Aufbau eines Bragg-Lasersystems
fur Koharenzuntersuchungen
an Spinor-Bose-Einstein Kondensaten
Thomas Garl
Diplomarbeit
Institut fur Laserphysik
Universitat Hamburg
Hamburg, Oktober 2004
Referent: Prof. Dr. K. Sengstock
Koreferent: Prof. Dr. W. Neuhauser
Zusammenfassung
Die vorliegende Diplomarbeit wurde am Institut fur Laserphysik der Universitat Ham-
burg durchgefuhrt. Das dort befindliche 87Rb-Experiment dient der Untersuchung von
Spinor-Bose-Einstein-Kondensaten.
In dieser Arbeit wurde ein Bragg-Lasersystem geplant und in das Experiment
integriert, mit dem ein Interferometer fur Spinor-BECs realisiert werden konnte. Zu
diesem Zweck wurde ein gitterstabilisierter Diodenlaser aufgebaut, dessen Frequenz
relativ zu den optischen Ubergangen von Rubidium mit Hilfe einer elektronischen
Regelung in Kombination mit einer dopplerfreien Sattigungsspektroskopie eingestellt
werden konnte. Fur die Bragg-Beugung von Atomen benotigt man zwei Laserstrah-
len, deren Frequenzverstimmung sich im kHz-Bereich kontrollieren lasst. Dies wur-
de durch Aufspalten des Laserstrahls und anschließende Frequenzverschiebung mit
akusto-optischen Modulatoren erreicht.
Mit dem System wurde Bragg-Streuung der kondensierten Rubidium-Atome bis
in die dritte Ordnung demonstriert. Außerdem konnte anhand der Messung von Rabi-
Oszillationen und der Demonstration eines π2-π2-Interferometers gezeigt werden, dass
das System sich hervorragend fur die geplanten interferometrischen Messungen der
raumlichen Koharenzeigenschaften von Spinor-Kondensaten eignet.
Ein weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit lag in der Verbesserung der Auflosung
der Detektionsoptik. Dies erweist sich als notwendig, da die bei der Interferenz zweier
BECs auftretenden Strukturen weit unterhalb der vorherigen minimalen Auflosung
liegen. Dazu wurde ein Linsensystem geplant und realisiert, durch dessen experi-
mentelle Implementation eine Auflosung von 3, 6 µm erzielt und diese somit um
einen Faktor funf verbessert werden konnte. Dies wurde anhand von Abbildung eines
Auflosungsdias gemessen und durch die Detektion von Kondensaten in der Magnet-
falle uberpruft.
iv
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Theoretische Grundlagen 5
2.1 Bose-Einstein Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 BEC mit Spinfreiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Bragg-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Bragg-Beugung von Rontgenstrahlen am Kristallgitter . . . . 9
2.2.2 Impulsubertrage durch stimulierte Raman-Prozesse . . . . . . 10
2.2.3 Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle . . 11
2.2.4 Bragg-Beugung von Atomen an einer sich bewegenden opti-
schen Stehwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.5 Bragg-Beugung hoherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.6 Bragg-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.7 Rabi-Oszillationen bei der Bragg-Beugung . . . . . . . . . . . 19
2.2.8 Bragg-Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Experimenteller Aufbau 25
3.1 Das BEC-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Aufbau der Detektionsoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Das Prinzip der Absorptionsmessung . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Aufbau des Linsensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.3 Charakterisierung der Detektionsoptik . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.4 Implementierung der Detektionsoptik . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Gitterstabilisierter Diodenlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1.1 Eigenschaften von Laserdioden . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1.2 Stabilisierung der Laserdiode . . . . . . . . . . . . . 39
v
vi INHALTSVERZEICHNIS
3.3.1.3 Aufbau und Justage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 Sattigungsspektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 Frequenzverschiebung mit akusto-optischen Modulatoren . . . 45
3.3.4 Aufbau des Bragg-Laserssystems . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems 51
4.1 Untersuchung des Einflusses von Fasern auf die Signalqualitat . . . . 51
4.2 Schwebungsmessung der Bragg-Laserstrahlen . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Demonstration der Bragg-Beugung erster und hoherer Ordnung . . . 60
4.4 Rabi-Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Das π2-π2-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 Ausblick 69
Literaturverzeichnis 71
Danksagung 77
Kapitel 1
Einleitung
Seitdem die Bose-Einstein-Kondensation (BEC) in verdunnten atomaren Gasen 1995
erstmalig experimentell realisiert wurde, hat die Untersuchung der kalten Quanten-
gase wahrend der letzten Jahre eine beachtliche Vielfalt an Ergebnissen hervorge-
bracht. Die beim Phasenubergang zum BEC auftretende makroskopische Besetzung
des Grundzustandes erlaubt nicht nur die Untersuchung grundlegender quantenme-
chanischer Fragestellungen, sie bietet auch eine Vielzahl vollig neuer physikalischer
Anwendungsperspektiven.
Die Vorhersage der Bose-Einstein-Kondensation erfolgte im Jahre 1925 von Ein-
stein [1], der unter Verwendung von de Broglies Konzept der Wellennatur von mas-
sebehafteten Teilchen [2] die Bose-Statistik fur Photonen [3] auf Teilchen mit Masse
anwendete. Dabei stellte er fest, dass wenn bei konstanter Temperatur die Teilchen-
zahl eines idealen Gases erhoht wird, ab einem gewissen Punkt die Verteilung nicht
mehr alle Teilchen aufnehmen kann, und somit die ubrigen Atome den Grundzustand
bevolkern mussen. Senkt man bei konstanter Teilchenzahl die Temperatur immer
weiter ab, so kann man sich anschaulich vorstellen, dass sich die Wellenpakete der in
einem Potential gefangenen Atome immer mehr ausdehnen, bis sie uberlappen und
so quasi gezwungen werden, den gleichen Zustand zu besetzen. Dieses Verhalten kann
nur bei Bosonen, also Teilchen mit ganzzahligem Spin, beobachtet werden.
Da zum Erreichen der Bose-Einstein-Kondensation in verdunnten atomaren Gasen
Temperaturen im Bereich von einigen hundert Nanokelvin erreicht werden mussen,
ist die experimentelle Realisierung mit großen technischen Schwierigkeiten verbunden
und konnte erst 70 Jahre nach der theoretischen Vorhersage erreicht werden. Dennoch
fand die Theorie schon 1938 zur Erklarung der Suprafluiditat von 4He Anwendung
[4], bei der auch das bis heute verwendete Konzept der makroskopischen Wellenfunk-
tion eingefuhrt wurde. Es folgten viele weitere Arbeiten, die zum Verstandnis von
1
2 Kapitel 1 Einleitung
supraflussigem Helium beitrugen und einen Großteil der theoretischen Grundlagen
der Bose-Einstein-Kondensation in homogenen Systemen beschrieben.
Allerdings war es erst mit Hilfe der Laserkuhlung ab Ende der 80er-Jahre moglich,
eine große Anzahl von Atomen auf Temperaturen von wenigen hundert Mikrokelvin
abzukuhlen und zu fangen. Fur die Entwicklung dieser Technik wurde 1997 der No-
belpreis an S. Chu [5], C. Cohen-Tannoudji [6] und W. D. Phillips [7] verliehen. Auf-
grund ihrer atomaren Eigenschaften eignen sich Alkalimetalle besonders gut fur die
Laserkuhlung. So gelang es im Jahr 1995 schließlich, die Bose-Einstein-Kondensation
mit den Elementen Rubidium [8], Lithium[9] und Natrium [10] zu erreichen. Dafur
wurden die Atome mit Hilfe der Laserkuhlung und der anschließenden evaporativen
Kuhlung, die ursprunglich fur spin-polarisierten Wasserstoff entwickelt wurde [11], auf
eine Temperatur unterhalb der kritischen Temperatur Tc abgekuhlt. Fur die Realisa-
tion der Bose-Einstein-Kondensation und die ersten fundamentalen Untersuchungen
an ihnen wurde der Nobelpreis 2001 an E. Cornell, W. Ketterle und C. Wieman verlie-
hen, wodurch die Wichtigkeit dieses neuen Forschungsfeldes der Physik unterstrichen
wurde.
Im Bereich der einkomponentigen Kondensate sind neben der Erforschung der
Grundeigenschaften (z. B. dem Phasenubergang) mittlerweile zahlreiche weiterfuhren-
de Experimente durchgefuhrt worden. Es wurden Anregungen von Kondensaten,
beispielsweise Solitonen [12] oder Vortices [13], sowie die Interferenz [14] und die
Koharenz [15] von BECs untersucht, um nur einige Aspekte zu nennen. Ein weiterer
Ansatz ist die Erforschung der Physik von BECs in komplexen Fallengeometrien wie
optischen Gittern [16], in denen zum Beispiel der Mott-Isolator-Ubergang beobachtet
werden konnte.
Ein faszinierendes Teilgebiet der Erforschung von ultrakalten Quantengasen ist
die Untersuchung von mehrkomponentigen BECs, die die Physik der Kondensate um
einen Freiheitsgrad erweitern. Hier sind insbesondere solche mit Spinfreiheitsgrad,
so genannte Spinor-Kondensate zu nennen. Durch das Speichern der Atome in einer
optischen Dipolfalle [17] ist es durch das (nahezu) Spin-unabhangige Fallenpotential
moglich, Atome in den 2F +1 verschiedenen mF -Unterzustanden zum Hyperfeinspin
F zu fangen und deren Eigenschaften zu untersuchen. Kondensate im Hyperfeinzu-
stand F = 1 wurden als Erstes in der Gruppe von W. Ketterle an 23Na untersucht,
wobei eine polare (anti-ferromagnetische) Wechselwirkung bestatigt und die Bildung
von Spindomanen [18] beobachtet wurde.
Funfkomponentige Kondensate im Hyperfeinzustand F = 2 wurden erstmalig am
Hamburger BEC-Experiment detailliert mit 87Rb untersucht, wobei sowohl die Spin-
zusammensetzung des Grundzustandes bestimmt als auch die Spindynamik analysiert
3
wurde [19]. Des Weiteren wurden Experimente zu F=1-Kondensaten von 87Rb durch-
gefuhrt, bei denen ein neuer experimenteller Zugang zur Bose-Einstein-Kondensation
bei nahezu konstanter Temperatur [20] sowie der Effekt der thermodynamisch getrie-
benen Spinausrichtung [21] untersucht wurden.
Die vorliegende Diplomarbeit befasst sich mit der Planung und dem Aufbau ei-
nes Bragg-Lasersystems, mit dem am bereits bestehenden Experiment weiterfuhrende
Untersuchungen zum Verstandnis von Spinor-BECs durchgefuhrt werden sollen. Hier
sind insbesondere atominterferometrische Messungen zu nennen, mit denen die Spin-
dynamik, deren Zeitabhangigkeit in unserer Arbeitsgruppe bereits untersucht wurde,
auch raumlich aufgelost werden soll. Dazu soll die (Phasen)-Koharenz von raumlich
separierten Komponenten innerhalb eines Kondensats bestimmt werden, in dem durch
ein sogenanntes”
π2
-π2-Interferometer“ getrennte und wieder uberlagerte Kondensate
auf ihre Interferenzstruktur untersucht werden. Da dazu sehr kleine Abstande (im
Bereich von einigen µm) aufgelost werden mussen, wurde im Rahmen dieser Arbeit
zusatzlich eine Detektionsoptik geplant und realisiert, die die Auflosung des beste-
henden Detektionssystems verbessern sollte.
Die Arbeit ist wie folgt gegliedert: Zunachst werden im folgenden Kapitel 2 die
theoretischen Grundlagen von Spinor-BECs kurz zusammengefasst sowie die Theo-
rie zur Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle sowie zur Bragg-
Interferometrie ausfuhrlich diskutiert.
Kapitel 3 wird nach einem Uberblick uber den bestehenden experimentellen Auf-
bau die im Rahmen dieser Arbeit realisierte Detektionsoptik beschrieben und cha-
rakterisiert. Es folgt eine ausfuhrliche Beschreibung des aufgebauten Lasersystems.
Im vierten Kapitel werden die Messungen prasentiert, die im Vorfeld zur Planung
des Lasersystems durchgefuhrt wurden, sowie die Charakterisierungsmessungen des
fertig implementierten Systems beschrieben und ausgewertet. Außerdem werden erste
Resultate zur Demonstration eines”
π2
-π2
-Interferometers“ vorgestellt, die belegen,
dass das realisierte Bragg-Lasersystem fur die weiteren geplanten interferometrischen
Messungen hervorragend geeignet ist.
Im letzten Kapitel werden abschließend Moglichkeiten vorgeschlagen, die den im
Rahmen dieser Arbeit fertiggestellten Aufbau weiter verbessern konnten und ein Aus-
blick auf zukunftige Optionen zu weiterfuhrenden Messungen gegeben.
4 Kapitel 1 Einleitung
Kapitel 2
Theoretische Grundlagen
2.1 Bose-Einstein Kondensation
2.1.1 Grundlagen
Die Bose-Einstein-Kondensation ist ein quantenstatistisches Phanomen und bezeich-
net die makroskopische Besetzung des Grundzustandes in einem bosonischen En-
semble unterhalb einer kritischen Temperatur Tc. Der Grund fur das Auftreten der
Kondensation ist die dieser Teilchenklasse zugrunde liegende Verteilungsfunktion [22]
N(εi) =1
exp(
εi−µkBT
− 1) , (2.1)
wobei Ni die mittlere Besetzung des Zustandes mit der Energie εi, µ das chemische
Potential und kB die Boltzmannkonstante bezeichnen. In der großkanonischen Be-
schreibung ist das chemische Potential eine Funktion der mittleren Teilchenzahl N
und der Temperatur T , es ist durch die Randbedingung
N =∑
i
N(εi) (2.2)
die die Gesamtteilchenzahl N beschreibt, festgelegt.
Eine anschauliche Interpretation der Bose-Einstein-Kondensation kann durch Be-
trachten der Phasenraumdichte erlangt werden. Diese beschreibt die Anzahl der Teil-
chen im Volumen eines Quaders, dessen Seitenlange der thermischen de-Broglie- Wel-
lenlange λdB(T ) =√
2πh2/(mkBT ) entspricht. Die makroskopische Besetzung des
Grundzustandes beginnt, wenn ein verdunntes Gas aus Bosonen eine Phasenraum-
dichte von
nλ3dB = 2, 612 (2.3)
5
6 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen
erreicht. Anschaulich bedeutet dies, dass der mittlere Abstand der Atome in den
Bereich der thermischen de-Broglie-Wellenlange kommt und sich somit die Wellen-
funktionen der einzelnen Bosonen uberlappen.
Im Falle schwach wechselwirkender Teilchen in einem zusatzlichen externen Fal-
lenpotential ergeben sich einige Veranderungen gegenuber dem homogenen wech-
selwirkungsfreien Fall. Dennoch lasst sich das Verhalten aller Atome durch eine
Wellenfunktion beschreiben, die in guter Naherung dem Produkt der Einteilchen-
Wellenfunktionen entspricht. Die Zeitentwicklung dieser Wellenfunktion wird durch
die Gross-Pitaevskii-Gleichung [22]
ih∂
∂tΨ(~r, t) =
(
− h2∇2
2m+ Vext(~r) + g|Ψ(~r, t)|2
)
Ψ(~r, t) (2.4)
beschrieben, in welcher Vext das zeitlich konstante Fallenpotential bezeichnet. Der
nichtlineare Term g|Ψ(~r, t)|2 beschreibt in der so genannten mean-field-Naherung die
Wechselwirkung der Atome untereinander. Die mean-field-Energie ist ein zusatzliches
Potential, das ein Atom durch die Anwesenheit aller anderen Teilchen erfahrt, die am
Ort ~r die Dichte |Ψ(~r)|2 erzeugen.
Der Parameter
g =4πh2as
m(2.5)
ist durch die s-Wellen-Streulange as charakterisiert. Diese ist im Falle von 87Rb po-
sitiv, es liegt somit eine repulsive Wechselwirkung vor. In diesem Fall werden die
Atome nach Ausschalten des externen Fallenpotentials voneinander wegbeschleunigt,
die mean-field-Energie wandelt sich in kinetische Energie um (mean-field-Expansion)
[23]. Die durch die interatomare Wechselwirkung verursachte Nichtlinearitat wird in
Experimenten ausgenutzt, um beispielsweise Solitonen oder Vortices in verdunnten
atomaren Gasen zu realisieren.
Aus Gleichung 2.4 ergibt sich mit dem Separationsansatz Ψ(~r, t) = ϕ(~r)·exp(−iµt/h)
die zeitunabhangige Gross-Pitaevskii-Gleichung:
µϕ(~r) =
(
− h2∇2
2m+ Vext(~r) + g|Ψ(~r)|2
)
ϕ(~r) (2.6)
Die Losung der Gross-Pitaevskii Gleichung lasst sich als
ϕ(~r) =√
Neiφ (2.7)
schreiben. In die Wellenfunktion ϕ der kondensierten Phase geht also die Teilchenzahl
N und die Phase φ ein. Fur die Teilchendichte n gilt:
n = |ϕ(~r)|2 (2.8)
2.1 Bose-Einstein Kondensation 7
Gleichung 2.7 verdeutlicht, dass eine feste Phase uber das ganze Kondensat existiert,
es kann also jeder Teil des Kondensats mit jedem anderen Teil interferieren.
2.1.2 BEC mit Spinfreiheitsgrad
Fangt man atomare Gase in Magnetfallen mit zeitlich konstantem Magnetfeld, so ist
die Verfugbarkeit verschiedener Hyperfeinzustande dadurch limitiert, dass die gefan-
genen Atome in so genannten weak-field seeking states verbleiben mussen, das heißt
solche Zustande, in denen dass Produkt gF ·mF aus Lande -Faktor und Magnetquan-
tenzahl positiv ist. Der Grund dafur ist, dass es kein dreidimensionales Maximum sta-
tischer Magnetfelder im freien Raum geben kann, was aus den Maxwell-Gleichungen
folgt. Das fuhrt bei 87Rb dazu, dass es sich im Fall von F = 1 nur im Hyperfein-
zustand mF = 1 und im Fall von F = 2 nur in den Hyperfeinzustanden mF = −1
und mF = −2 fangen lasst. Die experimentell in Magnetfallen erzeugten Kondensate
bestehen deshalb in der Regel nur aus einer Spinkomponente und werden dann durch
eine skalare Wellenfunktion ϕ(~r) beschrieben.
Werden die Atome in einem Potential gefangen, welches fur alle Spinkomponenten
denselben Einschluss bietet, z. B. im Potential einer weit von der Resonanz verstimm-
ten optischen Dipolfalle, stellt der Spin einen Freiheitsgrad fur das Kondensat dar.
Es muss daher anstatt durch die einkomponentige Wellenfunktion ϕ(~r) durch einen
Vektor
~ϕ(~r) =
ϕ+1(~r)
ϕ0(~r)
ϕ−1(~r)
(2.9)
im Hyperfeinspinraum beschrieben werden und wird Spinor-BEC genannt. Hier ist
der Fall mit Gesamtspin F=1 dargestellt, die einzelnen Komponenten des Vektors
stehen fur die Zustande mit mF = −1, 0 und +1. Die Anzahl der Komponenten
hangt vom Hyperfeinzustand F der Atome ab und betragt 2F + 1.
Die zeitabhangige Gross-Pitaevskii-Gleichung fur Spinor-BECs mit F = 1 lautet
[24]:
ih∂
∂t~ϕ(~r, t) =
(
− h2∇2
2m+ Vext(~r) + g0n(~r, t) + g2Sα~ϕ(~r, t)~ϕ∗(~r, t)Sα
)
~ϕ(~r, t) .
(2.10)
In dieser Gleichung stehen Sα fur die Pauli-Spinmatritzen, die Parameter gi beschrei-
ben die Wechselwirkungsprozesse, g0 nur Prozesse ohne Anderung der Spinzusam-
mensetzung und g2 auch jene, bei denen sich die Zusammensetzung der einzelnen
Spins andert.
8 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen
Spinor Bose-Einstein Kondensate unterscheiden sich von anderen mehrkomponenti-
gen Kondensaten, wie z. B. Mischungen aus Atomen in den Hyperfeinzustanden |F =
2, mF = 2〉 und |F = 1, mF = −1〉 [25] darin, dass die Amplituden der Komponen-
ten zeitlich variieren konnen. Die Urache hierfur liegt in den moglichen spinandernden
Stoßen, beispielsweise |mF = 0〉 + |mF = 0〉 ⇐⇒ |mF = +1〉 + |mF = −1〉 .
Diese so genannte Spindynamik ist ein faszinierender Teilbereich der Erforschung
von mehrkomponentigen Kondensaten. Bei den am hiesigen BEC-Experiment durch-
gefuhrten Messungen zeigten sich abhangig von der praparierten Anfangszusammen-
setzung der Spinkomponenten verschiedene Phanomene der Spindynamik, unter ande-
rem Oszillationen der Population der einzenlnen Spinkomponenten auf verschiedenen
Zeitskalen (im Bereich von ms fur F=2 und fur F=1 im Bereich von Sekunden, siehe
hierzu auch [19]).
Eine weitere interessante Fragestellung im Bereich der Spinor-Kondensate ist die
nach der Spinzusammensetzung des Grundzustandes. Hier gibt es bei 87Rb abhangig
vom Hyperfeinzustand grundlegende Unterschiede. Fur Kondensate mit F=1 wurde
ferromagnetisches Verhalten vorrausgesagt [26] und in zwei Arbeitsgruppen gemes-
sen [19][27]. Im Hyperfeinzustand F=2 zeigt sich ein polares (anti-ferromagnetisches)
Verhalten [19]. Allerdings konnte dieser Zustand bei den bei der Messung vorhande-
nen experimentellen Parametern auch der Grundzustand der zyklischen Phase sein,
die somit nicht ausgeschlossen werden kann.
Die Frage nach der Koharenz und der raumlichen Entwicklung der Spindynamik
soll Gegenstand zukunftiger Experimente sein. Dabei ist besonders die Untersuchung
der Mischbarkeit von Spinkomponenten und deren raumlichen Entmischung sowie ei-
ner moglichen Domanenbildung interessant. Mit Hilfe eines Atominterferometers kann
die Koharenz zwischen einzelnen Spinkomponenten untersucht und somit Erkennt-
nisse zu diesen Fragen gewonnen werden. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde zu
diesem Zweck ein Lasersystem realisiert, mit dem man durch Bragg-Streuung von
Atomen interferometrische Messungen durchfuhren kann. Die theoretischen Grund-
lagen dazu werden in den folgenden Abschnitten diskutiert.
2.2 Bragg-Beugung
Die Bragg-Beugung von Rontgenstrahlen an Kristallen wurde erstmalig 1912 von
W.H. Bragg und seinem Sohn W.L. Bragg demonstriert [28] und 1915 mit dem No-
belpreis honoriert. In dieser Diplomarbeit geht es um das komplementare Analogon
dazu, die Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle, welche experi-
mentell erstmals 1987 realisiert wurde [29]. Die theoretischen Grundlagen dazu sollen
2.2 Bragg-Beugung 9
im Folgenden nach einer kurzen Beschreibung der Bragg-Beugung an Kristallen dar-
gestellt werden.
2.2.1 Bragg-Beugung von Rontgenstrahlen am Kristallgitter
ϑ
1.Ordnung 0.Ordnung
d
d · cos ϑ
Abbildung 2.1: Bragg-Beugung von Rontgenstrahlen am Kristallgitter
In einer periodischen Anordnung von Teilchen findet man neben den in Abbil-
dung 2.1 eingezeichneten horizontalen und verikalen Ebenen auch noch weitere von
den Gitterpunkten aufgespannte Ebenen, die schrag zu diesen stehen, auf denen je-
doch der Abstand der einzelnen Teilchen zueinander großer ist. Parallel zu diesen so
genannten Netzebenen existieren weitere Netzebenen, deren Abstand zueinander im
Allgemeinen verschieden von den Gitterkonstanten ist. Fallt paralleles Rontgenlicht
auf eine Netzebene, wirkt jedes daraufliegende Teilchen als Streuzentrum und emit-
tiert eine Sekundarwelle. Dasselbe passiert auf den benachbarten Netzebenen, da auf
dem Abstand d die Rontgenwelle nur sehr wenig absorbiert wird. All diese von den
Teilchen ausgehenden Sekundarwellen setzen sich dem Huygensschen Prinzip folgend
zu einer neuen reflektierten Welle zusammen und interferieren miteinander. Die Wel-
len interferieren nur konstruktiv miteinander, wenn fur den Winkel, unter dem das
Rontgenlicht eingestrahlt wird, gilt:
2d · cos ϑ = nλ (n = 1, 2, 3, ...) (2.11)
Gleichung 2.11 wird Bragg-Bedingung genannt, aufgrund der Vielzahl verschiedener
Netzebenen ist sie bei gegebener Wellenlange λ nur fur wenige Winkel ϑ exakt erfullt.
10 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen
2.2.2 Impulsubertrage durch stimulierte Raman-Prozesse
hδ
0
|g〉
|e〉
E
virtuelles
Niveau
stimulierte
Emission
Pump-
Laser
Probe-
Laser
hωpu
|g ′〉
E|e〉
E|e〉 − ∆
hωpr
Abbildung 2.2: Schematische Darstellung des stimulierten Ramanprozesses
Der stimulierte Ramanprozess (siehe Abbildung 2.2) ist ein Zwei-Photonen-Prozess,
bei dem durch die Wechselwirkung von Licht mit Atomen ein Impulsubertrag auf diese
stattfindet. Dazu werden die Atome von zwei Laserstrahlen beleuchtet, die im Fol-
genden als Pump- und Probelaserstrahl bezeichnet werden. Der Pumplaserstrahl hat
eine Frequenz ωpu und der Probelaserstrahl eine Frequenz ωpr, wobei ωpu − ωpr = δ
und δ sehr klein gegen ωpr beziehungsweise ωpu ist. Die Laser sind gegenuber dem
Ubergang |g〉 ⇒ |e〉 um eine Frequenz ∆ verstimmt, so dass dieser Ubergang sehr
unwahrscheinlich ist.
Beim stimulierten Raman-Prozess geht das Atom durch Absorption eines Photons
aus dem Pump-Laserstrahl und anschließende stimulierte Emission in Richtung des
Probe-Laserstrahls von |g〉 uber ein virtuelles Niveau nach |g ′〉 uber. Dabei nimmt
es den Impuls des Pump-Photons auf und erhalt einen Ruckstoßimpuls durch die
stimulierte Emission, woraus ein effektiver Ruckstossimpuls ~pR resultiert, der vom
Winkel zwischen Pump- und Probestrahl abhangig ist (siehe dazu Kapitel 2.2.4).
Die beiden Impulszustande |g〉 und |g ′〉 sind also uber diesen Zwei-Photonen-Prozess
gekoppelt. Es handelt sich hierbei um einen koharenten Prozess, da die spontane
Emission stark unterdruckt ist.
2.2 Bragg-Beugung 11
2.2.3 Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Licht-
welle
ϑ
λdB = h/p
Atome
dLicht
ϑ ϑ
px
−px
px
pR = −2px = 2hk
x
Abbildung 2.3: Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle: Die Wel-
lenbauche der Stehwelle sind durch die dicken, die Knoten durch die dunnen gestri-
chelten Linien gekennzeichnet.
Bei der Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle (siehe Abbil-
dung 2.3) findet ein Prozess statt, der analog zu dem in Kapitel 2.2.1 beschriebe-
nen ist. Die Anzahl der hintereinander liegenden Gitterebenen bei der Beugung von
Rontgenstrahlen wird bei der Beugung von Atomen durch die Wechselwirkungszeit
tww zwischen stehender Lichtwelle und Atomen ersetzt. Ist die Wechselwirkungszeit
groß, werden die Atome nur in eine Richtung gebeugt.
Der Impulstransfer pR der Atome in Abwesenheit spontaner Emission resultiert
aus der Wechselwirkung zwischen dem induzierten Dipolmoment des Atoms mit dem
Feldgradienten des stehenden Lichtfeldes. Man kann den stattfindenden Prozess als
stimulierten Raman-Prozess auffassen (wobei es sich um den”Grenzfall“ mit δ = 0
handelt), bei dem das Atom uber Absorption und induzierte Emission zwei Photo-
nen zwischen den gegenlaufigen Laserstrahlen austauscht. Dadurch erfolgt ein Im-
pulsubertrag in diskreten Einheiten von 2hk in Richtung des k-Vektors (x-Richtung
in der Abbildung) der stehenden Lichtwelle. Interpretiert man den Prozess als Beu-
gung einer atomaren de-Broglie-Welle mit der Wellenlange λdB = h/p an einem In-
tensitatsgitter mit der Periodizitat dLicht = λLicht/2, lautet die Bragg-Bedingung in
12 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen
Analogie zu Gleichung 2.11:
2dLicht · cos ϑ = nλdB (n = 1, 2, 3, ...) (2.12)
2.2.4 Bragg-Beugung von Atomen an einer sich bewegenden
optischen Stehwelle
Bisher wurde in Analogie zur Bragg-Beugung von Rontgenlicht an einem Kristall die
Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle betrachtet, die aus zwei
uberlagerten, gegenlaufigen Laserstrahlen mit gleicher Frequenz resultiert. Modifiziert
man diese”konventionelle“ Feldgeometrie, indem man das Feld der Stehwelle durch
gegenlaufige Wellen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen ersetzt (was einer Trans-
formation in ein bewegtes Bezugssystem entspricht, siehe weiter unten), so lasst sich
die Bragg-Beugung von Atomen ebenfalls als stimulierter Raman-Prozess betrachten
[30]. Hierbei sind der anfangliche und der nach dem Beugungsprozess vorliegende
Impulszustand wieder durch den Raman-Prozess gekoppelt. Dieses wird anhand von
Abbildung 2.4 verdeutlicht.
ωω + δ
ϑ
Kondensat
Pump-LaserProbe-Laser
E
p0 pR
|g〉
|e〉
hδ
virtuelles
Niveau
Abbildung 2.4: Schematische Darstellung der Bragg-Beugung durch Pump- und
Probe-Laser mit unterschiedlicher Frequenz
Das Licht des Probe-Lasers habe die Frequenz ω, das des Pump-Lasers ω + δ. Um
die Betrachtung zu vereinfachen, sei die Geschwindigkeit der Atome gleich null und
der Winkel ϑ zwischen Pump- und Probe-Laserstrahl 180. Beim Beugungsprozess
2.2 Bragg-Beugung 13
absorbiert ein Atom ein Photon aus dem Pump-Laser und emittiert ein Photon in
Richtung des Probe-Lasers, so dass es einen Ruckstoßimpuls von insgesamt ~pR = 2h~k
in Richtung des Probe-Lasers erhalt. Dieser Impulsubertrag kennzeichnet die Bragg-
Streuung 1. Ordnung. Der Vektor ~k bezeichnet hierbei den Wellenvektor mit dem
Betrag k = 2π/λ, wobei λ fur die Wellenlange des Lichts steht. Bei dieser Betrach-
tung ist auf eine Unterscheidung des Betrages der Wellenvektoren von Pump- und
Probelaser kpu und kpr verzichtet worden, da die absoluten Frequenzen der beiden La-
serstrahlen im Bereich von 1014 Hz liegen, die Verstimmung δ dagegen ublicherweise
einige Kiloherz betragt.
Fur den Energieubertrag auf das ruhende Atom der Masse m gilt:
∆E =p2
R
2m=
(2hk)2
2m= hδ . (2.13)
Damit bei der Bragg-Streuung erster Ordnung Energie- und Impulserhaltung erfullt
sind, muss bei ruhenden Atomen nach Gleichung 2.13 eine bestimmte Frequenzdif-
ferenz δ eingestellt werden. Bei der Bragg-Beugung gibt es eine gewisse Energie-
unscharfe, die sich aus zwei verschiedenen Teilen zusammensetzt. Zum einen ist das
die Fourierbreite von δ im Frequenzspektrum, die aus der Heisenbergschen Unscharfe-
relation resultiert und in Kapitel 2.2.6 ausfuhrlich diskutiert wird. Zum anderen gibt
es eine”Leistungsverbreiterung“ in der Großenordnung der Rabi-Frequenz, welche in
Kapitel 2.2.7 beschrieben wird. Aus der Energieunscharfe folgt direkt eine Impuls-
verbreiterung, das heißt Gleichung 2.13 ist fur einen Impulsbereich ∆p um p = 0
erfullt.
Die obige Energie-Impuls-Beziehung fur die Bragg-Beugung kann auch auf eine
andere Art und Weise hergeleitet werden. Dazu geht man in ein mit der Geschwin-
digkeit v bewegtes Bezugssystem uber. Die Atome im diesem Bezugssystem”sehen“
die Frequenzen ω1 und ω2 der beiden Laserstrahlen dopplerverschoben und es gilt
ω ′
1 = ω1
(
1 +v
c
)
ω ′
2 = ω2
(
1 − v
c
)
,
wobei c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Bei einer bestimmten Geschwindigkeit
v0 verschieben sich die Frequenzen der Laser so, dass die im ruhenden Bezugsys-
tem laufende Welle eine stehende Welle im bewegten Bezugssystem ist. Fur diese
Geschwindigkeit gilt:
ω ′
1 = ω ′
2 =⇒ v0 = c · ω2 − ω1
ω1 + ω2
Setzt man ω1 = ω und ω2 = ω + δ, so lasst sich die obige Gleichung als
v0 = c · δ
2ω + δ
14 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen
schreiben und fur die dopplerverschobene Frequenz ω ′
1 ergibt sich:
ω ′
1 =2ω(ω + δ)
2ω + δ
Die Atome, die im Laborsystem die Geschwindigkeit v = 0 haben, haben im bewegten
Bezugssystem eine Geschwindigkeit v0 in Richtung der Laserstrahlen, woraus die de-
Broglie-Wellenlange λdB = h/(mv0) resultiert. Die Bragg-Bedingung fur die Bragg-
Beugung in die erste Ordnung (Gleichung 2.12 mit n = 1) wird wegen cos ϑ = 1 zu
λdB = λLicht, wobei λLicht wieder fur die Wellenlange des Lichts steht. Somit ergibt
sich unter Verwendung der obigen Beziehungen fur v0 und ω ′
1:
λdB =h
mc· 2ω + δ
δ!= 2πc · 2ω + δ
2ω(ω + δ)= λLicht
⇐⇒ h
mc2=
δ
2ω2(
1 + δω
)
Da die Frequenz ω im Bereich von 1014 Hz liegt, die Frequenzdifferenz δ aber nur
die Großenordnung kHz hat, kann man δ/ω in der obigen Gleichung rechts in guter
Naherung vernachlassigen und es ergibt sich fur δ:
hδ =2h2
mc2· ω2 =
(2hk)2
2m= ∆E (2.14)
Somit erhalt man durch diese Herleitung mit Gleichung 2.14 wieder die gleiche Re-
sonanzbedingung.
Als nachstes soll der Einfluss des Winkels ϑ zwischen Pump- und Probe-Laserstrahl
mit einbezogen werden. Ist ϑ kleiner als 180, so andert sich der Betrag des auf das
Atom ubertragenen Ruckstoßimpulses ~pR. Dieses wird anhand von Abbildung 2.5
verdeutlicht:
Das Atom erhalt einen Impuls mit dem Betrag pPump = hk in Richtung des Pump-
Laserstahls und nimmt danach einen Ruckstoßimpuls durch Emission eines Photons
pProbe = hk auf, der der Richtung des Probe-Laserstrahles entgegengesetzt ist. Dieses
fuhrt zu einem effektiven Ruckstoßimpuls pR = 2hk ·sin (ϑ/2), so dass die Bedingung
∆E =p2
R
2m=
(2hk · sin (ϑ/2))2
2m= hδ(ϑ) (2.15)
fur die Frequenzverstimmung δ der beiden Lasertrahlen in Abhangigkeit vom Win-
kel ϑ zwischen den Strahlen gelten muss, um der Energie- und Impulserhaltung zu
2.2 Bragg-Beugung 15
px
ϑ
2
pR
py
p Pum
p=
hk ϑ
2
pProbe=
hk
Abbildung 2.5: Einfluss des Winkels ϑ auf den Ruckstoßimpuls ~pR
genugen. Impuls- und Energieubertrag sind also fur ϑ = 180 am großten und konnen
stufenlos durch Veranderung des Winkels zwischen Pump- und Probelaser verandert
werden. Vertauscht man Pump- und Probelaser, was in diesem Bild der Wahl eines
negativen Winkels entspricht, so andert sich auch das Vorzeichen von sin(ϑ/2), der
Impulsubertrag findet also in die entgegengesetzte Richtung statt.
Bei den bisherigen Uberlegungen wurde angenommen, dass die Atome, die ge-
beugt werden,”sich nicht bewegen“. In einem Bose-Einstein Kondensat ist jedoch ei-
ne Impulsverteilung vorhanden, und die Bragg-Lichtpulse werden eingestrahlt, nach-
dem das Kondensat nach einigen Millisekunden time of flight (siehe dazu Kapitel
3.1) expandiert ist. Die Annahme, dass die Geschwindigkeit der Atome gleich null
ist, ist also nicht gultig. Gleichung 2.15 soll nun so verandert werden, dass sie die-
sem Umstand Rechnung tragt. Es ist offensichtlich, dass die Komponente der Ge-
schwindigkeit v senkrecht zum Impulsubertrag den Prozess der Bragg-Beugung nicht
beeinflusst. Daher ist es ausreichend, die Geschwindigkeitskomponente in Richtung
des Impulsubertrages zu betrachten. Der durch den Raman-Prozess auf das Atom
ubertragene Impuls bleibt von der Geschwindigkeit des Atoms unberuhrt. Der Gesam-
timpuls nach dem Streuprozess dagegen setzt sich zusammen aus dem Ruckstoßimpuls
pR = 2hk · sin (ϑ/2) und dem aus der Anfangsgeschwindigkeit v des Atoms resul-
tierenden Impuls P0. Da die Energie quadratisch vom Impuls abhangt und sich der
Gesamtimpuls gegenuber dem vorher betrachteten Fall mit v = 0 verandert hat, muss
sich die Frequenzdifferenz δ zwischen den beiden Laserstrahlen ebenfalls verandern,
damit Energieerhaltung gewahrleistet ist. Daraus ergibt sich folgender Zusammen-
16 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen
E
p0 pR + p0
|g〉
|e〉
hδ
virtuelles
Niveau
p0
E2
E1
Abbildung 2.6: Bragg-Beugung von sich bewegenden Atomen
hang (siehe hierzu Abbildung 2.6):
∆E = E2 − E1 =(pR + p0)
2 − p20
2m=
(mv + 2hk · sin (ϑ/2))2 − (mv)2
2m= hδ(ϑ, v)
(2.16)
Fur die Frequenzdifferenz folgt daraus:
δ(ϑ, v) =2hk2 sin2 (ϑ/2)
m− 2kv · sin (ϑ/2) (2.17)
Die zwischen Pump- und Probelaser einzustellende Verstimmung in Abhangigkeit
vom der Anfangsgeschwindigkeit v der Atome und dem Winkel ϑ zwischen den La-
serstrahlen wird durch Gleichung 2.17 beschrieben.
2.2.5 Bragg-Beugung hoherer Ordnung
Bisher wurde ausschließlich die Bragg-Beugung erster Ordnung betrachtet, die durch
einen stimulierten Raman-Prozess mit Austausch von zwei Photonen zu einem Im-
pulsubertrag von 2hk fuhrt. Es ist jedoch auch moglich, hohere Ordnungen der Bragg-
Beugung anzuregen. Dieses geschieht durch einen stimulierten Raman-Prozess n-ter
Ordnung, bei dem 2n Photonen zwischen Pump- und Probelaser ausgetauscht wer-
den.
2.2 Bragg-Beugung 17
E
p0 pR
|g〉
|e〉
nhδ
npR
h∆3
h∆2
h∆2n−1
h∆1
Abbildung 2.7: Bragg-Beugung n-ter Ordnung
Das Atom verbleibt auch bei diesem Prozess im Grundzustand, es wird aber uber
2n− 1 virtuelle Niveaus ein neuer Impulszustand angeregt. Die Bragg-Beugung n-ter
Ordnung wird im Energie-Impuls-Diagramm in Abbildung 2.7 dargestellt. Der Im-
pulsubertrag ist n mal so groß wie bei der Bragg-Beugung 1. Ordnung, also pR =
nhk · sin(ϑ/2). Fur die zwischen den beiden Laserstrahlen einzustellende Frequenz-
differenz fur die Bragg-Beugung n-ter Ordnung gilt somit:
∆E =(npR)2
2m=
(2nhk · sin(ϑ/2))2
2m= nhδ (2.18)
δ =2nhk2 · sin2(ϑ/2)
2m. (2.19)
Die Gleichungen 2.18 und 2.19 sind gultig fur Atome, deren Anfangsgeschwindigkeit
gleich null ist. Fur Atome mit einer Anfangsgeschwindigkeit v und einem daraus
resultierenden Anfangsimpuls p0 gilt folgender Zusammenhang:
∆E =(npR + p0)
2 − p20
2m=
(mv + 2nhk · sin (ϑ/2))2 − (mv)2
2m= nhδ (2.20)
δ =2nhk2 sin2 (ϑ/2)
m− 2kv · sin (ϑ/2) . (2.21)
Es ist also prinzipiell moglich, die Bragg-Beugung mit einer beliebigen Anzahl von
gleich vielen Pump- und Probe-Photonen stattfinden zu lassen, dafur muss die Ver-
stimmung in Abhangigkeit von Anfangsgeschwindigkeit der Atome und Winkel zwi-
schen den Laserstrahlen nach Gleichung 2.21 gewahlt werden. Allerdings sinkt mit
18 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen
zunehmender Ordnung die Wahrscheinlichkeit einer Anregung, da die Anzahl der
virtuellen Niveaus, uber die der Prozess stattfindet, steigt.
2.2.6 Bragg-Spektroskopie
Wie in Kapitel 2.2.4 und 2.2.5 beschrieben, konnen mit Hilfe der Bragg-Beugung
verschiedene Geschwindigkeitskomponenten aus einem Ensemble kalter Atome aus-
gekoppelt werden. Diesen Effekt der Geschwindigkeitsselektivitat bezeichnet man als
Bragg-Spektroskopie. Man kann ihn ausnutzen, um beispielsweise die mean-field-
Energie und die Impulsunscharfe eines Bose-Einstein Kondensates [31] oder Phasen-
Fluktuationen in BECs [32] [33] spektroskopisch zu messen. Gleichung 2.21 beschreibt
die dafur notwendige von der Anfangsgeschwindigkeit abhangige Frequenzdifferenz
zwischen Pump- und Probe-Laser. In diesem Abschnitt soll der Einfluss der Wechsel-
wirkungszeit der Atome mit dem Lichtfeld betrachtet werden.
Die fur den Vorgang der Bragg-Beugung relevante Energieunscharfe ist nach der
Heisenbergschen Unscharferelation durch die Wechselwirkungszeit, also die Dauer des
Bragg-Pulses gegeben:
∆E · tww = h∆δ · tww ≥ h/2 (2.22)
Hier wurde fur die Energieunscharfe das Symbol ∆E benutzt, um diese von der
Energiedifferenz ∆E zwischen Pump und Probe-Lasertrahl zu unterscheiden. Aus
der Energieverbreiterung folgt wegen ∆E = ∆p2
2mdirekt eine Impulsverbreiterung und
somit eine Geschwindigkeitsverbreiterung fur den Prozess der Bragg- Beugung. Durch
eine endliche Einstrahldauer tww erfullt man also die Resonanzbedingung fur einen
Impulsbereich ∆p. Um diesen Impulsbereich abschatzen zu konnen, ist es von Interes-
se, wie die spektrale Verteilung der Intensitat bei einstellbarer Frequenzdifferenz aus-
sieht. Das Spektrum der Relativfrequenzen erhalt man durch Fourier-Transformation
des Lasersignals in den Frequenzraum. Im Falle des im Rahmen dieser Diplomarbeit
erstellten Aufbaus war es durch die Verwendung von akusto-optischen Modulatoren
(siehe dazu Kapitel 3.3.3) moglich, die Laser extrem schnell zu schalten, so dass man
als Intensitatsprofil einen Rechteckpuls annehmen kann. Dadurch ergibt sich das fol-
gende Spektrum fur die Differenzfrequenzen der Laserstrahlen
I(ω) = I0 ·sin2((ω − δ) · tww/2)
((ω − δ) · tww/2)2, (2.23)
wobei δ wieder die Frequenzdifferenz zwischen den Laserstrahlen bezeichnet. Die Ein-
strahldauer tww gibt also die Frequenzbreite fur die Frequenzdifferenz an, aus Glei-
chung 2.23 folgt fur die FWHM-Breite ∆δ2π
= 0, 9. Der Impulsbereich ∆p lasst sich
2.2 Bragg-Beugung 19
nun bestimmen, wenn man die Resonanzbedingung der Bragg-Streuung
(p0 + pR)2
2m− p2
0
2m= ∆E = hδ
nach
p0(δ) =mhδ
pR− 1
2p2
R
umstellt und die sich aus der Pulsdauer ergebende Frequenzbreite
∆δ = 0, 9 · 2π
twwin ∆p0 =
∂p0(δ)
∂δ
∣
∣
∣
∣
∣
δ0
· ∆δ
einsetzt:
∆p0 =mh∆δ
pR(2.24)
Der Impuls pR steht dabei fur den”allgemeinen“ Ruckstoßimpuls der Bragg-Beugung
n-ter Ordnung: pR = nhk · sin(ϑ/2). Je langer man also die Bragg-Laser eintrahlt,
desto kleiner ist der Impuls- und somit auch der Geschwindigkeitsbereich, fur den die
Resonanzbedingung erfullt ist.
Anhand der Lange der Einstrahldauer und der damit verbundenen Breite des
Spektrums der Differenzfrequenz ∆δ lassen sich verschiedene Regimes der Streuung
unterscheiden: Fur sehr kurze Einstrahldauern kann das Frequenzspektrum so breit
sein, dass Beugung in mehrere Beugungsordnungen gleichzeitig stattfinden kann. Die-
ses Regime wird Raman-Nath- oder auch Kapitza-Dirac-Regime genannt [34] und ent-
spricht der Beugung an einem dunnen Gitter. Die Bragg-Beugunsversuche in dieser
Diplomarbeit finden im Bragg-Regime statt, und zwar mit einer Wechselwirkungs-
zeit, die eine Beugung des gesamten Impulsspektrums eines Kondensats ermoglicht.
Geht man zu langeren Einstrahlzeiten uber, werden einzelne Geschwindigkeitskom-
ponenten selektiv gebeugt, und man kann Bragg-Spektroskopie betreiben.
2.2.7 Rabi-Oszillationen bei der Bragg-Beugung
Fuhrt man die Bragg-Beugung an einem Bose-Einstein Kondensat durch, so ist es
fur die Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Beugung relevant, ob sich die Atome
gegenseitig beeinflussen oder nicht. Durch Ausschalten des Fallenpotentials und die
damit verbundene Umwandlung von mean-field-Energie in kinetische Energie kann
man aufgrund der repulsiven Wechselwirkung bei 87Rb erreichen, dass die Atome nach
wenigen ms einen ausreichend großen Abstand voneinander haben, um sich nicht
20 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen
mehr gegenseitig zu beeinflussen. Das BEC wird durch eine effektive Einteilchen-
Wellenfunktion beschrieben, man kann jedoch den Anteil der gebeugten Atome ange-
ben, in dem man die Anregungswahrscheinlichkeit fur jedes Atom”separat“ berech-
net. Diese Wahrscheinlichkeit hangt von verschiedenen Parametern ab: Zum einen ist
dieses die Intensitat I des Laserfeldes und die Wechselwirkungszeit tww der Atome
mit diesem Feld, zum anderen die Verstimmung ∆ der Laserfrequenz gegenuber der
Resonanz und die Relativfrequenz δ der beiden Bragg-Laserstrahlen.
Bei der Bragg-Beugung werden die beiden Impulszustande |g〉 ≡ |p = 0hk〉 und
|g ′〉 ≡ |p = nhk〉 durch die Laserstrahlung miteinander gekoppelt. Wird nun einer
der Parameter Wechselwirkungszeit oder Laserintensitat vergroßert, so gehen immer
mehr Atome von |g〉 nach |g ′〉 uber, bis schließlich alle Atome Bragg-gebeugt sind.
Wird das Laserfeld dann noch langer eingestrahlt, beziehungsweise die Intensitat wei-
ter vergroßert, werden die Atome wieder in die 0. Ordnung ( |g〉 ) zuruckgepumpt.
Bei diesem Vorgang handelt es sich um eine Rabi-Oszillation, er wird durch die Rabi-
Frequenz Ωn charakterisiert. Diese Oszillation kann dazu genutzt werden, durch Va-
riation der Einstrahldauer den Anteil der ausgekoppelten Atome zu steuern, was fur
die Realisierung von Atominterferometern mit Hilfe der Bragg-Beugung von Bedeu-
tung ist (siehe dazu Kapitel 2.2.8).
Fur die Rabi-Frequenz der Bragg-Beugung 1. Ordnung gilt der folgende Zusam-
menhang [35]:
Ω1 =Ω0,Pump · Ω0,P robe
2∆. (2.25)
Hierbei bezeichnet ∆ die Verstimmung gegen die Resonanz, Ω0,Pump und Ω0,P robe sind
die resonanten Rabi-Frequenzen der Bragg-Strahlen, welche sich wiederum mit
Ω20 =
Γ2
2· I
Isat
(2.26)
berechnen lassen. Dabei steht Γ fur die Linienbreite des Ubergangs, Isat fur die
Sattigungsintensitat und I fur die Laserintensitat.
Fur die Anregungswahrscheinlichkeit fur die Bragg-Beugung n-ter Ordnung gilt
[36]:
Pn(t) = sin2
(
Ωn · tww
2
)
(2.27)
mit
Ωn =Ω2n
0
22n−1∆1∆2 . . . ∆2n−1
(2.28)
Dabei bezeichnet Ω0 die Ein-Photonen-Rabi-Frequenz und tww die Einstrahldauer der
Bragg-Laserstrahlen. Es wurde zur Vereinfachung angenommen, dass beide Laser die
2.2 Bragg-Beugung 21
gleiche Intensitat haben, was mit dem im Rahmen dieser Diplomarbeit aufgebauten
Bragg-Lasersystem auch realisierbar ist. Bei der Bragg-Reflexion n-ter Ordnung gibt
es 2n − 1 virtuelle Niveaus, deren Verstimmung gegenuber dem angeregten Zustand
mit ∆m bezeichnet ist (siehe auch Abbildung 2.7). Wenn man ∆ δ vorraussetzt,
gilt naherungsweise fur ungerade m ∆1 = ∆3 = . . . = ∆ und fur gerade m ∆m =
(n2 − (n − m)2)δ, so dass fur die Rabi-Frequenz fur eine beliebige Beugungsordnung
n gilt:
Ωn(t) =[Ω0(t)]
2n
24n−3[(n − 1) ! ]2∆nδn−1. (2.29)
Die obigen Gleichungen sind unter der Annahme hergeleitet, dass die Verstimmung
∆ groß ist, so dass man durch adiabatische Elimination ein effektives Zwei-Niveau-
System betrachten kann. Des weiteren wurde davon ausgegangen, dass die Relativfre-
quenz δ zwischen Pump- und Probelaser genau die Resonanzbedingung 2.13 erfullt.
Liegt jedoch eine von δ abweichende Relativfrequenz δ + ε vor, so vergroßert sich die
effektive Rabi-Frequenz und die maximale Anregungswahrscheinlichkeit wird kleiner
als eins. Fur den Fall der Beugung in die erste Ordnung gilt dann [37]:
Pn(t) =(
Ω1
Ωeff
)2
sin2
(
Ωeff · tww
2
)
(2.30)
mit
Ωeff =√
ε2 + Ω 21 . (2.31)
Man kann also auch Atome in die erste Ordnung beugen, wenn die Frequenzdifferenz
zwischen den Bragg-Strahlen nicht genau dem Wert δ entspricht. Die FWHM-Breite
dieser Resonanz betragt das doppelte der Rabi-Frequenz Ω1, da diese von der ein-
gestrahlten Intensitat abhangt, kann dieser Sachverhalt als Leistungsverbreiterung
aufgefasst werden.
Die Fourierbreite von δ im Frequenzspektrum ist eine zusatzliche Breite, die mit
der oben beschriebenen konkurriert. Allerdings nimmt diese mit zunehmender Wech-
selwirkungszeit tww ab, so dass dann nur noch die oben beschriebene durch die Rabi-
Frequenz charakterisierte Breite eine Rolle spielt.
2.2.8 Bragg-Interferometrie
Mit der Erzeugung von Bose-Einstein-Kondensaten in verdunnten Alkaligasen war
man zum ersten Mal in der Lage, koharente Materiewellen zu erzeugen. Dadurch
wurden Experimente mit Atom-Lasern [38][39][40], die in Analogie zum optischen
Laser stehen, ermoglicht. Zur Untersuchung von BECs ist von besonderem Interesse,
22 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen
Abbildung 2.8: schematische Darstellung des Mach-Zehnder-Interferometers
Interferometer fur diese Materiewellen zu verwirklichen. Dafur benotigt man wie bei
einem optischen Interferometer Strahlteiler und Spiegel, mit denen man die raumliche
Ausbreitung der Welle steuern kann, ohne dabei ihre Koharenz zu zerstoren. Mit Hilfe
der Bragg Beugung ist es moglich, die Atome so zu beeinflussen, dass Interferometrie
mit Bose-Einstein-Kondensaten betrieben werden kann.
Wie im vorigen Kapitel beschrieben, sind bei der Bragg-Beugung zwei Impuls-
zustande durch ein Lichtfeld gekoppelt und es findet eine Rabi-Oszillation der Be-
setzungen dieser beiden Zustande statt. Man kann also durch die richtige Wahl der
Intensitat und der Einstrahldauer dieses Lichtfeldes einen beliebigen Anteil von Ato-
men aus der nullten Ordnung in die erste Ordnung der Bragg-Beugung transferieren
und umgekehrt. So lasst sich ein Strahlteiler durch einen π2
- Puls und ein Spiegel
durch einen π - Puls realisieren. Diese lassen sich in verschiedener Weise zu Ato-
minterferometern kombinieren. Beim Mach-Zehnder-Interferometer [35] wird das aus
dem Fallenpotential entlassene und durch die Gravitation beschleunigte Kondensat
durch einen π2
- Puls aufgespalten. Nach einer gewissen Entwicklungszeit t1 wird ein π -
Puls eingestrahlt, der die Atome aus der ersten Ordnung abstoppt und auf die aus der
nullte Ordnung einen Impuls ubertragt. Nach einer weiteren Entwicklungszeit t2 wird
wiederum ein π2
- Puls eingestrahlt, durch den die uberlappenden Atome aus beiden
Armen miteinander interferieren. Je nach Phase der interferierenden Atome werden
sie in die unterschiedlichen Ordnungen gebeugt. Das Mach-Zehnder-Interferometer
2.2 Bragg-Beugung 23
Abbildung 2.9: schematische Darstellung des π2
- π2
- Interferometers
ist in Abbildung 2.8 dargestellt.
Eine weitere Moglichkeit fur ein Atominterferometer stellt das π2
- π2
- Interfero-
meter dar, welches in Abbildung 2.9 schematisch dargestellt ist. Es bietet gegenuber
dem Mach-Zehnder-Interferometer zum einen den Vorteil, dass nur zwei anstatt drei
Bragg-Pulsen eingestrahlt werden mussen und zum anderen, dass das Interferometer
aufgrund der kurzeren Durchlaufzeit nicht so anfallig fur Schwankungen der Laser-
phase ist.
Das Kondensat wird durch einen π2
- Puls in zwei Teile aufgespalten und nach
einer Entwicklungszeit tB wird ein zweiter π2
- Puls eingestrahlt. Im Falle der Bragg-
Beugung 1. Ordnung haben sich die beiden Wellenpakete wahrend dieser Zeit um die
Strecke ∆x = (2hk/m)·tB voneinander entfernt und werden durch den zweiten Bragg-
Puls als teilweise uberlappende Atomwolken in beide Ausgange des Interferometers
rekombiniert. Daraus resultiert ein Interferenzmuster, welches von der Seperation der
beiden Teile des Kondensats ∆x und somit von der Zeit tB zwischen den Laserpulsen
abhangt.
Dieser Zusammenhang lasst sich folgendermaßen verstehen [41]: Durch die mean-
field-Abstoßung liegt eine parabolische Dichteverteilung der Atome in der harmoni-
schen Falle vor. Die mean-field-Energie Umf ist proportional zu dieser Dichtevertei-
lung, deshalb ist, wenn das Fallenpotential ausgeschaltet wird und sie sich in kine-
tische Energie umwandelt, die ortliche Beschleunigung v ∝ ∇Umf linear vom Ort
24 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen
abhangig. Aus diesem Grund bleibt die parabolische Dichteverteilung erhalten und
es liegt eine Geschwindigkeitsverteilung vor, die wiederum linear abhangig vom Ort
ist:
v(x) = α(t) · x .
Der Geschwindigkeitsgradient ist dabei gegeben durch α(t) = λ(t)/λ(t) mit dem
Parameter λ(t), der die Große des Kondensats relativ zu seiner Große in der Fal-
le beschreibt und in [42] definiert ist. Die Geschwindigkeitsdifferenz zweier Atome
aus den sich uberlappenden Ensembles ist also nicht vom Ort, sondern nur von der
Entfernung ∆x und der Zeit abhangig:
∆v = α(t) · ∆x .
Das Interferenzmuster lasst sich also durch die Interferenz zweier ebener Materiewel-
len mit einer Relativgeschwindigkeit ∆v erklaren, und es gilt fur den Abstand der
Interferenzstreifen:
d =h
m ∆v=
h
m α(t) ∆x(2.32)
Mit dem π2-π2-Interferometer lassen sich Koharenzeigenschaften von BECs uber die ge-
samte Ausdehnung studieren. Besonders interessant ist die Frage nach der raumlichen
Koharenz der Spinor-BECs, die am hiesigen Experiment mit Spinorkondensaten aus
der Diplofalle interferometrisch untersucht werden soll.
Kapitel 3
Experimenteller Aufbau
Das in dieser Diplomarbeit beschriebene Bragg-Lasersystem wurde am 87Rb-BEC-
Experiment in Hamburg aufgebaut. Da mittlerweile mehrere Arbeitsgruppen welt-
weit Bose-Einstein-Kondensate erforschen, sind einige der im Experiment verwende-
ten Techniken zu”Standardtechniken“ geworden. Diese sollen in diesem Kapitel daher
nur kurz beschrieben werden, wie etwa der Aufbau und die verwendeten Mechanismen
zur Kuhlung und Speicherung der Atome. Die im Rahmen dieser Arbeit konstruier-
te Detektionsoptik und das Lasersystem zur Bragg-Beugung von Rubidiumatomen
werden anschließend detailliert beschrieben.
3.1 Das BEC-Experiment
Da zum Erreichen der Quantenentartung sehr tiefe Temperaturen notig sind, vergin-
gen 70 Jahre zwischen der theoretischen Voraussage und der experimentellen Reali-
sierung der Bose-Einstein-Kondensation. Aus Gleichung 2.3 folgt, dass die kritische
Temperatur bei einem verdunnten Gas aus Rubidiumatomen mit einer Dichte von et-
wa 10−14cm−3 bei ungefahr 400nK liegen muss. Zum Erreichen dieser niedrigen Tem-
peraturen wurden im vorliegenden Experiment verschiedene Techniken zur Kuhlung
der Atome kombiniert.
Eine Seitenansicht der Apparatur, mit der die Kondensate erzeugt werden, ist in
Abbildung 3.1 zu sehen. Sie ist in [43] und [44] ausfuhrlich beschrieben. Der zentrale
Teil des Aufbaus sind zwei Glaszellen, die uber eine differentielle Pumpstufe, zwei
Graphitrohrchen mit jeweils 6mm Innendurchmesser, verbunden sind. In der oberen
Glaszelle befinden sich so genannte Dispenser, uber die die Rubidiumatome freige-
setzt werden. Dort herrscht ein Druck von etwa 10−9 mbar. In der unteren Glaszelle
25
26 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
2D−MOT
Strahlprofil 1cm*5cm
Rb−Atome
Licht 780 nm
Spulen
Rb−Dispenser
MOT&Magnetfalle
Vakuumpumpen
ø2,2cm
Abbildung 3.1: Schematische Seitenansicht des experimentellen Aufbaus
werden die Atome bis zum Phasenubergang abgekuhlt und die Experimente mit ih-
nen durchgefuhrt. Damit wahrenddessen nicht ein Großteil der Atome durch Stoße
mit dem Hintergrundgas verloren geht, wird dort ein Ultrahochvakuum mit einem
Druck von etwa 10−11 mbar benotigt.
Das zur Kuhlung der Atome benotigte Laserlicht wird mit Halbleiterlasern er-
zeugt, die mit Hilfe dopplerfreier FM-Spektroskopie [45] auf atomare Ubergange von
Rubidium stabilisiert werden. Das Licht wird mit Hilfe von single-mode-Fasern zum
Experiment gefuhrt, was neben dem Erreichen einer raumlichen Trennung von La-
sersystem und Experiment den Vorteil von sauberen Modenprofilen und der leicht zu
realisiernden Einstellmoglichkeit der Polarisation uber so genannte Polarisationswip-
pen bietet. Um die benotigte Lichtleistung fur die dreidimensionale magneto-optische
Falle zu erreichen, wird ein tapered amplifier [46] als Verstarkermedium eingesetzt.
Die Atome werden mittels Laserkuhlung [7] [47] in magneto-optischen Fallen
(MOT) gekuhlt und gefangen. Dabei werden Dopplereffekt und Zeemaneffekt aus-
genutzt, um auf die sich bewegenden Atome Impulse zu ubertragen und sie abzu-
bremsen und somit zu kuhlen. In der oberen Glaszelle wird eine zweidimensionale
magneto-optische Falle (2D-MOT) eingesetzt, um einen Strahl kalter Rubidiumato-
me zu erzeugen [48] [49]. Sie ist durch vier Laserstrahlen mit einer Gesamtleistung
von 40 - 80 mW und einem 1/e2 - Durchmesser von 1 cm × 5 cm in der horizonta-
len Ebene und ein zweidimensionales Quadrupolfeld mit einem Feldgradienten von
3.1 Das BEC-Experiment 27
18 G/cm realisiert. Mit einem so genannten pushing-Strahl werden die Atome durch
die differentielle Pumpstufe in die untere Glaszelle beschleunigt. Aus diesem Atom-
strahl werden in einer dreidimensionalen MOT wahrend einer Ladezeit von 10 - 30 s
ungefahr 1010 Atome gefangen und gekuhlt. Die 3D-MOT wird mit sechs Laserstrah-
len mit 1/e2- Durchmesser von 22 mm und einem Magnetfeldgradienten von 18 G/cm
betrieben, die Temperatur der gefangenen Atome betragt etwa 150 µK.
Anschließend wird die Atomwolke durch eine optische Melasse sub-Doppler-ge-
kuhlt. Der nachste Schritt ist das Umladen des Ensembles in die Magnetfalle. Im vor-
liegenden Experiment ist eine Falle aufgebaut worden, die der 4-Dee-Magnetfalle [50]
ahnlich ist. Die Apparatur kann wahlweise Kondensate in den Hyperfeinzustanden
F=1 und F=2 erzeugen, im Rahmen dieser Diplomarbeit wurden allerdings aus-
schließlich Messungen an F=1-Kondensaten durchgefuhrt. In diesem Fall wird das
Ensemble vor dem Umladen in die Magnetfalle durch einen mit dem Ubergang |F =
1〉 =⇒ |F ′ = 2〉 resonanten Laserstrahl von F=2 nach F=1 umgepumpt. Die anschlie-
ßende evaporative Kuhlung [11] geschieht durch Einstrahlen einer Radiofrequenz,
welche mit drei linearen Rampen innerhalb von 25 s abgesenkt wird; sie erhoht die
Phasenraumdichte bis kurz vor den Phasenubergang zum BEC. Wahrend der Eva-
poration verlasst ein Großteil der Atome die Magnetfalle, so dass noch ungefahr 106
Atome ubrigbleiben.
Als Nachstes wird die Dipolfalle zugeschaltet. Das Dipolpotential, welches die
Atome unanghanig von ihrem mf -Zustand halten kann, wird durch einen Nd-YAG-
Laser bereitgestellt, der bei einer Wellenlange von 1064 nm eine Leistung von 500mW
hinter der Glasfaser liefert. Die Atome kondensieren in die Dipolfalle, da die kriti-
sche Temperatur im modifizierten Potential von Magnetfalle und Dipolfalle hoher
ist. Nach dem Ausschalten der Magnetfalle wird mit Hilfe der adiabatischen Pas-
sage [51] die Spinpraparation des atomaren Ensembles vorgenommen. Dabei werden
mit RF-Sweeps Ubergange zwischen Zeeman-Niveaus induziert, so dass eine beliebige
Zusammensetzung aus mf -Unterzustanden prapariert werden kann. Nach einer gewis-
sen Entwicklungszeit wird die Dipolfalle ausgeschaltet, so dass die Atome durch die
Gravitation beschleunigt werden und nach unten fallen. Gleichzeitig findet die mean-
field-Expansion statt, wobei sich das Kondensat ausdehnt. Die einzelnen Spinkom-
ponenten werden durch Anlegen eines Stern-Gerlach-Magnetfeldgradienten separiert
und die sich ergebene raumliche Verteilung der Atome mit einer CCD-Kamera als
Absorptionsmessung detektiert. Die Zeit zwischen Ausschalten des Fallenpotentials
und der Detektion wird als time-of-flight (TOF) bezeichnet.
28 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
3.2 Aufbau der Detektionsoptik
Um die bei der Bragg-Interferometrie entstehenden Interferenzmuster auflosen zu
konnen, muss das Detektionssystem in der Lage sein, sehr kleine Strukturen abzubil-
den. Die zu erwartende Breite der Interferenzstreifen bei der Bragg-Beugung liegt im
Bereich von einigen µm, daher ist es wunschenswert, eine Auflosung zu erreichen, die
unter diesen Werten liegt. Im Rahmen dieser Arbeit wurde deshalb das von Sebas-
tian van Staa entwickelte Detektionssystem [52] um ein Linsensystem erweitert, mit
dem Kondensate mit einer Vergroßerung von bis zu 1:3,75 abgebildet werden konnen.
Im folgenden Abschnitt soll nach einem kurzen Uberblick uber das Prinzip der Ab-
sorptionsmessung die zu diesem Zweck entworfene Detektionsoptik beschrieben und
charakterisiert werden.
3.2.1 Das Prinzip der Absorptionsmessung
Die Absorptionsmessung ist eine Detektionsmethode, bei der die Atome mit Laser-
licht angestrahlt werden und der Schattenwurf auf einen CCD-Chip abgebildet wird.
Das Licht ist mit dem |F = 2〉 =⇒ |F ′ = 3〉 Ubergang von 87Rb resonant, bei hohen
Dichten kann allerdings auch eine leichte Verstimmung genutzt werden, um zu verhin-
dern, dass die Atomwolke im Zentrum optisch dicht ist und die raumliche Verteilung
verzerrt wiedergegeben wird. Durch das Einstrahlen eines resonanten Lasers wird das
Bose-Einstein-Kondensat zerstort; es handelt sich bei der Absorptionsmessung also
um eine destruktive Methode der Detektion.
Das Laserlicht, welches im vorliegenden Experiment zum Beleuchten der Ato-
me benutzt wird, stammt von einem extended cavity Diodenlaser, der mit Hilfe der
dopplerfreien Sattigungsspektroskopie [53] frequenzstabilisiert wird. Uber eine single-
mode-Faser wird das Licht zum Experiment gefuhrt, auf eine Strahltaille von 24 mm
aufgeweitet und kollimiert. Der Schattenwurf der Atome wird auf einen CCD-Chip1
mit 2184 × 1472 Pixeln bei einer Pixelgroße von 6, 8 µm × 6, 8 µm abgebildet.
Unter der Annahme, dass die z-Achse die Ausbreitungsrichtung des Detektions-
lichtes ist und es in derselben (x,y)-Koordinate die Atomwolke verlasst, in der es
eingetreten ist (thin-lens-approximation), werden durch die Wechselwirkung mit den
Atomen die Intensitat und die Phase verandert [54]:
E = E0 t eiΦ , (3.1)
wobei t den Transmissionskoeffizienten und Φ die Phasenverschiebung bezeichnet.
1SenSys:3200E
3.2 Aufbau der Detektionsoptik 29
Diese Großen hangen vom Produkt der Spaltendichte n =∫
n · dz, dem resonanten
Streuquerschnitt σ0 = 6πλ2 und der Verstimmung in halben Linienbreiten δ = ω−ω0
Γ/2
ab:
t = eD/2 = exp(
− nσ0
2· 1
1 + δ2
)
(3.2)
Φ = −δD/2 = − nσ0
2· 1
1 + δ2. (3.3)
In diesen Gleichungen bezeichnet D = nσ0
1+δ2 die optische Dichte. Da die Photosensoren
einer CCD-Kamera nicht phasensensitiv sind, zeigt ein Absorptionsbild lediglich die
raumliche Variation von t2.
Um den Einfluss von Streulicht sowie die Modulation der Intensitat des Detekti-
onslasers in der x-y-Ebene, die durch das Gaußsche Strahlprofil und Interferenz and
der Glaszelle hervorgerufen wird, zu berucksichtigen, werden bei jedem Detektions-
vorgang drei Bilder aufgenommen: Als Erstes das eigentliche Absorptionsbild F1 der
Atome bei eingeschaltetem Detektionslaser, dann ein Bild F2 mit eingeschaltetem
Detektionlaser ohne Atome und als Letztes ein Dunkelbild F3 mit ausgeschaltetem
Detektionslicht. Die auf einen Pixel abgebildete Intensitat lasst sich somit in folgender
Weise normieren:
T (x, y) =F1(x, y) − F3(x, y)
F2(x, y) − F3(x, y)= t2 = e−D . (3.4)
Die quantitative Analyse der auf diese Weise aufgenommenen Bilder ist in [44] und
[54] dargestellt.
3.2.2 Aufbau des Linsensystems
Das im Rahmen dieser Arbeit konstruierte Linsensystem bietet drei mogliche Ab-
bildungsverhaltnisse, eine 1:1-Abbildung und zwei unterschiedliche Vergroßerungen,
1:2,17 und 1:3,75. Realisiert wurde dieses durch die Verwendung von achromatischen
Linsen verschiedener Brennweiten. Die der Atomwolke nachste Linse L1 hat eine
Brennweite von f1 = 120 mm und einen Durchmesser von d = 40 mm, die Linse L2 ist
im Falle der 1:1-Abbildung eine baugleiche Linse, kann aber gegen Linsen mit Brenn-
weiten von f2 = 260 mm (d = 50 mm) oder f2 = 450 mm (d=40mm) ausgetauscht
werden. Der Abstand l zwischen den Hauptebenen der Linsen betragt 10 mm.
Da das Detektionslicht ein gaußsches Strahlprofil aufweist, kann der Strahlengang
durch das Linsensystem im Rahmen der klassichen geometrischen Optik nicht exakt
dargestellt werden. Die klassische Linsengleichung
1
g+
1
b=
1
f.
30 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
L1
f1 f2
CCD
l
Glaszelle
BEC
L2
Abbildung 3.2: Schematische Ansicht des Strahlengangs durch das Linsensystem
bei der f die Brennweite einer Linse, g die Gegenstandsweite und b die Bildweite be-
schreibt, kann in einer vereinfachten Darstellung der Gaußschen Strahlenoptik unter
der Annahme paraxialer Bedingungen als
1
g + z2R/(b − f)
+1
b=
1
f.
dargestellt werden, wobei zR den Rayleigh-range beschreibt, die Strecke um die sich
die Strahltaille eines Gaußschen Laserstrahls um den Faktor√
2 aufgeweitet hat.
In erster Naherung kann das Linsensystem jedoch mit der klassischen Optik be-
schrieben werden, der Strahlengang ist in Abbildung 3.2 dargestellt. Man sieht von
links kommend das parallele Detektionslicht, welches teilweise mit den Atomen aus
dem Kondensat wechselwirkt und teilweise unbeeinflusst (unter Vernachlassigung des
Einflusses der Glaszelle) auf das Linsensystem trifft. Das von den Atomen gestreute
Licht trifft auf die Linse L1, verlauft zwischen L1 und L2 parallel und wird durch L2
auf den CCD-Chip fokussiert. Dies ist allerdings nur der Fall, falls der Abstand zwi-
schen den Atomen und der ersten Linse sowie zwischen der zweiten Linse und dem
CCD-Chip den Brennweiten der jeweiligen Linsen entspricht. Der Abstand l zwi-
schen L1 und L2 ist fur eine scharfe Abbildung irrelevant, da er nur den Strahlengang
des ungestreuten Lichts beeinflusst. Dieses wird jedoch durch die Normierung (Glei-
chung 3.4) herausgerechnet, weshalb der Abstand l kurz (etwa 10 mm) im Vergleich
zu den Brennweiten der Linsen gewahlt wurde. So ergibt sich im Vergleich mit ande-
ren Detektionsmethoden, wie zum Beispiel der Phasenkontrastabbildung, bei der der
Abstand l ublicherweise der Summe der beiden Brennweiten l = f1 + f2 entspricht,
der Vorteil, dass man Platz auf dem Experimentiertisch sparen kann.
Wichtige Voraussetzungen fur den Einsatz der Detektionsoptik im Labor sind
zum einen, dass die verschiedenen Abbildungsverhaltnisse leicht zu wechseln sind,
3.2 Aufbau der Detektionsoptik 31
zum anderen, dass die Hohe der Detektionsachse verstellbar ist, um Messungen mit
verschieden langen Zeiten zwischen Ausschalten des Fallenpotentials und Detektion
realisieren zu konnen. Im Falle der 3,75 -fachen Vergroßerung muss die CCD-Kamera
mehr als 45 cm hinter der ersten Linse aufgestellt werden, deshalb wurde auf eine
durchgehende optische Bank, auf der Linsenhalter und die Kamera befestigt sind,
verzichtet. Stattdessen wurde ein Konzept gewahlt, bei dem eine Halterung fur die
beiden Linsen und die Kamera auf zwei getrennten, baugleichen Hubtischen2 mon-
tiert wurden. Diese Hubtische sind im Bereich von +5 mm bis -25 mm verstellbar.
Die Halterung fur die beiden Linsen ist auf einem Verschiebetisch3 montiert, damit
die Abbildung auf dem CCD-Chip scharf gestellt werden kann. Die Linse L2 ist in-
nerhalb weniger Minuten austauschbar. Um den Abstand zwischen dieser Linse und
der Kamera schnell anzupassen, wurden auf dem Experimentiertisch Anlegekanten
montiert, so dass beide Voraussetzungen fur die einfache Handhabung der Detekti-
onsoptik erfullt sind.
3.2.3 Charakterisierung der Detektionsoptik
Zur Bestimmung des maximalen theoretischen Auflosungsvermogens des Linsensys-
tems kann das so genannte Rayleigh-Kriterium herangezogen werden. Dabei wird an-
genommen, dass zwei getrennte punktformige Quellen noch augeflost werden konnen,
wenn sich die Airy-Scheiben, die zentralen hellen Regionen des Fraunhofer-Beugungs-
musters, welches durch die Abbildung durch eine gleichmaßigige Beleuchtung einer
Apertur entsteht, nicht uberlappen. Fur den Durchmesser d der Airy-Scheibe gilt
[55]:
d = 2, 44 · λ · f/# . (3.5)
Dabei steht λ fur die Wellenlange des Lichts und f/# fur die f-Zahl der ersten
Linse. Die f-Zahl ist der Quotient aus der Brennweite und der Apertur der Linse,
durch eine kleinere Brennweite oder eine großere Apertur kann also ein kleinerer
Abstand zwischen zwei punktformigen Quellen aufgelost werden. Wenn die beiden
Airy-Scheiben so nahe zusammen sind, dass sie sich gerade nicht uberlappen, ist das
Rayleigh-Kriterium immer noch erfullt. Dann gilt fur die minimal auflosbare Distanz
s zwischen zwei Punkten:
s = 1, 22 · λ · f/# . (3.6)
2Owis HV1003Owis MT45
32 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
a) b)
c) d)
Abbildung 3.3: Fotos des Auflosungsdias: a) zeigt die 1:1-Abbildung, b) die Ver-
großerung von 1:2,17 und c) die Vergroßerung von 1:3,75. Diese drei Bilder sind
zweifach vergroßert dargestellt, um die Strukturen besser erkennen zu konnen. Die
Bilder b) und c) wurden zusatzlich in Helligkeit und Kontrast nachtraglich angepasst.
In Bild d) ist ein großerer Ausschnitt des Auflosungsdias abgebildet. Zusatzlich ist
zu bemerken, dass die Bilder durch den Druck unscharfer erscheinen, als sie wirklich
sind, so dass auf dem Papier nicht die gleichen Strukturen sichtbar sind wie bei der
Auswertung am Computer
3.2 Aufbau der Detektionsoptik 33
Das Rayleigh-Kriterium findet trotz der Tatsache, dass es etwas willkurlich4 erscheint,
immer wieder Anwendung in der Optik und soll wegen seiner Einfachheit auch hier
benutzt werden. Die Linse L1 hat eine Brennweite von 120 mm bei einem Durchmesser
von 40mm, sie hat also die f-Zahl 3. Somit ergibt sich aus Gleichung (3.6) mit der
Wellenlange λ = 780 nm des Detektionslichtes ein Wert von s = 2, 8 µm.
Zur Messung der tatsachlichen Auflosung wurde ein so genanntes Auflosungsdia
verwendet. Dabei handelt es sich um eine Glasplatte, die mit periodischen Struktu-
ren in horizontaler und vertikaler Ausrichtung beschichtet ist, welche Abstande im
Bereich von einigen mm bis hin zu wenigen µm aufweisen. Dieses Dia wurde mit
dem Licht einer Gluhlampe mit aufgesetzter Diffusionsscheibe beleuchtet, und die
Abbildung des Dias durch das Linsensystem mit der im Experiment eingesetzten
CCD-Kamera fotografiert. Dabei wurde die Abbildung durch sukzessives Verstellen
des Verschiebetisches, auf dem die Linsen montiert sind, moglichst scharf gestellt.
Beim Justieren stellte sich heraus, dass die Qualitat der Abbildung sehr stark da-
von abhangt, ob die Linsen und die Kamera exakt zur optischen Achse ausgerichtet
sind. Kleinste Abweichungen des rechten Winkels zwischen CCD-Chip und optischer
Achse fuhrten dazu, dass die Bilder unscharf wurden und man nicht die maximale
Auflosung erzielen konnte.
Abbildung 3.3 zeigt die Aufnahmen des Auflosungsdias fur die verschiedenen Ab-
bildungsverhaltnisse. Die Liniengruppen mit der kleinsten gerade noch auflosbaren
Periodizitat sind mit einem Pfeil gekennzeichnet. Im Falle der 1:1-Abbildung (a) sind
in der Liniengruppe 5-5 noch Streifen zu erkennen, die schwarzen Linien haben einen
Abstand von s1:1 = 8, 8 µm. Mit einer Vergroßerung von 1:2,17 (b) kann die Linien-
gruppe 6-3 aufgelost werden, was einer Distanz von s1:2,17 = 6, 2 µm entspricht. Im
Fall der 3,75-fachen Vergroßerung (c) kann man gerade noch die Streifen der Linien-
gruppe 6-6 auflosen, was einem Linienabstand von s1:3,75 = 4, 4 µm entspricht.
Die theoretisch mit Hilfe des Raileigh-Kriteriums berechnete Auflosung wird also
selbst bei einer Vergroßerung von 1:3,75 nicht ganz erreicht. Darum gilt es zu untersu-
chen, ob die Pixelgroße der CCD-Kamera die Auflosung unter Umstanden verringert.
Dazu ist die Abbildung von periodischen Strukturen auf einem CCD-Chip in Ab-
bildung 3.4 dargestellt. Man sieht ein vertikales Streifenmuster mit der Periodizitat
2s, welches auf quadratischen Pixeln der Große dp abgebildet ist. Entspricht der Ab-
stand der schwarzen Streifen der Pixelgroße (s = dp, Fall a) im Bild oben links), so
kann es im ungunstigsten Fall sein, dass gar keine periodische Struktur detektiert
4Mit Lord Rayleighs eigenen Worten:”Die Regel ist praktisch, weil sie so einfach ist. Sie ist auch
genugend genau, wenn man die Tatsache berucksichtigt, dass wir notwendigerweise nicht genau
sagen konnen, was mit Auflosung genau gemeint ist.“
34 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
dp
a) s = dp
d) s = 2 · dp
b) s = 1, 5 · dp
c) s = 1, 5 · dp
Abbildung 3.4: Abbildung von periodischen Strukturen auf dem CCD-Chip
wird, da alle Pixel die gleiche Anzahl von Photonen aufnehmen. Dieses ist jedoch
ein Grenzfall, in allen anderen Fallen sollte zumindest eine Modulation der Helligkeit
der Pixel auftreten, auf die der Schatten eines Streifens fallt. Bei einer Streifenbreite
von s = 1, 5 · dp kann man in allen Fallen davon ausgehen, dass man eine deutli-
che Modulation des Intensitatssignals sehen kann (vgl. b und c). Allerdings ist nicht
zwangslaufig sichergestellt, dass unabhanging von der horizontalen Verschiebung des
Streifenmusters immer mindestens ein Pixel zwischen den schwarzen Streifen beleuch-
tet wird und”weiß “ bleibt, und man somit einen maximalen Kontrast erhalt. Das ist
erst der Fall, wenn die Breite der Streifen und der Abstande dazwischen mindestens
dem zweifachen der Pixelgroße entspricht (Fall d in Abbildung 3.4).
Mit diesem Kriterium kann man eine Untergrenze fur die Auflosung angeben, die
durch die Pixelgroße bestimmt wird. Wenn man s = 1, 5 · dp als minimalen Streifen-
abstand definiert, erhalt man bei einer 1:1-Abbildung eine mit dem CCD-Chip theo-
retisch minimal aufzulosende Struktur von spixel = 10, 2 µm. Bei einer Vergroßerung
von 1:2,17 ist spixel = 4, 7 µm und bei einer Vergroßerung von 1:3,75 kann man noch
Strukturen im Abstand von spixel = 2, 7 µm auflosen. Bei der 1:1-Abbildung ist also
die durch die Pixelgroße begrenzte Auflosung großer als die tatsachlich gemessene,
was darauf schließen lasst, dass der oben definierte minimale Streifenabstand in der
Realitat unter dem 1,5-fachen der Pixelgroße liegt. Bei den anderen Abbildungs-
verhaltnissen haben die pixelbegrenzten Auflosungen die gleiche Großenordnung wie
die gemessene, sie liegen jedoch etwas darunter, so dass man insgesamt davon aus-
gehen kann, dass beim vorliegenden Detektionssystem die Große der Pixel auf dem
CCD-Chip die Auflosung limitiert. Die Ergebnisse der obigen Messungen und Uber-
3.2 Aufbau der Detektionsoptik 35
Abbildungsmaßstab stheor./µm spixel/µm sdia/µm
1:1 2,8 10,2 8,8
1:2,17 2,8 4,7 6,2
1:3,75 2,8 2,7 3,6
Tabelle 3.1: Ergebnisse des Tests der Detektionsoptik in Abhangigkeit des Abbil-
dungsmaßstabes: stheor. bezeichnet den mit dem Rayleigh-Kriterium berechneten mi-
nimal auflosbaren Abstand zweier Punkte, sdia den minimal auflosbare Streifenab-
stand auf dem Auflosungsdia und spixel die durch die Pixelgroße begrenzte minimal
auflosbare Streifenbreite.
legungen sind in Tabelle 3.1 zusammengefasst.
Eine weitere deutliche, jedoch schwer quantifizierbare Verschlechterung der Auflo-
sung wird durch Linsenfehler und die Anordnung der Linsen zueinander verursacht.
Fur die Qualitat der Abbildung ist es sehr wichtig, dass die Hauptebenen der Linsen
sehr gut parallel zueinander ausgerichtet sind. Das ist trotz großter Sorgfalt bei der
Herstellung der Linsenhalter nicht unbedingt gegeben. Weiterhin bleibt zu vermu-
ten, dass beim Aufbau der Optik nicht die optimale Ausrichtung der Komponenten
des Detektionssystems an der optischen Achse erreicht werden konnte, und somit
die beim Testen der Apparatur festgestellte Abhangigkeit der Auflosung von dieser
Ausrichtung zum Tragen kam.
Insgesamt kann jedoch festgestellt werden, dass die Implemetierung des neuen
Linsensystems die Auflosung im ausreichenden Maße (3, 6 µm im Verlgeich zu 17, 4 µm
mit dem alten Linsensystem) verbessert hat.
3.2.4 Implementierung der Detektionsoptik
Um die Abbildungsqualitat unter den Bedingungen zu testen, die im Experiment
herrschen, wurden nach der Implementierung der Detektionsoptik in das Experiment
Bilder von F=2 Kondensaten in der Magnetfalle erstellt. Die theoretisch zu erwarte-
tende radiale Ausdehnung der Atomwolken soll mit den durch die Messung erhaltenen
Werten verglichen werden. Um diese Breite zu bestimmen, muss der Radius des El-
lipsoides berechnet werden, den die Atome im harmonischen Potential formen. In der
Thomas-Fermi-Naherung hat das Dichteprofil die Form einer nach unten geoffneten
Parabel, die am klassischen Umkehrpunkt verschwindet. Die Radien in den verschie-
denen Raumrichtungen hangen von den jeweiligen Fallenfrequenzen folgendermaßen
36 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
ab [56]:
Ri = aho
(
15Na
aho
)
15
· ωho
ωi. (3.7)
Dabei bezeichnet aho =√
h/mωho die Oszillatorlange, die sich aus dem geometischen
Mittel ωho = (ωρ2ωz)
1/3 der Fallenfrequenzen berechnet, N die Teilchenzahl und ωi
die Fallenfrequenz in Raumrichtung i. Setzt man die zur Zeit der Messung gultigen
Fallenfrequenzen ωρ = 2π · 337 Hz und ωz = 2π · 11, 2 Hz ein, so erhalt man fur eine
Teilchenzahl von N = 106 Atomen einen Radius von Rρ = 3, 23 · 10−6 m. Nimmt man
eine Teilchenzahl von N = 5 · 105 an, so ergibt sich Rρ = 2, 81 · 10−6 m.
Vor der Detektion konnten sich die Kondensate noch wahrend einer 100 µs an-
dauernden Expansionszeit ttof ausdehnen. Die Ausdehnung in Abhangigkeit von ttofwird durch folgende Formel beschrieben [42]
Rρ(t) = Rρ(0) ·√
1 + τ 2 , (3.8)
wobei die Zeitentwicklung durch den dimensionslosen Parameter τ = ωρttof charakte-
risiert wird. Fur eine Expansionszeit von 100 µs ergibt sich Rρ(100 µs) = Rρ(0) ·1, 02.
Das Kondensat dehnt sich also um einen vernachlassigbaren Faktor aus und man
kann insgesamt von einer Breite Rρ ≈ 3 µm ausgehen.
Durch Beugung des Detektionslichtes wird auch diese Breite beim Abbilden durch
das Linsensystem vergoßert. Zur Abschatzung der Verbreiterung kann wieder das
Rayleigh-Kriterium benutzt werden. Wenn man davon ausgeht, dass die Bildpunkte,
die auf dem außersten Rand des Kondensats liegen, gemaß Gleichung 3.5 gebeugt
werden, so wird die Gesamtbreite des Kondensats um insgesamt einen Durchmesser
der Airy-Scheibe verbreitert. Der Radius der Airy-Scheibe betragt bei der verwende-
ten Apertur 2, 8 µm, so dass man insgesamt von einem durch Beugung verbreiterten
Radius von Rρ ≈ 6 µm ausgehen kann.
Die von den Kondensaten in der Magnetfalle erstellten Bilder sind in Abbildung
3.5 zu sehen. Die Gesamtbreite des Kondensats in der 1:1 -Abbildung betragt 3 Pi-
xel, der Radius Rρ liegt also bei 10, 2 µm. Im Falle der 1:2,16 -Abbildung ist das
Kondensat 4 Pixel breit, was unter Berucksichtigung der Vergroßerung einem Radius
von 6, 3 µm entspricht. Fur die 3,75 -fache Vergroßerung ergibt sich eine Breite von
9 Pixeln und somit ein Radius von 8, 2 µm. Die auf diese Weise gemessenen Radien
liegen also alle in der Großenordnung des theoretisch ermittelten. Die im Vergleich
mit dem theoretischen Wert großere Breite bei der 1:1-Abbildung lasst sich durch
die im Vergleich zu den anderen Abbildungen starkere Limitierung der Auflosung
durch die Pixelgroße erklaren (siehe auch Tabelle 3.1). Im Fall der 1:3,75-Abbildung
3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems 37
Abbildung 3.5: BECs aus der Magnetfalle nach 100 µs Expansionszeit, mit den Ab-
bildungsverhaltnissen 1 : 1, 1 : 2, 17 und 1 : 3, 75 (v.l.n.r.) aufgenommen
ist zusatzlich zu bemerken, dass das Bild mit einer hoheren Lichtintensitat erstellt
wurde, was zu einer zusatzlichen Expansion des Kondensats fuhrt, so dass man insge-
samt von einer zufriedenstellenden Ubereinstimmung zwischen den gemessenen und
den theoretisch berechneten Breiten sprechen kann.
3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems
Um Bragg-Beugung von Rubidium-Atomen betreiben zu konnen, braucht man zwei
Laserstrahlen, die eine einstellbare Frequenzdifferenz δ zueinander haben. Dabei kommt
es mehr auf die Genauigkeit dieser Frequenzdifferenz als auf die Genauigkeit der ab-
soluten Frequenz der beiden Strahlen an. Dennoch sind eine geringe Linienbreite des
verwendeten Laserlichts und eine Durchstimmbarkeit des Lasers Voraussetzung fur
den Betrieb des Bragg-Lasersystems. Die fur die Kuhlung und Speicherung und somit
auch fur die Bragg-Beugung von Rubidium-Atomen relevanten optischen Ubergange
liegen bei einer Wellenlange von λ = 780 nm. Daher konnen preiswerte Diodenlaser
benutzt werden, um das Licht zur Manipulation der Atome zu erzeugen. Im Folgenden
sollen sowohl Aufbau und Frequenzstabilisierung des Diodenlasers als auch die Me-
38 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
thode zum Erreichen einer definierten Frequenzdiffernz zwischen den Laserstrahlen
mit Hilfe von akusto-optischen Modulatoren beschrieben werden.
3.3.1 Gitterstabilisierter Diodenlaser
3.3.1.1 Eigenschaften von Laserdioden
Das Kernstuck des im Rahmen dieser Arbeit realisierten Bragg-Lasers ist eine Laser-
diode, wie sie beispielsweise auch in CD-Spielern angewendet wird. Auf die prinzipielle
Funktionsweise dieser Laserdioden soll hier nicht eingegangen werden, da diese in der
Literatur ausgiebig behandelt wird (z. B. in [57]). Die fur das Experiment relevanten
Eigenschaften sollen jedoch kurz beschrieben werden.
Die Frequenz ν des von einer Laserdiode emittierten Lichts ist abhangig von der
Resonatorlange L der Diode und von der Energiedifferenz E der beiden Niveaus zwi-
schen denen stimulierte Emission stattfindet. Es mussen daher die beiden folgenden
Bedingungen gleichzeitig erfullt sein [58]:
ν =mc
2nL, (3.9)
ν =E
h. (3.10)
In diesen Gleichungen ist m eine ganze Zahl, n der Brechungsindex des Mediums
im Resonator, c die Lichtgeschwindigkeit und h das Plancksche Wirkungsquantum.
Aufgrund der Energiebreite, die aus der Heisenbergschen Unscharferelation fur E
folgt, ist die erste Gleichung die restriktivere, da die zweite Gleichung die Frequenz ν
nur innerhalb eines Frequenzintervalls ∆ν ∼ 1∆t
bestimmt, wobei ∆t die Lebensdauer
des angeregten Zustands bezeichnet.
Gleichung 3.9 zeigt, dass die Frequenz und somit auch die Wellenlange des Laser-
lichts sowohl vom Brechungsindex des Verstarkermediums als auch von der Resona-
torlange abhangen. Die Resonatorlange andert sich bei Variation der Temperatur, eine
Anderung der Stromstarke des Diodenstroms ruft sowohl eine Temperaturanderung
als auch eine Anderung des Brechungsindex hervor, der von der Ladungstragerdichte
ahbanging ist. Es kann also durch Anderung dieser beiden Großen erreicht eine Durch-
stimmbarkeit der Wellenlange des Diodenlasers uber einen gewissen Bereich werden.
Eine weitere bedeutende Große neben der absoluten Frequenz des Lasers ist die
spektrale Linienbreite. Ein wichtiger Beitrag zu dieser Breite ist die Linienverbrei-
terung durch spontane Emission, welche durch das Shawlow-Townes-Limit gegeben
ist:
∆ν = c2 · hν0
2π· (1 − R)2
PL2. (3.11)
3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems 39
Hierbei bezeichnet hν0 die mittlere Photonenenergie, R die Reflektivitat des Aus-
koppelspiegels und P die Ausgangsleistung, c steht wieder fur die Lichtgeschwindig-
keit und L fur die Resonatorlange. Eine fur Halbleiterlaser typische Großenordnung
der Linienverbreiterung durch spontane Emission liegt bei ∼ 10 MHz, die gesam-
te Linienbreite wird durch zusatzliche Verbreiterungsmechanismen wie zum Beispiel
Fluktuationen des Brechungsindex n durch den Pumpstrom verursacht und hat fur
Laserdioden eine Große von ∼ 100 MHz.
3.3.1.2 Stabilisierung der Laserdiode
Durch Verwendung eines zusatzlichen außeren Resonatorspiegels ist es moglich, so-
wohl die Durchstimmbarkeit des Lasers zu verbessern und seine Wellenlange zu stabi-
lisieren als auch die Linienbreite zu reduzieren. Der externe Resonator kann durch ein
Beugungsgitter realisiert werden, das in den kollimierten Laserstrahl gesetzt wird, was
gegenuber einem halbdurchlassigen Spiegel als externem Resonator den Vorteil hat,
dass durch den Gitterwinkel eine grobe Wellenlangenselektion moglich ist. Die Aus-
richtung des Gitters ist derart, dass die nullte Ordnung als Ausgangsstrahl genutzt
wird und die minus erste Ordnung zuruck in die Laserdiode reflektiert wird. Diese
Anordnung wird als Littrow-Anordnung bezeichnet und ist in Abb. 3.6 dargestellt.
Die Resonatorlange L liegt nun im Bereich von einigen cm, wahrend sie bei ei-
L
Laserdiode
Kollimator
-1. Ordnung
0. Ordnung
GitternormaleGitter
Piezo-
Element
Abbildung 3.6: Gitterstabilisierter Laser in der Littrow-Anordnung
40 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
ner Laserdiode ohne externen Resonator im mm-Bereich liegt. Des Weiteren kann
durch Wahl eines geeigneten Gitters die Reflektivitat R erhoht werden. Diese beiden
Faktoren fuhren nach Gleichung 3.11 zu einer kleineren Frequenzbreite im Shawlow-
Townes Limit. Außerdem ist aus Gleichung 3.9 ersichtlich, dass durch die großere
Resonatorlange der Modenabstand des Lasers kleiner wird. Einen weiteren Vorteil
bietet die Moglichkeit, das Gitter auf einem Piezokristall zu montieren, wodurch sich
die Lange des Resonators verandern und sich der Laser uber einen Bereich von einigen
GHz kontinuierlich durchstimmen lasst.
Ein Nachteil der Anordnung mit externem Resonator ist jedoch der Verlust an
nutzbarer Laserleistung. Der Grund dafur ist, dass eine bestimmte optische Leis-
tungsdichte innerhalb der Laserdiode nicht uberschritten werden darf, da diese sonst
zerstort wurde. Der durch das Gitter in die Diode zuruckreflektierte Strahl erhoht je-
doch diese Leistungsdichte, ohne dass dabei die ausgekoppelte Leistung erhoht wird,
so dass diese insgesamt niedriger liegt als bei einer Diode ohne Gitter als externen
Resonator.
3.3.1.3 Aufbau und Justage
Ein Foto des zur Erzeugung der Bragg-Laserstrahlen verwendeten Masterlasers ist
in Abbildung 3.7 zu sehen. Eine AlGaAs-Laserdiode5 ist auf einem Aluminiumsockel
befestigt. Um die Temperatur der Diode moglichst konstant zu halten, ist die Alumi-
niumbasis auf einem Peltierelement montiert, uber das mit Hilfe eines Thermistors
und eines Temperaturreglers die Betriebstemperatur auf einem einstellbaren Sollwert
gehalten werden kann. Die Temperatur, bei der der Laser zufriedenstellend lauft,
liegt beim vorliegenden Aufbau bei 22C. Da das aus der Laserdiode austretende
Licht aufgrund von Beugungseffekten stark divergent ist, muss eine Kollimatorlinse
angebracht werden. Diese wurde mit Hilfe von Verschiebetischen in die richtige Posi-
tion gebracht und dann mit einer Schraubhalterung fixiert, so dass eine permanente
Kollimierung des Laserstrahls gewahrleistet ist.
Das Beugungsgitter6 ist auf ein Piezoelement aufgeklebt, das in einem Spiegel-
halter montiert ist. Um die Anordnung vor externen Storungen wie zum Beispiel
Luftzug zu schutzen, wird sie in einem Aluminiumgehause untergebracht, aus dem
der Laserstrahl durch ein antireflexbeschichtetes Fenster austreten kann.
Zur Justage des Gitters muss dieses so in den Strahlengang gesetzt werden, dass
die minus erste Ordnung wieder in die Diode zuruckreflektiert wird. Dazu werden
5Mitsubishi, ML 601J34-0, 80mW @ 780nm6sog. blazed-grating, 1800 Linien/mm
3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems 41
Abbildung 3.7: Foto des aufgebauten Master-Lasers
zunachst der austretende und der vom Gitter reflektierte Strahl uberlagert. Die Fein-
justage wird bei einer Stromstarke durchgefuhrt, bei der sich die Laserdiode knapp
unter der Laserschwelle befindet. Verkippt man nun das Gitter uber die Verstell-
schrauben des Spiegelhalters, so zeigt das Uberschreiten der Laserschwelle an, dass der
reflektierte Strahl in die Diode zuruckgekoppelt wird. Eine optimale Ruckkopplung
ist erreicht, wenn die Stromstarke am Punkt der Laserschwelle minimal ist.
Die gewunschte Wellenlange des Lasers kann nun uber die horizontale Verkippung
des Gitters eingestellt werden, da sie uber λ = 2d sin φ mit dem Winkel φ zwischen
Laserstrahl und Gitter und der Gitterkonstanten d zusammenhangt. Dazu wird der
Laser in eine Glasfaser eingekoppelt und die Wellenlange mit einem Wavelengthme-
ter 7 gemessen. Auf diese Weise kann die gewunschte Wellenlange von λ = 780, 24 nm
so genau eingestellt werden, dass man damit Sattigungspektroskopie der D2 -Linie
von 87Rb betreiben kann.
3.3.2 Sattigungsspektroskopie
In der Spektroskopie unterscheidet man zwischen zwei verschiedenen Verbreiterungs-
mechanismen atomarer Spektrallininen, den homogenen Verbreiterungsmechanismen,
zu denen die naturliche Linienverbereiterung und die Druckverbreiterung zahlen,
7High Finesse WS/6-UV
42 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
und den inhomogenen Verbreiterungsmechanismen wie der Dopplerverbreiterung. Die
naturliche Linienbreite wird wie die anderen homogenen Verbreiterungsmechanismen
auch durch eine Lorentz-Funktion beschrieben, ihre Halbwertsbreite ∆ν hangt von
der Lebensdauer τ des zugehorigen Ubergangs ab [57]:
∆ν =1
2πτ. (3.12)
Daraus ergeben sich typische naturliche Linienbreiten der Dipolubergange von Ato-
men und Molekulen im sichtbaren Spektralbereich von etwa 10 MHz. Die Druckver-
breiterung von Spektrallinien eines atomaren Gases entsteht durch Stoße zwischen
den Atomen. Sie kann durch Anderung des Drucks in einer Dampfzelle kontrolliert
werden und hat typische Halbwertsbreiten von 5 bis 10 MHz. Uberlagert werden die-
se Verbreiterungsmechanismen durch die Dopplerverbreiterung, aufgrund derer die
Lininenbreiten eines atomaren Gases viel großer sind als die Linienbreiten, die durch
die homogenen Verbreiterungsmechanismen verursacht werden.
Die Doppler-Verbreiterung von Spektrallinien resultiert aus der Geschwindigkeits-
verteilung der Atome eines Gases, welche im thermischen Gleichgewicht die Boltz-
mannverteilung ist. Aufgrund des Dopplereffekts hangt die Emissions- und Absorbti-
onswahrscheinlichkeit fur Photonen aus einem Laserstrahl der Frequenz νLaser von der
Geschwindigkeitskomponente vz des absorbierenden Atoms in Richtung des Lasers ab.
Im Ruhesystem des bewegten Atoms erscheint die Laserfrequenz dopplerverschoben
zu
ν ′
Laser = νLaser
(
1 +vz
c
)
. (3.13)
Bewegen sich die Atome in Richtung des Laserstrahls, so”sehen“ sie den Laserstrahl
durch die Dopplerverschiebung langwelliger, bewegen sie sich entgegengesetzt zu den
Photonen, ist deren Wellenlange im Ruhesystem der Atome kleiner als νLaser. Die
absorbierte Lichtintensitat ist also von der Geschwindigkeitsverteilung der Atome
abhangig und hat die Form einer Gaußkurve mit der Halbwertsbreite (FWHM)
∆νDoppler =νLaser
c
√
8kT ln 2
m, (3.14)
wobei c die Lichtgeschwindigkeit, k die Boltzmannkonstante, T die Temperatur und
m die Masse der Atome bezeichnet. In einer Gaszelle ist die Dopplerverbreiterung in
der Regel der dominierende Verbreiterungsmechanismus, ∆νDoppler liegt oft im Bereich
von einigen 100 MHz. Die Spektrallinie ist daher weitgehend gaußformig, man erhalt
aufgrund der anderen Verbreiterungsmechanismen allerdings insgesamt eine Faltung
3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems 43
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íÛî
ïñð
òó
Abbildung 3.8: Darstellung der dopplerfreien Sattigungsspektroskopie
aus homogenen Lorentzprofilen mit dem inhomogenen Gaußprofil, welches Voigtprofil
genannt wird.
Mit Hilfe der Sattigungsspektroskopie kann man die Doppler-Verbreiterung der
Spektrallinien umgehen. Dazu betrachtet man zunachst ein Atom eines atomaren Ga-
ses mit der Geschwindigkeit vz. Die Absorption eines Photons aus einem Laserstrahl,
44 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
der im Folgenden Pumpstrahl genannt werden soll, ist nur dann wahrscheinlich, wenn
die dopplerverschobene Frequenz ν ′
Laser innerhalb der homogenen Breite des optischen
Ubergangs ν0 des Atoms liegt:
|ν ′
Laser − ν0| < ∆νhomogen
Das bedeutet, dass zur Absorption nur die Atome beitragen konnen, die eine Ge-
schwindigkeit vz haben, welche in einem Intervall ∆νz = ±∆νhomogen
ν0· c um vz =
(νLaser − ν0)c
νLaserliegt. Das fuhrt dazu, dass bei den Atomen der Geschwindigkeits-
klasse vz die Besetzungsdichte des absorbierenden Niveaus verringert und die des an-
geregten Niveaus vergroßert wird. Dadurch entsteht ein so genanntes Bennet-Loch,
ein lokales Minimum der Besetzungsverteilung der Atome des absorbierenden Ni-
veaus an der Stelle vz. Der optische Ubergang wird somit bei ausreichender Intensitat
Ipump = Isat gesattigt und der Absorptionskoeffizient fur diese Geschwindigkeitsklasse
von Atomen verringert sich.
Benutzt man nun einen zweiten Laserstrahl, den so genannten Abfragestrahl, den
man antikollinear zum Pumpstrahl in das Medium einstrahlt, kann man diese selek-
tive Sattigung dazu verwenden, ein dopplerfreies Absorptionsspektrum zu erhalten.
Eine solche Anordnung ist in Abbildung 3.8 a) dargestellt. Wenn die Frequenz der
Laser nicht resonant mit dem atomaren Ubergang bei ν0 ist, sattigt der Pumpstrahl
den optischen Ubergang selektiv bei der Geschwindigkeitsklasse vz und der Abfra-
gestrahl fragt die Geschwindigkeitsklasse −vz ab (siehe dazu Abbildung 3.8.b). Ist
jedoch die Frequenz der Laser gleich der Resonanzfrequenz des optischen Ubergangs
νLaser = ν0, so gibt es eine Wechselwirkung von Pump- und Abfragestrahl mit Ato-
men derselben Geschwindigkeitsklasse, und der Abfragestrahl erfahrt aufgrund der
vom Pumpstrahl bewirkten Sattigung eine verringerte Absorption (Abbildung 3.8 c).
Wird die Laserfrequenz uber die dopplerverbreiterte Resonanz durchgestimmt, er-
gibt sich als Absorptionsfunktion A(νLaser) ein dopplerverbreitertes Profil mit einem
schmalen Einbruch bei νLaser = ν0, dem so genannten Lamb-Dip. Die Halbwertsbreite
des Lamb-Dips wird bei idealen Bedingungen durch die naturliche Linienbreite des
Ubergangs bestimmt und berechnet sich dann nach Gleichung 3.12. Betrachtet man
anstatt der Absorptionsfunktion die Transmission in Abhangigkeit der Laserfrequenz,
so zeigen sich die Lamb-Dips als lokale Maxima, und die Halbwertsbreite entspricht
der Breite der Lamb-Dips des Absorptionssignals.
Zusatzlich zu den Lamb-Dips auf den optischen Ubergangen gibt es in einem
Sattigungsspektrum weitere Subdopplerstrukturen, die so genannten Crossover-Dips.
Die Voraussetzungen fur deren Auftreten sind zum einen, dass es zwei oder mehrere
optische Ubergange gibt, deren Dopplerprofile sich uberlappen und zum anderen, dass
3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems 45
diese Ubergange ein gemeinsames unteres oder oberes Niveau haben. Fur Rubidium
ist nur der letztere Fall relevant, diese Konfiguration ist in Abbildung 3.9 dargestellt.
Hat der Pumpstrahl eine Frequenz νLaser = (ν1 + ν2)/2 werden die Atome auf dem
Ubergang ν1 gesattigt, fur deren Geschwindigkeit vz gilt:
v1 = νLaser
(
1 − vz
c
)
=ν1 + ν2
2
(
1 − vz
c
)
⇐⇒ vz =c
v1 + v2
(ν2 − ν1)
Der Abfragestrahl fragt wegen der Bedingung νLaser = (ν1 + ν2)/2 die Atome dersel-
ben Geschwindigkeitsklasse vz auf dem Ubergang mit der Frequenz ν2 ab. Dadurch
erhalt man zusatzlich zu den Sattigungssignalen bei der Geschwindigkeit vz = 0 ein
Crossover-Signal, dessen Frequenz genau in der Mitte zwischen den Frequenzen der
beteiligten Ubergange liegt.
ν1
ν2
νLaser =ν1 + ν2
2
gemeinsamer Grund-
zustand
Abbildung 3.9: Crossover-Resonanz-Konfiguration fur Rubidium
3.3.3 Frequenzverschiebung mit akusto-optischen Modulato-
ren
Um eine einstellbare Frequenzverschiebung zwischen den beiden Laserstrahlen und
kurze Pulszeiten des Bragg-Lasers realisieren zu konnen, wurden im vorliegenden
Laseraufbau akusto-optische Modulatoren (AOMs) eingesetzt. Die Funktionsweise
dieser Bauteile wird anhand von Abbildung 3.10 verdeutlicht. Das Kernstuck eines
AOMs ist ein Kristall mit einem Brechungsindex n, durch den eine hochfrequen-
te Schallwelle mit der Frequenz νs (im Bereich um 100MHz) geschickt wird. Diese
46 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
ν
einfallender
Laserstrahl
ν
1. Ordnung
reflektierter
Laserstrahl
ν + νs
0. OrdnungSchallwelle νs
λs
ϑ
Abbildung 3.10: Zur Funktionweise von akusto-optischen Modulatoren
Schallwelle verursacht eine periodische Veranderung der Dichte und somit des Bre-
chungsindex. Ein eintretender Laserstrahl kann nun an diesem”Gitter“ mit der Git-
terkonstante d = λs/2 aufgrund von Bragg-Streuung reflektiert werden, wenn fur
den Eintrittswinkel ϑ die Bragg-Bedingung mλ = 2λs · cos ϑ erfullt ist, wobei λ die
Wellenlange des Laserlichts bezeichnet und m eine ganze Zahl ist und fur die Beu-
gungsordnung steht. Findet eine Beugung in die m-te Ordnung statt, nimmt der
Laserstrahl m Phononen mit der Frequenz νs auf, was dazu fuhrt, dass die Frequenz
ν des eingestrahlten Lasers zur Frequenz ν ′ = ν + m · νs hin verschoben wird.
Diese Tatsache wird im vorliegenden Aufbau ausgenutzt, um Bragg-Laserstrahlen
mit einer genau einstellbaren Frequenzdifferenz zu realisieren. Ein Laserstrahl mit der
Frequenz ν0 wird in zwei Strahlen aufgespalten. Nun werden beiden Strahlen mit je
einem AOM unterschiedliche Frequenzen aufgepragt. Dazu wird die erste Beugungs-
ordnung benutzt, was gleichzeitig den Vorteil bietet, dass man den Laserstrahl so
durch An- und Abschalten des Hochfrequenzsignals sehr schnell schalten kann.
Um die Hochfrequenz-Signale zu erzeugen, wurde eine Anordnung aus einem
einfachen VCO und einem Frequenzgenerator benutzt, wie sie in Abbildung 3.11
zu sehen ist. Der AOM-Treiber (VCO) erzeugt ein Signal mit einer Frequenz von
νVCO = 70 MHz, welches von einem Power-Splitter auf zwei Zweige verteilt wird.
Mit einem hochgenauen DDS-Frequenzgenerator8, der einen Referenzausgang mit
fester Frequenz von νRef = 10 MHz und einen Ausgang mit wahlbarer Frequenz
νSync bis in den MHz-Bereich hat, werden nun zwei Signale mit Frequenzdifferenz
∆ν = δ/2π = νSync − νRef (wobei δ die Kreisfrequenzdifferenz aus Gleichung 2.13
ist) erzeugt und mit den beiden Signalen des AOM-Treibers gemischt. Das Frequenz-
sprektrum der dadurch entstandenen Signale enthalt nun vor allem die Frequenzen
ν± = νVCO ± νRef beziehungsweise ν± = νVCO ± νSync. Mit einem Hochpass-Filter9
8Stanford Research Systems DS3459Mini-Circuits BHP-100
3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems 47
VCOPower-
splitter
Ref. Out 10MHz
Sync. Out 10MHz+δ/2π
Hochpass Amp.1 Amp.2
Hochpass Amp.1 Amp.2
AOM
AOM
FG
Mischer
Mischer
Abbildung 3.11: Ansteuerung der AOMs
mit einer 3-dB-Grenzfrequenz von 82 MHz wird das Signal so bearbeitet, dass die
kleinere Frequenz unterdruckt wird. Um die vom den AOMs benotigte Leistung zur
Verfugung zu stellen, werden die Signale aus beiden Zweigen noch mit jeweils zwei
Verstarkern10 verstarkt. So wird erreicht, dass der eine AOM mit einer Frequenz von
circa 80 MHz und der andere mit einer Frequenz von circa 80 MHz+δ/2π betrieben
wird, wobei δ sehr genau gegeben ist.
3.3.4 Aufbau des Bragg-Laserssystems
Der schematische Aufbau des im Rahmen dieser Diplomarbeit realisierten Bragg-
Lasersystems ist in Abbildung 3.12 dargestellt. Das Licht des gitterstabilisierten
Diodenlasers durchlauft zunachst eine optische Diode, die verhindern soll, dass ein
teilweise reflektierter Laserstrahl (z. B. von der Oberflache der Glasfaser) zuruck
in die Laserdiode gekoppelt wird und somit Storungen verursacht oder die Diode
zerstort. Mit Hilfe eines Strahlteilers wird ein kleiner Teil der Laserleistung in den
Spektroskopiezweig ausgekoppelt. Der Laserstrahl durchlauft im Doppelpass die Rb-
Dampfzelle, das λ/4-Plattchen sorgt dafur, dass der Strahl auf dem Ruckweg den
Strahlteilerwurfel ohne abgelenkt zu werden passiert und auf eine Photodiode ge-
lenkt werden kann, die das Signal fur die Sattigungsspektroskopie liefert.
Zur Frequenzkontrolle wird der Masterlaser mit einer so genannten Lockbox pe-
riodisch uber bis zu 3 GHz durchgestimmt. Dazu liefert die Lockbox eine Sagezahn-
spannung mit einer Frequenz von etwa 100 Hz, die gleichzeitig den Diodenstrom und
10Amp.1: Mini-Circuits ZAD-2, Amp.2: MTS MLV447-097
48 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Master
optische
Diode
λ/4
λ/2
λ/2
λ/2
Strahlteiler-
Wurfel
Photo-
diode
Polarisationswippen
AOM
BEC
AOM
Faser
single-mode-
Rb-
Dampf-zelle
Faser-
koppler
Faser-
koppler
Glaszelle
Abbildung 3.12: Schematischer Aufbau des Bragg-Lasersystems
die externe Resonatorlange uber das Piezoelement moduliert. Bei der richtigen Ein-
stellung dieser Laserparameter erhalt man ein dopplerfreies Spektrum wie es in Ab-
bildung 3.13 dargestellt ist. Zum Betrieb des Bragg-Lasers kann man die Offsetspan-
nung der Lockbox so einstellen, dass die Frequenz an der gewunschten Stelle liegt
und dann die Modulation der Frequenz ausschalten. Fur die Messungen dieser Di-
plomarbeit wurde die Frequenz des Masterlasers so eingestellt, dass sie zwischen den
Crossoverdips CO 2, 4 und CO 3, 4 des Ubergangs |F = 3〉 =⇒ |F ′〉 von 85Rb lag, was
einer Verstimmung von 1, 05 GHz vom Kuhlubergang entspricht.
Die Kombination aus λ/2-Plattchen und Strahlteilerwurfel hinter dem Strahltei-
ler, die den Laserstrahl fur die Spektroskopie abspaltet, dient der Intensitatsregulie-
rung fur die beiden Bragg-Laserstrahlen. Der Laserstrahl wird in eine single-mode-
Faser eingekoppelt, die Polarisation kann uber die Polarisationswippen [59], die wie
eine Kombination aus λ/4-, λ/2- und wieder λ/4-Plattchen wirken, eingestellt wer-
den, so dass nach dem Auskoppeln aus der Faser der Laserstrahl mit dem Polarisa-
tionstrahlteilerwurfel in zwei Strahlen gleicher Intensitat aufgespalten werden kann.
Danach durchlaufen die Strahlen jeweils einen AOM11, wobei die erste Beugungs-
ordnung fur den weiteren Strahlverlauf verwendet wird und die 0. Beugungsordnung
durch eine Blende geblockt wird. Die AOMs werden wie in Kapitel 3.3.3 dargestellt
11Crystal Technology, Modell 3080-125
3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems 49
Frequenz
transm
itti
erte
Inte
nsi
tat
/bel
.E
inh.
85Rb
87Rb
CO 2, 4 CO 3, 4
|F = 3〉 =⇒ |F ′〉
|F = 2〉 =⇒ |F ′〉
⇒ F = 4
F = 3
Abbildung 3.13: Dopplerfreies Sattigungsspektrum: Gekennzeichnet sind die
Crossover-Dips, zwischen die die Frequenz des Masterlasers gesetzt wurde, und der
Ubergang |F = 3〉 ⇒ |F = 4〉. Die Ubergange |F = 3〉 ⇒ |F = 2〉 und |F = 3〉 ⇒|F = 3〉 liegen links von den Crossover-Dips und sind in diesem Spektrum nicht zu
erkennen.
bei verschiedenen Frequenzen betrieben. Zusatzlich zur Frequenzschiebung werden
sie zum schnellen Ein- und Ausschalten der Bragg-Laserstrahlen benutzt. Aufgrund
der experimentellen Anordnung war es nicht moglich, die beiden Strahlen so zu posi-
tionieren, dass sie unter einem Winkel von 180 auf die Atome treffen. Der maximal
mogliche und realisierte Winkel ist 174.
Bevor das Lasersystem auf die oben beschriebene Weise realisiert wurde, sind
verschiedene Uberlegungen und Messungen im Hinblick auf eine gute Signalqualitat
gemacht worden, die zusammen mit den Messungen zur Charakterisierung des Sys-
tems im folgenden Kapitel detailliert erlautert und beschrieben werden. Dabei wurde
vor allem der Einfluss einer Glasfaser im Strahlengang des Lasersystems untersucht
und verschiedene Konzepte der Realisierung miteinander verglichen.
Insgesamt lasst sich sagen, dass ein zuverlassiger und stabiler Aufbau realisiert
wurde, der die fur die Zukunft vorgesehenen Untersuchungen zur Koharenz von
Spinor-BECs ermoglicht und eine gute Ausgangsbasis fur weitere Experimente in
diesem Feld der Forschung darstellt.
50 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Kapitel 4
Charakterisierung und
Anwendungen des
Bragg-Lasersystems
Im Folgenden werden die Messungen vorgestellt, die unterschiedliche Konzepte zum
Aufbau der Bragg-Systemkomponenten charakterisieren und bewerten. Hier wurde
vor allem der bestmogliche Einsatz der Glasfaser, durch die das Laserlicht zum Ex-
periment gefuhrt wird im Hinblick auf die Signalqualitat gepruft. Anschließend wer-
den die Messungen zur Charakterisierung des implementierten Aufbaus beschrieben.
Außerdem werden Messungen zu einem mit dem Bragg-Laser realisierten Atominter-
ferometer diskutiert, mit dem am vorliegenden Experiment erstmalig Spinor-BECs
untersucht werden sollen.
4.1 Untersuchung des Einflusses von Fasern auf
die Signalqualitat
Im Rahmen der Planung des Lasersystems zur Bragg-Streuung von BECs wurden
vier verschiedene Varianten des Aufbaus entwickelt. Diese wurden im Hinblick auf
ihre Eignung untersucht und miteinander verglichen, wobei als Bewertungskriteri-
en vor allem die Signalqualitat aber auch die Praktikabilitat des jeweiligen Aufbaus
berucksichtigt wurden. Es stellte sich heraus, dass die Signalqualitat im entscheiden-
den Maße davon abhangt, ob eine Glasfaser Teil des Aufbaus ist und an welcher Stelle
im Strahlengang das Licht in diese Faser eingekoppelt wird.
Die verschiedenen Aufbauten sind in Abbildung 4.1 dargestellt. Alle vier ha-
51
52 Kapitel 4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems
AOM
Photo-
diode
AOM AOM
AOM
Faser-
koppler
Aufbau 1 Aufbau 2 Aufbau 3 Aufbau 4
Abbildung 4.1: Schematische Ansicht der vier Aufbauten zum Test des Einflusses
von Glasfasern. In dieser Abbildung sind aus Grunden der Ubersichtlichkeit die λ/2-
Plattchen und diverse Spiegel nicht mit eingezeichnet, auch wurde die 1. Beugungs-
ordnung des AOM benutzt, was in dieser Darstellung nicht zum Ausdruck kommt.
ben gemeinsam, dass das Laserlicht vom gitterstabilisierten Diodenlaser stammt,
dessen Frequenz relativ zu den optischen Ubergangen im Rubidium mit Hilfe der
Sattigungsspektroskopie einstellbar ist, so wie in Kapitel 3 beschrieben. Weiterhin
haben alle Aufbauten die Gemeinsamkeit, dass der Laserstrahl mit einem Polarisa-
tionsstrahlteiler zunachst in zwei Strahlen aufgespalten wird und danach einer der
beiden Strahlen mit einem AOM um etwa 80 MHz in der Frequenz verschoben wird.
Dann werden die beiden Strahlen uberlagert, das daraus resultierende Schwebungssig-
nal mit einer schnellen Photodiode detektiert und mit einem Spektrum-Analysator1
analysiert. Dadurch, dass nur einer der beiden Strahlen einen AOM durchlauft und
die Laserstrahlen somit eine Frequenzdifferenz von 80 MHz haben, herrschen zwar
nicht die gleichen Bedingungen wie sie im endgultigen Bragg-Laser benotigt werden,
die Bedingungen sind jedoch durchaus vergleichbar und man kann beipielsweise die
Auswirkungen der Reihenfolge von Glasfaser und AOM studieren und eventuelle die
Signalqualitat beeintrachtigende Faktoren von vornherein ausschließen. Die Unter-
schiede der vier Aufbauten bestehen in der Strahlfuhrung.
Aufbau 1 besteht aus zwei freilaufenden Laserstrahlen. Diese Konfiguration si-
1Rohde & Schwarz, FSP 9 kHz...13, 6 GHz
4.1 Untersuchung des Einflusses von Fasern auf die Signalqualitat 53
muliert einen Bragg-Laser, bei dem die beiden Strahlen nur uber Spiegel frei auf die
Atome gelenkt werden. Diese Variante des Aufbaus wurde a priori ausgeschlossen,
da der Laser zur Erzeugung des Lichtes fur die Bragg-Streuung weder in der Nahe
der Vakuumapparatur stehen sollte, noch die Laserstrahlen uber weite Strecken frei
auf dem Experimentiertisch laufen sollten. Das auf diese Weise gewonnene Schwe-
bungssignal stellt jedoch eine gute Basis zum Vergleich mit den anderen Aufbauten
dar.
Im zweiten Aufbau wurde der Strahl, der durch den AOM lauft, wie in Aufbau 1
freilaufend realisiert, der zweite Strahl wurde in eine 10 m lange single-mode-Faser
eingekoppelt, wieder ausgekoppelt und mit dem ersten Strahl uberlagert. In dieser
Anordnung wurde eine mogliche Realisierung des Bragg-Lasersystems simuliert, bei
der beide Strahlen durch je eine Glasfaser zum Experiment gefuhrt werden. Obwohl
einer der Strahlen freilaufend ist, lassen sich eventuelle Storungen, die durch die Glas-
faser zum Beispiel auf die Phase des Lichtes aufgepragt werden konnten, studieren, da
diese bei Benutzung von zwei Glasfasern entkoppelt sind und somit auch auftreten,
wenn nur ein Strahl durch eine Faser gefuhrt wird.
Aufbau 3 ist dem ersten sehr ahnlich mit dem Unterschied, dass der Strahl nach
der Uberlagerung nicht direkt auf die Photodiode gelenkt, sondern in eine Faser ein-
gekoppelt wird und erst nach der Auskopplung mit der Photodiode detektiert wird.
Da die beiden einzelnen Bragg-Laserstrahlen orthogonal zueinander polarisiert sind,
konnen sie nach dem Auskoppeln aus der Faser mit einem Polarisationsstrahlteiler
wieder getrennt werden. Wurde man diese Konfiguration fur den Bragg-Laser benut-
zen, so hatte dies den Vorteil, dass in der Nahe der Vakuumapparatur nur wenige
optische Komponenten platziert werden mussten, was die Realisierung erleichtern
wurde.
In Aufbau 4 wird schließlich der Laserstrahl erst durch eine Faser geschickt, dann
wird er aufgespalten und einer der beiden Strahlen lauft durch den AOM, bevor beide
wieder uberlagert und auf die Photodiode gelenkt werden. Diese Variante hatte im
Vergleich zu Aufbau 3 den Nachteil, dass man mehr Komponenten des Lasersystems
in direkter Nahe des Experiments aufbauen musste.
In Abbildung 4.2 sind die mit dem Spektrum-Analysator aufgenommenen Fre-
quenzspektren der Schwebungssignale von Aufbau 1 und 2 zu sehen. In allen Graphen
dieses Kapitels wurde das Maximum mit der Differenzfrequenz auf 0 dB normiert.
Wahrend der Messungen waren alle Netzgerate, Laborrechner, Pumpen und sonsti-
gen Gerate, die einen Gerauschpegel im Labor erzeugen, in Betrieb, um dem realen
Experimentzyklus entsprechende Rahmenbedingungen zu erzeugen. Man sieht in allen
Spektren deutlich das Maximum bei 80 MHz, der Frequenz, mit der der AOM betrie-
54 Kapitel 4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-40 -20 0 20 40-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-40 -20 0 20 40
-100
-80
-60
-40
-20
0
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/MHz
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/MHz
-100
-80
-60
-40
-20
0
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/MHz
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/MHz
a)
c)
b)
d)
Abbildung 4.2: Vergleich der Schwebungssignale von Aufbau 1 (links) und Aufbau 2
(rechts). Die mittleren Maxima haben eine Frequnz von 80 MHz. Die Spektren a und
b wurden mit einer Auflosungsbandbreite von 1 MHz uber eine Frequenzspanne von
100 MHz, c und d mit einer Auflosungsbandbreite von 10 kHz uber eine Frequenz-
spanne von 1 MHz aufgenommen.
ben wird. Im Graphen von Aufbau 2 (Abbildung 4.2 b) sieht man auf der Flanke einige
”Spikes“, die nicht statisch sind, sondern von rechts nach links durch das Spektrum
laufen. Dieser Effekt zeigte sich auch beim Messen mit einer Auflosungsbandbreite von
10kHz (Abbildung 4.2 d) dadurch, dass das im Vergleich zum Aufbau 1 stark erhohte
Rauschen ebenfalls sprunghaft an- und abstieg. Dieser unerwunschte Effekt war nur
bei Aufbau 2 zu beobachten, somit ist er darauf zuruckzufuhren, dass einer der bei-
den Strahlen durch eine Glasfaser gefuhrt wurde. Zusatzlich zu diesem Effekt war auf
dem Signal der Sattigungsspektroskopie im Aufbau 2 eine deutliche Modulation zu
erkennen, die durch Reflexionen vom Faserende zuruck in die Laserdiode verursacht
wurde und selbst durch den Einsatz eines zusatzlichen zweiten optischen Isolators
nicht ausreichend vermindert werden konnte. Ob die oben beschriebenen Storungen
4.1 Untersuchung des Einflusses von Fasern auf die Signalqualitat 55
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-40 -20 0 20 40
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/MHz
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-40 -20 0 20 40
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/MHz
-100
-80
-60
-40
-20
0
-4 -2 0 2 4
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/kHz
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/kHz
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-40 -20 0 20 40-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-40 -20 0 20 40
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/Hz
-100
-80
-60
-40
-20
0
-4 -2 0 2 4
Frequenz/Hz
a) b)
d)
f)e)
c)
Abbildung 4.3: Vergleich der Schwebungssignale von Aufbau 3 (links) und
Aufbau 4 (rechts). Die Center-Frequenz betragt bei allen Spektren 80 MHz.
Auflosungsbandbreiten von oben nach unten: 1 MHz, 100 Hz, 1 Hz. Frequenzspannen
von oben nach unten: 100 MHz, 10 kHz 100 Hz
des Schwebungssignals auch auf diese Reflexionen zuruckzufuhren sind, konnte nicht
endgultig ermittelt werden. Auch durch einen Austausch mit einer anderen gleichwer-
tigen Glasfaser wurde keine Verbesserung des Signals erzielt. Aufgrunddessen wurde
56 Kapitel 4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems
von einer Konfiguration des Bragg-Lasers, bei der beide Strahlen jeweils durch eine
Glasfaser direkt zum Experiment gefuhrt werden, abgesehen.
Die Spektren von Aufbau 3 und 4 sind in Abbildung 4.3 dargestellt. In den Mess-
kurven a und b mit einer Spanne von 100 MHz und einer Auflosungsbandbreite von
1 MHz kann man bis auf ein unterschiedliches Signal-Rausch-Verhaltnis, das auf ei-
ne unterschiedlich gute Uberlagerung der beiden Laserstrahlen vor der Photodiode
zuruckzufuhren ist, keine Unterschiede in der Signalqualitat erkennen. Die Breite der
Maxima in beiden Messkurven ist gleich, da sie durch die am Spektrum-Analysator
eingestellte Auflosungsbandbreite begrenzt ist. Durch die logarithmische Darstellung
entsteht in den Graphen c und d der Eindruck, dass das Maximum des Signals von
Aufbau 3 eine großere spektrale Breite hat, was jedoch nicht der Fall ist (siehe hierzu
Abbiludng 4.4). Jedoch gab es in diesem Signal ein sprunghaftes An- und Absteigen
des Rauschens, welches in Abbildung 4.3.c durch insgesamt drei zu verschiedenen Zei-
ten aufgenommene Messkurven verdeutlicht wird. Vergleicht man die Abbildungen e
und f, so sieht man, dass sich bei Aufbau 3 das zentrale Maximum bei etwa −25 dB
verbreitert, wahrend das bei Aufbau 4 erst bei etwa −40 dB der Fall ist. Insgesamt lag
hier also die bessere Signalqualitat vor. Aufgrunddessen wurde fur den endgultigen
Aufbau die Variante 4 gewahlt und das Aufteilen der Strahlen und ihre anschließende
Frequenzverschiebung durch die AOMs hinter der Glasfaser realisiert.
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
-4 -2 0 2 4
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/kHz
Sch
web
ungss
ignal/
mW
Frequenz/Hz
Aufbau 1
Aufbau 2
Aufbau 3
Aufbau 4
Abbildung 4.4: Links: Spektren aller vier Aufbauten bei einer Auflosungsbandbreite
von 1 Hz. Rechts: Einfluss von akustischen Storungen auf das Schwebungssignal
(Auflosungsbandbreite: 100 Hz, Frequenzspanne: 10 kHz)
Auf der linken Seite von Abbildung 4.4 sind Signale aller vier Aufbauten aus
Messungen mit einer Auflosungsbandbreite vom 1 Hz in ein Koordinatensystem ein-
getragen. Die Skala des Schwebungssignals ist hier linear. Man kann erkennen, dass
4.1 Untersuchung des Einflusses von Fasern auf die Signalqualitat 57
trotz der unterschiedlichen Strahlenfuhrung in den Aufbauten keine Verbreiterung
des Maximums bei 80 MHz zu erkennen ist. Die Breite der Maxima ist in allen Fallen
gleich (etwa 1 Hz FWHM), sie ist also durch die Auflosungsbandbreite des Spektrum-
Analysators bestimmt. Ob die Verbreiterung von der Art und Weise abhangt, wie man
die Strahlen vor dem Uberlagern fuhrt, konnte also nicht bestimmt werden.
Die rechte Seite von Abbbildung 4.4 zeigt den Einfluss von außeren Storungen
auf das Schwebungssignal. Es zeigte sich, dass die Messung extrem empfindlich auf
Vibrationen und selbst akustische Storungen wie Sprechen reagiert. Die rote Kurve
zeigt eine Schwebung, die mit dem Aufbau 1 unter den oben beschriebenen Bedin-
gungen aufgenommen wurde. Die blaue Kurve wurde gemessen, wahrend in der Nahe
der Apparatur gepfiffen wurde. Die durch Schallwellen auf die Optik ubertragenen
mechanischen Schwingungen erzeugten die Nebenmaxima im Frequenzspektrum des
Schwebungssignals. Ahnliche Storungen ließen sich durch leichtes Klopfen auf den
Experimentiertisch hervorrufen.
Der Einfluss von Umgebungsgerauschen auf die Signalqualitat wird im folgen-
den Abschnitt noch einmal mit dem in das Experiment implementierten Lasersystem
untersucht. Die durch die akustischen Schwingungen auf die Spiegel ubertragenen
Vibrationen sind eine Ursache fur eine Frequenzverbreiterung des zentralen Maxi-
mums im Spektrum, die mit der oben beschriebenen Methode nicht gemessen wer-
den konnte. Allgemeinener lasst sich formulieren, dass eine Modulation der opti-
schen Weglange eine der Ursachen fur die Frequenzverbreiterung ist. Bei freilaufenden
Strahlen kann dies durch die oben beschriebenen Vibrationen der optischen Kompo-
nenten durch Schall verursacht werden. Denkbar sind hier auch eventuelle thermische
Drifts beispielsweise der Spiegelhalter, die aber im Bereich von weniger als einem
Hertz liegen sollten und somit vernachlassigbar sind. Bei durch Glasfasern gefuhrten
Strahlen konnen ebenfalls akustische und thermische Effekte dazu fuhren, dass es zu
Anderungen des Brechungsindex in der Faser kommt und somit Storungen auf das
Lichtsignal aufgepragt werden.
Zusammenfassend lasst sich sagen, dass die sorgfaltige Planung und die vor dem
Aufbau durchgefuhrten Messungen einen entscheidenen Anteil daran haben, dass die
Signalqualitat ausreichend gut ist, um die mit dem Bragg-Laser geplanten Anwen-
dungen realisieren zu konnen.
58 Kapitel 4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems
4.2 Schwebungsmessung der Bragg-Laserstrahlen
Nachdem die im vorigen Kapitel beschriebenen Messungen durchgefuhrt und ausge-
wertet waren, wurde der endgultige Aufbau des Bragg-Lasers realisiert. Dieser ist in
Kapitel 3.3.4 beschrieben und dort in Abbildung 3.12 dargestellt. Aufgrund der Er-
gebnisse der Messungen wurde ein System nach dem Prinzip von Aufbau 4 realisiert,
bei dem das Licht des Master-Lasers durch eine Glasfaser in die Nahe der Vaku-
umapparatur gefuhrt wird, die Aufspaltung in zwei Strahlen und die anschließende
Frequenzverschiebung durch die beiden AOMs aber erst hinter der Faser stattfin-
det. Um das realisierte Bragg-Lasersystem zu charakterisieren, wurde eine Messung
des Schwebungssignals der beiden bereits auf die Glaszelle justierten Laserstrahlen
durchgefuhrt. Dazu wurde einer der beiden Strahlen mit Hilfe von zusatzlichen Spie-
geln und einem Polarisationsstrahlteilerwurfel mit dem anderen uberlagert und das
Schwebungssignal wie bei den Messungungen des vorigen Kapitels mit Hilfe einer
Photodiode detektiert. Allerdings kam hier zur Spektralanalyse ein Audio-Analyzer2
zum Einsatz, da als Differenzfrequenz der Laserstrahlen in diesem Fall δ = 2π·3, 5 kHz
gewahlt wurde.
Die Spektren sind in Abbildung 4.5 zu sehen. Auf der linken Seite sieht man
Messkurven, die aufgenommen wurden, wahrend das BEC-Experiment mit allen da-
zu benotigten Geraten lief, wodurch ein konstanter Gerauschpegel im Labor vorhan-
den war. Die rechte Seite der Abbildung zeigt Spektren, die aufgenommen wurden
ohne dass all diese Gerate angeschaltet waren. Außerdem wurde wahrend dieser Mes-
sungen ein sich uber dem optischen Tisch befindliches Reinluftzufuhrgerat (eine so
genannte Flowbox ) ausgeschaltet. Bei allen Graphen wurde das Maximum mit der
Differenzfrequenz auf 0 dB normiert.
In den Graphen a und b sieht man neben diesem Maximum weitere Anteile im
Frequenzspektrum des Schwebungssignals, vor allem im Abstand von etwa 300 Hz
links und rechts davon, aber auch mehrere Maxima im Anstand von einigen kHz.
Bei den Messungen, die ohne laufendes Experiment gemacht wurden, sind die Sei-
tenbander um einige dB schwacher, was auch bei einem Vergleich der Spektren c und
d deutlich zu erkennen ist. Hier sind vor allem die Seitenbander im Abstand von
circa 300 Hz zur Differenzfrequenz deutlicher zu sehen. In den Spektren e und f sind
noch Nebenmaxima im Abstand von 120 Hz zu sehen, außerdem wird hier die Ver-
breiterung des Maximums bei der eingestellten Differenzfrequenz durch den Einfluss
der Umgebungsgerausche deutlich. Die Linienbreite, die in Graph f 0, 1 Hz (FWHM)
betragt, wird dadurch verdoppelt.
2Rohde & Schwarz Audio Analyzer DC 110kHz UPL
4.2 Schwebungsmessung der Bragg-Laserstrahlen 59
Frequenz/kHz
-100
-80
-60
-40
-20
0
-2 0 2 4 6 8 10-2 0 2 4 6 8 10
-100
-80
-60
-40
-20
0
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/kHz
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
-1 -0.5 0 0.5 1-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
-1 -0.5 0 0.5 1
Frequenz/kHz
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
-100
-80
-60
-40
-20
0
-150 -100 -50 0 50 100 150-100
-80
-60
-40
-20
0
-150 -100 -50 0 50 100 150
Frequenz/Hz
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/Hz
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
Frequenz/kHz
Sch
web
ungss
ignal/
dB
m
a) b)
d)
f)e)
c)
Abbildung 4.5: Signale der Schwebungsmessung: Auf der linken Seite sind die Mes-
sungen unter Experimentbedingungen zu sehen, die Messkurven auf der rechten Seite
wurden ohne akustische Storungen (siehe Text) erstellt. Die Center-Frequenz betragt
bei allen Spektren 3, 5 kHz. Frequenzspannen von oben nach unten: 14, 4 kHz, 2, 8 kHz
320 Hz
60 Kapitel 4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems
Zusammenfassend lasst sich feststellen, dass zwar potentiell storende Signale im Fre-
quenzspektrum der Schwebung auszumachen sind, diese aber um fast 30 dB unter-
druckt sind, so dass man von einer zufriedenstellenden Signalqualitat sprechen kann.
Der realisierte Aufbau bietet also ausreichend gute Bedingungen, um zusammen mit
der bereits bestehenden experimentellen Anordnung Bragg-Beugung von BECs zu
untersuchen.
4.3 Demonstration der Bragg-Beugung erster und
hoherer Ordnung
Da der Bragg-Laser zur Untersuchung von BECs mit Spinfreiheitsgrad eingesetzt wer-
den soll, mussen die Kondensate in einem optischen Dipolpotential prapariert werden.
Die ersten Testmessungen mit dem fertig implementierten System wurden dennoch
an F=1-Kondensaten durchgefuhrt, die in der Magnetfalle prapariert wurden, da da-
zu im Experimentzyklus ein Schritt weniger benotigt wird. Nach Ausschalten des
magnetischen Fallenpotentials folgte eine Entwicklungszeit von t1 = 4 ms, in der sich
ein Großteil der mean-field-Energie in kinetische Energie umwandeln konnte. Um die
Resonanz der Frequenzdifferenz δ zwischen den Bragg-Laserstrahlen moglichst ge-
nau zu bestimmen, wurde nach dieser Entwicklungszeit ein Bragg-Puls der Dauer
t2 = 500 µs eingestrahlt und δ von Messung zu Messung bei gleichbleibender Inten-
sitat im Bereich von 11 kHz bis 18 kHz variiert. Je naher δ an der Resonanzfrequenz
war, desto mehr Atome wurden in die erste Ordnung gebeugt, so dass anhand der
Absorptionsbilder die Resonanzfrequenz ausreichend genau bestimmt werden konnte.
Es zeigte sich, dass bei δ = 2π · 14, 9 kHz die meisten Atome in die erste Ordnung
gebeugt wurden. Nach Gleichung 2.14 gilt fur δ:
δ =p2
R
h · 2m =(2hk · sin (ϑ/2))2
h · 2m (4.1)
Setzt man in diese Gleichung k = 2π/780, 24 nm und die atomare Masse von 87Rb
m = 1, 443 · 10−25 kg ein, so ergibt sich δ = 2π · 15, 04 kHz. Die gemessene und die
theoretisch berechnete Resonanzfrequenz unterscheiden sich also um weniger als ein
Prozent.
In Abbildung 4.6 sind Absorptionsbilder von Messungen an Kondensaten abge-
bildet, die im Hyperfeinzustand |F = 1, mf = 0〉 in der Dipolfalle prapariert wurden.
Hier wurde der Bragg-Puls nach einer Entwicklungszeit von von t1 = 5.5 ms nach dem
Ausschalten des Dipolpotentials eingestrahlt. Die Deteketion der Atomwolken folgte
4.3 Demonstration der Bragg-Beugung erster und hoherer Ordnung 61
nach einer TOF von insgesamt 39 ms, die Pulsdauer und die Intensitat der Laserstrah-
len wurde jeweils so eingestellt, dass etwa die Halfte der Atome in die gewunschte
Ordnung gebeugt wurde. Abbildung 4.6 a zeigt die Bragg-Beugung erster Ordnung,
die Pulsdauer betrug 80 µs bei einer Intensitat von etwa 60 W/m2. Ein Absorpti-
onsbild nach einem Bragg-Puls, der bevorzugt in die zweite Ordnung beugte, ist in
Abbildung 4.6 b zu sehen, hier war die Pulsdauer 400 µs lang und I ≈ 600 W/m2.
Abbildung 4.6 c zeigt ein Bild, bei dem die Atome mit einer Pulsdauer von 250 µs bei
einer Intensitat von etwa 1200 W/m2 bevorzugt in die dritte Ordnung gebeugt wur-
den. Die Differenzfrequenzen betrugen je nach Ordnung das n-fache von 14, 9 kHz, so
wie es Gleichung 2.18 beschreibt. Man kann anhand der Abbildungen gut erkennen,
dass bei Beugung in die n-te Ordnung der Impuls pR = n · hk · sin(ϑ/2) ubertragen
wird. Da bei allen Abbildungen zwischen Einstrahlen des Bragg-Pulses und Detektion
die gleiche TOF gewahlt wurde, wachsen die Abstande zwischen den gebeugten und
den nicht gebeugten Atomen linear mit der Ordnung.
Sowohl bei der Beugung in die zweite Ordnung als auch bei der Beugung in die
dritte Ordnung wurden Atome in die niedrigeren Ordnungen und in die minus erste
Ordnung gebeugt. Diesen Sachverhalt kann man anhand von Abbildung 2.7 erklaren.
Bei der Beugung in die zweite Ordnung betrug die eingestellte Frequenzdifferenz
δ = 2π · 29, 8 kHz. Anstatt des gewunschten Vier-Photonen-Prozesses mit einem Im-
pulsubertrag von 2 ·pR kann auch ein Zwei-Photonen-Prozess stattfinden, da die Ver-
stimmung ∆2 zwischen dem virtuellen Niveau und dem Niveau der ersten Ordnung
der Bragg-Streuung nur etwa 15 kHz betragt und somit eine gewisse Wahrscheinlich-
keit fur die Anregung in dieses Niveau vorhanden ist. Die Verstimmung fur das Niveau
der minus ersten Ordnung betragt etwa 30 kHz, so dass auch die Anregung in diese
Ordnung moglich ist. Dadurch, dass im Vergleich zur Bragg-Beugung in die erste
Ordnung die zehnfache Intensitat eingetrahlt wurde, ist das Auftreten von Atomen
in den niedrigeren Beugungsordnungen verstandlich. Das Gleiche gilt fur die Bragg-
Beugung in die dritte Ordnung, die mit einer Frequenzdifferenz von δ = 2π ·44, 7 kHz
angeregt wurde. Hier betragen die Verstimmungen ∆2 und ∆4 jeweils etwa 30 kHz,
die Verstimmung fur die minus erste Ordnung betragt ungefahr 60 kHz, so dass auch
diese Anregungen eine gewisse Wahrscheinlichkeit besitzen.
Des weiteren spielt die Frequenzverbreiterung durch die Pulslange eine Rolle. Das
Frequenzspektrum des Bragg-Lasers wird durch eine sinc2-Funktion im Frequenzraum
beschrieben (siehe Kapitel 2.2.6), die Breite betragt bei einer Pulslange von einigen
Hundert µs einige kHz und hat somit eine ahnliche Großenordnung wie die oben
erwahnten Verstimmungen. Außerdem konnen Nebenmaxima im Frequenzspektrum
des Lasers die Anregungen in die niedrigeren Ordnungen verursacht haben.
62 Kapitel 4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems
0. -1.1.2.3.
c)
b)
a)
Abbildung 4.6: Bragg-Beugung erster, zweiter und dritter Ordnung
In Bild b ist zu erkennen, dass mehr Atome in die minus erste Ordnung als in die
erste Ordnung gebeugt wurden, obwohl die Verstimmung fur die minus erste Ordnung
großer ist. Das liegt daran, dass sich die Rabi-Frequenzen der einzelnen Ordnungen
unterscheiden. Dieser Sachverhalt außerte sich auch darin, dass durch geringfugige
Anderung der Pulslange eine annahernd gleiche Verteilung auf die nullte und die
bevorzugte zweite Ordnung erreicht werden konnte, die Anzahl der Atome in den
”unerwunschten“ Ordnungen dabei aber variierte.
Eine Bragg-Beugung in eine hohere Ordnung als die dritte konnte im Rahmen
dieser Messung trotz einiger Versuche mit verschiedenen Parametern nicht erreicht
werden. Der limitierende Faktor ist dabei hochstwahrscheinlich die Intensitat der
Bragg-Laserstrahlen, die bei der Beugung in die dritte Ordnung schon nahe der ma-
ximal moglichen war. Fur die eigentliche Anwendung des Lasersystems als Bragg-
4.4 Rabi-Oszillationen 63
Interferometer sind die hoheren Ordnungen allerdings nicht relevant, da zur Bragg-
Interferometrie die Bragg-Beugung erster Ordnung einzgesetzt werden soll, die im
folgenden Kapitel naher untersucht wird.
4.4 Rabi-Oszillationen
Wenn man mit dem Bragg-Lasersystem Interferometrie betreiben mochte, muss man
in der Lage sein, moglichst genaue π-Pulse beziehungsweise π2-Pulse einzustrahlen.
Um dieses zu uberprufen und die Leistungsfahigkeit des Systems zu testen, wurde
eine Rabi-Oszillation (siehe Kapitel 2.2.7) in Abhangigkeit der Pulsdauer vermessen,
wobei alle sonstigen Parameter unverandert blieben. Dazu wurden wieder in der Di-
polfalle Kondensate im Hyperfeinzustand |F = 1, mf = 0〉 prapariert, die nach dem
Ausschalten des Dipolpotentials fur eine Zeit von t1 = 5.5 ms fallengelassen wurden.
Danach wurde ein Bragg-Puls der Dauer tww im Bereich von 0 µs bis 800 µs einge-
strahlt, der unterschiedliche Anteile der Kondensate in die erste Ordnung beugte.
Nach einer weiteren Zeit von t2 = 33, 5 ms − tww wurde die sich ergebene raumliche
Verteilung der Atome detektiert, so dass sich insgesamt eine TOF von 39 ms ergab.
Auf den so erzeugten Bildern sieht man je nach Dauer des Bragg-Pulses verschie-
dene Verteilungen der Atome auf die nullte und die erste Ordnung, die Teilchenzahlen
in den beiden Ordnungen wurden mit dem in [44] beschriebenen Verfahren bestimmt.
Dazu wird an die Spaltensummen der beiden Kondensate und der thermischen Wol-
ken je eine bimodale Verteilung angefittet und die Teilchenzahl durch Integration
berechnet. Ein Beispiel fur eine mit dem CCD-Chip gemessene Dichteverteilung und
die daran angefitteten Kurven ist in Abbildung 4.7 zu sehen. Die durch diese Fits
ermittelten Anteile der gebeugten Atome sind in Abbildung 4.8 gegen die Pulsdau-
er aufgetragen. Da nach Formel 2.27 fur den Anteil bei der Bragg-Beugung erster
Ordnung die Beziehung
P (t) = sin2
(
Ω1 · tww
2
)
gilt, wurde an die Messwerte eine sin2-Funktion angefittet, wobei eine exponentielle
Dampfung angenommen wurde, da mit steigender Pulsdauer aufgrund der Geschwin-
digkeitsselektivitat immer weniger Atome in die erste Ordnung gebeugt werden. Der
Verlauf der Messpunkte ist in guter Ubereinstimmung mit dieser Funktion, ledig-
lich zwischen 240 µs und 400 µs liegen die Punkte nicht genau auf der Kurve. Diese
Abweichungen sind hochstwahrscheinlich auf ein Driften des Masterlasers und ein
damit verbundenes Driften der Verstimmung ∆ zuruckzufuhren, das wahrend der
Messung auftrat und nur in unregelmaßigen Abstanden korrigiert wurde. Der Fit
64 Kapitel 4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems
Ort / bel. Einh.
Spalt
ensu
mm
e/
bel
.E
inh.
Abbildung 4.7: Beipsiel fur einen Fit zur Teilchenzahlbestimmung. Die Bragg-
Pulsdauer bei dieser Messung betrug 60 µs. Die dunkelblaue Kurve stellt die gemes-
sene Spaltensumme dar, die gebeugten Atome bilden das linke Maximum. Die roten
Kurven sind die an die Kondensate angefitten Parabeln, und die hellblauen Kurven
die an die thermischen Wolken angefitteten Gaußfunktionen.
ergab eine Rabi-Periode von T = (355 ± 1) µs und eine Dampfungskonstante von
texp = (10, 7 ± 7, 5) ms. Mit Hilfe der Gleichungen 2.25 und 2.26 kann man die theo-
retisch zu erwartende Rabi-Periode T folgendermaßen berechnen:
T =2π
Ω1
=2π · 2∆
Ω20
=8π∆
Γ2· Isat
I
Setzt man die naturliche Linienbreite von Γ = 2π · 6.065 MHz und die Verstimmung
des Bragg-Lasers vom Ruckpumpubergang von ∆ = 2π · 5, 75 GHz ein, so erhalt man
T = 625 µs · Isat/I. Vor der Messung wurde die Intensitat I der Bragg-Laserstrahlen
zu 60 W/m2 bestimmt, so dass sich als theoretischer Wert eine Rabi-Periode von
T = 164 µs ergab, welche in der Großenordnung der durch den Fit bestimmten Periode
liegt. Ein Grund fur die große Abweichung vom theoretischen zum gemessenen Wert
konnte das gaußformige Strahlprofil der Laserstrahlen sein, durch das die Intensitat,
mit der die Atome bestrahlt werden, von der Position innerhalb dieses Strahlprofils
abhangt.
Zusammenfassend lasst sich sagen, dass es mit dem realisierten Bragg-Lasersystem
moglich ist, einen beliebigen Anteil von Atomen in die erste Ordnung auszukoppeln
und somit ein Interferometer fur BECs zu realisieren.
4.5 Das π2-π2-Interferometer 65
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 100 200 300 400 500 600 700
Pulsdauer/µs
Ante
ilder
geb
eugte
nA
tom
e
Fitkurve
Messpunkte
Abbildung 4.8: Rabi-Oszillation bei der Bragg-Beugung 1. Ordnung. In der Abbil-
dung oben sieht man den Anteil der gebeugten Atome gegen die Beleuchtungsdauer
aufgetragen, unten sind einige der Bilder gezeigt, aus denen die Messwerte durch Fits
bestimmt wurden.
4.5 Das π2-
π2-Interferometer
Die Messungen zur Demonstration des π2-π2-Interferometers wurden ebenfalls an Kon-
densaten im Hyperfeinzustand |F = 1, mf = 0〉 durchgefuhrt, die fur diese Messungen
in der Dipolfalle prapariert wurden. 5, 5 ms nach Ausschalten des Dipolpotentials
wurde der erste π2-Puls eingestrahlt, der eine Dauer von t1 = 80 µs hatte. Nach
einer einer Zeit tB, die von 0, 5 ms bis 5, 5 ms variierte, wurde der zweite π2-Puls
fur eine Zeit t2 eingestrahlt. Die Atome bewegen sich aufgrund der Gravitation in
der Zeit zwischen den Bragg-Pulsen durch das gaußformige Strahlprofil der Bragg-
Laserstrahlen hindurch, so dass die Intensitat vom Ort innerhalb dieses Stahlprofils
66 Kapitel 4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems
abhangig ist. Es zeigte sich, dass mit zunehmendem zeitlichen Abstand tB zwischen
den beiden Pulsen die Pulsdauer t2 des zweiten Bragg-Pulses verlangert werden muss-
te, damit ein π2-Puls vorlag, so dass man davon ausgehen kann, dass sich die Atome
an einen Ort niedrigerer Intensitat bewegten. Die Zeit t2 betrug dadurch zwischen
100 µs und 180 µs. Nach den beiden Bragg-Pulsen folgte noch eine weitere TOF der
Lange t3 = 33, 5 ms − (t1 + t2 + tB), so dass die Zeit zwischen dem Ausschalten des
Dipolpotentials und der Detektion wie bei den Messungen im vorigen Kapitel wieder
39 ms betrug.
d)
b)
d)
f)
a)
c)
e)
Abbildung 4.9: Interferenz zwischen Bose-Einstein Kondensaten im π2-π2-
Interferometer
4.5 Das π2-π2-Interferometer 67
Einige der auf diese Weise erstellten Bilder sind in Abbildung 4.8 dargestellt. Die
Zeit tB in Bild a) betragt 2 ms, sie wurde von Bild zu Bild um 0, 5 ms erhoht. Man
kann auf den Bildern deutlich erkennen,dass sich der Abstand d der Interferenzstreifen
mit zunehmender Dauer zwischen den π2-Pulsen verringert. Nach Gleichung 2.32 gilt
fur d:
d =h
m∆xα(t)(4.2)
Um diesen Zusammenhang zu uberprufen, wurde der Abstand der Interferenzrin-
ge graphisch bestimmt, indem der Pixelabstand auf dem Bild der CCD-Kamera
ausgezahlt wurde. Diese Methode ist sehr grob und ungenau und sollte bei einer
umfangreicheren Meßreihe durch eine genauere Auswertung ersetzt werden, bei der
die Abstande mit Hilfe von Fits bestimmt werden. In den Messungen mit 0,5 ms<
tb <1,5 ms konnte d nicht auf die angegebene Weise bestimmt werden, da die Inter-
ferenzstreifen nicht kontrastreich genug waren.
Die gemessenen Abstande sind in Tabelle 4.1 zusammengefasst. Die Werte von d
fallen fur steigende Werte von tB, und es lasst sich feststellen, dass sich die Messwerte
qualitativ so verhalten, wie durch die Theorie vorausgesagt.
Bild a) b) c) d) e) f)
tb/ ms 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
d/ Pixel 8,6 8,0 7,7 7,3 7,0 6,0
Tabelle 4.1: Abstande d der Inteferenzstreifen in Abhangigkeit der Zeit tB zwischen
den π2-Pulsen
Die Moglichkeit, mit dem aufgebauten System Bragg-Interferometrie von BECs
zu realisieren, wurde mit dieser ersten Messreihe demonstriert. Um die Dauer einesπ2-Pulses uber die gesamte Lange des Interferometers konstant zu halten, sollten die
Laserstrahlen mit zwei Linsen unterschiedlicher Brennweiten aufgeweitet und die In-
tensitat der Strahlen erhoht werden. Diese Maßnahme wurde die Leistungsfahigkeit
des Systems weiter verbessern und kann in Zukunft relativ leicht implementiert wer-
den.
68 Kapitel 4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems
Kapitel 5
Ausblick
Das im Rahmen dieser Diplomarbeit realisierte Bragg-Lasersystem bietet eine hervor-
ragende Ausgangsbasis zur Durchfuhrung interferometrischer Messungen an Spinor-
BECs. Die im vorigen Kapitel dargestellte Messung mit dem π2-π2-Interferometer zeigt,
dass die Uberlagerung vorher durch Bragg-Pulse getrennter BECs ein deutliches In-
terferenzmuster erzeugt.
Trotz des sehr zufriedenstellenden Ergebnisses gibt es noch Moglichkeiten, die
Leistungsfahigkeit des Systems zu verbessern und seine Handhabung zu vereinfachen.
Zum einen ist dies die bereits erwahnte Aufweitung der Bragg-Strahlen mit Hilfe
eines Teleskopaufbaus, die dazu fuhren wurde, dass die Intensitat uber eine großere
Fallstrecke der Kondensate konstant bliebe. Zum anderen konnte der Master-Laser
durch eine FM-Spektroskopie oder eine andere Technik gelockt werden, die ein Driften
seiner Frequenz uber einen langeren Zeitraum verhindern konnte.
Fur eine quantitative Auswertung der bei der Bragg-Interferometrie aufgenom-
menen Absorptionsbilder sollte die Implementierung eines Fit-Algorithmus erfolgen,
der die Entstehung der Interferenzstreifen und deren absolute Position bei der Aus-
wertung der Absorptionsbilder berucksichtigt. Man kann davon ausgehen, dass die
geplanten interferometrischen Messungen gute Ergebnisse produzieren werden. Die
Frage nach der Koharenz der mehrkomponentigen Wellenfunktion, vor allem der
Koharenz zwischen den einzelnen Komponenten sollte dadurch beantwortet werden
konnen. Insbesondere raumliche Aspekte wie die Koharenz von Kondensaten nach
einer Phasentrennung oder der moglichen Bildung von Spindomonen konnen in Zu-
kunft atominterferometrisch studiert werden, indem der Kontrast in Abhangigkeit
des Abstandes zwischen den uberlagerten Kondensaten untersucht wird.
Ein nachster Schritt wird der fur die nahe Zukunft geplante Einbau eines sich
momentan in der Herstellung befindlichen Detektionsobjektivs sein, dessen 10-fache
69
70 Kapitel 5 Ausblick
Vergroßerung die Auflosung nochmals maßgeblich verbessern wird. Im Zuge des-
sen wird die Moglichkeit der Phasenkontrastabbildung gegeben sein, mit der ei-
ne zerstorungsfreie Detektion der BECs durchfuhrbar ist. Dadurch konnen in-situ-
Messungen zur Entwicklung von Kondensaten in der optischen Dipolfalle durch-
gefuhrt werden, was ein weites Spektrum neuer Moglichkeiten zur Erforschung der
Spinor-BECs bietet.
Literaturverzeichnis
[1] A. Einstein. Quantentheorie des einatomigen idealen Gases. Zweite Abhandlung.
Sitzungber. Preuss. Akad. Wiss., 1925:3, January 1925.
[2] L. de Broglie. Radiation-waves and quanta. Comptes rendus, 177:507, 1923.
[3] Satyendra Bose. Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese. Z. Phys.,
26(3):178, 1924.
[4] Fritz London. The λ-phenomenon of liquid helium and the Bose-Einstein dege-
neracy. Nature, 141(3571):643, April 1938.
[5] Steven Chu. The manipulation of neutral particles. Rev. Mod. Phys., 70(3):685,
July 1998.
[6] Claude N. Cohen-Tannoudji. Manipulating atoms with photons. Rev. Mod.
Phys., 70(3):707, July 1998.
[7] William D. Phillips. Laser cooling and trapping of neutral atoms. Rev. Mod.
Phys., 70(3):721, July 1998.
[8] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman, and E. A.
Cornell. Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor.
Science, 269(0):198, July 1995.
[9] C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, and R. G. Hulet. Evidence of Bose-
Einstein condensation in an atomic gas with attractive interactions. Phys. Rev.
Lett., 75(9):1687, August 1995. ibid. 79, 1170 (1997).
[10] K. B. Davis, M.-O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Durfee,
D. M. Kurn, and W. Ketterle. Bose-Einstein condensation in a gas of sodium
atoms. Phys. Rev. Lett., 75(22):3969, November 1995.
71
72 LITERATURVERZEICHNIS
[11] H.F. Hess. Evaporative cooling of magnetically trapped and compressed spin-
polarized hydrogen. Phys. Rev. B, 34(5):3476, September 1986.
[12] S. Burger, K. Bongs, S. Dettmer, W. Ertmer, K. Sengstock, A. Sanpera, G. V.
Shlyapnikov, and M. Lewenstein. Dark solitons in Bose-Einstein condensates.
Phys. Rev. Lett., 83(25):5198, December 1999.
[13] M. R. Matthews, B. P. Anderson, P. C. Haljan, D. S. Hall, C. E. Wieman,
and E. A. Cornell. Vortices in a Bose-Einstein condensate. Phys. Rev. Lett.,
83(13):2498, September 1999.
[14] M.R. Andrews, C.G. Townsend, H.-J. Miesner, D.S. Durfee, D.M. Kurn, and
W. Ketterle. Observation of interference between two Bose-Einstein condensates.
Science, 275(0):637, January 1997.
[15] Wolfgang Ketterle and Hans-Joachim Miesner. Coherence properties of Bose-
Einstein condensates and atom lasers. Phys. Rev. A, 56(4):3291, October 1997.
[16] Markus Greiner, Olaf Mandel, Tilman Esslinger, Theodor W. Hansch, and Im-
manuel Bloch. Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator
in a gas of ultracold atoms. Nature, 415:39, January 2002.
[17] D. M. Stamper-Kurn, M. R. Andrews, A. P. Chikkatur, S. Inouye, H.-J. Miesner,
J. Stenger, and W. Ketterle. Optical confinement of a Bose-Einstein condensate.
Phys. Rev. Lett., 80(10):2027, March 1998.
[18] J. Stenger, S. Inouye, D. M. Stamper-Kurn, H.-J. Miesner, A. P. Chikkatur, and
W. Ketterle. Spin domains in ground-state Bose-Einstein condensates. Nature,
396:345, November 1999.
[19] H. Schmaljohann, M. Erhard, J. Kronjager, M. Kottke, S. van Staa, L. Caccia-
puoti, J.J. Arlt, K. Bongs, and K. Sengstock. Dynamics of F=2 spinor Bose-
Einstein condensates. Phys. Rev. Lett., 92(4):040402, 2004.
[20] M. Erhard, H. Schmaljohann, J. Kronjager, K. Bongs, and K. Sengstock. Bose-
Einstein condensation at constant temperature. Phys. Rev. A, 70:031602(R),
September 2004.
[21] H. Schmaljohann, M. Erhard, J. Kronjager, K. Sengstock, and K. Bongs. Dyna-
mics and thermodynamics in spinor quantum gases. Appl. Phys. B, im Druck,
Oct 2004.
LITERATURVERZEICHNIS 73
[22] C.J. Pethick and H. Smith. Bose-Einstein condensation in dilute gases. Cam-
bridge Univercity Press, 2002.
[23] Franco Dalfovo, Stefano Giorgini, Lev P. Pitaevskii, and Sandro Stringari. Theo-
ry of Bose-Einstein condensation in trapped gases. Rev. Mod. Phys., 71(3):463,
April 1999.
[24] Tin-Lun Ho. Spinor Bose condensates in optical traps. Phys. Rev. Lett.,
81(4):742, July 1998.
[25] C. J. Myatt, E. A. Burt, R. W. Ghrist, E. A. Cornell, and C. E. Wieman. Pro-
duction of two overlapping Bose-Einstein condensates by sympathetic cooling.
Phys. Rev. Lett., 78(4):586, January 1997.
[26] Nille N. Klausen, John L. Bohn, and Chris H. Greene. Nature of spinor Bose-
Einstein condensates in rubidium. Phys. Rev. A, 64:053602, October 2001.
[27] M.-S. Chang, C.D. Hamley, M.D. Barrett, J.A. Sauer, K.M. Fortier, W. Zhang,
L. You, and M.S. Chapman. Observation of spinor dynamics in optically trapped87Rb Bose-Einstein condensates. Phys. Rev. Lett., 92(4):140403, 2004.
[28] W. L. Bragg. Cambridge Philos. Soc., 17(43), 1912.
[29] Peter J. Martin, Bruce G. Oldaker, Andrew H. Miklich, and David E. Pritchard.
Bragg scattering of atoms from a standing light wave. Phys. Rev. Lett., 60(6):515,
February 1987.
[30] P. R. Berman and B. Bian. Pump-probe spectroscopy approach to bragg scat-
tering. Phys. Rev. A, 55(6):4382, June 1996.
[31] J. Stenger, S. Inouye, A. P. Chikkatur, D. M. Stamper-Kurn, D. E. Pritchard,
and W. Ketterle. Bragg spectroscopy of a Bose-Einstein condensate. Phys. Rev.
Lett., 82(23):4569, June 1999.
[32] S. Richard, F. Gerbier, J. H. Thywissen, M. Hugbart, P. Bouyer, and A. Aspect.
Momentum spectroscopy of 1d phase fluctuations in Bose-Einstein condensates.
Phys. Rev. Lett., 91(1):010405–1, July 2003.
[33] Dirk Hellweg. Phasenfluktuationen in Bose-Einstein Kondensaten. Dissertation,
Universitat Hannover, 2003.
74 LITERATURVERZEICHNIS
[34] Phillip L. Gould, George A. Ruff, and David E. Pritchard. Diffraction of atoms
by light: The near-resonant kapitza-dirac effect. Phys. Rev. Lett., 56(8):827,
February 1986.
[35] Yoshio Torii, Yoichi Suzuki, Mikio Kozuma, Toshiaki Sugiura, Takahiro Kuga,
Lu Deng, and E. W. Hagley. Mach-Zehnder Bragg interferometer for a Bose-
Einstein condensate. Phys. Rev. A, 61:041602(R), February 2000.
[36] David M. Giltner, Roger W. McGowan, and Siu Au Lee. Theoretical and ex-
perimental study of the bragg scattering of atoms from a standing light wave.
Phys. Rev. A, 52(5):3966, November 1995.
[37] R. Loudon. The Quantum Theory of Light. Oxford University Press, 2000.
[38] M.-O. Mewes, M. R. Andrews, D. M. Kurn, D. S. Durfee, C. G. Townsend, and
W. Ketterle. Output coupler for Bose-Einstein condensed atoms. Phys. Rev.
Lett., 78(4):582, January 1997.
[39] Immanuel Bloch, Theodor W. Hansch, and Tilman Esslinger. Atom laser with
a cw output coupler. Phys. Rev. Lett., 82(15):3008, April 1999.
[40] E. W. Hagley, L. Deng, M. Kozuma, J. Wen, K. Helmerson, S. L. Rolston, and
W. D. Phillips. A well-collimated quasi-continuous atom laser. Science, 283:1706,
March 1999.
[41] K. Bongs, S. Burger, S. Dettmer, D. Hellweg, J. Arlt, W. Ertmer, and K. Seng-
stock. Waveguide for Bose-Einstein condensates. Phys. Rev. A, 63:031602(R),
2001.
[42] Y. Castin and R. Dum. Bose-Einstein condensates in time-dependent traps.
Phys. Rev. Lett., 77(27):5315, December 1996.
[43] Holger Schmaljohann. Spindynamik in Bose-Einstein Kondensaten. Dissertation,
Universitat Hamburg, 2004.
[44] Michael Erhard. Experimente mit mehrkomponentigen Bose-Einstein Konden-
saten. Dissertation, Universitat Hamburg, 2004.
[45] G.C. Bjorklund and M.D. Levenson. Frequency modulation (FM) spectroscopy.
Appl. Phys. B, 32:145, 1983.
LITERATURVERZEICHNIS 75
[46] J. C. Walpole. Semiconductor amplifiers and lasers with tapered gain regions.
Opt. Quantum Electronics, 28:4871–4875, 1996.
[47] H.J. Metcalf and P. van der Straten. Laser cooling and trapping. Springer, 1999.
[48] E. Riis, D.S. Weiss, K.A. Moler, and S. Chu. Atom funnel for the production of
a slow, high-density atomic beam. Phys. Rev. Lett., 64:1658, 1990.
[49] K. Diekmann, R.J.C. Spreeuw, M. Weidemuller, and J.T.M. Walraven. Two-
dimensional magneto-optical trap as a source of slow atoms. Phys. Rev. A,
58(5):3891, 1998.
[50] L.V. Hau, B.D. Busch, C. Liu, Z. Dutton, M.M. Burns, and J.A. Golovchenko.
Near-resonant spatial images of confined Bose-Einstein condensates in a 4-Dee
magnetic bottle. Phys. Rev. A, 58(1):R54, July 1998.
[51] N.V. Vitanov, T. Halfamnn, B.W. Shore, and K. Bergmann. Laser-induced
population transfer by adiabatic passage techniques. Annu. Rev. Phys. Chem.,
52:763, 2001.
[52] S. van Staa. Entwicklung und Realisierung einer optischen Dipolfalle fur 87Rb
Bose-Einstein Kondensate. Diplomarbeit, Universitat Hamburg, 2003.
[53] Wolfgang Demtroder. Laserspektroskopie. Springer, 1999.
[54] W. Ketterle, D.S. Durfee, and D.M. Stamper-Kurn. Making, probing and un-
derstanding Bose-Einstein condensates. In M. Inguscio, S. Stringari, and C.E.
Wieman, editors, Proceedings of the International School of Physics - Enrico
Fermi, page 67. IOS Press, 1999.
[55] Eugene Hecht. Optik. Addison-Wesley Publishing Company, 1994.
[56] L. Pitaevskii and S. Stringari. Bose-Einstein condensation. Oxford University
Press, 2003.
[57] F. K. Kneubuhl and M. W. Sigrist. Laser. B.G. Teubner Studienbucher, 1999.
[58] M. W. Hamilton. An introduction to stabilized lasers. Contemporary Physics,
30(1):21, 1989.
[59] H.C. Lefevre. Single-mode fibre fractional wave devices and polarisation control-
lers. Electronic Letters, 16:778, 1980.
76 LITERATURVERZEICHNIS
Danksagung
An dieser Stelle mochte ich all jenen Personen meinen Dank aussprechen, die zum
Gelingen dieser Diplomarbeit beigetragen haben und die mich wahrend meiner Zeit
am Institut fur Laserphysik unterstutzt und begleitet haben.
Ein besonderer Dank gilt Prof. Dr. Klaus Sengstock fur die Moglichkeit, meine Di-
plomarbeit auf diesem faszinierenden Forschungsgebiet anfertigen zu konnen sowie
fur die stets gute Betreuung und Unterstutzung in dieser Zeit.
Bei Dr. Kai Bongs bedanke ich mich herzlich fur zahlreiche nutzliche Anregungen,
die meiner Arbeit sehr zugute kamen, seine Hilfe im Labor und sein Interesse am
Fortgang des Aufbaus und der Messungen.
Ganz besonders bedanken mochte ich mich bei”meinen“ Doktoranden Christoph Be-
cker und Jochen Kronjager. Sie fuhrten mich hervorragend in die Arbeit im Labor ein,
waren stets bereit zu Gesprachen uber die Theorie und die Praxis des Experiments
und zu Themen abseits der Physik und waren mir beim Aufbau des Experiments
eine große Hilfe. Außerdem opferten sie manchen Abend, um mich bei Messungen zu
unterstutzen und sorgten durch ihre Art fur ein angenehmes und frohliches Arbeits-
klima nicht nur im Labor.
Den ehemaligen Doktoranden am BEC-Experiment, Michael Erhard und Holger Schmal-
johann, mochte ich ebenfalls fur tatkraftige Unterstutzung und zahlreiche Hilfestel-
lungen danken.
77
Mein besonderer Dank gilt auch Silke Ospelkaus-Schwarzer und Christian Ospelkaus,
von deren Erfahrung im experimentellen Bereich sowie deren Wissen ich so man-
ches Mal profitieren konnte. Auch das Vorstrecken und Entleihen von Elektronik und
anderen Dingen, wodurch mein Vorankommen erheblich beschleunigt wurde, sowie
zahlreiche Hilfen bei diversen Linux-Problemen sollen hier nicht unerwahnt bleiben.
Ich mochte mich auch bei Victoria Romano bedanken, die mir auf stets freundli-
che und frohliche Art des Ofteren burokratische Arbeit abgenommen hat und an die
ich mich in organisatorischen Dingen wenden konnte.
Herzlich bedanken mochte ich mich auch bei allen anderen aus unserem Team fur
das ausgezeichnete Arbeitsklima und ihre Unterstutzung. Es sind hier besonders zu
nennen Anika Vogel, Stefan Vorrath, Marlon Nakat, Oliver Wille, Martin Brinkmann,
Manuel Succo, Dr. Quiang Gu und Malte Schmidt, dem ich zusatzlich fur seine Un-
terstutzung beim Aufbau der Elektronik und zahlreiche Hilfen bei LATEX danke, sowie
die ehemaligen Diplomanden Hosnieh Safaei, Ralf Dinter und Jurgen Fuchs.
Stellvertretend fur alle Mitarbeiter der feinmechanischen Werkstatten mochte ich
mich bei Stephan Fleig, Frank Jonas und Stephan Garbers fur die exzellente und
schnelle Umsetzung meiner Konstruktionszeichnungen bedanken. Des Weiteren be-
danke ich mich bei Reinhard Mielck fur die Anfertigung diverser unverzichtbarer
Dinge fur den Aufbau des Experiments.
Herrn Prof. Dr. W. Neuhauser mochte ich fur die freundliche Ubernahme des Zweit-
gutachtens danken.
Nicht zuletzt mochte ich mich ganz besonders bei meinen Eltern bedanken, die mich
im Studium und wahrend dieser Arbeit stets liebevoll und geduldig unterstutzt ha-
ben, sowie bei meinen Schwestern und bei allen Freunden, ohne deren Verstandnis
und Unterstutzung diese Arbeit nicht moglich gewesen ware.
Erklarung
Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit selbststandig und nur mit Zuhilfenah-
me der angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt zu haben.
Ich bin mit einer spateren Ausleihe meiner Diplomarbeit einverstanden.
Hamburg, den 31. Oktober 2004
Thomas Garl