![Page 1: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/1.jpg)
1
5. Schwingungen und Wellen
Bewegungsgleichung:
a) Wiederholung freier ungedämpfter harmonischer Oszillator, keine Reibung
5.1. Schwingungen
5.1.1. Freier gedämpfter harmonischer Oszillator
02
02
2
xdt
xdkx
dt
xdm
2
2
mit ,0m
k
k
mT 20
Lösung: 000 sin txtx
b) freier gedämpfter harmonischer Oszillator, mit Reibung
freier harmonischer Oszillator mit Stokes Reibung,
RvkxFxFxm SR Bewegungsgleichung:
m
R
202 2
02
2
xdt
dx
dt
xd
m
K0mit
(homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)
und Dämpfungskonstante
vRFS
Reibungskraft:
0 kxxRxm
*
![Page 2: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Lösungsansatz: tcetx 21,**
allg. Lösung: ttecectx 21
21
*** mit c1, c2 durch zwei Anfangsbedingungen bestimmt:
z. Bsp.: 00 0,0 vtxxtx
Einsetzen von ** in * liefert 1 , 2 :
02 2
0
2 ttt ceecec
02 2
0
2
2
0
2
2/1
allg. Lösung ***:
ttt ececetx20
220
2
11
Grenzfall schwache Dämpfung: Es gilt 0
2
0
22
0
2
2/1 1
i2/1mit
22
0 und imaginärer Einheit 1i
Lösung: 𝑥 𝑡 = 𝑒−𝛾𝑡 𝑐1𝑒𝑖𝜔´𝑡 + 𝑐2𝑒 −
𝑖𝜔´𝑡
![Page 3: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Da x(t) eine reelle Zahl sein muss gilt 𝑐1 = 𝑐, 𝑐2 = 𝑐∗
𝑥 𝑡 = 𝑐 𝑒−𝛾𝑡 𝑒𝑖 𝜔´𝑡+𝜑 + 𝑒 −𝑖 𝜔´𝑡+𝜑
mit Euler Gln. 𝑒𝑖𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝛼 und 𝑠𝑖𝑛 −𝛼 = −𝑠𝑖𝑛𝛼, 𝑐𝑜𝑠 −𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼
folgt 𝑥 𝑡 = 2 𝑐 𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑 2 𝑐 =A
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑
Amplitude A und Phasenkonstante ergeben sind aus zwei Anfangsbedingungen bestimmbar:
z. Bsp. 00 0,0 vtxxtx
Gedämpfte Schwingung mit Frequenz 𝜔´ = 𝜔02 − 𝛾2 < 𝜔0
und Schwingungsdauer 𝑇´ =2𝜋
𝜔02−𝛾2
> 𝑇0=2𝜋
𝜔0
![Page 4: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/4.jpg)
4
xEinhüllende: tAe
Dämpfung,
Verlust an mechanischer Energie
infolge von Reibung
A = x0 und = 0 für 00,0 0 txxtx
Dämpfungsverhältnis D zweier aufeinander folgender Amplitudenmaxima: 𝐷 =𝑥 𝑡
𝑥 𝑡 + 𝑇= 𝑒𝛾𝑡
𝛾 =ln𝐷
𝑇mit logarithmischen Dekrement ln D
![Page 5: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Exp.: gedämpfte Schwingung, physikalisches Pendel im Magnet
ሷ𝑥 + 2𝛾 ሶ𝑥 + 𝜔02𝑥 = 0, 00,0 0 txxtx
𝛾
𝛾 < 𝜔0a) gedämpfte Schwingung
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑 , 𝜔´ = 𝜔02 − 𝛾2
𝛾 > 𝜔0b) starke Dämpfung, keine Schwingung
𝑥 𝑡 =1
2𝑥0 𝑒
−𝛾+ 𝛾2−𝜔02𝑡+ 𝑒
−𝛾− 𝛾2−𝜔02𝑡
(siehe oben)
(ohne Herleitung)
𝛾 = 𝜔0c) aperiodischer Grenzfall, keine Schwingung
𝑥 𝑡 = 𝑥0 1 + 𝛾𝑡 𝑒−𝛾𝑡
(ohne Herleitung)
𝑒−𝛾𝑡
𝑒−𝛾𝑡
𝑒−𝛾+ 𝛾2−𝜔0
2𝑡
![Page 6: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/6.jpg)
6
5.1.2. Erzwungene Schwingung
gedämpfter harmonischer Oszillator mit periodischer äußerer Kraftanregung
K x tFtF cos0
Bewegungsgleichung: mit
(inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung)
m
Ff 0*tfx
dt
dx
dt
xd cos2 2
02
2
Lösungsansatz: 𝑥 𝑡 = 𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡 +𝑥𝑖𝑛ℎ𝑜𝑚 𝑡
allg. Lösung der homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung,𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡
ሷ𝑥 + 2𝛾 ሶ𝑥 + 𝜔02𝑥 = 0 für 𝛾 < 𝜔0
beschreibt Einschwingverhalten, 𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡 → ∞ = 0
𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡 = 𝐴𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑 ,
da 𝑒−𝛾𝑡𝑡→∞
0
eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung,𝑥𝑖𝑛ℎ𝑜𝑚 𝑡
beschreibt stationäre Lösung für t
![Page 7: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Bestimmung von :𝒙𝒊𝒏𝒉𝒐𝒎 𝒕
Lösung von mit komplexen Ansatzሷ𝑥 + 2𝛾 ሶ𝑥 + 𝜔02𝑥 = 𝑓𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑓𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑅𝑒 𝑓𝑒𝑖𝜔𝑡 mit 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑧 𝑡 , 𝑧 𝑡 = 𝐶𝑒𝑖𝜔𝑡
*
Einsetzen von z(t) in *: ሷ𝑧 + 2𝛾 ሶ𝑧 + 𝜔02𝑧 = 𝑓𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝜔2𝑧 + 𝑖2𝛾𝑧 + 𝜔02𝑧 = 𝑓𝑒𝑖𝜔𝑡 =
𝑓𝑧
𝐶
𝐶 =𝑓
𝜔02−𝜔2 +𝑖2𝛾𝜔
𝐶 =𝑓
𝜔02−𝜔2 2
+4𝛾2𝜔2 𝑒𝑖𝛼mit tanα =
2𝛾𝜔
𝜔02−𝜔2
komplexe Lösung: 𝑧 = 𝐶𝑒𝑖𝜔𝑡 =𝑓
𝜔02−𝜔2 2
+4𝛾2𝜔2
𝑒𝑖 𝜔𝑡+𝛼
txtx cos
tf
tx cos
4 22222
0
reelle Lösung 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑧 𝑡 :
![Page 8: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Resonanzkurve
Diskussion der stationären Lösung:
a) Oszillator schwingt mit Erregerfrequenz der anregenden Kraft
und Schwingungsdauer
tFtF cos0
/2T
b) Amplitude 22222
0 4
f
x
und hat Maximum bei der Resonanzfrequenz
ist abhängig von Erregerfrequenz (Resonanzkurve)
220 2 r
0
d
xdfolgt aus
x
rx max
max. Energieabsorption bei
r
0 r
![Page 9: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/9.jpg)
9
c)
220
2tan
0
frequenzabhängige Phasenverschiebung zwischen periodischer Kraftanregung und Oszillator
Nahe der Resonanzfrequenz r bei 0 ist Phasenverschiebung zwischen periodischer
Kraftanregung und Oszillator /2
Exp.: erzwungene Schwingungen an Spiralfeder und Pohlschen Drehpendel,
Video Tacoma Bridge
![Page 10: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/10.jpg)
10
5.1.3. Überlagerung von Schwingungen
Betrachten ungedämpfte harmonische Schwingungen
a) Zwei Schwingungen mit gleicher Frequenz und unterschiedlichen Phasenkonstanten 1, 2
101 cos txtx 202 cos txtxund
Superposition: txtxtx 21
210 coscos ttxtx
2
1
2
1cos2coscos os
2cos
2cos2 2121
0
txtx
txatx cos,00 mit cos2 0xa
2
21
2
21
Superposition ist ungedämpfte Schwingung mit
Frequenz , aber mit phasenabhängiger
Amplitude a und Phasenkonstante .
Exp.: Überlagerung zweier elektrischer Schwingungen
am Oszilloskop
= 4/10
= 0
=
![Page 11: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/11.jpg)
11
b) Zwei Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen 1, 2 und Phasenkonstanten 1, 2
1101 cos txtx 2202 cos txtxund
Superposition: txtxtx 21
21110 coscos ttxtx
2
1
2
1cos2coscos os
ttxtx
2cos
2cos2 2121
0
Superposition ist ungedämpfte Schwingung mit
Frequenz
und Amplitudenmodulation mit Frequenz
2
21
2
21
Schwebung mit Frequenz 21
212
2
S
und Periodendauer21
2
ST
TS
Exp.: Schwebung zweier elektrischer Schwingungen am Oszilloskop,
Schwebung mit Schallwellen
![Page 12: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/12.jpg)
12
5.1.4. Gekoppelte Oszillatoren
Zwei mit zusätzlicher Feder
gekoppelte Federschwinger
K1 K12 K2
2121121111 xKxKxKxm Bewegungsgleichung für m1, m2:
1122122222 xKxKxKxm
,21 mmm :21 KKK 211211 xxKKxxm
211222 xxKKxxm
2 gekoppelte Differential-
gleichungen
*
Lösungsidee für System von gekoppelten Differentialgleichungen:
Koordinatentransformation in Normalkoordinaten +, -:
212
1xx 21
2
1xx
Mittlere Position von
m1 und m2
Halber Abstand zwischen
m1 und m2
![Page 13: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Addition und Subtraktion von * liefert zwei entkoppelte Differentialgleichungen mit Variablen +, -: Km
122KKm
Diese Lösungen liefern folgende einfach zwei Lösungen in
den Normalkoordinaten +, -:
111 cos tAt 1 2 1cost A t
m
K2
1m
KK 122
2
2
und
undmit
Superposition von zweier ungedämpfter harmonischen Schwingungen mit Frequenzen 1, 2
Rücktransformation von Normalkoordinaten +, - zu Koordinaten x1, x2:
1x
22111 coscos ttAx
2
1cos
2
1cos2coscos
22cos
22cos2 21212121
1
ttAx
1x
2 1 1 2 2cos cosx A t t
2
1sin
2
1sin2coscos
1 2 1 2 1 2 1 22 2 sin sin
2 2 2 2x A t t
![Page 14: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Diskussion:
Schwingung mit Frequenz2
21
Schwebung mit Frequenz und Periodendauer 21
212
2
21
2
ST
21
2
ST
Oszillatoren x1(t), x2(t) haben Phasenverschiebung von /2.
Periodischer Transfer von mechanischer Energie zwischen beiden Oszillatoren.
Exp.: gekoppelte Oszillatoren
Federschwinger auf Luftkissenban, gekoppelte Pendel, Wippendorfsches Pendel
![Page 15: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/15.jpg)
15
5.2. Wellen
Eine Welle ist eine periodische Änderung einer physikalischen Größe, z. Bsp. Auslenkung
einer PM gegenüber ihrer Gleichgewichtslage, in Zeit und Raum.
z
rt
,
Exp.: gekoppelter Oszillator
Schwingungszustand breitet sich mit Phasengeschwindigkeit vp im Raum aus.
Transport von Energie ohne Transport von Materie.
![Page 16: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/16.jpg)
1616
5.2.1.1. Longitudinale eindimensionale harmonische Welle
t
21T
0, zzt
z
zk
2
ztt ,0
Auslenkung in Richtung ±z der Wellenausbreitung zt,
Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±z Richtung
00 sin, ztAzt z
zktAzt zt 00 sin,
5.2.1. Mathematische Beschreibung
![Page 17: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/17.jpg)
17
A - Amplitude
- Wellenlänge
2zk - Wellenzahl
Exp.: longitudinale Welle auf Spiralfeder
zkt z - Phase der Welle
[] = m
[kz] = m-1
zeAA
- Amplitudenvektor
zkteAzt zz sin,Wellenfunktion:
(Weg-Zeit-Gesetz)
Vorsicht bei Ausbreitung in –z Richtung:
zkteAzt zz sin,
Vergleich der Phasen liefert: ,00 zkz zz 00 ttt
![Page 18: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/18.jpg)
18
5.2.1.2. Transversale eindimensionale harmonische Welle
zkteAzt zyx sin, ,
Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±x oder ±y Richtung
Wellenfunktion:
(Weg-Zeit-Gesetz)
t
21T
0, zzt
z
zk
2
yxtt oder,0
Exp.: transversale Wellen auf Wellenmaschine
Wellenmodell
Vorsicht bei Ausbreitung in –z Richtung:
zkteAzt zyx sin, ,
Auslenkung in Richtung ±x oder ±y senkrecht zur Wellenausbreitung zt,
![Page 19: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/19.jpg)
19
5.2.2.1. Phasengeschwindigkeit vp
Phasengeschwindigkeit –Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle,
genauer, Geschwindigkeit mir der sich eine spezielle Phase, ,
z. Bsp. ein Maximum der Wellenfunktion bewegt:
zkt z
constzkt z
0 zktdt
dz
Bedingung:
0dt
dzkz pv
dt
dzmit
z
pk
vPhasengeschwindigkeit
0 pzvk
zkteAzt zyx sin, ,
Maximum
5.2.2. Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen
mit ,2
2zk
- Frequenz
Explizite Formel für Phasengeschwindigkeit hängt vom speziellen Typ der Welle und Medium
in dem sich die Welle ausbreitet ab!
![Page 20: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Beispiele für Wellentypen und Phasengeschwindigkeit
a) Seilwellen Transversalwellen
lm
Fvph
F – Zugkraft im Seil
m – Masse des Seils
l – Länge des Seils Exp.: Seilwelle
Im allgemeinen gilt: - p sinkt mit Masse der schwingenden Teilchen
- p wächst mit zunehmenden elastischen, rückstellenden Kräften
zwischen den Teilchen
![Page 21: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/21.jpg)
21 21
b) Elastische Wellen in Festkörpern
Longitudinalwellen
Ev lp ,
E – Elastizitätsmodul
– Dichte
Exp.: Simulation von Wellen im Festkörper
Phasengeschwindigkeit einer Longitudinalwelle in Al-Stab
A
ln/2 ln/2
l
nF
nF
Dehnung
Spannung
ll
AFE
n
n
/
/
Transversalwellen
Gv tp ,
G – Schub- bzw. Torsionsmodul
l
lt
tF
Beispiel Stahl: ph,l = 5000 ms-1
ph,t = 3000 ms-1
allg. gilt: ph,l > ph,t
ngVerschiebu
tScherrkraf
ll
AFG
t
t
/
/
![Page 22: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/22.jpg)
22
d) Schallwellen in Gasen
pvp
Longitudinalwellen p – Druck
– Dichte
–Adiabatenkoeffizient
Exp.: Simulation von Schallwelle
c) Druckwellen in Flüssigkeiten
Kvp
Longitudinalwellen
p – Druck
K– KompressionsmodulV
pVK
Wasser:
p (T = 20°C) = 1483 ms-1
K = 2 109 Nm-2
Luft:
p (T = 0°C) = 331,5 ms-1
V
p
c
c
– Dichte
![Page 23: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/23.jpg)
23
5.2.2.2. Gruppengeschwindigkeit vg
Zur Signalübertragung ist Modulation der Welle oder ein Wellenpacket nötig.
Bsp. Amplitudenmodulation:
Superposition zweier Wellen mit 1, 2, und k1, k1 mit gleicher Ausbreitungsrichtung
2121212
1, 212121
2
1, zzzzzzzz kkkkkkkk
Wellenfunktion:
ztztzt ,,, 21
zktAzktAzt zz 2211 sinsin,
2sin
2cos2sinsin
zktzk
tAzt zz
2sin
22cos2,
Wellenfunktionmodulierte Amplitude: A´(t,z)
gv
pv
![Page 24: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Wellenberg bewegt sich mit Gruppengeschwindigkeit vg!
Amplitudenmaximum von Wellenberg ist bei 022
zk
t zg
z
vkt
z
0zk
zk
z
gdk
dv
Gruppengeschwindigkeit
mit = vpkz
2zk
z
p
zpgdk
dvkvv
p
pg
dvvv
Wenn ist 0
pdvgp vv Dispersion
Wellenberge bzw. Wellenpakete verbreitern mit
zunehmender Ausbreitung und verschmieren.
Exp.: Dispersion mit zwei Folien und Animation
![Page 25: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/25.jpg)
25
5.2.3. Wellengleichung
Wellengleichung ist Bewegungsgleichung für Wellen.
a) Eindimensionale Wellengleichung
zktAzt z sin,Wellenfunktion:
Geschwindigkeit eines
Massenelementes: zktA
tz
cos
Beschleunigung eines
Massenelementes:
22
2
2
sin
zktA
tz
1. Ableitung nach z: zktAkz
zz
sin
2. Ableitung nach z:
2
222
2
2
sinp
zzzv
kzktAkz
*
**
Vergleich von Gleichung * mit **:
2
2
22
2 1
tvz p
0
12
22
2
2
2
zv
tvp
p
eindimensionale Wellengleichung
mit Phasengeschwindigkeit
z
pk
v
![Page 26: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/26.jpg)
26
2
22
kvp
b) Dreidimensionale Wellengleichung
rktArt
sin,Wellenfunktion: bzw. in komplexer Form rktieArt
,
k
r
- Ortsvektor - Wellenzahlvektor mit ,,, zyx kkkk
,/2 k
dreidimensionale Wellengleichung:
02
2
2
2
2
22
2
2
zyxv
tp
02
2
2
pvt
2
2
2
2
2
2
zyx
mit Laplace-Operator
und
![Page 27: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/27.jpg)
27
1.5.4. Überlagerung von Wellen
1.5.4.1. Stehende von Wellen
Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz und Wellenzahl aber entgegengesetzter
Ausbreitungsrichtung
Welle in -z Richtung:
Welle in +z Richtung:
zktA z sin1
Superposition: zktzktA zz sinsin21
2cos
2sin2sinsin
2sin
2cos2
tzkA z
- Phasenunterschied
Schwingung
2sin
t
2cos2
zkA zmit ortsabhängiger Amplitude
zktA zsin2
Periodizitäten in Zeit und Raum sind nun entkoppelt!
Resultat
![Page 28: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/28.jpg)
2828
2sin
2cos2
tzkA z
Diskussion:
Schwingungsknoten: 02
cos
zkz
212
2
nzkz
12
42212
1nn
kz
z
Schwingungsbäuche: 12
cos
zkz
nzkz
2
nn
kz
z
242
1
Amplitude oszilliert zwischen
-A und +A mit Schwingungsdauer
2T
Anwendung: Resonatoren, LASER
Knotenabstand:2
z
![Page 29: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Exp.: stehende Wellen
Reflektion am freien und festen Ende (Simulation)
Seilwelle
Wellenmaschine
stehende Welle im Hörsaal
Fallunterscheidung: Reflektion am festen und freien Ende
festes Ende freies Ende
Randbedingung
tzkA z cossin2
00 z Az 20
0
tzkA z sincos2
![Page 30: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/30.jpg)
3030
1.5.4.2. Interferenz von Wellen
Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz, gleicher Wellenzahl und gleicher Ausbreitungsrichtung,
aber konstanter Phasendifferenz = const
2sin1
zktA z
Superposition:
zktA z
sin2
cos2
2sin2
zktA z
21
2cos
2sin2sinsin
Amplitude ist abhängig von Phasendifferenz
destruktive Interferenz:
(Auslöschung)
konstruktive Interferenz:
(Verstärkung)
0 02
cos 12 n
A2 12
cos n2
![Page 31: 5. Schwingungen und Wellen d x Z 2T 0 2 ZS kx 0 dt 22 0 · x F kx Rv R S Bewegungsgleichung: m R 2 2 2 0 J 2 0 2 x dt d x dx J Z m K Z 0 mit (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041006/5eac8ad5ea52810f3061b369/html5/thumbnails/31.jpg)
31
betrachte Phasendifferenz als Gangunterschied z = z2 –z1
zkz
2zGangunterschied:
destruktive Interferenz:
(Auslöschung)
konstruktive Interferenz:
(Verstärkung)
122
nz
nz
Exp.: Interferenz von Wasserwellen
(Simulation)
Interferenz von Schallwellen
Anwendung: Lichtbeugung,
Röntgenbeugung,
Elektronen- und
Neutronenbeugung
12 n
n2
z2z1 z
Quelle 1 Quelle 2 Beobachter