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Allgemeine Mineralogie -Kristallographie
Diamant
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Bravaisgitter• Aus den fünf 2-D Gittern können durch
Translation in die dritte Dimension insgesamt 14 Bravaisgitter erzeugt werden
• Einteilung der Bravais Gitter in sechs Gruppen basierend auf der Form der Einheitszelle
• triklin• monklin• orthorhombisch• tetragonal• Hexagonal• trigonal rhomboedrisch• kubisch
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KristallographischeKoordinatensysteme
Gitterkonstanten: a,b,c: Einheitslängen auf den Koordinatenahcsen a,b,c
Winkel: α,β,γ
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Die sieben kristallographischenKoordinatensysteme
Koordinatensystem Gitterkonstanten Winkel
Triklin a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ
Monoklin a ≠ b ≠ c α = γ = 90° ≠ β
Orthorhombisch a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90°
Tetragonal a = b ≠ c α = β = γ = 90°
Hexagonal/Trigonal(rhomboedrisch)
a = b = c α = β = γ ≠ 90°
Hexagonal a = b ≠ c α = β = 90°, γ = 120°
Kubisch a = b = c α = β = γ = 90°
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Die 32 3-D Punktgruppen
Triklin: beliebig: 1 1 Monoklin: [010]: 2 m 2/m Orthorhombisch: [100] [010] [001] 2 2 2 m m 2 2/m 2/m 2/m Tetragonal: [001] [100] [110] 4 4 4/m 4 m m 4 2 2 4 2 m 4/m 2/m 2/m
Trigonal: [001] [100] 3 3 3 m 3 2 3 2/m Hexagonal: [001] [100] [11 0] 6 6 6/m 6 m m 6 2 2 6 2 m 6/m 2/m 2/m Kubisch: [100] [111] [110] 2 3 2/m 3 4 3 2 4 3 m 4/m 3 2/m
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Darstellung von Flächen:Weiss-Indizes
• Ebene Schnitt mit Koordinatenachsen a,b,c in den Punkten m00, 0n0 und 00o
• Orientierung der Ebene gegeben durch die in runde Klammern gesetzten Achsenabschnitte (mno) Weiss-Indizes
Weiss Indizes: (232)
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Miller Indizes
• Bestimmung der Weiss Indizes (mno)• Bildung der reziproken Werte 1/m, 1/n, 1/o• Bestimmung des kleinsten gemeinsamen
Nenners: no/mno, mo/mno, mn/mno• Miller-Indizes: h = no, k = mo, l = mn ⇒
(hkl).
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Miller Indizes
• Weiss Indizes: (232)
• Reziproke Weiss-Indizes1/2, 1/3. 1/2
• Kleinster gemeinsamer Nenner: 3/6, 2/6, 3/6
• Miller-Indizes: (323).
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Miller Indizes• Beschreibung einer Ebene mit Miller-Indizes - äquivalent
zur Darstellung mit Flächennormale H, • h,k,l sind die Vektorkomponenten der Flächennormalen• Weiss-Indizes können von Miller-Indizes nicht ohne
explizite Angabe unterschieden werden• In der kristallographischen Praxis werden praktisch
ausschliesslich Miller-Indizes verwendet
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Miller Indizes
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Stereographische Projektion- Man lege eine Kugel um das Objekt (Kristall).- Man konstruiere die Flächennormalenvektoren auf die
Kristallflächen.- Die Durchstosspunkte der Flächennormalenvektoren auf
der Kugel bilden die Flächenpole- Man verbinde die Flächenpole der ‚Nordhalbkugel’ mit
dem Südpol und die Flächenpole der Südhalbkugel mit dem Nordpol der Projektionskugel
- Die Projektion der Flächenpole auf die Äquatorialebene entlang den Verbindungslinien ergibt die stereographische Projektion.
- Die Projektionen der Nordhalbkugel werden mit einem Punkt ( ) gekennzeichnet, diejenigen der Südhalbkugel mit einem Kreis ( )
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Stereographische Projektion
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Stereographische Projektion
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Wulf‘sches Netz
Längenkreise
Breitenkreise
60°
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Stereographische Projektion
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Stereographische Projektion
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3-D Punktgruppen
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Die 230 Raumgruppen• Die 32 Punktgruppen geben die makroskopisch an
Kristallen unterscheidbaren Symmetriekombinationen wieder. Im atomaren Bereich kommt als weitere Symmetrieoperation die Translation hinzu.
• Translation + Spiegelebenen = Gleitspiegelebene• Translation + Drehung = Schraubenachse
• Es gibt insgesamt 230 Möglichkeiten die n-zähligenDrehachsen, die Drehinversion, Spiegelung, Gleitspiegelung und Schraubenachsen zu kombinieren
• Die 230 Raumgruppen
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Gleitspiegelung und Schraubenachse
Gleitspiegelung Schraubenachse
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3-D Raumgruppen
• Kombination der 32 dreidimensionalen Punktgruppen mit den 14 dreidimensionalen Translationsgittern(Bravais Gittern) ergibt 230 dreidimensionale Raumgruppen
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Röntgenbeugung am Kristallgitter
Bragg‘sche Beziehungn*λ = 2 d sin δ
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Atomarer Aufbau der Kristalle• Walter Friedrich und Paul Knipping, zwei von Max von
Laue angestellte Physiker weisen 1911 mittels Beugung von Röntgenstrahlen an einem Kupfersulfat den translations-symmetrischen Aufbau eines aus Atomen aufgebauten Raumgitters nach
Laue-Aufnahmen von Kupfersulfat aus der Originalpublikation von Laue. Die diskreten Interferenzmaxima beweisen die translationsperiodische Natur von Kristallen