BAUMSCHÄDLINGEINSECT OUTBREAK MODEL OF SPRUCE BUDWORM
Seminar für LAK (Angewandte Mathematik)
Manuel Hofegger & Stefan Kratochwil
ARTEN MATHEMATISCHER MODELLE Statische Modelle
Dynamische Modelle (mathematische Modelle zeitabhängiger Prozesse)
Mathematik: Zahlentheorie, Stochastik Physik: Pendelbewegung, Klimamodelle Theoretischen Biologie: Räuber-Beute-
Modelle ....
MOTIVATION FÜR UNSEREN VORTRAG Räuber-Beute Beziehung→ angewendet auf den kanadischen Fichtenkäfer
Natur besteht aus einem Zusammenwirken so genannter Biotope (abgeschlossene Lebensräume), innerhalb derer ein Gewisses Gleichgewicht herrscht
In einem solchen System wirken viele Einflüsse bzw. Faktoren in koordinierte Weise mit- und gegeneinander
„Räuber-Beute- Situation“
MOTIVATION FÜR UNSEREN VORTRAG Räuber-Beute Beziehung→ angewendet auf den kanadischen Fichtenkäfer
Gewisse Anzahl von räuberischen Individuen (z. B.Vögel) stehen mit einer gewissen Anzahl Beute-Individuen im Gleichgewicht
Populationen sind gewissen Schwankungen unterworfen Besteht somit im Allgemeinen ein „Kreislauf“, der sich –
wenn nicht von außen eingegriffen wird- bei einem gewissen „Gleichgewicht“ einpendeln wird
Vorweg eine kurze Übersicht über Verbreitungsgebiet und Aussehen des behandelten Käfers (spruce
budworm)
Beispiel dafür, welch verheerendes Ausmaß eine Populationsexplosion des Käfers annehmen kann
FLUSSDIAGRAMM Beschreibung der quantitativen
Zusammenhänge
Bestandsgrößen: haben einen vom Zeitpunkt abhängigen Wert
Flussgrößen: geben die Veränderung der Bestandsgrößen pro Zeiteinheit an
→ also die absoluten bzw. relativen Änderungsraten
MATHEMATISCHE BESCHREIBUNGEN UNSERES MODELLS
Die Dichten von Räuber und Beute schwanken regelmäßig, jedoch zeitlich verschoben
Trotz der Schwankungen bleibt die durchschnittliche Menge der beiden Populationen über die Jahre hinweg in etwa gleich → Schwankungen um einen Mittelwert
Werden jedoch die Räuber in einem Biotop stark dezimiert (z. B. durch Jagen), so erholt sich die Beutepopulation schneller als die der Räuber
VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK
Relevante Faktoren, welche einen Einfluss auf die Entwicklung der Populationen der Fichtenkäfer haben
rB.........lineare Geburtenrate N......Anzahl der Lebewesen KB......tragende Kapazität bzw. Aufnahmefähigkeit
bezogen auf das vorhandene Laub auf dem Bäumen p(N).....Störfunktion (Feinde wie z. B.: Vögel, etc.)
VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK
Einfluss auf die Entwicklung der Populationen 1.Teil:
unbegrenztes Wachstum
VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Einfluss auf die Entwicklung der Populationen 2.Teil:
Partialbruchzerlegung
VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK 2.Teil:
„logistisches Wachstum“ einer Bevölkerung
VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Störfunktion, p(N)-Teil 3.Teil:
Um spezifisch zu werden und mit dem p(N)-Term rechnen zu können, wird folgende Annahme getroffen:
Einführen von „nicht dimensionalen Termen“
VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Störfunktion, p(N)-Teil 3.Teil: .
.
VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Störfunktion, p(N)-Teil
d. h aus
folgt durch nicht-dimensionalisieren:
!!!Gleichgewichtszustand:
VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Gleichgewichtszustände:
VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Gleichgewichtszustände:
VEREINFACHTE POPULATIONSDYNAMIK Gleichgewichtszustände:
ZEITDAUER IN WELCHER DIESES MODELL ABLÄUFT Ausbruch des kanadischen Fichtenkäfers
dauert rund 4 Jahre In diesem Zeitraum werden die Fichten
angegriffen bzw. sterben ab Nach 50 bis 100 Jahren bzw. intensiver
Aufforstung verdrängen die Fichten die Balsamtannen bzw. Birken wieder
In einem vollständigen Modell müsste man die Baumdynamik mit einbeziehen (~80 Parameter und Variablen)
VORSTELLUNG VON KATASTROPHENAUTOR: „ZEEMAN“ 1982, EXPERIMENT MIT 57 STUDENTEN
VERZÖGERTE MODELLE Defizite von Single-Populations-Modellen sind, dass die
Geburtenrate den augenblicklichen, momentanen Zustand betrachtet
Es kann jedoch eine Zeitverzögerung auftreten, bis die Fichtenkäfer ihre Reife erreicht haben (d. h. der Reifeprozess ist begrenzt)
Berücksichtigung der Verzögerung durch folgende Differenzialgleichung:
VERZÖGERTE MODELLE Erweiterung des logistischen Wachstumsmodells ist
die „Differenzielle Verzögerungsgleichung“
Modell für einen Verzögerungseffekt, welcher einen Durchschnitt über vergangene Populationen repräsentieren sollte.
VERZÖGERTE MODELLE Ausdrücken der Gleichung durch die einfache lineare
Verzögerungsgleichung
VERZÖGERTE MODELLE ...
Periode
Jahr
VERGLEICH VON NICHOLSON‘S EXPERIMENTELLEN DATEN Für die Population der australischen
Schafschmeißfliege (diese führt zu Sommerkrankheiten bei Schafen)
DANKE FÜR DIE AUFMERKSAMKEIT!