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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1
2. Arbeit und Energie
● Die Ermittlung der Bewegungsgrößen aus der Bewe-gungsgleichung erfordert die Berechnung von mehr oder weniger komplizierten Integralen.
● Für viele Fälle kann ein Teil der Integrationen ein für alle-mal vorab durchgeführt werden.
● Diese Integrationen führen auf die Begriffe Arbeit und Energie.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-2
2. Arbeit und Energie
2.1 Arbeitssatz
2.2 Potenzielle Energie
2.3 Energieerhaltungssatz
2.4 Massenpunktsysteme
2.5 Leistung und Wirkungsgrad
![Page 3: 2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081411/60ac3b8126b3b85d44177fc1/html5/thumbnails/3.jpg)
Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-3
2.1 Arbeitssatz
2.1.1 Herleitung
2.1.2 Berechnung der Arbeit
2.1.3 Beispiele
![Page 4: 2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081411/60ac3b8126b3b85d44177fc1/html5/thumbnails/4.jpg)
Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-4
2.1.1 Herleitung
● Integration der Bewegungs-gleichung:
– Betrachtet wird ein Massen-punkt, der sich entlang der Bahn C
AB vom Punkt A zum
Punkt B bewegt.
– Dabei wirkt auf ihn die resul-tierende äußere Kraft F(r), die im Allgemeinen vom Ort abhängt.
B
A
PF
dr
an
at
CAB
![Page 5: 2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081411/60ac3b8126b3b85d44177fc1/html5/thumbnails/5.jpg)
Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-5
2.1.1 Herleitung
– In jedem Punkt der Bahn gilt das Newtonsche Grundgesetz:
– Das Skalarprodukt mit dem Wegelement dr lautet
– Die Beschleunigung hat eine Tangentialkomponente at und
eine Normalkomponente an :
– Da das Wegelement dr senkrecht auf der Normalkompo-nente a
n steht, gilt:
m a=F
m a⋅d r=F⋅d r
a=atan
an⋅d r=0
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-6
2.1.1 Herleitung
– Mit der skalaren Bahnbeschleunigung at und dem skalaren
Wegelement ds folgt:
– Wegen
gilt:
– Damit ist gezeigt:
– Integration ergibt:
m a⋅d r=m at⋅d r=mat ds
at=dvdt
=dvdsdsdt
=dvdsv
m at ds=mvdvdsds=m vdv
m a⋅d r=m vdv=F⋅d r
m∫vA
vB
v dv=∫C AB
F r ⋅d r
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-7
2.1.1 Herleitung
● Kinetische Energie:
– Das Integral auf der linken Seite berechnet sich zu
– Die Größe
wird als kinetische Energie des Massenpunktes bezeichnet.
– Damit gilt:
m∫vA
vB
v dv= 12m vB2−vA2
EK=12m v2
m∫vA
vB
v dv=EBK−E A
K
![Page 8: 2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081411/60ac3b8126b3b85d44177fc1/html5/thumbnails/8.jpg)
Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-8
2.1.1 Herleitung
● Arbeit der äußeren Kräfte:
– Das Integral auf der rechten Seite wird als Arbeit der äuße-ren Kräfte bezeichnet:
– WAB ist die Arbeit, die die äußere Kraft F verrichtet, wenn der
Massenpunkt entlang der Bahn CAB von Punkt A an den
Punkt B verschoben wird.
– Der Wert der Arbeit hängt im Allgemeinen nicht nur vom An-fangs- und Endpunkt, sondern auch von der Bahn ab.
W AB=∫C AB
F r ⋅d r
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-9
2.1.1 Herleitung
● Arbeitssatz:
– Die Differenz zwischen der kinetischen Energie EK
B des
Massenpunktes im Punkt B und der kinetischen Energie EK
A
im Punkt A ist gleich der von den angreifenden Kräften auf dem Weg von Punkt A nach Punkt B verrichteten Arbeit W
AB.
E BK−E A
K=W AB
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-10
2.1.1 Herleitung
● Einheiten:
– Die Einheit der Arbeit ist
– Die kinetische Energie hat die gleiche Einheit wie die Arbeit.
1Nm=1kg m2
s2=1 J (Joule)
![Page 11: 2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081411/60ac3b8126b3b85d44177fc1/html5/thumbnails/11.jpg)
Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-11
2.1.2 Berechnung der Arbeit
● Kraft konstanter Größe parallel zum Weg:
– Mit und gilt:
● Kraft konstanter Größe schräg zum Weg:
– Mit und gilt:
F=F e t d r=et ds
W AB=∫C AB
F⋅d r=∫sA
sB
F e t⋅e t ds=F sB−sA F
et
P
A
B
sA
sB
F
et
P
A
B
sA
sBφd r=et ds F⋅et=F cos
W AB=∫C AB
F⋅d r=∫sA
sB
F⋅et ds=F cos sB−s A
![Page 12: 2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081411/60ac3b8126b3b85d44177fc1/html5/thumbnails/12.jpg)
Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-12
2.1.2 Berechnung der Arbeit
● Kraft veränderlicher Größe parallel zum Weg:
– Mit undgilt:
– Wird die Kraft F über dem Weg s aufgetragen, so entspricht die Arbeit der Fläche unter der Kurve.
F s=F s et d r=et ds
W AB=∫C AB
F⋅d r=∫sA
sB
F se t⋅e t ds
=∫sA
sB
F sds
F(s)
et
P
A
B
sA
sB
F
s
WAB
sA
sB
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-13
2.1.2 Berechnung der Arbeit
● Reibungsarbeit:
A BN
G
R
CAB
x
yz
– Ein Massenpunkt der Masse m bewegt sich auf einer rauen Oberfläche von A nach B.
– Dabei wirkt auf ihn die Reibungskraft
parallel zum Weg.
– Sie verrichtet die Arbeit
R=N=m g
W ABR=−mg sB−sA =−m gL AB
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-14
2.1.2 Berechnung der Arbeit
– Die Reibungsarbeit ist proportional zur Länge LAB des zu-
rückgelegten Wegs.
– Sie hängt vom Weg ab, auf dem der Massenpunkt von A nach B gebracht wird.
AB
C1
x
yz
C2
W AB1R
≠W AB2R
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
● Federarbeit:
– Ein Massenpunkt, der von einer Feder gehalten wird, be-wegt sich von der Stelle s
A an die Stelle s
B.
– Dabei greift an ihm die Federkraft an.
– Die Federkraft verrichtet die Arbeit
ssA
sB
FF
s0
FF s=c s−s0
W ABF=−∫
sA
sB
c s−s0 ds=−12c [ sB−s0 2−sA−s0
2 ]
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-16
2.1.2 Berechnung der Arbeit
● Hubarbeit:
– Ein Massenpunkt der Masse m bewegt sich ent-lang der Bahn C
AB vom
Punkt A an den Punkt B.
– Dabei wirkt auf ihn die Gewichtskraft
x
y
z
dr
GA
B
CAB
G=−mg ez
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-17
2.1.2 Berechnung der Arbeit
– Für das Streckenelement gilt:
– Damit berechnet sich die von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit zu
– Die von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit wird als Hubar-beit bezeichnet.
– Sie hängt nur von der Höhendifferenz ab.
d r=exdxe ydyez dz
W ABG=∫C AB
G⋅d r=∫C AB
−mg ez ⋅ex dxe ydyez dz
=−∫z A
zB
mgdz=−mg zB−z A
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-18
2.1.2 Berechnung der Arbeit
● Beispiel:
– Die Masse m wird auf der schiefen Ebene reibungs-frei vom Punkt A an den Punkt B verschoben.
– Dabei greifen an ihr die folgenden Kräfte an:
● Gewichtskraft G● Horizontalkraft H● Federkraft
sB
sA
H
αA
B m
s
z
FF=c s s0=0
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-19
2.1.2 Berechnung der Arbeit
– Zu berechnen ist die gesamte Arbeit aller Kräfte, die an der Masse angreifen.
– Zahlenwerte:● Masse m = 10kg
● Weg sA = 0,5m
● Weg sB = 2,5m
● Federkonstante c = 30N/m● Horizontalkraft H = 400N● Winkel α = 30°
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-20
2.1.2 Berechnung der Arbeit
– Kräfte an der freigeschnittenen Masse:
● Federkraft FF
● Normalkraft N● Gewichtskraft mg● Horizontalkraft H
– Horizontalkraft H :
– Normalkraft N :● Die Normalkraft N steht senkrecht auf der Bahn und verrichtet
daher keine Arbeit.
α
α
FF
H
N
mg
s
W ABH=H cos sB−s A =400N⋅cos 30 ° ⋅2m=692,8 J
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-21
2.1.2 Berechnung der Arbeit
– Federkraft FF :
– Gewichtskraft G :
– Gesamte Arbeit:
W ABG
= −mg zB−zA =−mg sin sB−sA
= −10 kg⋅9,81ms2⋅sin 30 °⋅2m=−98,1 J
W AB=W ABHW AB
FW AB
G=504,7 J
W ABF=−
12c sB2−s A2 =−15N /m 2,52m2
−0,52m2 =−90 J
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-22
2.1.3 Beispiele
● Beispiel 1: Bremsendes Fahrzeug
– Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindig-keit v eine geneigte Stra-ße hinunter.
– Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht.
– Wie weit rutscht das Fahrzeug? α
vs
– Zahlenwerte:● Fahrzeuggewicht G = 17,5kN
● Geschwindigkeit v = 6m/s
● Neigungswinkel α = 10°● Gleitreibungskoeffizient μ = 0,5
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-23
2.1.3 Beispiele
– Kräfte am freigeschnittenen Fahr-zeug:
– Von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit:
α
G
N
R
s
90°-α
n
∑ Fn=0 : N−G cos =0
N=G cos
R=N=G cos
W ABG=G cos 90 °−s=G sin s
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-24
2.1.3 Beispiele
– Von der Reibungskraft verrichtete Arbeit:
– Kinetische Energien:
– Arbeitssatz:
– Ergebnis:
– Zahlenwert:
W ABR=−R s=−G cos s
E BK−E A
K=W AB
GW AB
R
E AK=
12Ggv2 , E B
K=0
−12Ggv2=G sin s−G cos s=G s sin −cos
s= v2
2 g1
cos−sin
s= 62m2/ s2
2⋅9,81m / s21
0,5cos 10 ° −sin 10 ° =5,76m
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-25
2.1.3 Beispiele
● Beispiel 2: Achterbahn
– Gegeben:● Masse des Wagens m● Radius R● Anfangsgeschwindig-
keit v(s=0) = v0
– Gesucht:● Geschwindigkeit v(s) ● Beschleunigung a(s)
R
R
s
A
B
φ
ψ
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-26
2.1.3 Beispiele
– Wagen freigeschnitten:● Nur die Gewichtskraft mg verrichtet Arbeit.
● Die Normalkraft N steht immer senkrecht auf der Bahn.
● Allgemein gilt:
A
φ
φ
mg
N
s
r
Führungskräfte verrichtenkeine Arbeit.
Führungskräfte verrichtenkeine Arbeit.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-27
– Kreis um A:
φ im Bogenmaß!
2.1.3 Beispiele
– Geometrie:
R
R
s
A
B
φ
ψ
z
z(s)
z(s)
z(s)
s=R
z =R cos
z s=R cos sR
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-28
2.1.3 Beispiele
R
R
s
A
B
φ
ψ
z
z(s)
z(s)
– Kreis um B:
ψ im Bogenmaß!
s=R
2R
z =−R sin
z s=−Rsin sR−
2 =R cos sR
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-29
2.1.3 Beispiele
– Von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit:
– Kinetische Energien:
– Arbeitssatz:
W Gs=−mg z s −z 0 =−mgR cos sR −1
E0K=
12m v0
2 , EK s=12m v2
s
EK s−E0K=W G
s
12m v2 s−v0
2 =−mgR cos sR −1 v s =v0
22 gR 1−cos sR
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-30
2.1.3 Beispiele
– Beschleunigung:● Bahnbeschleunigung:
● Bei einer Kreisbewegung gilt für die Normalbeschleunigung:
at s=vdvds
=12dv2
ds=gsin sR
an s=v2
R=v0
2
R2 g 1−cos sR
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-31
2.2 Potenzielle Energie
● Gewichtskraft:
– Die Arbeit der Gewichts-kraft ist unabhängig von der Bahnkurve. Sie hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn ab:
W ABG=−G zB−z A
x
y
z
dr
GA
B
CAB
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-32
2.2 Potenzielle Energie
● Federkraft:
– Die Arbeit, die die Federkraft verrichtet, hängt nur von der Dehnung oder Stauchung der Feder ab, unabhängig davon, wie die Kraft aufgebracht wurde.
– Für s0 = 0 gilt:
W ABF=−
12c sB2−s A2
F
sA
sB
r
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-33
2.2 Potenzielle Energie
● Reibungskraft:
– Die Arbeit, die die Reibungs-kraft verrichtet, hängt von der Bahnkurve ab:
∫C 1
R⋅d r=−G L1
∫C2
R⋅d r=−G L2A
B
C1
x
yz
C2
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-34
2.2 Potenzielle Energie
● Konservative Kräfte:
– Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an ei-nem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und End-punkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, aber unabhängig von der Bahnkurve ist.
– Die Gewichtskraft und die Federkraft sind konservative Kräfte.
C1
C2
A
B
W AB=∫C1
F⋅d r=∫C 2
F⋅d r
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-35
2.2 Potenzielle Energie
● Dissipative Kräfte:
– Eine Kraft heißt dissipativ, wenn die Arbeit, die sie an einem Massenpunkt verrichtet, nicht nur vom Anfangs- und End-punkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, sondern auch von der Bahnkurve.
– Reibungskräfte sind dissipative Kräfte.
C1
C2
A
B
∫C 1
F⋅d r≠∫C2
F⋅d r
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-36
2.2 Potenzielle Energie
● Potenzielle Energie:
– Die potenzielle Energie einer konservativen Kraft im Punkt A ist die Arbeit, die die konservative Kraft an dem Massen-punkt verrichtet, wenn er vom Punkt A in den Bezugspunkt R verschoben wird.
– Die potenzielle Energie hängt vom gewählten Bezugspunkt ab.
A
R C1
C2E P A ,R =∫
C1
F⋅d r=∫C2
F⋅d r=W AR
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-37
2.2 Potenzielle Energie
– Wird der Massenpunkt vom Ort A an den Ort B verschoben, so lässt sich die von einer konservativen Kraft verrichtete Arbeit W
AB aus der Differenz der potenziellen Energien be-
rechnen:
R
A
B
CAB
CAR
CRB
R'
CAR'
CRB'
W AB=∫C AB
F⋅d r=∫C AR
F⋅d r∫C RB
F⋅d r
=E P A ,R−E P B , R=∫C AR'
F⋅d r∫C R ' B
F⋅d r
=E P A ,R ' −E P B , R ' =E A
P−E B
P
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-38
2.2 Potenzielle Energie
● Potenzielle Energie der Gewichtskraft:
– Für die potenzielle Energie der Gewichtskraft gilt:
– Die potenzielle Energie der Gewichtskraft hängt nur von der Höhe des Massenpunktes ab. Sie wird daher auch als po-tenzielle Energie der Lage oder Lageenergie bezeichnet.
– Die Lageenergie ist negativ, wenn sich der Massenpunkt unterhalb des Bezugspunktes befindet.
– Wird als Bezugspunkt der Koordinatenursprung gewählt, so gilt:
EG A ,R=W ARG=−m g zR−z A =mg z A−zR
EG A ,O=mg z A
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-39
2.2 Potenzielle Energie
– Alle Körper gleicher Masse, die sich in der gleichen Höhe befinden, haben die gleiche Lageenergie.
– Daher sind alle Bezugspunkte, die auf der gleichen Höhe liegen, gleichwertig. Sie definieren ein Nullniveau.
– In der Nähe der Erdoberfläche sind die Nullniveaus Ebenen parallel zur Erdoberfläche.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-40
2.2 Potenzielle Energie
● Potenzielle Energie der Federkraft:
– Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft wird der Zustand der entspannten Feder gewählt.
– Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft:
– Die potenzielle Energie derFederkraft ist immer positiv.
– Sie wird als Federenergiebezeichnet.
E F s=12c s2
F
r
s
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-41
2.3 Energieerhaltungssatz
● Arbeitssatz:
– Der Arbeitssatz lautet:
– Die Arbeit WAB setzt sich zusammen
● aus der Arbeit der konservativen Kräfte, und● der Arbeit der dissipativen Kräfte.
– Einsetzen in den Arbeitssatz ergibt:
E BK−E A
K=W AB
W ABK =E A
P−E BP
W ABD
E BK−E A
K=E A
P−E B
PW AB
D
E BKE BP −E AKE A
P =W ABD
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-42
2.3 Energieerhaltungssatz
– Die Änderung der Summe aus kinetischer und potenzieller Energie eines Massenpunktes ist gleich der Arbeit der an ihm angreifenden dissipativen Kräfte.
– Die Arbeit der dissipativen Kräfte ist immer negativ.
● Energieerhaltungssatz:
– Wenn an einem Massenpunkt nur konservative Kräfte an-greifen, dann bleibt die Summe der kinetischen und der po-tenziellen Energie konstant:
E BKE B
P=E A
KE A
P
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-43
2.3 Energieerhaltungssatz
● Beispiel 1: Bremsendes Fahrzeug
– Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine geneigte Straße hinunter.
– Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahr-zeug mit blockierten Rädern rutscht.
– Wie weit rutscht das Fahrzeug?
α
vs
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-44
2.3 Energieerhaltungssatz
– Reibungsarbeit:● Reibungskraft:
● Reibungsarbeit:
– Bezugspunkt für die Lageenergie:● Ort bei Bremsbeginn
α
G
N
R
s
n
∑ Fn=0 : N−G cos =0
N=G cos
R=N=G cos
W ABR=−R s=−G cos s
![Page 45: 2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081411/60ac3b8126b3b85d44177fc1/html5/thumbnails/45.jpg)
Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-45
2.3 Energieerhaltungssatz
– Punkt A: Bremsbeginn● Kinetische Energie:
● Lageenergie:
– Arbeitssatz:
E AK=
12Ggv2
E AG=0
EBK=0
EBG=−G s sin
– Punkt B: Bremsende● Kinetische Energie:
● Lageenergie:
E BKE BG −E AKE AG =W AB
R
−G s sin −12Ggv2=−G s cos
s= v2
2 g1
cos −sin s cos −sin =
12v2
g
![Page 46: 2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081411/60ac3b8126b3b85d44177fc1/html5/thumbnails/46.jpg)
Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-46
2.3 Energieerhaltungssatz
● Beispiel 2: Achterbahn
– Gegeben:● Masse des Wagens m● Radius R● Anfangsgeschwindig-
keit v(s=0) = v0
– Gesucht:● Geschwindigkeit v(s)
R
R
s
A
B
φ
ψ
z
z(s)
z(s)
![Page 47: 2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081411/60ac3b8126b3b85d44177fc1/html5/thumbnails/47.jpg)
Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-47
2.3 Energieerhaltungssatz
– Nur die Gewichtskraft verrichtet Arbeit.
– Da die Gewichtskraft eine konservative Kraft ist, gilt der Energieerhaltungssatz.
– Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird Punkt A gewählt.
– Stelle s = 0:● Kinetische Energie:
● Lageenergie:
E0K=
12mv0
2
E0G=mgR
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-48
2.3 Energieerhaltungssatz
– Beliebige Stelle s:● Kinetische Energie:
● Lageenergie:
– Energieerhaltungssatz:
EK s=12mv2
s
EG s=m gz s=mgR cos sR EK sEG s=E 0
KE0
G
12mv2 sm gR cos sR =
12mv0
2mgR
v s=v022 g R 1−cos sR
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-49
2.4 Massenpunktsysteme
● Arbeitssatz für einen Massenpunkt:
– Für jeden einzelnen Massenpunkt mit Index i gilt der Ar-beitssatz
– Für die kinetische Energie des Massenpunktes gilt:
– WABi ist die von den am Massenpunkt angreifenden äußeren
und inneren Kräften verrichtete Arbeit:
E BiK−E Ai
K =W ABi
E AiK=
12mi v Ai
2 , E BiK=
12m i vBi
2
W ABi=W ABiX W ABi
I
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-50
2.4 Massenpunktsysteme
– Für die Arbeit der äußeren Kräfte gilt:
– Für die Arbeit der inneren Kräfte gilt:
– Die Summe erstreckt sich über alle inneren Kräfte Fij, die
am Massenpunkt mit Index i angreifen.
W ABi I
=∫C i∑j F ij ⋅d r
W ABIX
=∫C i
F i⋅d r
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-51
2.4 Massenpunktsysteme
● Arbeitssatz für das Massenpunktsystem:
– Summation über die einzelnen Massenpunkte ergibt:
– Kinetische Energie des Massenpunktsystems:
– Arbeit der äußeren Kräfte:
– Arbeit der inneren Kräfte:
∑i
E BiK−E AiK =∑
iW ABi
X ∑
iW ABi
I
EK=∑iE iK=∑
i
12mi v i
2
W ABX =∑
iW ABi
X
W AB I =∑
iW ABi
I =∑
i∫C i∑j F ij ⋅d r
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-52
2.4 Massenpunktsysteme
– Damit lautet der Arbeitssatz für das Massenpunktsystem:
– Der Weg Ci , den der Massenpunkt i beschreibt, stimmt im
Allgemeinen nicht mit dem Weg Cj überein, den der Mas-
senpunkt j beschreibt.
– Daher ist trotz Fij + F
ji = 0 die von den inneren Kräften ver-
richtete Arbeit im Allgemeinen nicht null.
E BK−E A
K=W ABX W AB
I
![Page 53: 2. Arbeit und Energiewandinger.userweb.mwn.de/TMD/v2_2.pdf · 2012. 9. 13. · Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081411/60ac3b8126b3b85d44177fc1/html5/thumbnails/53.jpg)
Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-53
2.4 Massenpunktsysteme
● Starre Bindung:
– Liegt zwischen zwei Massen-punkten eine starre Bindung vor, so beschreiben sie bei ei-ner Translation den gleichen Weg.
– Für die Arbeit der inneren Kräf-te folgt daraus:
m1
m2
F12
F21
C
C
A
Bdr
dr
W AB I =∫
CF12F21 ⋅d r=0
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-54
2.4 Massenpunktsysteme
– Bei einer Rotation steht das Wegele-ment dr senkrecht auf der Verbin-dungslinie der beiden Massenpunkte.
– Wegen
gilt also ebenfalls:
– Ergebnis: m1
m2
F12
F21
dr2
dr1
F12⋅d r1=0, F 21⋅d r2=0
W AB I =0
Bei einem Massenpunktsystem mit starren Bindungenverrichten die inneren Kräfte keine Arbeit.
Bei einem Massenpunktsystem mit starren Bindungenverrichten die inneren Kräfte keine Arbeit.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-55
2.4 Massenpunktsysteme
– Für Systeme mit starren Bindungen vereinfacht sich der Ar-beitssatz zu
– Wenn die äußeren Kräfte konservativ sind, dann kann die von ihnen verrichtete Arbeit aus der Differenz der potenziel-len Energien berechnet werden:
– Dann lautet der Arbeitssatz:
E BK−E A
K=W ABX
W ABX =E A
P−E B
P=∑
iE AiP −E B iP
E BKE B
P=E A
KE A
P
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-56
2.4 Massenpunktsysteme
– Dabei kann für jeden Massenpunkt ein eigenes Nullniveau gewählt werden.
● Beispiel: Flaschenzug
– Aufgabenstellung:
● Die beiden Massen m1 und m
2 sind
durch ein masseloses dehnstarres Seil verbunden, das über masselo-se Rollen läuft.
● Wie groß sind die Beschleunigun-gen, wenn das System aus der Ruhe losgelassen wird?
m1
m2
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-57
2.4 Massenpunktsysteme
– Wahl der Freiheitsgrade:
● Die Lagekoordinaten s1 und s
2 der
beiden Massen werden ab der Aus-gangslage nach unten gemessen.
– Kinematische Bindung:●
– Innere Kräfte:● Da eine starre Bindung vorliegt, ver-
richten die inneren Kräfte keine Ar-beit.
m1
m2
s1
s2
2 s1s2=0 s2=−2 s1
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-58
2.4 Massenpunktsysteme
– Äußere Kräfte:● Als äußere Kraft wirkt die Gewichtskraft. Sie ist eine konser-
vative Kraft.● Wird das Nullniveau der Lageenergie jeweils in die Ausgangs-
lage der Massen gelegt, dann gilt:
● Dabei kennzeichnet der Index A den Ausgangszustand und der Index B den ausgelenkten Zustand.
EA1G=0, EB1
G=−m1g s1 , E A2
G=0, E B2
G=−m2 g s2
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-59
2.4 Massenpunktsysteme
– Kinetische Energie:● Das System ist am Anfang in Ruhe. Also gilt:
● Für die kinetische Energie im ausgelenkten Zustand gilt:
– Arbeitssatz:
● Mit der kinematischen Bindung folgt daraus:
EBK=
12m1 s1
2
12m2 s2
2
12m1 s1
2
12m2 s2
2−m1g s1−m2g s2=0
EAK=0
12m1 s1
22m2 s1
2−m1g s12m2g s1=0
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-60
2.4 Massenpunktsysteme
– Geschwindigkeit:
● Für m1 > 2m
2 muss s
1 positiv sein. Die Masse m
1 bewegt sich
nach unten. Es ist das positive Vorzeichen der Wurzel zu nehmen.
● Für m1 < 2m
2 muss s
1 negativ sein. Die Masse m
1 bewegt sich
nach oben. Es ist das negative Vorzeichen der Wurzel zu nehmen.
v1s1=s1=±2m1−2m2
m14m2
g s1
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-61
2.4 Massenpunktsysteme
– Beschleunigungen:
● Die Geschwindigkeit v1 ist als Funktion des Weges s
1 bekannt.
● Daraus berechnet sich die Beschleunigung a1 zu
● Aus der kinematischen Bindung folgt:
a1=v1
dv1
ds1=
12dds v1
2 =m1−2m2
m14m2
g
a2=−2a1=−2m1−2m2
m14m2
g
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-62
2.5 Leistung und Wirkungsgrad
● Leistung:
– Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeiteinheit:
– Die Einheit der Leistung ist
– Aus der Definition der Arbeit folgt
P= dWdt
1Js=1N m
s=1W (Watt)
P= dWdt
=F⋅d rdt
=F⋅d rdt
P=F⋅v
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-63
=PNP A
2.5 Leistung und Wirkungsgrad
● Wirkungsgrad:
– Der mechanische Wirkungsgrad η einer Maschine ist defi-niert als das Verhältnis der abgegebenen Nutzleistung P
N
zur aufgewendeten Leistung PA:
– Wegen der stets auftretenden Verluste ist η < 1.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-64
2.5 Leistung und Wirkungsgrad
● Beispiel:
– Ein PKW fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit v von 60km/h auf ebener Straße.
– Die Motorleistung PA beträgt 30kW.
– Der Wirkungsgrad η hat einen Wert von 0,8.
– Wie groß ist die Antriebskraft F?
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-65
2.5 Leistung und Wirkungsgrad
– Für die Nutzleistung gilt:
– Daraus folgt:
– Zahlenwert:
PN=F v
=F vP A
P Av=F
F= 0,8⋅30⋅103Nm /s60 /3,6m / s
=1,44 kN