1
5. Schwingungen und Wellen
Bewegungsgleichung:
a) Wiederholung freier ungedämpfter harmonischer Oszillator, keine Reibung
5.1. Schwingungen
5.1.1. Freier gedämpfter harmonischer Oszillator
02
02
2
xdt
xdkx
dt
xdm
2
2
mit ,0m
k
k
mT 20
Lösung: 000 sin txtx
b) freier gedämpfter harmonischer Oszillator, mit Reibung
freier harmonischer Oszillator mit Stokes Reibung,
RvkxFxFxm SR Bewegungsgleichung:
m
R
202 2
02
2
xdt
dx
dt
xd
m
K0mit
(homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)
und Dämpfungskonstante
vRFS
Reibungskraft:
0 kxxRxm
*
2
Lösungsansatz: tcetx 21,**
allg. Lösung: ttecectx 21
21
*** mit c1, c2 durch zwei Anfangsbedingungen bestimmt:
z. Bsp.: 00 0,0 vtxxtx
Einsetzen von ** in * liefert 1 , 2 :
02 2
0
2 ttt ceecec
02 2
0
2
2
0
2
2/1
allg. Lösung ***:
ttt ececetx20
220
2
11
Grenzfall schwache Dämpfung: Es gilt 0
2
0
22
0
2
2/1 1
i2/1mit
22
0 und imaginärer Einheit 1i
Lösung: 𝑥 𝑡 = 𝑒−𝛾𝑡 𝑐1𝑒𝑖𝜔´𝑡 + 𝑐2𝑒 −
𝑖𝜔´𝑡
3
Da x(t) eine reelle Zahl sein muss gilt 𝑐1 = 𝑐, 𝑐2 = 𝑐∗
𝑥 𝑡 = 𝑐 𝑒−𝛾𝑡 𝑒𝑖 𝜔´𝑡+𝜑 + 𝑒 −𝑖 𝜔´𝑡+𝜑
mit Euler Gln. 𝑒𝑖𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝛼 und 𝑠𝑖𝑛 −𝛼 = −𝑠𝑖𝑛𝛼, 𝑐𝑜𝑠 −𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼
folgt 𝑥 𝑡 = 2 𝑐 𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑 2 𝑐 =A
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑
Amplitude A und Phasenkonstante ergeben sind aus zwei Anfangsbedingungen bestimmbar:
z. Bsp. 00 0,0 vtxxtx
Gedämpfte Schwingung mit Frequenz 𝜔´ = 𝜔02 − 𝛾2 < 𝜔0
und Schwingungsdauer 𝑇´ =2𝜋
𝜔02−𝛾2
> 𝑇0=2𝜋
𝜔0
4
xEinhüllende: tAe
Dämpfung,
Verlust an mechanischer Energie
infolge von Reibung
A = x0 und = 0 für 00,0 0 txxtx
Dämpfungsverhältnis D zweier aufeinander folgender Amplitudenmaxima: 𝐷 =𝑥 𝑡
𝑥 𝑡 + 𝑇= 𝑒𝛾𝑡
𝛾 =ln𝐷
𝑇mit logarithmischen Dekrement ln D
5
Exp.: gedämpfte Schwingung, physikalisches Pendel im Magnet
ሷ𝑥 + 2𝛾 ሶ𝑥 + 𝜔02𝑥 = 0, 00,0 0 txxtx
𝛾
𝛾 < 𝜔0a) gedämpfte Schwingung
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑 , 𝜔´ = 𝜔02 − 𝛾2
𝛾 > 𝜔0b) starke Dämpfung, keine Schwingung
𝑥 𝑡 =1
2𝑥0 𝑒
−𝛾+ 𝛾2−𝜔02𝑡+ 𝑒
−𝛾− 𝛾2−𝜔02𝑡
(siehe oben)
(ohne Herleitung)
𝛾 = 𝜔0c) aperiodischer Grenzfall, keine Schwingung
𝑥 𝑡 = 𝑥0 1 + 𝛾𝑡 𝑒−𝛾𝑡
(ohne Herleitung)
𝑒−𝛾𝑡
𝑒−𝛾𝑡
𝑒−𝛾+ 𝛾2−𝜔0
2𝑡
6
5.1.2. Erzwungene Schwingung
gedämpfter harmonischer Oszillator mit periodischer äußerer Kraftanregung
K x tFtF cos0
Bewegungsgleichung: mit
(inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung)
m
Ff 0*tfx
dt
dx
dt
xd cos2 2
02
2
Lösungsansatz: 𝑥 𝑡 = 𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡 +𝑥𝑖𝑛ℎ𝑜𝑚 𝑡
allg. Lösung der homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung,𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡
ሷ𝑥 + 2𝛾 ሶ𝑥 + 𝜔02𝑥 = 0 für 𝛾 < 𝜔0
beschreibt Einschwingverhalten, 𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡 → ∞ = 0
𝑥ℎ𝑜𝑚 𝑡 = 𝐴𝑒−𝛾𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔´𝑡 + 𝜑 ,
da 𝑒−𝛾𝑡𝑡→∞
0
eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung,𝑥𝑖𝑛ℎ𝑜𝑚 𝑡
beschreibt stationäre Lösung für t
7
Bestimmung von :𝒙𝒊𝒏𝒉𝒐𝒎 𝒕
Lösung von mit komplexen Ansatzሷ𝑥 + 2𝛾 ሶ𝑥 + 𝜔02𝑥 = 𝑓𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑓𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑅𝑒 𝑓𝑒𝑖𝜔𝑡 mit 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑧 𝑡 , 𝑧 𝑡 = 𝐶𝑒𝑖𝜔𝑡
*
Einsetzen von z(t) in *: ሷ𝑧 + 2𝛾 ሶ𝑧 + 𝜔02𝑧 = 𝑓𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝜔2𝑧 + 𝑖2𝛾𝑧 + 𝜔02𝑧 = 𝑓𝑒𝑖𝜔𝑡 =
𝑓𝑧
𝐶
𝐶 =𝑓
𝜔02−𝜔2 +𝑖2𝛾𝜔
𝐶 =𝑓
𝜔02−𝜔2 2
+4𝛾2𝜔2 𝑒𝑖𝛼mit tanα =
2𝛾𝜔
𝜔02−𝜔2
komplexe Lösung: 𝑧 = 𝐶𝑒𝑖𝜔𝑡 =𝑓
𝜔02−𝜔2 2
+4𝛾2𝜔2
𝑒𝑖 𝜔𝑡+𝛼
txtx cos
tf
tx cos
4 22222
0
reelle Lösung 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑧 𝑡 :
8
Resonanzkurve
Diskussion der stationären Lösung:
a) Oszillator schwingt mit Erregerfrequenz der anregenden Kraft
und Schwingungsdauer
tFtF cos0
/2T
b) Amplitude 22222
0 4
f
x
und hat Maximum bei der Resonanzfrequenz
ist abhängig von Erregerfrequenz (Resonanzkurve)
220 2 r
0
d
xdfolgt aus
x
rx max
max. Energieabsorption bei
r
0 r
9
c)
220
2tan
0
frequenzabhängige Phasenverschiebung zwischen periodischer Kraftanregung und Oszillator
Nahe der Resonanzfrequenz r bei 0 ist Phasenverschiebung zwischen periodischer
Kraftanregung und Oszillator /2
Exp.: erzwungene Schwingungen an Spiralfeder und Pohlschen Drehpendel,
Video Tacoma Bridge
10
5.1.3. Überlagerung von Schwingungen
Betrachten ungedämpfte harmonische Schwingungen
a) Zwei Schwingungen mit gleicher Frequenz und unterschiedlichen Phasenkonstanten 1, 2
101 cos txtx 202 cos txtxund
Superposition: txtxtx 21
210 coscos ttxtx
2
1
2
1cos2coscos os
2cos
2cos2 2121
0
txtx
txatx cos,00 mit cos2 0xa
2
21
2
21
Superposition ist ungedämpfte Schwingung mit
Frequenz , aber mit phasenabhängiger
Amplitude a und Phasenkonstante .
Exp.: Überlagerung zweier elektrischer Schwingungen
am Oszilloskop
= 4/10
= 0
=
11
b) Zwei Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen 1, 2 und Phasenkonstanten 1, 2
1101 cos txtx 2202 cos txtxund
Superposition: txtxtx 21
21110 coscos ttxtx
2
1
2
1cos2coscos os
ttxtx
2cos
2cos2 2121
0
Superposition ist ungedämpfte Schwingung mit
Frequenz
und Amplitudenmodulation mit Frequenz
2
21
2
21
Schwebung mit Frequenz 21
212
2
S
und Periodendauer21
2
ST
TS
Exp.: Schwebung zweier elektrischer Schwingungen am Oszilloskop,
Schwebung mit Schallwellen
12
5.1.4. Gekoppelte Oszillatoren
Zwei mit zusätzlicher Feder
gekoppelte Federschwinger
K1 K12 K2
2121121111 xKxKxKxm Bewegungsgleichung für m1, m2:
1122122222 xKxKxKxm
,21 mmm :21 KKK 211211 xxKKxxm
211222 xxKKxxm
2 gekoppelte Differential-
gleichungen
*
Lösungsidee für System von gekoppelten Differentialgleichungen:
Koordinatentransformation in Normalkoordinaten +, -:
212
1xx 21
2
1xx
Mittlere Position von
m1 und m2
Halber Abstand zwischen
m1 und m2
13
Addition und Subtraktion von * liefert zwei entkoppelte Differentialgleichungen mit Variablen +, -: Km
122KKm
Diese Lösungen liefern folgende einfach zwei Lösungen in
den Normalkoordinaten +, -:
111 cos tAt 1 2 1cost A t
m
K2
1m
KK 122
2
2
und
undmit
Superposition von zweier ungedämpfter harmonischen Schwingungen mit Frequenzen 1, 2
Rücktransformation von Normalkoordinaten +, - zu Koordinaten x1, x2:
1x
22111 coscos ttAx
2
1cos
2
1cos2coscos
22cos
22cos2 21212121
1
ttAx
1x
2 1 1 2 2cos cosx A t t
2
1sin
2
1sin2coscos
1 2 1 2 1 2 1 22 2 sin sin
2 2 2 2x A t t
14
Diskussion:
Schwingung mit Frequenz2
21
Schwebung mit Frequenz und Periodendauer 21
212
2
21
2
ST
21
2
ST
Oszillatoren x1(t), x2(t) haben Phasenverschiebung von /2.
Periodischer Transfer von mechanischer Energie zwischen beiden Oszillatoren.
Exp.: gekoppelte Oszillatoren
Federschwinger auf Luftkissenban, gekoppelte Pendel, Wippendorfsches Pendel
15
5.2. Wellen
Eine Welle ist eine periodische Änderung einer physikalischen Größe, z. Bsp. Auslenkung
einer PM gegenüber ihrer Gleichgewichtslage, in Zeit und Raum.
z
rt
,
Exp.: gekoppelter Oszillator
Schwingungszustand breitet sich mit Phasengeschwindigkeit vp im Raum aus.
Transport von Energie ohne Transport von Materie.
1616
5.2.1.1. Longitudinale eindimensionale harmonische Welle
t
21T
0, zzt
z
zk
2
ztt ,0
Auslenkung in Richtung ±z der Wellenausbreitung zt,
Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±z Richtung
00 sin, ztAzt z
zktAzt zt 00 sin,
5.2.1. Mathematische Beschreibung
17
A - Amplitude
- Wellenlänge
2zk - Wellenzahl
Exp.: longitudinale Welle auf Spiralfeder
zkt z - Phase der Welle
[] = m
[kz] = m-1
zeAA
- Amplitudenvektor
zkteAzt zz sin,Wellenfunktion:
(Weg-Zeit-Gesetz)
Vorsicht bei Ausbreitung in –z Richtung:
zkteAzt zz sin,
Vergleich der Phasen liefert: ,00 zkz zz 00 ttt
18
5.2.1.2. Transversale eindimensionale harmonische Welle
zkteAzt zyx sin, ,
Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±x oder ±y Richtung
Wellenfunktion:
(Weg-Zeit-Gesetz)
t
21T
0, zzt
z
zk
2
yxtt oder,0
Exp.: transversale Wellen auf Wellenmaschine
Wellenmodell
Vorsicht bei Ausbreitung in –z Richtung:
zkteAzt zyx sin, ,
Auslenkung in Richtung ±x oder ±y senkrecht zur Wellenausbreitung zt,
19
5.2.2.1. Phasengeschwindigkeit vp
Phasengeschwindigkeit –Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle,
genauer, Geschwindigkeit mir der sich eine spezielle Phase, ,
z. Bsp. ein Maximum der Wellenfunktion bewegt:
zkt z
constzkt z
0 zktdt
dz
Bedingung:
0dt
dzkz pv
dt
dzmit
z
pk
vPhasengeschwindigkeit
0 pzvk
zkteAzt zyx sin, ,
Maximum
5.2.2. Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen
mit ,2
2zk
- Frequenz
Explizite Formel für Phasengeschwindigkeit hängt vom speziellen Typ der Welle und Medium
in dem sich die Welle ausbreitet ab!
20
Beispiele für Wellentypen und Phasengeschwindigkeit
a) Seilwellen Transversalwellen
lm
Fvph
F – Zugkraft im Seil
m – Masse des Seils
l – Länge des Seils Exp.: Seilwelle
Im allgemeinen gilt: - p sinkt mit Masse der schwingenden Teilchen
- p wächst mit zunehmenden elastischen, rückstellenden Kräften
zwischen den Teilchen
21 21
b) Elastische Wellen in Festkörpern
Longitudinalwellen
Ev lp ,
E – Elastizitätsmodul
– Dichte
Exp.: Simulation von Wellen im Festkörper
Phasengeschwindigkeit einer Longitudinalwelle in Al-Stab
A
ln/2 ln/2
l
nF
nF
Dehnung
Spannung
ll
AFE
n
n
/
/
Transversalwellen
Gv tp ,
G – Schub- bzw. Torsionsmodul
l
lt
tF
Beispiel Stahl: ph,l = 5000 ms-1
ph,t = 3000 ms-1
allg. gilt: ph,l > ph,t
ngVerschiebu
tScherrkraf
ll
AFG
t
t
/
/
22
d) Schallwellen in Gasen
pvp
Longitudinalwellen p – Druck
– Dichte
–Adiabatenkoeffizient
Exp.: Simulation von Schallwelle
c) Druckwellen in Flüssigkeiten
Kvp
Longitudinalwellen
p – Druck
K– KompressionsmodulV
pVK
Wasser:
p (T = 20°C) = 1483 ms-1
K = 2 109 Nm-2
Luft:
p (T = 0°C) = 331,5 ms-1
V
p
c
c
– Dichte
23
5.2.2.2. Gruppengeschwindigkeit vg
Zur Signalübertragung ist Modulation der Welle oder ein Wellenpacket nötig.
Bsp. Amplitudenmodulation:
Superposition zweier Wellen mit 1, 2, und k1, k1 mit gleicher Ausbreitungsrichtung
2121212
1, 212121
2
1, zzzzzzzz kkkkkkkk
Wellenfunktion:
ztztzt ,,, 21
zktAzktAzt zz 2211 sinsin,
2sin
2cos2sinsin
zktzk
tAzt zz
2sin
22cos2,
Wellenfunktionmodulierte Amplitude: A´(t,z)
gv
pv
24
Wellenberg bewegt sich mit Gruppengeschwindigkeit vg!
Amplitudenmaximum von Wellenberg ist bei 022
zk
t zg
z
vkt
z
0zk
zk
z
gdk
dv
Gruppengeschwindigkeit
mit = vpkz
2zk
z
p
zpgdk
dvkvv
p
pg
dvvv
Wenn ist 0
pdvgp vv Dispersion
Wellenberge bzw. Wellenpakete verbreitern mit
zunehmender Ausbreitung und verschmieren.
Exp.: Dispersion mit zwei Folien und Animation
25
5.2.3. Wellengleichung
Wellengleichung ist Bewegungsgleichung für Wellen.
a) Eindimensionale Wellengleichung
zktAzt z sin,Wellenfunktion:
Geschwindigkeit eines
Massenelementes: zktA
tz
cos
Beschleunigung eines
Massenelementes:
22
2
2
sin
zktA
tz
1. Ableitung nach z: zktAkz
zz
sin
2. Ableitung nach z:
2
222
2
2
sinp
zzzv
kzktAkz
*
**
Vergleich von Gleichung * mit **:
2
2
22
2 1
tvz p
0
12
22
2
2
2
zv
tvp
p
eindimensionale Wellengleichung
mit Phasengeschwindigkeit
z
pk
v
26
2
22
kvp
b) Dreidimensionale Wellengleichung
rktArt
sin,Wellenfunktion: bzw. in komplexer Form rktieArt
,
k
r
- Ortsvektor - Wellenzahlvektor mit ,,, zyx kkkk
,/2 k
dreidimensionale Wellengleichung:
02
2
2
2
2
22
2
2
zyxv
tp
02
2
2
pvt
2
2
2
2
2
2
zyx
mit Laplace-Operator
und
27
1.5.4. Überlagerung von Wellen
1.5.4.1. Stehende von Wellen
Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz und Wellenzahl aber entgegengesetzter
Ausbreitungsrichtung
Welle in -z Richtung:
Welle in +z Richtung:
zktA z sin1
Superposition: zktzktA zz sinsin21
2cos
2sin2sinsin
2sin
2cos2
tzkA z
- Phasenunterschied
Schwingung
2sin
t
2cos2
zkA zmit ortsabhängiger Amplitude
zktA zsin2
Periodizitäten in Zeit und Raum sind nun entkoppelt!
Resultat
2828
2sin
2cos2
tzkA z
Diskussion:
Schwingungsknoten: 02
cos
zkz
212
2
nzkz
12
42212
1nn
kz
z
Schwingungsbäuche: 12
cos
zkz
nzkz
2
nn
kz
z
242
1
Amplitude oszilliert zwischen
-A und +A mit Schwingungsdauer
2T
Anwendung: Resonatoren, LASER
Knotenabstand:2
z
29
Exp.: stehende Wellen
Reflektion am freien und festen Ende (Simulation)
Seilwelle
Wellenmaschine
stehende Welle im Hörsaal
Fallunterscheidung: Reflektion am festen und freien Ende
festes Ende freies Ende
Randbedingung
tzkA z cossin2
00 z Az 20
0
tzkA z sincos2
3030
1.5.4.2. Interferenz von Wellen
Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz, gleicher Wellenzahl und gleicher Ausbreitungsrichtung,
aber konstanter Phasendifferenz = const
2sin1
zktA z
Superposition:
zktA z
sin2
cos2
2sin2
zktA z
21
2cos
2sin2sinsin
Amplitude ist abhängig von Phasendifferenz
destruktive Interferenz:
(Auslöschung)
konstruktive Interferenz:
(Verstärkung)
0 02
cos 12 n
A2 12
cos n2
31
betrachte Phasendifferenz als Gangunterschied z = z2 –z1
zkz
2zGangunterschied:
destruktive Interferenz:
(Auslöschung)
konstruktive Interferenz:
(Verstärkung)
122
nz
nz
Exp.: Interferenz von Wasserwellen
(Simulation)
Interferenz von Schallwellen
Anwendung: Lichtbeugung,
Röntgenbeugung,
Elektronen- und
Neutronenbeugung
12 n
n2
z2z1 z
Quelle 1 Quelle 2 Beobachter