![Page 1: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/2.jpg)
20. Reihen
![Page 3: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/3.jpg)
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
1 + 2 + 3 + ... + 100
100 + 99 + 98 + ... + 1
101 + 101 + 101 + ...+ 101 = 10100
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
= 5050
![Page 4: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/4.jpg)
Geometrische Reihe: 1 + q + q2 + q3 + ... + qn
- (1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q
= 1 - qn+1
1 + q + q2 + ... + qn =
Schach: 264 - 1 = 21019 Reiskörner
Erdoberfläche: 51018 cm2
1 + q + q2 + ... = für IqI < 1
unendlich viele Zahlen, endliche Summe:
q1q1 1n
q11
...16
1
8
1
4
1
2
1
1
1)
2
1(
0
n
n
![Page 5: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/6.jpg)
1/2
![Page 7: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/7.jpg)
1/2 + 1/4 = 3/4
![Page 8: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/8.jpg)
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
![Page 9: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/9.jpg)
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16
![Page 10: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/10.jpg)
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1
unendlich viele Zahlen
endliches Ergebnis
![Page 11: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/11.jpg)
Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = q
qn
1
1
![Page 12: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/12.jpg)
Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = q
qn
1
1
(1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-1) = (1 + q + q2 + ... + qn-1) -(q + q2 + ... + qn-1 + qn) = 1 - qn
![Page 13: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/13.jpg)
Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = q
qn
1
1
(1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-1) = (1 + q + q2 + ... + qn-1) -(q + q2 + ... + qn-1 + qn) = 1 - qn
s = q1
1 für IqI < 1
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 10/9
1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + ... = 3
1 - 1/3 + 1/9 - 1/27 + ... = 3/4
![Page 14: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/14.jpg)
0,123123123... = 0,123(1 + 1/1000 + 1/1000000 + ...)
= 0,123/(1 - 1/1000) = 123/999
Alle periodischen Dezimalzahlen
Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen
Alle irrationalen Zahlen sind nicht periodisch.
2, e, , ln2
Sei 2 = p/q, teilerfremd
2q2 = p2
p ist gerade
q ist gerade
![Page 15: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/15.jpg)
?...81
71
61
51
41
31
21
11
0...16
1,
8
1,
4
1,
2
1,
1
1
2161
81
41
21
11
...
0...,51
,41
,31
,21
,11
![Page 16: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/16.jpg)
Nicole von Oresme (1323 - 1382)
Vorahnung der Analysis und des heliozentrischen Systems Gebrochene Potenzen:43 = 64 = 82 8 = 43/2
1 + 1/2 + (1/3 + 1/4)+ (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8)+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13+ 1/14 + 1/15 + 1/16)+ (1/17 + 1/18 + 1/19 + 1/20 + 1/21 + ... + 1/30 + 1/31 + 1/32)+ ...
unendlich viele Zahlenunendliches Ergebnis
![Page 17: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/17.jpg)
Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer,um die Summe S = 100 zu erreichen?
klg3,2elg/klgkln1lnklndxx1
n1
k
1
k
1n
k = 1000 S 7 k = 106 S 14 k = 109 S 21 k = 1012 S 28
S = 100 k = 1043
....)81
71
61
51
()41
31
()21
(11
![Page 18: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/18.jpg)
Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer,um die Summe S = 100 zu erreichen?
klg3,2elg/klgkln1lnklndxx1
n1
k
1
k
1n
k = 1000 S 7 k = 106 S 14 k = 109 S 21 k = 1012 S 28
?...8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
S = 100 k = 1043
bei 106 Additionen in der Sekunde werden 1037 Sekunden gebraucht. Das Alter des Universums beträgt ca. 1017 s.
100.000.000.000.000.000.000 mal das Alter des Universums.
![Page 19: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/19.jpg)
Werden alle Zahlen, die eine Ziffer 9 enthalten,entfernt, so ist die Reihe konvergent. (Frank Irvin, 1916)
3,23...10
1
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
14,22
![Page 20: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/20.jpg)
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder
1 2 31
…nn
a a a a
eine Reihe
![Page 21: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/21.jpg)
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder
1 2 31
…nn
a a a a
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe.
![Page 22: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/22.jpg)
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder
1 2 31
…nn
a a a a
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partial-summe oder Teilsumme
1 2 31
…k
k n kn
s a a a a a
![Page 23: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/23.jpg)
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder
1 2 31
…nn
a a a a
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partial-summe oder Teilsumme
1 2 31
…k
k n kn
s a a a a a
Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe konvergent.
(sk) s
![Page 24: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/24.jpg)
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder
1 2 31
…nn
a a a a
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partial-summe oder Teilsumme
1 2 31
…k
k n kn
s a a a a a
Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe konvergent. Der Grenzwert der Partialsummenfolge heißt dann Wert oder Summe s der Reihe
1 1
lim limk
k n nk k
n n
s a a s
(sk) s
![Page 25: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/25.jpg)
Ist 1
nn
a
konvergent, so gilt lim n
na
= 0.
Nur Nullfolgen können konvergente Reihen ergeben.
Die Umkehrung gilt nicht, z. B. ist 1
1
n n
divergent.
![Page 26: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/26.jpg)
Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegativen Gliedern
1nna konvergiert (sk) = (
k
nna
1) ist beschränkt.
Majorantenkriterium: Sei bn ≥ an für n ≥ n0.
Konvergiert
1nnb , dann konvergiert auch
1nna .
Quotientenkriterium: Für n und 0 < q < 1 gelten
n
a
a 1 ≤ q, dann
konvergiert
1nna . Man beachte, dass q echt kleiner als 1 sein muss.
![Page 27: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/27.jpg)
Übung: Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:
Man bestimme eine konvergente Majorante für
a)
132
1
n nnn
b)
12 3ln3
1
nnn
![Page 28: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/29.jpg)
Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen: Sei (an) eine monoton
fallende Nullfolge. Dann konvergiert
1
1)1(n
nn a .
Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe konvergiert
...4
1
3
1
2
11
1)1(
1
1
n
n
n
Definition.
1nna heißt absolut konvergent, wenn ||
1
nna konvergiert.
Definition. Eine Reihe konvergiert unbedingt, wenn jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert.
1nna konvergiert absolut
1nna konvergiert unbedingt.
![Page 30: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/30.jpg)
2ln...8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
2ln2
1...
8
1
6
1
4
1
2
1
2ln2
3...
4
1
7
1
5
1
2
1
3
1
1
1
Nicht jede Reihe konvergiert unbedingt:
halbiert
und addiert
Es sind aber dieselben Glieder!
![Page 31: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/31.jpg)
Satz: Eine absolut konvergente Reihe läßt sich beliebig umordnen, ohne den Grenzwert zu ändern. Eine nicht absolut konvergente Reihe besitzt eine divergente Umordnung.
1 - 12 +
13 -
14 + -... = ln2
712 < s <
56
(1 + 13 -
12 ) + (
15 +
17 -
14 ) + (
19 +
111 -
16 ) + (
113 +
115 -
18 ) +...
5/6 + 13/140 + + > 5/6 Man kann diese Reihe auch so umordnen, daß immer erst dann ein negatives Glied (-1/k) eingeschaltet wird, wenn die Summe der p direkt davor stehenden positiven Glieder größer als 2/k ist. Divergenz
![Page 32: 20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062512/55204d6249795902118b691d/html5/thumbnails/32.jpg)