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Skript zur Vorlesung
„„NNuummeerriisscchhee FFeellddbbeerreecchhnnuunngg““
SS 2011
Dr.-Ing. Hartmut Brauer
Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Informationstechnik FG Theoretische Elektrotechnik
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Inhaltsübersicht 0 Einführung
0.1 Historische Entwicklung 0.2 Moderne numerische Feldberechnung 0.3 Entwicklung der Diskretisierungsmethoden 1 Mathematisch-physikalische Feldmodellierungen
1.1 Klassifizierung und Randbedingungen 1.2 Randwertaufgaben und Anfangswertaufgaben 1.3 Potentialfelder 1.4 Feldanalogien 1.5 Lösungsansätze 1.6 Theorie – Simulation – Experiment 2 Finite - Differenzen - Methode (FDM)
2.1 Herleitung von Differenzengleichungen 2.1.1 Taylorreihenansatz - Symmetrien, Ränder, Grenzen 2.1.2 Umlaufintegralmethode - Rand- und Grenzbedingungen, Zeitabhängigkeiten - Ansatzverfahren 2.2 Aufstellung und Lösung der Gleichungssysteme 3 Finite-Difference Time-Domain Method (FDTD) 3.1 Entstehung der Methode 3.2 1D skalare Wellengleichung 3.3 2D-Lösung der Maxwell-Gleichungen 3.4 3D-Lösung der Maxwell-Gleichungen 3.5 Finite Integrationstechnik (FIT) 4 Finite - Elemente - Methode (FEM) 4.1 Einführung 4.2 Euler-Differentialgleichung und Variationsansatz 4.3 Aufstellung von Variationsfunktionalen 4.3.1 Extremalprinzip für stationäre Feldprobleme 4.3.2 Variationsfunktionale für lineare Felder 4.3.3 Variationsfunktionale für nichtlineare Magnetfelder 4.3.4 Variationsansätze für zeitabhängige Magnetfelder 4.4 Lösung von Variationsansätzen 4.4.1 RITZ - Verfahren 4.4.2 Methode der gewichteten Residuen (GALERKIN) 4.5 Der Finite - Elemente - Algorithmus 4.5.1 Elementetypen und Formfunktionen 4.5.2 Elementematrizen 4.5.3 Aufstellung / Lösung der Gleichungssysteme
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5 Integralgleichungsmethode (IGM)
5.1 Direkte IGM (Green´sche Methode) 5.1.1 Integralgleichung im homogenen Medium 5.1.2 Integralgleichung in inhomogenen Medien 5.2 Indirekte IGM (Sekundärquellenmethode) 5.2.1 Feldgleichungen für inhomogene Medien 5.2.2 Sekundärquellen in bereichsweise homogenen Feldgebieten 5.2.3 Integralgleichung für die Sekundärquellendichte 5.3 Boundary - Elemente - Methode (BEM) 5.3.1 Green´sche Funktion und Randintegrale 5.3.2 Randintegralgleichungen 5.4 Volumenintegralmethode (VIM) 5.4.1 Integralgleichungen für Magnetfelder 5.4.2 Numerische Lösung 6 Ersatzladungsverfahren 6.1 Überlagerungsprinzip 6.2 Ladungstypen 6.3 Ladungsermittlung 6.4 Kontrolle der numerischen Approximation 7 Mehrfach-MultiPol-Methode (MMP) 7.1 Mathematisches Modell 7.2 Auswahl der MMP-Ansätze 7.3 Numerische Realisierung 8 Bewertung der numerischen Methoden
8.1 Entscheidungskriterien für die Methodenwahl 8.2 Typische elektromagnetische Feldprobleme 9 Elektromagnetisches CAD
9.1 Programmorganisation 9.2 Datenverwaltung 9.3 Preprocessing 9.4 Hauptprogramm 9.5 Postprocessing 9.5.1 Berechnung von sekundären Größen 9.5.2 Integralparameter 9.5.3 Kräfte 9.5.4 Momente Literaturübersicht
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Literatur zur numerischen Feldberechnung (Auswahl): Binns, K.J.; P.J. Lawrenson; C.W. Trowbridge: The analytical and numerical solution of electric and magnetic fields. John Wiley & Sons, Chichester, 1992 Booton, R.C.: Computational methods for electromagnetics and microwaves. John Wiley & Sons, New York, 1992 Brebbia, C.A.; J.C.F. Telles; L.C. Wrobel: Boundary Element Techniques. Springer, Berlin, 1984 Chari, M.V.K.; S.J. Salon: Numerical methods in electromagnetics. Academic Press, San Diego, 2000 Davidson, D.B.: Computational electromagnetics for RF and microwave engineering. Cambridge University Press, Cambridge, 2005 Fetzer, J., M. Haas, St. Kurz: Numerische Berechnung elektromagnetischer Felder: Methode der finiten Elemente – Randelementmethode – Kopplung beider Verfahren – Anwendung in der elektrotechnischen Praxis. expert-Verlag, Renningen-Malmsheim, 2001 Golberg, M.: Boundary integral methods: numerical and mathematical aspects. WIT Press, Boston, 1999 Hafner, Ch.: Numerische Berechnung elektromagnetischer Felder. Springer, Berlin, 1987 Hafner, Ch.: MAX-1. A visual electromagnetics platform. John Wiley, Chichester, 1998 Hafner, Ch.: Post-modern electromagnetics: using intelligent Maxwell solvers. John Wiley, Chichester, 1999 Hameyer, K.; R. Belmans: Numerical modelling and design of electrical machines and devices. WIT Press, Southampton-Boston, 1999 Harrington, R.F.: Field computation by moment methods. IEEE Press, Piscataway, 1993 Hoole, S.R.H.: Computer-aided analysis and design of electromagnetic devices. Elsevier, New York, 1989 Hoole, S.R.H., P.R.P. Hoole: A modern short course in engineering electromagnetics. Oxford University Press, New York, 1996 Huebner, K.H.: The finite element method for engineers. Wiley, New York, 2001 Humphries, St.: Field solutions on computers. CRC Press, Boca Raton, 1998 Ida,N.; J.P.A. Bastos: Electromagnetics and calculation of fields. Springer, New York, 1992 Jin, J.: The finite element method in electromagnetics. John Wiley & Sons, New York, 2002 Kost, A.: Numerische Methoden in der Berechnung elektromagnetischer Felder. Springer, Berlin, 1994
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Kunz, K.S.; R.J. Luebbers: The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics. CRC Press, Boca Raton, 1993 Lowther,D.A.; P.P. Silvester: Computer-aided design in magnetics. Springer, Berlin, 1986 Marinescu, M.: Elektrische und magnetische Felder: eine praxisorientierte Einführung. Springer, Berlin, 1996 Marsal, D.: Finite Differenzen und Elemente. Springer-Verlag, Berlin, 1989 Mayr, M., U. Thalhofer: Numerische Lösungsverfahren in der Praxis: FEM-BEM-FDM. Hanser, München, 1993 Philippow, E.: Grundlagen der Elektrotechnik (8.Aufl.). Verlag Technik, Berlin, 1988 Poljak, D., C.A. Brebbia: Boundary element methods for electrical engineers (Advances in electrical engineering and electromagnetics). WIT Press, Southampton-Boston, 2005 Reece, A.B.J., T.W. Preston: Finite element methods in electrical power engineering. Oxford University Press, 2000 Sabonnadiere, J.-C.; J.-L. Coulomb: Finite Element Methods in CAD. North Oxford Academic, London, 1987 Sadiku, M.N.O.: Numerical Techniques in Electromagnetics. CRC Press, Boca Raton, 2001 Schwarz, H.R.: Methode der finiten Elemente. B.G. Teubner, Stuttgart, 1992 (2.Aufl.) Shen, J.: Computational electromagnetics using Boundary Elements. Advances in modelling eddy currents. Computational Mechanics Publications, Southhampton, 1995 Silvester, P.P.; R.L. Ferrari: Finite Elements for Electrical Engineers. Cambridge University Press, 1983 Smith, G.D.: Numerical solution of partial differential partial differential equations: finite difference methods. Clarendon Press, Oxford, 1993 Strassacker, G., P. Strassacker: Analytische und numerische Methoden der Feldberechnung. B.G. Teubner, Stuttgart, 1993 Sykulski, J.: Computational Magnetics. Chapman & Hall, London, 1995 Taflove, A.: Advances in Computational Electrodynamics. The Finite-Difference Time-Domain Method. Artech House, Boston-London, 1998 Taflove, A., S.C. Hagness: Computational electrodynamics: the finite-difference time-domain method. Artech House, Boston, 2000 Zhou, P.: Numerical analysis of electromagnetic fields. Springer, Berlin-Heidelberg, 1993 Zienkiewicz, O.C., R.L. Taylor: The finite element method. Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000
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0 Einführung
0.1 Historische Entwicklung der Feldberechnung Klassische Analyse - Approximationstheorie (Michlin, 1967) - spezielle analytische Lösung (Binns, 1963) - Transformationen (Schwarz, 1869) (Christoffel, 1870) Graphische Methoden (Johnson, 1927) (Stevenson, 1927) (Bewley, 1948) Netzwerkmodelle - Widerstandsnetzwerke (Liebman, 1949/52) (Duffin, 1959) Kontinuierliche Modelle - leitendes Papier (Karplus, 1958)
- elektrolytischer Trog Finite – Differenzen - Methode (Binns, 1963) Variationsrechnung - Rayleigh – Ritz - Verfahren (Ritz, 1909)
(Gould, 1957) (van Bladel, 1964) (Kornhauser, 1952) (McDonald, 1974) Statistische Verfahren - Monte – Carlo - Methode (Ehrlich, 1959) 0.2 Moderne numerische Feldberechnung
Anfang der siebziger Jahre
- 2D, statisch FDM (Trowbridge, 1972) FEM (Silvester, 1970)
- 3D FDM (Müller, 1972/83) IGM (Tozoni, 1975) Mitte der siebziger bis Mitte der achtziger Jahre
- zeitabhängige Probleme, 2D + 3D - interaktive Grafiktechniken (Csendes, 1981) - vorkond. konjugierte Gradientenverfahren (Kershaw, 1978) - automatische Netzgenerierung (2D) (Csendes, 1985) - a posteriori – Fehleranalysen (Biddlecombe, 86) - PC’s und CAD - Verfahren (Simkin, 1983) (Lowther, 1986)
Seit Mitte der achtziger Jahre - Übertragung auf PC – Technik - Nutzung von Supercomputern und Parallelrechnern - Kopplung verschiedener Methoden - CAD – Systeme - Berechnung verkoppelter Felder
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0.3 Entwicklung der Diskretisierungsmethoden Finite – Differenzen – Methode (FDM)
- erste elektrotechnische Anwendung (Erdelyi, 1970) - große 3D – Probleme (Müller, 1983) - Zeitdiskretisierung
Finite – Elementen – Methode (FEM)
- Mechanik (Zienkiewicz, 1965) - Elektrotechnik, Magnetostatik (Winslow, 1967) - elektrische Maschinen (Silvester, 1970) - elektrostatische Potentialprobleme (Silvester, 1969) - Wellenleiteranordnung (Silvester, 1969) (Ng, 1974) - 3D – Mikrowelleneinrichtungen (Hara, 1983) - Wirbelstromprobleme (Konrad, 1985) (Chari, 1980) - Modellierung von Permanentmagneten (Nakata, 1988) - 3D – Feldprobleme
Integralverfahren (IGM)
- Strukturmechanik BEM (Brebbia, 1980) - Elektrotechnik (Simkin, 1976)
(Wexler, 1969) - BEM – Softwarepakete (Tortschanoff, 1984) - Umlaufintegralmethode (Reichert, 1967)
(Koch, 1985) - Ersatzladungsverfahren (Steinbigler, 1968) - Momenten-Methode (Harrington, 1968)
COMPUMAG-Konferenzen:
1987 - Graz / Austria 1989 - Tokyo / Japan 1991 - Sorrento / Italy 1993 - Miami / USA 1995 - Berlin / Germany 1997 - Rio de Janeiro / Brasil 1999 - Sapporo / Japan 2001 - Evian / France 2003 - Saratoga Springs / USA 2005 - Shenyang / China 2007 - Aachen / Germany 2009 - Florianopolis / Brazil 2011 - Sydney / Australia
2013 - Budapest / Hungary
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1 Mathematisch – physikalische Feldmodellierung 1.1 Klassifizierung und Randbedingungen Approximationen physikalischer Erscheinungen: partielle Differentialgleichungen + Rand-/Anfangsbedingungen Beispiele: Felder von: - Drücken - Temperaturen - Massekonzentrationen - Verschiebungen - Elektromagnetischen oder akustischen Potentialen RWA - Ortskoordinate = unabhängige Variable AWA - Zeit = unabhängige Variable pDGL 2. Ordnung: L() - f = 0
DCx
Bx
ALn
i i
i
n
i i
i
) () () (
) (11
2
2
allgemeine pDGL mit 2 unabhängigen Variablen:
yxyxD
yC
yxB
xA ,,,,2
2
22
2
2
Klassifizierung der Differentialgleichungen Nach Form der Funktion D: B2 - A C < 0 elliptische DGL B2 - A C = 0 parabolische DGL B2 - A C > 0 hyperbolische DGL
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Randbedingungen Allgemeine Form:
n
1. Art ( Dirichlet-RB): gegeben; = 0 2. Art (Neumann-RB): /n gegeben; =0
homogene Neumann-RB: /n=0
3. Art (gemischte RB): , 0
Sturmscher Typ: = 0 auch: Cauchy-RB 1.2 Randwertprobleme / Anfangswertprobleme Feldeinteilung und Randbedingungen
Typ
hyperbolisch
parabolisch
elliptisch
D
> 0
= 0
< 0
Normal-
form
uxy = F
uxx – uyy =F
uxx = F
uxx + uyy =F
Rand-
bedingungen
3. Art
Dirichlet Neumann
3. Art
Dirichlet Neumann (3. Art)
Beispiel
Wellen-
gleichung
utt = 2uxx
Wärme- leitung
ut = 2uxx
Potential- gleichung
uxx + uyy =0
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X
Y
Z
Randwertaufgaben z.B. Lösung eines Variationsfunktionals: a ( , ) = f ( )
mit den Anfangs- und Randbedingungen
- Startzeit
- Dirichlet .)()( konstxgx
- Neumann .)()(
konstxgn
x
- mixed ( Konvektion ) )()(
)( xgn
xbxa
- binär ( m = 0; k = 1) mxxk iI )()(
oder periodisch
- Fernfeld
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Dirichlet – Randbedingung
Bedingung 1. Art Potential vorgegeben
Problem: - Wo muss man den Rand definieren?
a) b) c) Streufluss vernachlässigt
d) e) Kelvin–Transformation f)
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Neumann – Randbedingung
Normalen – Ableitung ist konstant
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Periodische Randbedingung Feldsymmetrien
- Diskretisierung muss auf den Rändern (i , I) identisch sein:
mxxk iI )()(
m = 0, k = 1 binäre Randbedingung
Fernfeld – Bedingung
Kelvin Transformation Transformation des freien Raumes in einen endlichen Raum
(d.h. im oberen kleinen Kreis FEM-Lösung) Potentiale auf dem Rand des (kleinen) FEM–Gebietes sind identisch mit denen auf dem
Kreis in der weiteren Umgebung der Hochspannungsleitung
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1.3 Potentialfelder Analoge Größen skalarer Potentialfelder
Größe Elektrostatik
Elektrisches Strömungs-
feld
Magneto- statik
Temperatur-feld
Flüssigkeits-strömung
Gravitations-feld
Potential Potential
Potential
Potential
Temperatur
T
Geschwindig-keitspotential
Newton- Potential
Intensität
elektrische Feldstärke
E
elektrische Feldstärke
E
magnetische Feldstärke
H
Temperatur-gradient
Geschwindig-keit
v
Gravitations-kraft
Material-konstante
Permittivität
Leitfähigkeit
Permeabilität
Wärmeleit-fähigkeit
Dichte
Kehrwert derGravitations-
konstante
Fluss-dichte
Verschiebung-
stromdichte D
Stromdichte J
Magnetische Flussdichte
B
Wärme-strom- dichte
q
Flussrate
Quellen-stärke
elektrische Ladungs-
dichte e
Stromdichte J
magnetische Ladungs-
dichte m
Wärme-quellen- dichte
q
Ausflussrate Massendichte
Integral-parameter
Kapazität C
Leitwert G
Induktivität L
Wärme- kapazität
C
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1.4 Feldanalogien
Magnetfeld:
0
:oder
JA1
2
2
A – magnetisches Vektorpotential – Permeabilität J – Stromdichte B – Magnetflussdichte ( = x A ) – skalares magnetisches Potential µ – Permeabilität J – Stromdichte ( = 0 ) H – magnetische Feldstärke ( = - )
Elektrostatik:
2
– skalares elektrisches Potential – Permittivität – Raumladungsdichte E – elektrische Feldstärke ( = - )
Flüssigkeitsströmung:
0f
oder
qp
2
2
p – Geschwindigkeitspotential – Dichte q – Masseproduktion v – Geschwindigkeit ( = - ) f – Strömungsfunktion – Dichte q – Masseproduktion v – Geschwindigkeit ( = x f )
Temperaturfeld:
qTk 2
T – Temperatur k – Leitfähigkeit q – Wärmequellendichte v – Leitungsgeschwindigkeit ( = - k T )
Grundwasserströmung:
qk 2
– piezometrischer Knopf k – Leitfähigkeit q – Entladung / Pumpung v – Leitungsgeschwindigkeit ( = - k )
Torsion (2D):
2G
1 2
– Spannungsfunktion G – Young-Modul – Verdrehungswinkel / Länge – Scherspannung ( = x )
Elastische Membran:
FuT 2
u – Querauslenkung T – Membranspannung F – horizontal verteilte Last
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Analogien in den Feldgleichungen
t
TcqTgraddiv
felderTemperatur
transiente
t
BErot ,HB ,EJHrot
mfelderWirbelstro
transiente
0qTgraddiv felder Temperatur
stationäre
BjErot ,HB ,EJHrotmfelder Wirbelstro
eharmonisch
EJ 0,Jdiv 0,Erot eldStrömungsf
eselektrisch sstationäre
)H(MM , ischhartmagnet b)
0M ),H( B(H),Betisch weichmagna)
MHB 0,Bdiv,JHrottikMagnetosta
ED ,Ddiv 0,ErottikElektrosta
0
0
0
Feldformulierungen Das skalare elektrische Potential V
Die Vektoridentität 0)V(
führt zur elektrischen Feldstärke V- E
und zu einer Poisson – Gleichung für das elektrische Feld
VV 2
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Niederfrequente Magnetfelder
Statisch langsam veränderlich, transient zeitharmonische Wirbelstromprobleme
- linear - sinusförmig - Einzelfrequenzen
Das skalare magnetische Potential
Analog findet man eine Formulierung für das skalare magnetische Potential in
stromfreien Gebieten
0
0)(
H
2
weniger Unbekannte verglichen mit dem Vektorpotential Probleme in Regionen mit eingeprägten Strömen werden überwunden durch die
Definition eines elektrischen Vektorpotentials
)T()( 2 A – Formulierung
A – Formulierung
- Formulierung
Potentialformulierung
Vektorpotential
JA2
Skalarpotential
)T(2
Implizit erfüllte Gleichung
0B
JH
Explizit erfüllte Gleichung
HB
JH
HB
0B
Feldquellen
J
T ist zu bestimmen
Zusatzbedingungen
Eichung
Schnitte / Symmetrien
Elementetyp
Kanten (edge)
Knoten (node)
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Quasistationäre elektromagnetische Felder
PDE vom Poisson – Typ (d/dt = 0) Diffusionsgleichung (stationär)
J)A(
physikalische Effekte - ferromagnetische Sättigung - Hysteresis - zusätzliche Terme (quasistationär)
Bewegung v
Wirbelstrom
JAjA2
transienter Term
Jt
AA2
Praktische Anwendung - Frequenz < 10kHz - elektrische Energiewandler Motoren Aktuatoren Hochspannungsleitungen Ausnahme: Mikrowellenheizung (Verschiebungsströme)
Felderzeugung durch stromdurchflossene Spulen - Motoren - Transformatoren - Induktoren
Leitungsstrom kein Verschiebungsstrom !
Durchflutungsgesetz
JH
Felder sind quasistationär: l ; v
lTa
große Anstiegszeit Ta verglichen mit der Signallaufzeit
mm km ; l 5...10 ; v
lT GhzHza 30;600010...5 1050
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Wirbelstromformulierungen
- Faraday´sches Gesetz
At
Bt
E
- Ohmsches Gesetz
At
J e
liefert 0JAt
A1
und mit den gleichen Annahmen wie im stationären Fall ist die transiente Formulierung gegeben durch:
02 JA
tA
und mit AjAt
sowie sinusförmiger und Einzelfrequenz- Erregung erhalten wir die zeitharmonische Formulierung
02 JAjA
mit komplexem Vektorpotential )tcos(A)t(A
ausgedrückt durch )t(jeA)t(A
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Lösung von Feldaufgaben
Feldprobleme werden definiert durch Differentialgleichungen Problem: Finden der korrekten Lösung durch Anwendung der geeigneten Methode
(FEM, BEM, FDM, ... ) Partielle Differentialgleichung
Problem:
partielle Differentialgleichungen sind schwer zu lösen Lösung:
- Finde die komplizierte Lösung eines Problems indem sie durch eine einfachere ersetzt wird
- Aufstellung eines leicht zu lösenden linearen Gleichungssystems
1.5 Lösungsansätze
Analytische Methoden zur Feldberechnung
- Superposition - Gaußscher Satz der Elektrotechnik - Direkte Integration - Spiegelungsmethode - Konforme Abbildung - Schwarz – Christoffelscher Abbildungssatz - Produktansatz (Separation der Variablen) - Reihenentwicklungen (Fourier-, Multipol-,...) - Durchflutungsgesetz - Gesetz von Biot – Savart - Vektorpotential - Skalarpotential (totales oder reduziertes) - Monte – Carlo – Methode
Analysemethoden
analytische Methoden semi- analytisch/numerisch numerische Methoden
exakte Methoden:
Separation der
Variablen LAPLACE –
Transformation ...
Approximationen:
RAYLEIGH –
RITZ GALERKIN-
Methoden ...
numerische Lösung finite oder diskrete Elemente Methode
numerische Integration
finite Differenzen
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Semi – analytische Verfahren
- Ersatzladungsverfahren - Sonderfälle der Momentenmethode - Fourier – Transformation
Spectral Domain Analysis (3D Fourier – Transformation) Reihensätze, die auf komplizierte Integrale führen
- Point – Matching – Methode (Kollokation) - MMP – Methode (Multiple – Multipol –Methode)
Semi – numerische Verfahren
- Momentenmethode
Numerische Verfahren
- Direkte Lösung der Maxwell – Gleichungen
Integralform Differentialform
- Lösung abgeleiteter Gleichungen Wellengleichung Potentialgleichung
- Unabhängige Variable direkte Feldgrößen: E, D, H, B, J abgeleitete Größen: Skalarpotentiale , Vektorpotentiale A, T Hertzscher Vektor Π
Lösungsansätze erfüllen die Randbedingungen, aber nicht die Feldgleichungen!
Lösungsansätze erfüllen weder die Feldgleichungen, noch die Randbedingungen exakt!
Lösungsansätze erfüllen die Feldgleichungen, aber nicht die Randbedingungen!
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o Parasitäre Effekte, die für die Anwendung numerischer Methoden sprechen
Ferromagnetische Sättigung Zunahme von Leckströmen Hohe Betriebstemperaturen irreversible Verluste bei Verwendung von Permanentmagneten Kopplung verschiedener Effekte thermische/magnetische/strukturdynamische/Strömungsfelder durch Bewegung induzierte Strömungsfelder
o Eigenschaften numerischer Methoden
Zuverlässigkeit Robustheit Genereller Anwendungsbereich Genauigkeit Leistungsfähigkeit
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1.6 Theorie – Simulation – Experiment
Computersimulation - numerische Approximation - reflektiert und beeinflusst die klassische Theorie
Lösungsprozess
Annahmen
- Randbedingungen - Materialeigenschaften
Lösungskriterien - Gleichungstyp - Lösungsalgorithmus
Reale Anordnung Modellierung Mathematisches Modell des Gerätes
Messung
Experimentelle Daten
Computersimulation Theorie
Berechnete Daten Theoretische Erwartungen
Vergleich Vergleich
Modellverifikation durch Simulation
Modelverifikation über die Theorie
System von partiellen DGLn
Annahmen
Potentiale, Eichung, Schnitte, Symmetrie
Formulierung
Wahl des Lösungskriteriums
Wahl der Diskretisierungselemente
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Ablauf einer Feldberechnung
Grundelemente - Problemdefinition Geometrie Material Problemtyp:
- statisch, - transient, - zeitharmonisch, - gekoppelt,...
- Lösung - Auswertung
Potentialverteilung
Teilschritte einer Feldanalyse
Eingaben: - Geometrie - Fehlergrenzen - Auswertung als - Material - max. Iterationszahl Diagramm, - Randbedingungen Farbplots,... - Diskretisierung - Netzadaption - Optimierung - Approximation - numerische Methoden - weitere Modellierungen - Parametrisierung - Gleichungslöser konzentrierte Parameter - Kopplung: Felder - Approximation lokaler Geometrie Feldgrößen Netzwerk - Feldkopplung Bewegung Methoden
Preprocessing 50% Definition Geometrie,
Material
Netzgenerierung
Processing 20%
Modifizierte Newton – Methode
SSOR-CG
Fehlerabschätzung
Netzadaption
Postprocessing 30%
Auswertung
Preprocessing Processing Postprocessing
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Numerische Verfahren Magnetic Equivalent Circuit (MEC) Feldersatzverfahren (Elementarstrom-, Mengentheorie des Magnetismus) numerische Lösungsmethoden
- FDM - FEM - BEM
Materialmodellierung numerische Implementierung Netzverfeinerung Postprocessing Äquivalente magnetische Netzwerke / Magnetic Equivalent Circuit (MEC)
Äquivalenz zwischen elektrischem Strömungsfeld und Magnetfeld
Vorteile
- schnell - leicht zu implementieren - nichtlinear möglich
Nachteile - nur einfache Geometrie - Flusswege müssen für die Aufstellung des Modells bekannt sein - Kraftberechnung ist schwierig
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Äquivalente Netzwerke
Elemente mit konstanten Eigenschaften
1
0 )()(
1
xSx
dxR
m
m
- linear - nichtlinear - parametrisch nichtlinear
Feldlösung
- in diskreten Netzwerkknoten - gute Approximationsmethode
Feldersatzmethoden Äquivalenz zwischen elektrischem und magnetischem Feld Vorteile
- relativ schnell - 3D – Felder
Nachteile - Nichtlinearitäten werden nicht erfasst - nur für spezielle Geometrien - spezifische Randbedingungen (manchmal nicht sehr realistisch)
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Elementarstrommodell der Magnetisierung Verteilte (Elementar-) Ströme
- homogen verteilte Dipolmomente führen zu einem Oberflächenstrom IS, - Volumenstrom IV verschwindet
Magnetisches Ladungsmodell der Magnetisierung
Maxwell – Gleichungen
0
B
JH keine felderregenden Ströme im Volumen
0
H führt zu einem Gradientenfeld
Hm
Verwendung der Entmagnetisierungkennlinie des Permanentmagnetmaterials
)(0
MHB
führt zu der Poisson – Gleichung
0)(0
MHB
mmHM
Mm
Äquivalenz des PM – Feldes mit dem elektrischen Feld Die einfachen Regeln der Elektrostatik sind anwendbar für die Bestimmung von
Skalarpotential und magnetischer Feldstärke durch Integration über die Oberfläche des Permanentmagnetes
dAr
MdA
r
MPH
dAr
MdA
r
MP
A N pqA N pq
A N pqA N pq
m
0000
0000
44)(
,44
)(
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Übersicht über die Feldberechnungsmethoden
Methode
Prinzip der
Diskretisierung
Geometrie-
Approximation
Nicht-
linearität
Rechen- Aufwand
FEM
extrem flexibel
gut
möglich
hoch
FDM
unflexibel
möglich
hoch
BEM
bedingt flexibel
ungünstig
hoch
MEC
spezielle Geometrie
möglich
gering
Ersatz- quellen
Magnetisches
Moment /
Dipolmoment
einfache Geometrie
ungünstig
niedrig