 5 Jahre•Kupon 4 %•Marktzinsniveau 5 %
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Die Berechnungsvorschrift der Malcauly Duration lässt mit etwas Aufwand auch weiter vereinfachen zu
Mit den Daten von Beispiel 1 erhalten wir wieder dasselbe Ergebnis der Duration