Anderson-LokalisierungHauptseminar: Wechselwirkende Quantengase - WS 2009/2010
David Peter
26. Januar 2010
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Unordnung in der Physik
Normalerweise storend
Reibung in der klassischen Physik
BEC: Kuhlen um thermische,,Unordnung“ zu beseitigen
Aber: Neue Phanomene
Quanten-Hall-Effekt
Hochtemperatursupraleiter
Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung David Peter 2
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Unordnung in der Physik
Normalerweise storend
Reibung in der klassischen Physik
BEC: Kuhlen um thermische,,Unordnung“ zu beseitigen
Aber: Neue Phanomene
Quanten-Hall-Effekt
Hochtemperatursupraleiter
Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung David Peter 2
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Unordnung in der Physik
Normalerweise storend
Reibung in der klassischen Physik
BEC: Kuhlen um thermische,,Unordnung“ zu beseitigen
Aber: Neue Phanomene
Quanten-Hall-Effekt
Hochtemperatursupraleiter
Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung David Peter 2
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Unordnung in der Physik
Normalerweise storend
Reibung in der klassischen Physik
BEC: Kuhlen um thermische,,Unordnung“ zu beseitigen
Aber: Neue Phanomene
Quanten-Hall-Effekt
Hochtemperatursupraleiter
Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung David Peter 2
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Inhalt
1 Einfuhrung
2 Theorie
3 Simulationen
4 Experimente
Anderson-Lokalisierung David Peter 3
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Inhalt
1 EinfuhrungFestkorperphysikAnderson-Lokalisierung
2 Theorie
3 Simulationen
4 Experimente
Anderson-Lokalisierung David Peter 4
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Festkorperphysik
Festkorperphysik
periodischer Kristall
Translationsinvarianz
Losung: Blochwellen (1928)
Leitend, falls Fermienergie imBand
Kristall mit zufalligen Storungen
Translationsinvarianz gebrochen
Blochwellen keine Losungenmehr
bei starker Unordnung keineStorungstheorie moglich
Semi-klassische Theorien(Drude-Modell 1900) konnenTransport nicht richtigbeschreiben
Anderson-Lokalisierung David Peter 5
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Festkorperphysik
Festkorperphysik
periodischer Kristall
Translationsinvarianz
Losung: Blochwellen (1928)
Leitend, falls Fermienergie imBand
Kristall mit zufalligen Storungen
Translationsinvarianz gebrochen
Blochwellen keine Losungenmehr
bei starker Unordnung keineStorungstheorie moglich
Semi-klassische Theorien(Drude-Modell 1900) konnenTransport nicht richtigbeschreiben
Anderson-Lokalisierung David Peter 5
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Lokalisierung
Veroffentlichung 1958
Durch Unordnung konnen Teilchen (quantenmechanisch) lokalisiertwerden
Andersons Veroffentlichung wurde 4500 mal zitiert (Platz 5)
und ...
Anderson-Lokalisierung David Peter 6
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Lokalisierung
Veroffentlichung 1958
Durch Unordnung konnen Teilchen (quantenmechanisch) lokalisiertwerden
Andersons Veroffentlichung wurde 4500 mal zitiert (Platz 5)
und ...
Anderson-Lokalisierung David Peter 6
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Lokalisierung
Veroffentlichung 1958
Durch Unordnung konnen Teilchen (quantenmechanisch) lokalisiertwerden
Andersons Veroffentlichung wurde 4500 mal zitiert (Platz 5)
und ...
Anderson-Lokalisierung David Peter 6
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Lokalisierung
Nobelpreis 1977
,,for their fundamental theoretical investigations of the electronicstructure of magnetic and disordered systems“
Philip WarrenAnderson
b1923
Sir Nevill FrancisMott
b1905 d1996
John Hasbrouckvan Vleck
b1899 d1980
Anderson-Lokalisierung David Peter 7
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung: Erklarung
Teilchen im zufalligen Potential:
Teilchen wird an Storstellen gestreut(nicht am Gitter!)
Auf jedem Pfad andert sich die Phase
Teilchen kann zuruckgestreut werden
Fur geschlossenen Pfad gilt:∆ϕhin = ∆ϕzuruck
Beide Streu-Pfade interferierenkonstruktiv: ,,coherent backscattering“
Wahrscheinlichkeit zuruckzukehren isterhoht
Anderson-Lokalisierung ist 1-TeilchenPhanomen!
Anderson-Lokalisierung David Peter 8
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung: Erklarung
Teilchen im zufalligen Potential:
Teilchen wird an Storstellen gestreut(nicht am Gitter!)
Auf jedem Pfad andert sich die Phase
Teilchen kann zuruckgestreut werden
Fur geschlossenen Pfad gilt:∆ϕhin = ∆ϕzuruck
Beide Streu-Pfade interferierenkonstruktiv: ,,coherent backscattering“
Wahrscheinlichkeit zuruckzukehren isterhoht
Anderson-Lokalisierung ist 1-TeilchenPhanomen!
Anderson-Lokalisierung David Peter 8
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung: Erklarung
Teilchen im zufalligen Potential:
Teilchen wird an Storstellen gestreut(nicht am Gitter!)
Auf jedem Pfad andert sich die Phase
Teilchen kann zuruckgestreut werden
Fur geschlossenen Pfad gilt:∆ϕhin = ∆ϕzuruck
Beide Streu-Pfade interferierenkonstruktiv: ,,coherent backscattering“
Wahrscheinlichkeit zuruckzukehren isterhoht
Anderson-Lokalisierung ist 1-TeilchenPhanomen!
Anderson-Lokalisierung David Peter 8
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Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung: Erklarung
Teilchen im zufalligen Potential:
Teilchen wird an Storstellen gestreut(nicht am Gitter!)
Auf jedem Pfad andert sich die Phase
Teilchen kann zuruckgestreut werden
Fur geschlossenen Pfad gilt:∆ϕhin = ∆ϕzuruck
Beide Streu-Pfade interferierenkonstruktiv: ,,coherent backscattering“
Wahrscheinlichkeit zuruckzukehren isterhoht
Anderson-Lokalisierung ist 1-TeilchenPhanomen!
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Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung: Erklarung
Teilchen im zufalligen Potential:
Teilchen wird an Storstellen gestreut(nicht am Gitter!)
Auf jedem Pfad andert sich die Phase
Teilchen kann zuruckgestreut werden
Fur geschlossenen Pfad gilt:∆ϕhin = ∆ϕzuruck
Beide Streu-Pfade interferierenkonstruktiv: ,,coherent backscattering“
Wahrscheinlichkeit zuruckzukehren isterhoht
Anderson-Lokalisierung ist 1-TeilchenPhanomen!
Anderson-Lokalisierung David Peter 8
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Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung: Erklarung
Teilchen im zufalligen Potential:
Teilchen wird an Storstellen gestreut(nicht am Gitter!)
Auf jedem Pfad andert sich die Phase
Teilchen kann zuruckgestreut werden
Fur geschlossenen Pfad gilt:∆ϕhin = ∆ϕzuruck
Beide Streu-Pfade interferierenkonstruktiv: ,,coherent backscattering“
Wahrscheinlichkeit zuruckzukehren isterhoht
Anderson-Lokalisierung ist 1-TeilchenPhanomen!
Anderson-Lokalisierung David Peter 8
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Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung: Erklarung
Teilchen im zufalligen Potential:
Teilchen wird an Storstellen gestreut(nicht am Gitter!)
Auf jedem Pfad andert sich die Phase
Teilchen kann zuruckgestreut werden
Fur geschlossenen Pfad gilt:∆ϕhin = ∆ϕzuruck
Beide Streu-Pfade interferierenkonstruktiv: ,,coherent backscattering“
Wahrscheinlichkeit zuruckzukehren isterhoht
Anderson-Lokalisierung ist 1-TeilchenPhanomen!
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Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung: Erklarung
Teilchen im zufalligen Potential:
Teilchen wird an Storstellen gestreut(nicht am Gitter!)
Auf jedem Pfad andert sich die Phase
Teilchen kann zuruckgestreut werden
Fur geschlossenen Pfad gilt:∆ϕhin = ∆ϕzuruck
Beide Streu-Pfade interferierenkonstruktiv: ,,coherent backscattering“
Wahrscheinlichkeit zuruckzukehren isterhoht
Anderson-Lokalisierung ist 1-TeilchenPhanomen!
Anderson-Lokalisierung David Peter 8
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung: Relevante Skalen
Es treten zwei relevante Langenskalen auf
De Broglie-Wellenlange λdB
Mittlere freie Weglange l
Ioffe-Regel Kriterium
Lokalisierung findet statt, falls
l < λdB
Fuhrt zu einer Mobilitatskante
l
λdB
Anderson-Lokalisierung David Peter 9
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung: Relevante Skalen
Es treten zwei relevante Langenskalen auf
De Broglie-Wellenlange λdB
Mittlere freie Weglange l
Ioffe-Regel Kriterium
Lokalisierung findet statt, falls
l < λdB
Fuhrt zu einer Mobilitatskante
l
λdB
Anderson-Lokalisierung David Peter 9
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Lokalisierung
Was bedeutet Lokalisierung?
Energie
Vmax
klassisch: Teilchen ist raumlicheingegrenzt, falls Eges ≤ Vmax
QM: Teilchen kann tunneln,kein ausreichendes Kriterium
Anderson-Lokalisierung findetauch im Fall Eges � Vmax statt!
Lokalisiert, falls Wellenfunktionvon Zentrum aus hinreichendschnell abfallt
Anderson-Lokalisierung:
Ψ(x) ∝ exp(− |x − x0| /ξ)
mit der Lokalisierungslange ξ
−4 −2 0 2 40
0.20.40.60.8
1
x/ξ
Ψ(x
)
Anderson-Lokalisierung David Peter 10
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Anderson-Lokalisierung
Was bedeutet Lokalisierung?
Energie
Vmax
klassisch: Teilchen ist raumlicheingegrenzt, falls Eges ≤ Vmax
QM: Teilchen kann tunneln,kein ausreichendes Kriterium
Anderson-Lokalisierung findetauch im Fall Eges � Vmax statt!
Lokalisiert, falls Wellenfunktionvon Zentrum aus hinreichendschnell abfallt
Anderson-Lokalisierung:
Ψ(x) ∝ exp(− |x − x0| /ξ)
mit der Lokalisierungslange ξ
−4 −2 0 2 40
0.20.40.60.8
1
x/ξ
Ψ(x
)
Anderson-Lokalisierung David Peter 10
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Inhalt
1 Einfuhrung
2 TheorieAnderson-ModellAubry-Andre-Modell
3 Simulationen
4 Experimente
Anderson-Lokalisierung David Peter 11
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Modell
Anderson-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Anderson-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+∑
k
∆ka†kak︸ ︷︷ ︸
ext. Potential
Anderson-Lokalisierung David Peter 12
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Anderson-Modell
Anderson-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Anderson-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+∑
k
∆ka†kak︸ ︷︷ ︸
ext. Potential
Beschreibung
Tight-Binding-Modell
J: Tunnelrate
∆k : Zufallszahl, z.B. gleichmaßig aus Intervall [0,∆]
Anderson-Lokalisierung David Peter 12
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Anderson-Modell
Anderson-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Anderson-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+∑
k
∆ka†kak︸ ︷︷ ︸
ext. Potential
Beschreibung
Tight-Binding-Modell
J: Tunnelrate
∆k : Zufallszahl, z.B. gleichmaßig aus Intervall [0,∆]
Anderson-Lokalisierung David Peter 12
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Anderson-Modell
Anderson-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Anderson-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+∑
k
∆ka†kak︸ ︷︷ ︸
ext. Potential
Beschreibung
Tight-Binding-Modell
J: Tunnelrate
∆k : Zufallszahl, z.B. gleichmaßig aus Intervall [0,∆]
Anderson-Lokalisierung David Peter 12
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Modell
Anderson-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Anderson-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+∑
k
∆ka†kak︸ ︷︷ ︸
ext. Potential
Beschreibung
Tight-Binding-Modell
J: Tunnelrate
∆k : Zufallszahl, z.B. gleichmaßig aus Intervall [0,∆]
Anderson-Lokalisierung David Peter 12
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Modell
Anderson-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Anderson-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+∑
k
∆ka†kak︸ ︷︷ ︸
ext. Potential
Eigenschaften
Metall-Isolator-Ubergang in 3D, Ordnungsparameter ∆/J
Fur d = 1, 2 sind alle Zustande lokalisiert (Isolator)
Anderson-Lokalisierung David Peter 12
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Modell
Anderson-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Anderson-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+∑
k
∆ka†kak︸ ︷︷ ︸
ext. Potential
Eigenschaften
Metall-Isolator-Ubergang in 3D, Ordnungsparameter ∆/J
Fur d = 1, 2 sind alle Zustande lokalisiert (Isolator)
Anderson-Lokalisierung David Peter 12
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Modell
Anderson-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Anderson-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+∑
k
∆ka†kak︸ ︷︷ ︸
ext. Potential
Grunde fur ein abgewandeltes Modell
Anderson-Modell zeigt Phasenubergang nur in 3 Dimensionen
Experimente aus Florenz realisieren Aubry-Andre Modell
Anderson-Lokalisierung David Peter 12
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Anderson-Modell
Anderson-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Anderson-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+∑
k
∆ka†kak︸ ︷︷ ︸
ext. Potential
Grunde fur ein abgewandeltes Modell
Anderson-Modell zeigt Phasenubergang nur in 3 Dimensionen
Experimente aus Florenz realisieren Aubry-Andre Modell
Anderson-Lokalisierung David Peter 12
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Aubry-Andre-Modell
Aubry-Andre-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Aubry-Andre-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+ ∆∑
k
cos (2πβk) a†kak︸ ︷︷ ︸ext. Potential
Anderson-Lokalisierung David Peter 13
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Aubry-Andre-Modell
Aubry-Andre-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Aubry-Andre-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+ ∆∑
k
cos (2πβk) a†kak︸ ︷︷ ︸ext. Potential
Beschreibung
∆: Starke des außeren Potentials
β: Irrationale Zahl −→ quasiperiodisches Potential
Anderson-Lokalisierung David Peter 13
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Aubry-Andre-Modell
Aubry-Andre-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Aubry-Andre-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+ ∆∑
k
cos (2πβk) a†kak︸ ︷︷ ︸ext. Potential
Beschreibung
∆: Starke des außeren Potentials
β: Irrationale Zahl −→ quasiperiodisches Potential
Anderson-Lokalisierung David Peter 13
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Aubry-Andre-Modell
Aubry-Andre-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Aubry-Andre-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+ ∆∑
k
cos (2πβk) a†kak︸ ︷︷ ︸ext. Potential
Anderson-Lokalisierung David Peter 13
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Aubry-Andre-Modell
Aubry-Andre-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Aubry-Andre-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+ ∆∑
k
cos (2πβk) a†kak︸ ︷︷ ︸ext. Potential
Anderson-Lokalisierung David Peter 13
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Aubry-Andre-Modell
Aubry-Andre-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Aubry-Andre-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+ ∆∑
k
cos (2πβk) a†kak︸ ︷︷ ︸ext. Potential
Eigenschaften
Phasenubergang auch in 1D, Ordnungsparameter ∆/J
Fur β =√
5+12 −→ Phasenubergang bei ∆/J = 2
Anderson-Lokalisierung David Peter 13
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Aubry-Andre-Modell
Aubry-Andre-Modell
Hamilton-Operator
Hamilton-Operator fur das diskrete Aubry-Andre-Modell:
H = −J∑<k,l>
(a†kal + a†l ak
)︸ ︷︷ ︸
kinetische Energie
+ ∆∑
k
cos (2πβk) a†kak︸ ︷︷ ︸ext. Potential
Eigenschaften
Phasenubergang auch in 1D, Ordnungsparameter ∆/J
Fur β =√
5+12 −→ Phasenubergang bei ∆/J = 2
Anderson-Lokalisierung David Peter 13
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Inhalt
1 Einfuhrung
2 Theorie
3 SimulationenVerfahrenErgebnisse
4 Experimente
Anderson-Lokalisierung David Peter 14
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Verfahren
Verfahren
Simuliere Aubry-Andre-Modell (1D)
Stelle diskreten Hamilton-Operator auf (N × N-Matrix, N: AnzahlGitterpunkte)
(Wahle Randbedingungen)
Berechne Eigenwerte (Energien) und Eigenvektoren (Zustande)numerisch
Grundzustand = Eigenvektor zum niedrigsten Eigenwert
Berechnung der Lokalisierungslange (Korrelationslange)
Die Lokalisierungslange ξ ist proportional zur Streuung:
∆x =√〈x2〉 − 〈x〉2
Fur exponentiell lokalisierte Zustande gilt ∆x = ξ/√
2
Anderson-Lokalisierung David Peter 15
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Verfahren
Verfahren
Simuliere Aubry-Andre-Modell (1D)
Stelle diskreten Hamilton-Operator auf (N × N-Matrix, N: AnzahlGitterpunkte)
(Wahle Randbedingungen)
Berechne Eigenwerte (Energien) und Eigenvektoren (Zustande)numerisch
Grundzustand = Eigenvektor zum niedrigsten Eigenwert
Berechnung der Lokalisierungslange (Korrelationslange)
Die Lokalisierungslange ξ ist proportional zur Streuung:
∆x =√〈x2〉 − 〈x〉2
Fur exponentiell lokalisierte Zustande gilt ∆x = ξ/√
2
Anderson-Lokalisierung David Peter 15
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Ergebnisse
Dichteverteilung
Aufgetragen ist jeweils die Dichte |Ψ(k)2| uber der Position.
0 50 100 150 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆/J = 0
0 50 100 150 2000
0.5
1
∆/J = 0.5
0 50 100 150 2000
5
10
∆/J = 1.9
0 50 100 150 2000
20
40
60
∆/J = 2.1
Anderson-Lokalisierung David Peter 16
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Ergebnisse
Dichteverteilung
Aufgetragen ist jeweils die Dichte |Ψ(k)2| uber der Position.
0 50 100 150 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆/J = 0
0 50 100 150 2000
0.5
1
∆/J = 0.5
0 50 100 150 2000
5
10
∆/J = 1.9
0 50 100 150 2000
20
40
60
∆/J = 2.1
Anderson-Lokalisierung David Peter 16
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Ergebnisse
Dichteverteilung
Aufgetragen ist jeweils die Dichte |Ψ(k)2| uber der Position.
0 50 100 150 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆/J = 0
0 50 100 150 2000
0.5
1
∆/J = 0.5
0 50 100 150 2000
5
10
∆/J = 1.9
0 50 100 150 2000
20
40
60
∆/J = 2.1
Anderson-Lokalisierung David Peter 16
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Ergebnisse
Dichteverteilung
Aufgetragen ist jeweils die Dichte |Ψ(k)2| uber der Position.
0 50 100 150 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆/J = 0
0 50 100 150 2000
0.5
1
∆/J = 0.5
0 50 100 150 2000
5
10
∆/J = 1.9
0 50 100 150 2000
20
40
60
∆/J = 2.1
Anderson-Lokalisierung David Peter 16
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Ergebnisse
Phasenubergang
Trage die Lokalisierungslange uber dem Verhaltnis ∆/J auf:
0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆/J
ξ/ξ(
0)
Phasenubergang bei ∆/J = 2
Anderson-Lokalisierung David Peter 17
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Inhalt
1 Einfuhrung
2 Theorie
3 Simulationen
4 ExperimenteMotivationBEC im Laser-SpeckleBEC im quasiperiodischen Gitter
Anderson-Lokalisierung David Peter 18
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Motivation
Warum? (Wiederholung)
Warum untersucht man die Anderson-Lokalisierung mitBose-Einstein-Kondensaten?
Wechselwirkung kann kontrolliert (abgeschaltet) werden(Feshbach-Resonanzen, Einstellen der Dichte)
Dimension frei wahlbar
Externe Potentiale konnen beliebig und genau eingestellt werden(vgl. Festkorper mit Phononen)
Direkte Messung der Dichteprofile
Bisher noch nie an Materiewellen beobachtet(!), jedoch mit
1990: Ultraschall Weaver, R. L. et al., Wave Motion 12, 129-142
1991: Mikrowellen Dalichaouch, R. et al., Nature 354, 53-55
1997: Licht Wiersma, D. S. et al., Nature 390, 671-673
Anderson-Lokalisierung David Peter 19
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Motivation
Warum? (Wiederholung)
Warum untersucht man die Anderson-Lokalisierung mitBose-Einstein-Kondensaten?
Wechselwirkung kann kontrolliert (abgeschaltet) werden(Feshbach-Resonanzen, Einstellen der Dichte)
Dimension frei wahlbar
Externe Potentiale konnen beliebig und genau eingestellt werden(vgl. Festkorper mit Phononen)
Direkte Messung der Dichteprofile
Bisher noch nie an Materiewellen beobachtet(!), jedoch mit
1990: Ultraschall Weaver, R. L. et al., Wave Motion 12, 129-142
1991: Mikrowellen Dalichaouch, R. et al., Nature 354, 53-55
1997: Licht Wiersma, D. S. et al., Nature 390, 671-673
Anderson-Lokalisierung David Peter 19
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
BEC im Laser-Speckle
BEC im Laser-Speckle (Paris 2008)1
Experimenteller Aufbau
BEC aus 20.000 87Rb Atomen
Quasi-1D Falle mit Fallenfrequenzen
ω⊥/2π = 70Hz, Ausdehnung: 3µmωz/2π = 5,4Hz, Ausdehnung: 35µmwird abgeschaltet
Expansion im Laser-Speckle Potential (siehe nachste Folie)
Wechselwirkung durch niedrige Dichte vernachlassigbar
Dichtemessung durch Fluoreszenz-Aufnahmen (Auflosung 15µm)
1Billy, J. et al., Direct observation of Anderson localization of matter waves in acontrolled disorder. Nature 453, 891-894 (2008).
Anderson-Lokalisierung David Peter 20
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
BEC im Laser-Speckle
Laser-Speckle
Speckle: Leite koharenteStrahlung durch diffusesMedium
Im Experiment: AufgeweiteterLaser bei 514nm (großes δL)mit niedriger Leistung
charakteristische Großen:
Korngroße πσR ≈ 0,82µmImpuls Cut-off bei
kc = 2/σR.
Zustande oberhalb nicht(exponentiell) lokalisiert: vgl.Mobilitatskante
Anderson-Lokalisierung David Peter 21
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
BEC im Laser-Speckle
Ergebnisse - Lokalisierung (raumlich)
Lokalisierung auf Millimeterskala
Exponentieller Abfall der Dichte am Rand: Starker Hinweis aufAnderson-Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung David Peter 22
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
BEC im Laser-Speckle
Ergebnisse - Lokalisierung (zeitlich)
Lokalisierungslange andert sich zeitlich nicht
Lokalisierter Zustand uber Sekunden hinweg beobachtbar
Anderson-Lokalisierung David Peter 23
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
BEC im Laser-Speckle
Ergebnisse - Mobilitatskante
unterhalb der Mobilitatskante:
kmax < 1/σR
exponentiell lokalisierter Zustand:
Dichte ∝ e−|z|/ξ
oberhalb der Mobilitatskante:
kmax > 1/σR
algebraisch lokalisierter Zustand:
Dichte ∝ |z |−β
mit β = 2,01± 0,03.
kmax: Großte Impulskomponente im BEC, σR: Speckle-Korngroße
Anderson-Lokalisierung David Peter 24
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
BEC im Laser-Speckle
Ergebnisse - Mobilitatskante
unterhalb der Mobilitatskante:
kmax < 1/σR
exponentiell lokalisierter Zustand:
Dichte ∝ e−|z|/ξ
oberhalb der Mobilitatskante:
kmax > 1/σR
algebraisch lokalisierter Zustand:
Dichte ∝ |z |−β
mit β = 2,01± 0,03.
kmax: Großte Impulskomponente im BEC, σR: Speckle-Korngroße
Anderson-Lokalisierung David Peter 24
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
BEC im quasiperiodischen Gitter
BEC im quasiperiodischen Gitter (Florenz 2008)2
Experimenteller Aufbau
BEC aus 10.000 39K Atomen
Durch Feshbach-Resonanz: Wechselwirkungsenergie � kin. Energie
Realisiert Aubry-Andre-Modell
Optische Gitter (1D) durch zwei stehende Wellen:
1032nm und 862nm −→ β ≈ 1,1972
2Roati, G. et al., Anderson localization of a non-interacting Bose-Einsteincondensate. Nature 453, 895-898 (2008).
Anderson-Lokalisierung David Peter 25
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BEC im quasiperiodischen Gitter
Ergebnisse - Lokalisierung
Anderson-Lokalisierung David Peter 26
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BEC im quasiperiodischen Gitter
Ergebnisse - Universalitat
Lokalisierung auf der Mikrometerskala
Universelles Verhalten fur verschiedene J
Anderson-Lokalisierung David Peter 27
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BEC im quasiperiodischen Gitter
Ergebnisse - Phasenubergang
Fitte n(z) = n0 exp (− |x/ξ|α)an das Dichteprofil
Ubergang von GaußschemWellenpaket (α = 2) zulokalisiertem Zustand (α = 1)
Phasenubergang bei ∆/J ≈ 2
Anderson-Lokalisierung David Peter 28
Inhalt Einfuhrung Theorie Simulationen Experimente Zusammenfassung
Ausblick
Was ist mit den wechselwirkenden Quantengasen?
Theoretische Herausforderung: gemeinsame Behandlung vonUnordnung und Wechselwirkung
Viele offene Fragen, Experimente mit BEC konnen Vorreiter seinTheoretisch vorhergesagt:
Anderson-Lokalisierung von SolitonenMott-Anderson-Ubergang, neue Quantenphasen. Experiment3:
3Deissler, B. et al, arXiv 0910.5062v2 (2010)Anderson-Lokalisierung David Peter 29
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Ausblick
Was ist mit den wechselwirkenden Quantengasen?
Theoretische Herausforderung: gemeinsame Behandlung vonUnordnung und Wechselwirkung
Viele offene Fragen, Experimente mit BEC konnen Vorreiter seinTheoretisch vorhergesagt:
Anderson-Lokalisierung von SolitonenMott-Anderson-Ubergang, neue Quantenphasen. Experiment3:
3Deissler, B. et al, arXiv 0910.5062v2 (2010)Anderson-Lokalisierung David Peter 29
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Zusammenfassung
In Zufalls-Potentialen tritt (exponentielle) Lokalisierung auf
Phasenubergang bei kritischer Unordnungsstarke (3D)
Grund: Koharente Ruckstreuung an den Storstellen (1 TeilchenPhanomen)
Wechselwirkungsfreie Anderson-Lokalisierung theoretisch (und jetztexperimentell) gut verstanden
In Zusammenhang mit WW sind noch viele Fragen offen
Fragen?
Anderson-Lokalisierung David Peter 30
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Zusammenfassung
In Zufalls-Potentialen tritt (exponentielle) Lokalisierung auf
Phasenubergang bei kritischer Unordnungsstarke (3D)
Grund: Koharente Ruckstreuung an den Storstellen (1 TeilchenPhanomen)
Wechselwirkungsfreie Anderson-Lokalisierung theoretisch (und jetztexperimentell) gut verstanden
In Zusammenhang mit WW sind noch viele Fragen offen
Fragen?
Anderson-Lokalisierung David Peter 30
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Dichteverteilungen 2
Aufgetragen ist jeweils die Dichte |Ψ(k)2| uber der Position.
0 200 4000
5
10
15
∆/J = 2.4, β = 1.62, fest
0 200 4000
2
4
6
8
∆/J = 2.4, β = 1.62, per .
0 200 4000
20
40
60
80
∆/J = 2.4, per .
0 200 400
0.2
0.2
0.21
0.21
∆/J = 0.01, per .
Anderson-Lokalisierung David Peter 31