Seminarunterlagen Linz
Brigitte Wessenberg
Aufgaben zur mündlichen RP
mit TI82 stats
Programm
9:00 – 9:30 Einführung, Checklisten und mündliche Musteraufgabe
9:30 – 10:30 lineare Optimierung bei der MP, Korrektur und Nachrechnung einer fertigen Aufgabe mit TE
10:30 – 10:45 Pause
10:45 – 11:45 Wachstumsfunktionen bei der MP: Erstellung nach einer Angabe, mit TE lösen
11:45 – 12:45 Analysis bei der MP: Analyse von 2 Aufgaben + vollständige Lösung mit TE ergänzen
12:45 – 13:45 Mittagspause
13:45 – 14:45 Info von LSI Binder
14:45 – 15:45 Stochastik bei der MP: Erstellung einer Aufgabe nach einem Grobentwurf, vollständig mit TE lösen
15:45 – 16:00 Pause
15:00 – 17:00 Zusatz: Matrizen im Unterricht mit TE
5. März 2013
2
I Einführung zu mündlichen RP-Aufgaben
http://epmp.bmbwk.gv.at/
A) Checkliste für die Erstellung von mündlichen RP-Aufgaben
1. Aufgabe ist richtig gerechnet, Grafiken kontrollieren (Achsenbeschriftungen: Größe, Einheit)
2. Inhaltlich kontrollieren:
lehrplankonform
NUR dem Themenbereich zugordnet
Keine unnötigen Inhalte (Geschichten, Zahlen, die nicht benötigt werden etc..)
Plausibilität der Texte überprüfen (ist die Angabe realistisch?)
Einfache und verständliche - aber genaue - Formulierungen
4 Teilaufgaben: UNABHÄNGIG!!! (Keine Teilergebnisse für Unteraufgaben verwenden!)
Nicht alle Teilaufgaben müssen unbedingt anwendungsbezogen sein. Einzelne passende
Theoriefragen sind möglich.
Unbekannte Ausdrücke oder Symbole erklären
Beurteilungsblatt nicht bei der Aufgabenstellung. Nur Angabe und Erwartung! Bei der Erwartung 4x
die Tabellen mit den Bewertungspunkten zum Ankreuzen lassen. Das Beurteilungsblatt ist in der
Plattform nur einmal. Es muss dann bei der Prüfung für jeden Schüler ausgedruckt werden. (Daher
ist es leichter veränderbar…)
3. Handlungsdimensionen (HD) kontrollieren. Operieren bis zu 50 %. Alle 4 sollten vorkommen. Es ist keine
Punktevorgabe bei unserem Vorschlag für die Beurteilung! (Also keine Verpflichtung 2 oder 4 Punkte zu
geben!) Aber die Teilaufgaben sollen halbwegs gleich lang und komplex sein.
4. Formal: Schreibweisen nach Schreibkonvention laut BIFIE. https://www.bifie.at/node/1935
Variable kursiv schreiben, (Zahlen, Klammern, Konstante wie e, π etc NICHT)
Abstände zwischen den Rechenzeichen 2x – 3y = 5, Minus lang (Steuerung -)
Beschreibung von Variablen bei Funktionen richtig ausführen z.B. x … Produzierte Menge in
Mengeneinheiten (ME) K(x) … Kosten von x Stück in Euro (€)
Arbeitsaufträge einzeln und jeweils in neuer Zeile. Keine Fragen.
Signalwörter verwenden. Es kommen welche für das Sprechen hinzu: Diskutieren, Besprechen etc.
B) Die wichtigsten Schreibkonventionen zusammengefasst (auch für SA und im Unterricht
verwenden))
Unicode-Zeichencode-Eingabe unter Windows:
1. Geben Sie den Unicode-Wert (Hexadezimalwert) des Zeichens ein.
2. Drücken Sie ALT+C (bzw. ALT+X).
Microsoft Word ersetzt die Zeichenfolge links neben der Einfügemarke durch das von Ihnen angegebene Zeichen
1. Zeichen:
Minuszeichen immer lang: –3x –5
Malzeichen hochgestellt aus Symbol nehmen oder Formel. a ∙ b. Bei Zahl und Buchstabe kann es entfallen,
zwischen 2 Buchstaben immer schreiben 2x² + x ∙ y
Divisionszeichen a : b , km/h, in Formel und bei zusammengesetzten Mehrteiligen Einheiten als Bruch
Gemischte Zahlen nicht verwenden ( 3 ½ )
Komma als Dezimalzeichen
Ableitungszeichen: Zeichen mit Unicode 0027, kursiv (0032) kein Apostroph!
3
2. Abstand: KEIN Abstand bei Hoch – und Tiefgestelltem: Nn-1; e–2,8x
bei 10-%-Anteil, 10%iger
Fortsetzungspunkte bei unendlichen Dezimalen 3,145…
Abstand zwischen
Zahl und Einheit 4 s, 3 m, 3 °C, 10 % usw. Ausnahme 4′ , 3′′
Winkelfkt: sin α = 0,32 aber Funktion: sin(x)
logya; ln a aber Funktion ln(x)
Verhältnis 1 : 2
Vor und nach Rechenzeichen a + b
Nach dem Beistrich einer Aufzählung {2, 3, 4} nach Strichpunkt bei Kommazahlenaufzählung
{2,5; 3,4; 1,3}
Prozent 10 %.
Vor und nach Fortsetzungspunkten (3, …) ( … 2, 3,4)
Erläuterung von Einheiten t … Zeit in Stunden (h)
Tausenderteilung bei Zahlen 10 000, (keine bei Tausendstel!)
Ausnahmen Jahreszahlen 2012, Geldbeträge werden mit Punkt geteilt € 10.000
3. Überstrich: Bei Perioden 1,171717…= 1, ̅̅̅̅ , bei Mittelwerten: ̅; Bei Streckenlängen: ̅̅ ̅̅
4. Geldbeträge: € 3.000 oder € 3.000,00 oder EUR 3.000,00 (nicht 3.000,–)
Im Fließtext auch ausschreiben 3.000 Euro.
5. Ungleichungskette mit Einheiten 0 h ≤ t ≤ 6 h
6. Das L- und I-Problem
Liter … L, Milliliter … ml,
Intensität und Stromstärke I in Times Roman
Länge … l in Times Roman
7. Kursivsetzung
alle physikalischen Größen und physikalischen
Konstanten, alle variablen Größen,
Seiten, Punkte, Streckenlängen, Dreieck ABC,
Vektoren, n als Zahl mit freier Bedeutung
Nicht kursiv: Ziffern, Klammern, Wortabkürzungen
(xmin), Einheiten,
Operatoren
(d ... Ableitung, Δ , lim, lg, ln, i, sin, π, e, …)
9. Intervalle
11. Erläuterung von Größen t … Zeit in Wochen (w) , m(t) … Masse nach t Wochen in Kilogramm (kg)
Größen nicht in Klammer, Einheiten in Klammern.
Lineare Funktionen sind Funktionen der Form f(x) = k · x + d mit k, d ∈ ℝ.
12. Zahlen im Fließtext werden in der BHS als Ziffern geschrieben: 3 Äpfel usw…
8. Funktionen
10. Punkte
P = (3|4)
… im Punkt (0|f(0))
4
13. Beschriftung von Grafiken
C) Signalwörter (auch für Schularbeiten verwenden)
https://www.bifie.at/system/files/dl/srdp_am_signalwoerter_2013-09-18_0.pdf
5
D) Die Musteraufgabe (erstellt von M. Langer, STK)
Maturareise Ein Maturareise-Veranstalter rechnet erfahrungsgemäß mit konstant 5 % Stornierungen von Buchungen. a) Demonstrieren Sie anhand eines Baumdiagramms, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann,
dass von drei Maturantinnen, die bei diesem Veranstalter gebucht haben, genau eine storniert!
Argumentieren Sie, welche Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung hier vorliegt.
b) Der Veranstalter nimmt schon am ersten Tag nach Bekanntwerden seines Angebots 20 Buchungen für
diese Veranstaltung an.
Stellen Sie eine Formel auf, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, dass davon 2 oder 3
Buchungen storniert werden.
c) Knapp vor Reiseantritt kann man wegen der großen Anzahl von Buchungen davon ausgehen, dass die
Zufallsvariable X = „Anzahl der nicht stornierten Buchungen“ normalverteilt ist mit dem Erwartungswert µ
= 950 und der Standardabweichung σ = 6,892.
Ermitteln Sie, wie viele Buchungen mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit mindestens tatsächlich belegt sein
werden!
d) Die Zufallsvariable X = „Anzahl der nicht stornierten Buchungen“ ist annähernd normalverteilt mit dem
Erwartungswert µ = 950 und der Standardabweichung σ = 6,892.
Interpretieren Sie, welche Sachverhalte durch die färbigen Flächen in den folgenden beiden Grafiken
dargestellt sind:
(i) (ii)
6
Erwartung:
a) Modellieren und Argumentieren
Es gibt 3 Wege für „1 Mal stornieren, 2 Mal nicht
stornieren“. Man muss die Wahrscheinlichkeiten
dieser 3 Wege addieren.
Es handelt sich um eine Binomialverteilung, da
— es genau zwei Versuchsausfälle gibt (stornieren/nicht stornieren), — das „Experiment“ insgesamt 3 Mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt wird (die
Wahrscheinlichkeit für „stornieren“ ist unabhängig von vorherigen Ereignissen konstant 5 %). b) Modellieren
𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 3) = (20
2) ⋅ 0,05 ⋅ 0,95 + (
20
3) ⋅ 0,05 ⋅ 0,95
Gespräch über Und- bzw. Oder-Wahrscheinlichkeit, Pfadregeln.
Mehrere unterschiedliche Schreibweisen der Formel sind möglich.
d) Interpretieren
Es wird erwartet, dass der/die Kandidat/in die Dichtefunktion der NV und die Bedeutung einer beliebigen
Fläche unter der Kurve versteht und dann das speziell vorgegebene Ergebnis interpretiert.
(i) Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 965 Betten tatsächlich belegt sein werden, beträgt 1,4 %.
(ii) Die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 945 und 960 Betten tatsächlich belegt sein werden, beträgt
69,46 %.
Vorschlag für die Beurteilung:
ri i.W.ri tw.ri f
3 2 1 0
ri i.W.ri tw.ri f
3 2 1 0
ri i.W.ri tw.ri f
3 2 1 0
7
Nicht bei jeder einzelnen Aufgabe dabei! Kommt einmal extra! Bewertungsschlüssel Insgesamt Erreichte
Punkte
1. Fachliche Qualität Gesamtpunkte aus den 4 Unteraufgaben: ri………..kein Fehler i.W. ri…im Wesentlichen richtig: zB Rechenfehler, Rechengang richtig tw ri…..teilweise richtig: es kommen richtige (kreativ interessante) Anteile
vor, die anrechenbar sind, aber die Aufgabe ist nicht richtig gelöst. f…………es gibt keine anrechenbaren richtigen Anteile (Das Item ist nicht
gelöst oder ist überwiegend falsch.)
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2. Qualität der Gliederung: Folgerichtiger Aufbau, Wesentliches erkennen, Zusammenhänge erkennen
1
3. Qualität der Darlegung: Fachsprache einsetzen, sich verständlich ausdrücken können
1
4. Qualität der Kommunikation: Auf Fragen eingehen, Hilfen aufgreifen können
1
5. Werkzeugkompetenz: Ad hoc diverse Technologie zur Darstellung von Sachverhalten, die sich aus der Prüfungssituation ergeben, einsetzen können
1
Summe 16
Punkte zusammenzählen in Prozent:
100% - 90% Sehr gut 16,15 unter 90% - 80% Gut 14,13
unter 80% -65% Befriedigend 12,11,10 unter 65% - 50% Genügend 9,8
unter 50% Nicht genügend < 8
Erreichte Punkte __________ Maximal mögliche Punkte 16 Prozent__________
Note:______________________
ri i.W.ri tw.ri f
3 2 1 0
8
II Lineare Optimierung
1. Hinweise zur Behandlung der lin. Opt. mit TI 82 an einem Musterbeispiel:
Für ein Medikament stehen 2 verschiedene Packungstypen zur Verfügung,
A: 400 g Masse, Volumen 200 cm³ mit 2000 Einheiten Wirkstoff
B: 200 g Masse, 200 cm³ Volumen, 1600 Einheiten Wirkstoff.
Das Medikament wird in Paketen verschickt, die netto höchstens 20 kg wiegen und hö. ein Volumen von 16
dm³ haben.
Berechne, wie viele Packungen man verschicken kann, wenn möglichst viele Einheiten des Wirkstoffs
berücksichtigt sind?
Vorbereitung für den Rechner:
Lösung: x ...Zahl der Packungen A, y ...Zahl der Packungen B
Ziel: Einheiten --> Maximum z = 2 000 x + 1 600 y --> max! Bedingungen: Vorsicht auf die Umrechnung von Einheiten g-kg, cm-dm Gesamtgewicht höchstens 20 kg: 1) 0,4 x + 0,2 y ≤ 20 Volumen höchstens 16 dm³: 2) 0,2 x + 0,2 y ≤ 16 Nicht-Negativ-Bedingung: 3) x ≥ 0 4) y ≥ 0
Tipp: Eingabe in Y1 bis Y5 mit Schattierung umgekehrt wie in der Angabe. Dadurch ist der
Lösungsbereich gut sichtbar.
Für das Bestimmen des Maximums kann man mit einem Lineal direkt am Display des Rechners grob
verschieben.
Oder: Man verschiebt versuchsweise die Zielgerade: Hier mit + 50 und +90.
Oder man merkt sich den Punkt.
2nd calc intersect. die passenden Geraden auswählen und enter ergibt die Lösung.
TIPP: Für senkrechte Gerade nimmt man sehr große negative Steigungen.
x = 0 y = - 1 000 x … Gerade auf der y-Achse
x = 3 y = 1 000 (- x + 3)
x = - 2 y = 1 000 (- x - 2)
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2. Trainingseinheit:
Rechnen Sie die folgende MP-Aufgabe gründlich mit TE nach. (Lösung ist gegeben)
Korrigieren Sie die Schreibweise oder falsche HD.
Zur Bearbeitung herunterladen von mydrive.ch [email protected] lehrer12 LINZ_MRZ13 2linopt
Eine Autofirma erzeugt mehrere Typen von Personenkraftwagen in zwei Fabriken F1 und F2 und ist an einem optimalen Gewinn interessiert. a) Ungleichungen sind die Grundlage für Optimierungsaufgaben.
Erklären Sie, wie man die Lösungsmenge einer Ungleichung mit 2 Variablen im Koordinatensystem veranschaulichen kann. Verwenden Sie bei Ihrer Ausführung die Ungleichung x + y ≥ 3.
b) Interpretieren Sie die folgende Grafik als Maximierungsaufgabe.
Lesen Sie die einschränkenden Bedingungen und die Zielfunktion ungefähr ab. Erklären Sie die einzelnen Schritte des graphischen Lösens von Optimierungsproblemen.
c) Für die Herstellung eines PKW vom
Typ I werden in F1 40 Stunden in F2 80 Stunden benötigt und für Typ II in F1 60 Stunden und in F2 60 Stunden Insgesamt kann man in F1… 11 200 Stunden arbeiten, in F2… 17 600 Stunden. Vom Typ I können höchstens 120, vom Typ II höchstens 100 Stück produziert werden. Der Gewinn je PKW Typ I beträgt € 4.000 und bei Typ II € 5.000. Stellen Sie das zu diesem Sachverhalt gehörende Ungleichungssystem sowie die Zielfunktion auf.
d) Bei der Herstellung von Fahrzeugen von Typ III mit x Stück und Typ IV mit y Stück ergibt sich folgendes lineares Ungleichungssystem
20 + 0 ≤ 5200 0 + 20 ≤ 5 00
≤ 20
≤ 00 0
0
sowie die Zielfunktion für den Gewinn: G = 5 000x + 2 000y Ermitteln Sie, wie viele Stück von beiden Fahrzeugen produziert werden sollen, damit der Gewinn so hoch wie möglich ausfällt. Geben Sie an, wie hoch der Gewinn ist.
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Erwartung: a) Argumentieren, Operieren
Zeichnen einer linearen Funktion; Halbebene bestimmen; Eventuell einen Punkt angeben, der in der Halbebene liegt, Punkt, z.B. (5|5)und zeigen, dass die Bedingung x + y ≥3 gilt. mit TI 82STATS: Y1: 3 – x Schattierung größer
b) Interpretieren, Argumentieren.
Einschränkende Bedingungen: y ≤ 5 – 0,7x ; y ≤ 7 – 1,3x; 0 ≤ x ≤ 4; y ≥ 0 Zielfunktion: y = –2,4x (Die Ablesung muss nicht ganz genau sein. Ungefähre Werte sind erlaubt. Es geht darum, k und d der Geraden ablesen zu können.) Die Zielfunktion wird parallel verschoben, bis der höchste Eckpunkt des Lösungsbereichs erreicht wird. Die Lösung ist: x = 4, y = 2
c) Modellieren Finden der Ungleichungen und der Zielfunktion, inklusive der Nichtnegativitätsbedingungen.
I: 0 + 0 200 II: 0 + 0 00 III: ≤ 20 IV: ≤ 00 V: 0 VI: 0
G = 4000x + 5000y Maximum d) Operieren: Berechnen mit vorhandener Technologie: (TI82stats)
ri i.W.ri tw.ri f
3 2 1 0
ri i.W.ri tw.ri f
3 2 1 0
ri i.W.ri tw.ri f
3 2 1 0
ri i.W.ri tw.ri f
3 2 1 0
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III Wachstumsfunktionen bei der MP
Der Stoffumfang laut Lehrplan :
Exponentialgleichungen und Logarithmen verstehen.
Unbegrenztes, begrenztes und logistisches Wachstum (Zerfall) in allen Handlungsdimensionen.
1. Vorgehensweise für Berechnungen an Funktionen
-Funktion eingeben in Y mit window justieren
-2nd CALC benützen
-2nd DRAW benützen
1. Löscht die gezeichneten Elemente 2. Gerade zwischen 2 Punkten, 3:horizontale gerade, 4: Vertikale
Gerade (bei linopt nicht günstig!) 5. Tangente an bestimmter Stelle mit Gleichung 6.Funktionsgraph wird
gezeichnet. 7: Schattiert einen Beriech 8: Zeichnet Umkehrung 9: zeichnet einen Kreis 0: Fügt Anmerkung
zu Graphik bei H: Freihandzeichnen
_2nd Draw und einmal nach links mit dem Cursor STO
Bsp: Speichern eines Bildes Vorbereitung: 2nd DRAW 1 Clrdraw - es könnten Zeichenreste geblieben sein!, Funktionen evtl. deaktivieren. Neue Eingabe: Y1 = x², Draw/ 5tangent (Y1, 1) Draw/STO /Vars 4: Pic/ PIC 1 Man kann das Bild wieder aufrufen mit Draw/STO 2 Recall / Vars 4: Pic/ PIC 1 Löschen mit 2nd MEM / 2 / 8PIC / PIC 1 / DEL
Funktionsrechner: 1: Funktionswert an bestimmter Stelle berechnen 2: Nullstelle innerhalb eines abgefragten Intervalls berechnen 3: das Minimum in einem abgefragten Intervall berechnen 4: Das Maximum in einem abgefragten Intervall berechnen 5: Den Schnittpunkt von 2 Funktionsgraphen berechnen 6: Den Anstieg der Tangente an einer abgefragten Stelle berechnen 7: Das Flächenintegral (oder bestimmtes Integral) zwischen 2 abgefragten Grenzen berechnen
Nachteil von DRAW
Die Funktionen zB. 9: Tangenten an
den Funktionsgraph oder 8:
Umkehrfunktionen werden
gezeichnet, können aber für eine
weitere Berechnung nicht verwendet
werden.
Hier lassen sich Graphen (PIC) und Formeln für Funktionen (GDB) in
einer Datenbank speichern und wieder abrufen.
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2. Musterbeispiel für gebremstes exponentielles Wachstum
Das Wachstum von Regenbogenforellen, die als Jungfische ausgesetzt wurden, wird durch Beobachtung markierter Populationen untersucht. Die Länge der Forellen kann mit der folgenden Funktion beschrieben werden:
L(t) = 71,9 ∙ (1 – e-0,06 ∙ (t + 9)
) L(t) … Länge in cm zum Zeitpunkt t t … Zeit in Monaten ab dem Zeitpunkt des Aussetzens
Mögliche Lösung des Arbeitsauftrags: a) Stelle das Längenwachstum grafisch in einem Koordinatensystem dar. B
b) Ermittle die Zeit, innerhalb derer der Fisch eine Länge von 50 cm aufweisen wird. B
c) Erkläre anhand der Formel, welche Länge die Fische nach diesem Modell nicht überschreiten werden.D
d) Interpretiere die Formel im Hinblick auf die Anfangsgröße der Fische zum Zeitpunkt des Aussetzens.C
3. Trainingseinheit:
Download: mydrive.ch [email protected] lehrer12 LINZ_FEB13 3Entwurf
Stellen Sie nach der Checkliste eine vollständige Aufgabe anhand des vorliegenden Entwurfs mit
jeweils 4 Teilaufgaben zum Thema Wachstumsfunktionen zusammen.
Lösung mit TI82stats.
Vorgehensweise:
Umformen der Angabe nach Checkliste
4 unabhängige Fragestellungen entwerfen
Ergänzen mit neuen Teilaufgaben und möglichst allen HD
Alle HD genau angeben
Fichten sind das wichtigste Nutzholz unserer mitteleuropäischen Breiten. Der Durchmesser von Fichten, gemessen in 1,3 Meter Höhe, kann näherungsweise und für einen bestimmten Zeitraum durch folgende Funktion beschrieben werden:
, ( t )d(t )
e 0 05 60
1
1
wobei der Durchmesser d in Metern und die Zeit t in Jahren angegeben werden.
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IV Analysis bei der mündlichen RP
Stoffumfang bei der mündlichen RP soll jenem bei den schriftlichen Aufgaben entsprechen:
Die Analysis beschränkt sich auf Ableitungen der Potenz- und Polynomfunktionen und f(x) = a ∙ ebx
.
aber auch verkettete Funktionen und Produkte.
Wichtig: der Differenzenquotient muss häufig interpretiert werden.
Die üblichen Kurvenuntersuchungen kommen nicht vor, weder in A noch in B
ABER: Extremwerte, Wendepunkte, Krümmungsverhalten und die Gesetze für Ableitungen.
Keine Extremwertaufgaben mit 2 Variablen sind, weder in A noch in B-Teil
Integralrechnung beschränkt sich in den Anwendungen auf Berechnen der Stammfunktion bei Potenz- und
Polynomfunktionen und auf Berechnen von Flächen mit TE. Hier können auch Volumen gefragt sein, deren
Grund- und Deckfläche mit Integral berechnet werden.
Es können anders als bei der schriftlichen zusätzlich mehr theoretische Fragen vorkommen. Möglichst
alle HD unterbringen!
1. Analysis mit TI82stats „Kurvenuntersuchung“
Man verwendet das 2nd CALC –Menue siehe vorige Seite oder auch das MATH-Menue
Speichern der Formel für die 1. und 2. Ableitungsfunktion
Man gibt die Formel in Y ein.
BSp Y8
Y8 = Math 8: nderive (Y1,x,x)
Y9 = Math 8: nderive (Y8, x, x)
Alle anderen Funktionen deaktivieren
2nd Draw/ STO/ 3 / GDB 8
Damit hat man die 1. und 2.Ableitung der Funktion, die man in Y1 schreibt, gespeichert…
Mit 4 recall GDB 8 wieder holen, DANN erst die Funktion in y1 verändern
2. Analysis mit TI 82 stats „Flächenintegrale“
Für das bestimmt Integral gibt es die Funktion 2nd CALC 7, wenn die Funktion in Y
eingegeben ist.
Sonst kann man immer mit MATH 9 fnInt (Ausdruck, Variable, untere, obere Grenze)
rechnen)
Flächenberechnung Funktion x-Achse: y=-0,01x³ + 0,2x² - 1,2x +1
Y1: Funktion eingeben / 2nd Calc 7 in den angegebenen Grenzen berechnen und
schattieren lassen Abbild der Fläche aber nicht der richtige Flächeninhalt.
Tipp: Y1 deaktivieren
Y2: Math NUM 1 / abs(Y1) eingeben und wieder 2nd CALC 7
Das ist die einfachste Art, die Fläche in den angegebenen Grenzen zu berechnen.
10,44 FE
Flächenberechnung zwischen 2 Funktionen:Y1 w.o. Y 2 = 0,08 x- 0,8
Wenn man die Fläche schattiert haben will, dann zeichnet man beide Funktionen
Draw/Shade (Y1, Y2, -1, 13) und umgekehrt (Y2, Y1, -1, 13)
Zur Berechnung am besten mit
Math fnInt (Math Num abs (Y1 - Y2),x,-1,13) = 9,97 FE
6: Minimum der Funktion (Funktion, Variable, untere, obere Grenze) 7: Maximum ‘‘ 8: Ableitung der Funktion ( Funktion, Variable, Stelle) 9. bestimmtes Integral ( Funktion, Variable, untere Grenze, obere Grenze) 0; Gleichungssolver: Eingabe 0 = umformen!
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Analysieren Sie die beiden gegebenen Aufgaben anhand der Liste, ob alle „Bedingungen“ erfüllt sind
Untersuchen Sie, welche HD vorkommen.
Lösung der Aufgaben mit TI82stats (Geogebra) gemeinsam
herunterladen unter mydrive.ch [email protected] lehrer12 LINZ_MRZ13 4Analysis
1. Aufgabe: Malfarbenproduktion Ein Unternehmen produziert Malfarben. Alle in der Aufgabe genannten Daten beziehen sich auf einen Produktionszeitraum von einem Monat. a) Aus den Daten einer Marktanalyse ist bekannt, dass der erzielbare Preis in Abhängigkeit von der
verkauften Menge x durch die folgende Funktion p beschrieben werden kann: 62 4092p x x
x … verkaufte Menge in Mengeneinheiten ME p(x) … Preis von x ME in Geldeinheiten (GE/L)
-Bestimmen Sie die Gleichung der Erlösfunktion E. -Interpretieren Sie den Verlauf der Erlösfunktion bezüglich der Erlösgrenzen und des Erlösmaximums.
b) Die Gesamtkosten für die Herstellung der Malfarben hängen von der Produktionsmenge x ab und
werden beschrieben durch eine Kostenfunktion 3. Grades.
3 22 147 3792 3375K x x x x
x … Produktionsmenge in ME K(x) … Gesamtkosten in GE, bei x verkauften ME
-Zeigen Sie, dass K keine Extremstellen besitzt. -Interpretieren Sie, was über den Verlauf des Graphen von K ausgesagt werden kann, wenn man weiß, dass es keine Extremstellen gibt.
c) Abb.1 zeigt die Graphen der Funktionen für den Erlös E und die Gesamtkosten K einer bestimmten Lackfarbe. -Zeichnen Sie in diese Abbildung die ungefähre Gewinnfunktion ein, indem Sie an mehreren Stellen aus der Grafik einzelne Punkte für den Gewinn abschätzen. -Erklären Sie Ihre Vorgangsweise.
Abb.1
d) Die Gewinnfunktion für Öllasur-Farben
verläuft nach der in Abb. 2 dargestellten Funktion. -Argumentieren Sie, inwiefern sich eine Steigerung der Fixkosten auf die Gewinnzone oder auf das Gewinnmaximum auswirkt.
Abb.2
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Lösungsweg mit TI 82stats
a) Y1 Gleichung für p eingeben, deaktivieren
Y2 = Y1 * x … Erlös
2nd Table kurz durchschauen, window günstig einrichten / Graph
2nd CAL Zero/ 50 / 80/ 66
2nd calc 4 Maximum 0/80 33, 67510
b) Y3 Kostenfunktion eingeben deaktivieren
Y4: Math8 nderive(Y3, x,x) eingeben, 2nd Calc 2 zero im gesamten
Bereich 0,80 keine Lösung
Y3 aktivieren, Y3 deaktivieren K(x) zeichnen. Krümmungsverhalten interpretieren
Wendepunkt: Y5: Math8 nderive(Y4, x,x) / 2nd Calc Zero Grenzen eingeben/ x= 24,5
c) Aufgabe auf Papier zu lösen… G = E – K
d) ohne TE
2. Aufgabe: Badeanlage
Ein Thermalbad soll ein 100 m langes und 10 m breites Schwimmbecken erhalten. Das Besondere an diesem Schwimmbecken soll sein, dass der Boden des Beckens einem Flussbett nachempfunden wird. Daher soll der Querschnitt wie in Abb.2 aussehen. Die Polynomfunktion
f(x) = –0,0098x³ + 0,22x² – 1,22x + 2 beschreibt im Intervall [0;10] annähernd den Verlauf des Bodens.
Schwimmbecken:
Querschnitt:
Abb. 1 Abb.2
a) -Geben Sie eine Formel mit einem bestimmten Integral an, mit der man die Querschnittsfläche des Beckens berechnen kann. -Erklären Sie, wie man ein bestimmtes Integral ohne Stammfunktionen mit beliebiger Genauigkeit berechnen kann.
b) -Erklären Sie den Unterschied und den Zusammenhang zwischen bestimmten und unbestimmten Integral. -Erklären Sie, was man mit einem unbestimmten Integral berechnet.
c) -Berechnen Sie die Querschnittfläche und das gesamte Wasservolumen des geplanten Beckens (nach den Maßen in der Skizze, evt. auch mit Technologieeinsatz). -Beschreiben Sie Ihre Vorgangsweise.
d) Am Boden soll die Linie der tiefsten Stellen markiert werden. -Berechnen Sie, in welcher Tiefe und in welchem Abstand vom linken Beckenrand diese zu platzieren ist.
Lösungsweg mit TE: a) b) ohne TE
c) in Y1 die Funktion eingeben/ 2nd CALC 7 fint / 0,10 / 7,8333 abziehen von 10 ∙ 2 12,17 m² (oder
Math fnInt…) Wasservolumen = 1 217 m³
d) 2nd CALC Minimum 3,68 m Tiefe 2 - 0,00133 = 1,998 m (oder Math fMin)
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V Stochastik bei der mündlichen RP
Stoffumfang bei der mündlichen RP soll jenem bei den schriftlichen Aufgaben entsprechen:
Statistik: Häufigkeiten, Klasseneinteilungen,
Mittelwerte, Standardabweichung, Quartile
Grafische Darstellung: Stabdiagramm, Histogramm, Kreisdiagramm, Boxplot
Regression
Wahrscheinlichkeit: Allgemeiner Wahrscheinlichkeitsbegriff, Binomialverteilung, Normalverteilung
Es können anders als bei der schriftlichen zusätzlich mehr theoretische Fragen vorkommen. Möglichst
alle HD unterbringen!
Korrigieren und vervollständigen Sie folgende Aufgabe anhand der Liste, damit alle „Bedingungen“
erfüllt sind
Untersuchen Sie, welche HD vorkommen.
Erstellen Sie die vollständige Lösung der Aufgaben mit TI82stats (Geogebra)
herunterladen unter mydrive.ch [email protected] lehrer12 LINZ_MRZ13 5Stochastik
In einer Marktgemeinde in NÖ wird eine Befragung unter den Wahlberechtigten durchgeführt, wer für die
Errichtung eines Fernheizwerkes ist.
Die Marktgemeinde gliedert sich in 4 verschiedene Bezirke. Umfrageergebnis:
Bezirk1 Bezirk2 Bezirk3 Bezirk4
Für das Heizwerk 1722 268 1089 977
Dagegen 456 420 503 711
Nicht abgestimmt 15 66 160 27
a) Bestimmen Sie den prozentuellen Anteil der Fernheizwerk-Gegner in den einzelnen Bezirken und in der
gesamten Marktgemeinde
b) Zeigen Sie, welche Darstellungsweise alle Informationen dieser Befragung gut visualisiert.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Gemeindemitglied aus dem 2.
Bezirk kommt und sich für das Fernheizwerk ausgesprochen hat.
d? ….ergänzen…
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VI Zusatz: Matrizen in Unterrichtsaufgaben Die Matrizenrechnung kommt erst zur RP, wenn der neue Lehrplan gesetzlich eingeführt wird. Derzeit noch
nicht, weder bei schriftlich noch bei mündlicher RP. Kommt bei Schularbeiten schulautonom vor.
EXPERTENPUZZLE - verkürzt Das Modell eignet sich gut, wenn ein Lerninhalt in mindestens 2 Teilgebiete zerlegt werden kann. Im ersten Schritt erfolgt die Gruppenbildung der sogenannten MISCHGRUPPEN. Gruppe 1, Gruppe 2 (am einfachsten 2 Partnergruppen) In diesen Gruppen werden 2 verschiedene, genau erklärte Teilaufgaben verteilt. Danach macht sich jede/r Schüler/in in Einzelarbeit mit dem Thema, mit der Aufgabenstellung vertraut. Im zweiten Schritt gehen beide SchülerInnen der Mischgruppen zu einer EXPERTENGRUPPE zusammen mit Diskussion über ihre Lösungen und Inhalte und schließlich eine Zusammenschau, was von dieser Gruppe an die andere Gruppe weitergegeben wird, so dass das Thema für alle verständlich ist. Hierbei soll auch ein Plakat (eine Visualisierung) gestaltet werden, anhand dessen die Erklärung erfolgen kann. Im dritten Schritt erklären die „Experten“ jeweils der anderen Gruppe die Teilaufgabe. Im vierten Schritt soll anhand von mehreren Kleinaufgaben sollte das erworbene Wissen in Form einer Hausübung, in der die Puzzleteile zu einem Ganzen geformt sind, gefestigt werden.
Wir lösen diese Aufgabe gemeinsam:
Zusammensetzung des Puzzles in einer Hausübung (verändert aus Paur ua, Band 2 für HAK, öbv verlag 2011/ S,261)
Die Firma Schoka verkauft 4 Sorten von Pralinen P1 bis P4.
Jede Praline wird jeweils aus verschiedenen Rohstoffen R1 bis R5 in Gramm (g) in Mengen nach folgender
Tabelle erzeugt.
P1 P2 P3 P4
R1 8 4 5 3
R2 4 5 2
R3 4 2
R4 1 1 1
R5 1 4
Die Firma verkauft die Pralinen in 2 verschiedenen Bonbonieren B1 und B2 mit folgenden Stückmengen:
B1 B2
P1 6
P2 4 5
P3 6 5
P4 4 10
a) Erstelle einen Gozintographen dieses gesamten Produktionsganges.
b) Erstelle die Matrix A ( Rohstoff zu Pralinen) und die Matrix B (Pralinen zu Bonboniere)
c) Berechne A ∙ B.
d) Erkläre, welche Bedeutung die einzelnen Zahlen im Produkt von A ∙ B haben.
e) Berechne, wie viele Stück man von den einzelnen Pralinensorten benötigt, um 100 Bonbonieren B1 und
200 Bonbonieren B2 zu produzieren.
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Lösung
a)
d) Für die Bonboniere B1 benötigt man 106 g von R1, 54 g von R2, 30 g R3, 14 g R4, 22 g R5
Für die Bonboniere B2 benötigt man 75 g R1, 65 g R2, 45 g R3, 20 g R4, 45 g R5.
e) Matrix [B] … Pralinensorten;
Mengen an Bonbonieren: Matrix C in Spalten editieren oder direkt eingeben
[B] * [[100] [200]]
Ergebnis:
Man benötigt 600 Stück P1, 1400 Stück P2 1600 Stück P3 und 2400 Stück P4
Laden Sie sich 2 unvollständige Arbeitsblätter herunter: mydrive.ch [email protected] lehrer12
LINZ_MRZ13 6Expert
Erstellen Sie in Zweiergruppen die fehlende Lösung mit genauen Erklärungen zu den beiden Arbeitsblättern,
die zu einem Expertenpuzzle gehören sollen. Genaue Erklärungen zur Verwendung von TI82stats anführen.
1. Puzzle: Teilaufgabe für Gruppe ( Verändert aus Paur u.a, Band 2 HAK, Öbv 2011/ S:259)
Die folgende Tabelle gibt die Mengeneinheiten ME von den Rohstoffen R1 bis R4 an, die für die Erzeugung
von einer Mengeneinheit der Endprodukte E1 und E2 benötigt werden.
E1 E2
R1 14 24
R2 11 43
R3 45 33
R4 13 25 .
a) Zeichne einen Gozintographen und erkläre, wie viele ME an Rohstoffen man benötigt, um eine Einheit
von E1 zu erzeugen.
b) Berechne, wie viele Mengeneinheiten von jedem Rohstoff benötigt werden, um 120 ME von E1 und 90
ME von E2 zu erzeugen
Erstellen Sie die vollständige Lösung und alle benötigten Erklärungen für dieses Arbeitsblatt.
b) A
8 4 5 3
0 4 5 2
0 4 0 2
0 1 1 1
0 0 1 4
B
6 0
4 5
6 5
4 10
c) A und B eingeben mit Matrix/Edit
Aufrufen der Matrizen und multiplizieren
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2. Puzzle: Teilaufgabe für Gruppe 2
Die Matrix A gibt die Mengeneinheiten ME von den Rohstoffen R1 bis R4 an, die für die Erzeugung von einer
Mengeneinheit der Endprodukte E1 und E2 benötigt werden.
3 Rohstofflieferanten legen ein Kostenangebot. Die Matrix B beinhaltet die Preise jedes der 3 Lieferanten in
Geldeinheiten pro Mengeneinheiten für jeden der 4 Rohstoffe.
A B
14 2420 31 17 23
11 4320 25 21 22
45 3323 28 20 21
13 25
a) Interpretieren Sie die Aussage der beiden Matrizen in Bezug auf den Rohstoff R1.
b) Berechnen Sie die Rohstoffkosten für jeweils 1 ME der erzeugten Endprodukte für jeden der 3
Lieferanten.
Erstellen Sie die vollständige Lösung und alle benötigten Erklärungen für dieses Arbeitsblatt.
Link, wo man alles für die HUM findet:
http://teaching.schule.at/Mam/