UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik III – SS 2016
2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen
2.3 Festigkeitshypothesen
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Vergleichsspannung
Die Vergleichsspannung ist eine fiktive einachsige Spannung, die dieselbe Material-beanspruchung darstellt wie ein realer, mehrachsiger Spannungszustand.
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Vergleichsspannung
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Vergleichsspannung
( ) ( )2 24
2x y x y xy
V
σ σ σ σ τσ
+ + − +=
Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese(William Rankine, 1820-1872)
Stab, Balken (1D):
Ebener Spannungszustand (2D):
2 242V
σ σ τσ + +=
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Vergleichsspannung
1 1 1 3
3 3
, bei 0 & , bei 0V
σ σ σ σσ
σ σ > >= <
Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese(William Rankine, 1820-1872)
Räumlicher Spannungszustand (3D):
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Vergleichsspannung
2 24Vσ σ τ= +
( )2 24V x y xyσ σ σ τ= − +
( )1 2 2 3 3 1max | |,| |,| |Vσ σ σ σ σ σ σ= − − −
Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese: (Tresca, 1814-1885)
Stab, Balken (1D):
Ebener Spannungszustand (2D):
Räumlicher Spannungszustand (3D):
Allgemein: max2Vσ τ=
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Vergleichsspannung
2 23Vσ σ τ= +
2 2 23V x y x y xyσ σ σ σ σ τ= + − +
Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese(Huber, 1872-1950; von Mises, 1883-1953; Hencky, 1885-1951)
Allgemein: '23V Iσ =
Stab, Balken (1D):
Ebener Spannungszustand (2D):
( )( ) ( )2 2 2 2 21 2 2 1 3V x y x y xyσ σ σ ν ν σ σ ν ν τ= + − + − − − +
Ebener Verzerrungszustand (2D):
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Vergleichsspannung
( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 1
12Vσ σ σ σ σ σ σ = − + − + −
( )2 2 2 2 2 23V x y z x y x z y z xy xz yzσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= + + − − − + + +
Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese(Huber, 1872-1950; von Mises, 1883-1953; Hencky, 1885-1951)
Räumlicher Spannungszustand (3D):
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 21 62V x y x z y z xy xz yzσ σ σ σ σ σ σ τ τ τ = − + − + − + + +
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Vergleichsspannung
Anwendungsbereiche der unterschiedlichen Festigkeitshypothesen
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Baustatik III – SS 2016
2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen
2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen
2.2 Plastizität
2.3 Festigkeitshypothesen
2.4 Viskoelastizität
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Baustatik III – SS 2016
2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen
2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen
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Bausteine der BaustatikGleichgewichtsgleichungen:
Immer zu erfüllen!
Kinematik:
Kann linear (kleine Verformungen) oder nichtlinear (grosse
Verformungen) sein .
Materialgesetz:
Kann linear oder nichtlinear sein.
Klassifizierung
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Klassifizierung
Materialgesetze:
Sie werden auch als Stoffegesetze, Werkstoffgesetze
oder konstitutive Gleichungen bezeichnet.
Sie stellen die mathematischen Beziehungen zwischen
den Spannungen und den Dehnungen bzw. Verzerrungen
in einem Material dar.
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ε
σBelastung
Entlastung
Belastung
Entlastung Entlastung
Belastung
Linear elastisch
Nichtlinear elastisch Elastisch-plastisch
Klassifizierung
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ε
σ
ε
σ Entfestigung(Softening)
Beispiel: Beton
Da Beton nur geringe Zugfestigkeit besitzt, können Mikrorisse im Betonentstehen. Die Mikrorissbildung im Beton führt zur Entfestigung (Softening) desBetons!
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Viskoelastizität
Viskoelastizität: Zeitabhängiges Materialverhalten!
σ = konst. ε = konst.
Kriechen:Verformungszunahme bei konstanter Spannung!
Relaxation (Schwinden): Spannungsabnahmebei konstanter Dehnung bzw. Verformung!
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Beispiel
Fl
u
Gegeben:
, , , , , E A l c n FGesucht:
- -KurveF u
Materialgesetz: LudwikNichtlinear elastisch
ε
σncσ ε=
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Beispiel
Lösung:
• Gleichgewicht: FN F A FA
σ σ= = =
• Kinematik:ul
ε =
• Materialgesetz:
(1)
(2)
FN
u
ncσ ε= (3)
(2) In (3) eingesetzt, und dann (3) in (1) eingesetzt:n
n u Fc cl A
σ ε = = =
nuF cAl
=
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2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen
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2.2 Plastizität
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Fließfunktion und Fließbedingung
( ) 0F σ =
Fließfunktion und Fließbedingung: 1D
1 2 3( , , ) 0F I J J =
1 2 3( , , ) 0F σ σ σ =oder
Fließfunktion bzw. Fließbedingung: 2D und 3D
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Fließfunktion und Fließbedingung
1
2
3
: 1. Invariante des Spannungstensors : 2. Invariante des Spannungsdeviators: 3. Invariante des Spannungsdeviators
IJJ
σss
1 1 2 3 x y z
2 2 22 1 2 2 3 3 1
3 1 2 3
= + = +
1 ( ) ( ) ( )6det( )
I
J
J s s s
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
+ +
= − + − + −
= =s
1 2 3, , : Hauptspannungenσ σ σ
1
3 MI σ= − = −I Is σ σ
Spannungsdeviator:
1 2 3, , : Hauptdeviatorspannungens s s
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Fließbedingung nach Tresca
1 2 2 3 3 11 1 1 1max | |, | |, | |2 2 2 2 Fσ σ σ σ σ σ σ − − − =
Maximale Schubspannungstheorie
Henri Édouard Tresca (12.10.1814 – 21.06.1885)
2D3D
(http://en.wikipedia.org)
: FließspannungFσ
Fσ
Fσ
Fσ−
Fσ−
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Fließbedingung nach von Mises
2 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) 2 Fσ σ σ σ σ σ σ− + − + − =
Richard von Mises (19.04.1883 – 14.07.1953)
J2 Plastizitätstheorie, J2 Fließtheorie
3D 2D
Fσ
Fσ
Fσ−
Fσ−
(http://en.wikipedia.org)
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Vergleich: Tresca und von Mises
3D 2D
Fσ
Fσ
Fσ−
Fσ−
(http://en.wikipedia.org)
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Fließbedingung nach Mohr-Coulomb
( )1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 11 max | | ( ),| | ( ),| | ( )
2 Fcm K K Kσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ+ − + + − + + − + + =
1; 1
Fc
Ft
mm Km
σσ
−= =+
3D 2D
: Fließspannung für Druck (c = compression): Fließspannung für Zug (t = tension)
Fc
Ft
σσ
Fcσ
Fcσ
Ftσ
Ftσ
Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sich zu der Fließbedingung von Tresca, falls = !Ft Fcσ σ(http://en.wikipedia.org)
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Fließbedingung nach Mohr-Coulomb
Christian Otto Mohr(08.10.1835 – 02.10.1918)
Charles-Augustin de Coulomb(14.06.1736 – 23.08.1806)
tan( ) cτ σ φ= +
: Kohäsion: innerer Reibungswinkel
cφ
(Druckspannung)σ
(Schubspannung)τ
Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sichzu der Fließbedingung von Tresca, falls =0!φ
(http://en.wikipedia.org)
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Fließbedingung nach Drucker-Prager
2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 Fc
m mσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ− + + + + − + − + − =
Fc
Ft
mσσ
=
3D 2D
Ftσ
Ftσ
Fcσ
Fcσ
Die Fließbedingung von Drucker-Prager reduziert sich zu der Fließbedingung nach von Mises, falls = !Ft Fcσ σ
(http://en.wikipedia.org)
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Fließbedingung nach Drucker-Prager
Daniel Charles Drucker(03.06.1918 – 01.09.2001)
William Prager(23.05.1903 – 16.03.1980)
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Andere Darstellung der Fließbedingungen
1 2 3( , , ) 0F I J J =Es ist einfacher, die folgende Darstellung für die Fließfunktion bzw. Fließbedingung zu verwenden:
1
2
3
: 1. Invariante des Spannungstensors: 2. Invariante des Spannungsdeviators: 3. Invariante des Spannungsdeviators
IJJ
1 1 2 3 x y z
2 2 22 1 2 2 3 3 1
3 1 2 3
= + = +
1 ( ) ( ) ( )6det( )
I
J
J s s s
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
+ +
= − + − + −
= =s
1
3 MI σ= − = −I Is σ σ
Spannungsdeviator:
: Spannungstensor: Einheitstensor, EinheitsmatrixI
σ
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Vergleich von Fließbedingungen
Bemerkungen: Die Fließbedingungen von Tresca und von Mises sind geeignet für duktile Werkstoffe (Stahl,
Metalle, …).
Die Fließbedingungen von Mohr-Coulomb und Drucker-Prager sind geeignet für Boden, Beton,
Fels, Keramik und körnige Werkstoffe.
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Beispiel
ε
σyσ
Materialgesetz:Elastisch-ideal plastisch
Gegeben:
1 2 1 22 2 , 3 3y y yE E E σ σ σ= = = =Gesucht:
- -KurveF u
F
1 1, ,yE Aσ
2 2, ,yE Aσ
l u
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Beispiel
Lösung:
• Gleichgewicht: 1 2 1 2 1 2 FN N F A A FA
σ σ σ σ+ = + = + =
• Kinematik: 1 2 , uu u ul
ε= = =
• Materialgesetz:
1.) Beide Stäbe im elastischen Bereich: Hookesches Gesetz
1 1 1 2 2 2, u uE E E El l
σ ε σ ε= = = =
(1)
(2)
(3)
(3) In (1) eingesetzt: 1 21 2
( )
u u FlE A E A F ul l E E A
⋅ + ⋅ = =+
F1N
2Nu
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Beispiel
Spannungen in den beiden Stäben:
1 1 1 1 2 2 2 21 2 1 2
2 , ( ) 3 ( ) 3
u F F u F FE E E E E El E E A A l E E A A
σ ε σ ε= = = = = = = =+ +
2.) Stab 2 im plastischen Bereich, Stab 1 im elastischen Bereich:
2 3y yF Aσ σ σ= =
1 2
am Anfang des plastischen Fließens( )
ylFluE E A E
σ = =
+
1Bei weiterer Laststeigerung: 2y y
u F lE A A F ul A E
σ σ ⋅ + = = −
3.) Stab 1 auch im plastischen Bereich:
1 1=3 4y y yF Aσ σ σ σ= =
1 1Spannung im Stab 1: yu FEl A
σ σ = = −
Danach weitere Laststeigerung nicht mehr möglich!
3 2 2
yy
F lu lA E E
σσ = − = ⋅