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Lösung nichtlinear Gleichungssysteme
• In dieser Vorlesung werden wir uns mit der gemischt symbolischen und numerischen Lösung algebraisch gekoppelter nichtlinear Gleichungs- systeme befassen.
• Die Aufschneidemethode eignet sich auch zur effizienten Behandlung nichtlinear Gleichungs- systeme.
• Die numerische Iteration nichtlinear Gleichungs- systeme kann auf die Schnittvariablen begrenzt werden.
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Übersicht
• Nichtlineare Gleichungssysteme
• Newton Iteration
• Newton Iteration mit Aufschneiden
• Newton Iteration linearer Gleichungssysteme
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Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel I
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Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel II
p2
p0
Stausee Schleuse
Verbrau-cher I
Verbrau- cher II
Umgebungs- druck
p1
q1
q3
q2
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Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel III
q
p
q: Durchflussratep: Druckabfall
q
p
q = k · sign(p ) · p
p = sign(q) · q2 / k
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Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel IV
p2
p0
Stausee Schleuse
Verbrau-cher I
Verbrau -cher II
Umgebungs-druck
p1
q1
q3
q2
p2 = 100
p0 = 1fS(q1 ,p1 ,p2) = 0fI(q2 ,p0 ,p1) = 0fII(q3 ,p0 ,p1) = 0q1 = q2 + q3
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Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel V
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
Nichtlineares Gleichungssystem in 4 Unbekannten
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Newton’sches Iterationsverfahren I
f(x) = 0 x n f n
x 0
x i+1 = x i - x i
H n
n
x i = H(x i )-1 · f(x i )
x n
H(x) =f(x)x
Nichtlineares Gleichungssystem:
Anfangsschätzwert:
Iterationsformel:
Inkrement:
Hess’sche Matrix:
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Newton’sches Iterationsverfahren: Beispiel I
x =
p1
q1
q2
q3
p2 - p1 - sign(q1) · q12 / k1
p1 – p0 - sign(q2) · q22 / k2
p1 – p0 - sign(q3) · q32 / k3
q1 - q2 - q3
f(x) = = 0
- 2|q1 |/k1
- 2|q2 |/k2
- 2|q3 |/k3
-1110
001
0
0-1
00
-1
H(x) =
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Newton’sches Iterationsverfahren II
x i = H(x i )-1 · f(x i )
H(x i ) · x i = f(x i )
x n
Bestimmung des Inkrements:
Lineares Gleichungssystem
in den Unbekannten x
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Newton Iteration mit Schneideverfahren I
Wahl
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
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10. November, 2004Anfang Präsentation
Newton Iteration mit Schneideverfahren II
p2 = 100
p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0
p2 = 100
p0 = 1q1 = q2 + q3
p1 = f1 (q1 ,p2 )q2 = f2 (p0 ,p1 )q3 = f3 (p0 ,p1 )
q1 = f2 (p0 ,p1 ) + f3 (p0 ,p1 )= f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) + f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 ))
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Newton Iteration mit Schneideverfahren III
q1 = f2 (p0 ,p1 ) + f3 (p0 ,p1 )= f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) + f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 ))
x = q1 f(x) = q1 - f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) - f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 )) = 0
H(x i ) · x i = f(x i )
Lineares Gleichungssystem
in den Unbekannten x x
1
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Newton’sches Iterationsverfahren: Beispiel IIp2 = 100
p0 = 1q1 = q2 + q3
p1 = p2 - sign(q1 ) · q12 / k1
q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0
q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0
pq1q1 = 1pp1q1 = - 2|q1| / k1
pq2q1 = k2 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1q1
pq3q1 = k3 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1q1
f = q1 - q2 - q3
h = pq1q1 - pq2q1 - pq3q1
Das Substituieren von Aus-drücken lohnt sich kaum je. Es ist besser, über alle Glei-chungen zu iterieren und bei der Ermittlung der partiellen Ableitungen jede Gleichung separat abzuleiten.
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Newton’sches Iterationsverfahren: Beispiel III
q1 = Anfangsschätzwertdx = 1while dx > dxmin p1 = p2 - sign(q1 ) · q1
2 / k1
q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0
q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0
pp1 = - 2|q1| / k1
pq2 = k2 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1
pq3 = k3 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1
f = q1 - q2 - q3
h = 1 - pq2 - pq3
dx = h \ f q1 = q1 – dxend
Es wird über alle Gleichungen iteriert. Das interne lineare Gleichungssystem muss jedoch nur für die Schnittvariablen gelöst werden.
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Newton Iteration für lineare Systeme
Lineares System: A·x = b
f(x) = A·x – b = 0
H(x) = f(x)/ x = A
A·x = A·x – b
x = x – A-1·b
x 1 = x 0 – (x 0 – A-1·b) = A-1·b
Die Newton Iteration konvergiert in einem Schritt
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Zusammenfassung• Das Schneideverfahren eignet sich genau so gut für nichtlineare
wie für lineare Systeme.• Die Νewton’sche Iteration eines nichtlinearen Gleichungs-
systems führt intern zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Die Hess’sche Matrix dieses Glei-chungssystems erstreckt sich nur über die Schnittvariablen.
• Die Νewton’sche Iteration kann auch sehr effizient im Falle grösserer linearer Systeme eingesetzt werden, da sie (bei korrekter Berechnung der H(x) Matrix) in einem einzigen Schritt konvergiert.
• In Praxis wird die H(x) Matrix jedoch häufig numerisch ermittelt und nur angenähert.
• Es ist aber möglich, symbolische Formelmanipulations- techniken zu entwickelt, welche symbolische Ausdrücke für die Elemente der Hess’schen Matrix ermitteln.