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Betriebs-systeme
und Verteilte Systeme
Description LogicsMarc Holger Uhlmann
SeminarvortragPaderborn, 15. Dezember 2004
Projektgruppe Peer-2-Peer basierte Suche nach Web-Diensten
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2
Agenda
Motivation und Grundlagen
Die Basis Description Logic FL-0
Syntax
Semantik
Erweiterungen (Dialekte)
Von der Description Logic zum DL-Reasoner Terminologien
Assertions
Inferenz
Grundlegende Konzepte von Inferenzalgorithmen Structural Subsumption Algorithmen
Tableau-based Subsumption Algorithmen
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3
Motivation für Description Logics
Ursprünge der Forschung: Künstliche Intelligenz (KI)
Formalismen
zur formalen Repräsentation von Domänenwissen über einen Ausschnitt der Welt
für ein effizientes Handling des Domänenwissens
zum expliziten Folgern impliziten Wissens
Motivation: Nutzen dieses Wissens
diverse Anwendungsgebiete→ Semantic Web
Für unsere Projektgruppe: Einsatz von Wissen für die Suche nach Webservices
„Die KI ist der Zweig der Informatik, der sich mit symbolischen Methoden der Lösung von Problemen beschäftigt“ [Kurzweil]
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4
Ziel: Description Logics für die Projektgruppe
Repräsentation von Wissen über Hardware, Software und Kompatibilitäten
Effizientes Ableiten von expliziten Informationen aus implizitem Wissen
Wissensbasis
allgemeingültigesWissen
konkretes Situationswissen
Inferenzsystem
Benutzerschnittstelle
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5
Einordnung von Description Logics
Prädikatenlogik erster Stufe: Argumente von Prädikaten ausschließlich Objektvariablen
Grund für eine neue Syntax: → variablenfreie Darstellung ist übersichtlicher und für die zu
modellierenden Problembereiche adäquater
Prädikatenlogik erster Stufe (FOL)
DL
Unäre PrädikateVater(x)
Binäre PrädikatehatKind(x,y)
Beschränkungauf 1 freie Variable → Einfachere Syntax
transitive Rollenbeschreibungen
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6
Grundlegende syntaktische Bausteine
Atomare Konzepte (unäre Prädikate) entsprechen Klassen (Objektorientierung) bzw.
Mengen von ObjektenBeispiele
Männlich ≡ {x | männlich(x)} Person ≡ {x | Person(x)}
Atomare Rollen (binäre Prädikate, Relationen) Beschreibung der Beziehung zwischen genau zwei Konzepten
Beispiele: hatKind ≡ {(x,y) | hatKind(x,y)}
Individuen (Konstanten) Repräsentation genau einer Entität innerhalb eines Konzeptes
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7
Syntax:Sei A ein atomares Konzept und R eine Rolle, so sind Konzeptbeschreibungen für C,D in FL-
0:
C, D A | primitives Konzept T | universelles Konzept
| bottom KonzeptC ⊓ D | Schnitt R.C | Wertbeschränkung
Beispiele:Informatiker ⊓ Weiblich (Eine Frau, die Informatik
studiert)
Mann ⊓ hatKind.Informatiker (Ein Mann der nur Informatiker
als Kinder hat)
Eine erste Description Language FL-0
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8
Semantik:Interpretation I= (, ∙) nichtleeren Menge ∙Mapping-Funktion: C → C für alle Konzepte C
R → R x für alle Rollen R
TI =
=
(C ⊓ D) = CD
( R.C) = {a | (b: (a,b) R → b C)}
FL-0: Basis für alle Description Logic Sprachen.
FL-0 einfach, aber relativ geringe Ausdrucksfähigkeit
Adäquate Erweiterungen für die jeweilige Domäne (z.B. PG P2P) Kompromiss zwischen (notwendiger) Ausdrucksfähigkeit und
Komplexität des Schlußfolgerungsprozesses.
Eine erste Description Language FL-0
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9
Erweiterungen von FL-0
FL- : Erweiterung um begrenzte Existenzquantifizierung
( R.) = {a | b: (a,b) R}
AL : Erweiterung um atomare Negation( A) = \
AL U : Erweiterung um die Vereinigung von Konzepten(C ⊔ D)= C D
AL E : Erweiterung um komplette Existenzquantifizierung( R.C) = {a | b: (a,b) Rb C}
AL N: Erweiterung um unqualifizierte Anzahlsbeschränkungen(≤ n R) = {a | b|(a,b) R≤ n}(≥ n R) = {a | b|(a,b) R≥ n}(= n R) = {a | b|(a,b) R= n}
AL C: Erweiterung um Negation für beliebige Konzepte( C) = \ C
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10
noch mehr Erweiterungen…
AL O: Erweiterung um die Aufnahme von Individuen I (Nominale) in Konzepten I = I und |(I)| = 1
AL H: Erweiterung um Rollenhierarchien(R ⊑ S)=RS
AL I: Erweiterung um inverse Rollen (R)={(a,b) x | (b,a) R}
AL Q: Erweiterung um qualifizierte Anzahlsbeschränkungen(≤ n R.C) = {a | b|(a,b) Rb C≤ n}(≥ n R.C) = {a | b|(a,b) Rb C≥ n}(= n R.C) = {a | b|(a,b) Rb C= n}
S: AL: Erweiterung um transitive RollenbeschreibungenR R+ : wenn (a,b) R und (b,c) R → (a,c) R
Notation: AL [U] [E] [N] [C] [O] [H] [I] [Q] [F]
S[H] [I] [Q] [F]
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Ziel: Verwendung eines DL-Systems für PG
Wissensbasis K=(T,A)
allgemeingültigesWissen
konkretes Situationswissen
Inferenzsystem
Benutzerschnittstelle
T Boxallgemeingültiges
Wissen
A Boxkonkretes
Situationswissen
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TBox: Terminologien
Terminologische Axiome:Machen Aussagen wie Konzepte miteinander in Verbindung stehen: C ≡ D (Äquivalenzen)
Definitionen: Äquivalenzen mit atomaren Konzept auf der linken Seite (symbolische Namen) Beispiel: Mann ≡ Person ⊓ Frau
C D (Inklusionen)⊑Beispiel: Frau ⊑ Person
Terminologie (TBOX): Eine endliche Menge von Definitionen und Inklusionen
Zyklische Defintion:Eine Definition, die definiertes in der Definition verwendetBinärbaum = Baum ⊓ ≤ 2 hatNachfolger ⊓ hatNachfolger.Binärbaum
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Definitionen, …
Normalisierung einer generalisierten Terminologie:
Für alle Inklusionen mit C ⊑ D:→ Ersetze C ⊑ D durch C ≡ C* ⊓ D
Damit repräsentiert C* den Unterschied von C zu D
Eine Interpretation I erfüllt eine Äquivalenz mit C ≡ D genau dann, wenn C = D
Eine Interpretation I erfüllt eine Inklusion mit C ⊑ D genau dann, wenn C D
Modell einer Terminologie (TBox) T: Interpretation I ist genau dann ein Modell, wenn I alle Axiome der Terminologie T erfüllt.
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14
Beispielhafte TBox & Expandierung
Frau Person⊑oder
Frau ≡ Person ⊓ Weiblich Mann ≡ Person ⊓ Frau Mutter ≡ Frau ⊓ hatKind.Person Vater ≡ Mann ⊓ hatKind.Person Elternteil ≡ Mutter ⊔ Vater Großmutter ≡ Mutter ⊓ hatKind.Elternteil
Frau ≡ Person Weiblich⊓ Mann ≡ Person ⊓ (Person ⊓ Weiblich) …
Expansionen können exponentiell groß werden und sind ausschließlich bei azyklischen Terminologien berechenbar
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ABox: Assertions
Spiegeln das konkrete Situationswissen (world description) Arten von Assertions:
a, b, c: Namen von Individuen, C: Konzept, R: Rolle:
Concept Assertion C(a): a gehöhrt zu (der Interpretation von) C
Role Assertion R(b, c): c ist Rollenfüller der Rolle R für b
Beispiele:Mutter(Elfriede) Elfriede ist eine MutterFrau(Bettina) Bettina ist eine FrauhatKind(Elfriede, Bettina) Bettina ist das Kind von Elfriede
Assertions in der ABox sind syntaktische Konstrukte→ Erweiterung der Semantik um Interpretationen von Individuen
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ABox: Semantik für Individuen
Erweiterung der Interpretation I = (, ∙)mit∙ : Funktion: a → a für alle Individuen a.
a b→a b: unique name assumption (UNA) Eine Interpretation I erfüllt die
Concept Assertion C(a) genau dann, wenn a C
Role Assertion R(b,c) genau dann, wenn (b,c R
Modell einer ABox A: Interpretation I genau dann, wenn I alle Assertions einer ABox A erfüllt.
(Wdh.)Modell einer Terminologie (TBox) T: Interpretation I genau dann, wenn I alle Axiome der Terminologie T erfüllt.
Modell einer ABox A bezüglich einer TBox T:Interpretation I, genau dann wenn I ein Modell der ABox A und gleichzeitig der TBox T ist.
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Der Weg zur Inferenz (1)
Woran sind wir bezüglich Konzepten interessiert? Erfüllbarkeit (satisfiability):
Ein Konzept C ist erfüllbar bezüglich einer TBox T wenn es ein Modell I von T gibt, so dass C nicht leer ist. (I ist Modell von C)
Inklusion (subsumption):Ein Konzept C wird von einem Konzept D bezüglich einer TBox T inkludiert wenn C D für jedes Modell I von T. (C ⊑T D)
Äquivalenz (equivalence):Zwei Konzepte C und D sind bezüglich einer TBox T äquivalent wenn C Dfür jedes Modell I von T. ((C ≡ T D) )
Disjunktheit (disjointness):Zwei Konzepte C und D sind disjunkt bezüglich einer TBox T wenn CD= für jedes Modell I von T.
Alle Aussagen können auf Inklusion, Erfüllbarkeit bzw. Konsistenz reduziert werden:→ 1 Algorithmus zur Beantwortung aller Fragestellungen
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18
Der Weg zur Inferenz (2)
Woran sind wir bezüglich Assertions interessiert? Konstistenz einer ABox A (bezüglich einer TBox T)
Es existiert eine Interpretation I, die Modell für A (und T) ist
Instance-CheckEine ABox A zieht eine assertion C(a)nach sich (A ⊨ C(a) ), wenn jede Interpretation, die A erfüllt auch C(a) erfüllt. A ⊨ C(a) genau dann, wenn A { C(a)} konsistent ist.
Retrieval-ProblemFinde alle Individuen a für eine ABox A und ein Konzept C mit:A ⊨ C(a)
Realization-Problem (Dual zum Retrieval-Problem)Welches Konzept C realisiert für ein gegebenes Individuum a den Schluß: A ⊨ C(a), es gibt kein D mit (D ⊑ C und A ⊨ D(a) )
Erfüllbarkeit eines Konzeptes C:C erfüllbar genau dann, wenn {C(a)} konsistent (a beliebig)
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Open-World-Assumption(1): Ödipus
Informationen in einer ABox sind grundsätzlich unvollständig→ Vorsicht beim Inferenzprozess und bei der Entwicklung derWissensbasis (Knowledge Engineering)
Ödipus
Iokaste
Polyneikes
Thersandros
≡ hatKind
Die Wahrheit
hatKind(Iokaste, Ödipus)hatKind(Ödipus, Polyneikes)hatKind(Iokaste, Polyneikes)hatKind(Polyneikes, Thersandros)
VaterMörder(Ödipus)VaterMörder(Thersandros)
Die Fakten
Hat Iokaste ein Kind, das ein Vatermörder ist; dessen Kind jedoch kein Vatermörder ist?
A (⊨ hatKind(VaterMörder ⊓ hatKind. VaterMörder)) (Iokaste)?
Die Frage
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20
Open-World-Assumption (2): Inferenz
Ödipus
Iokaste
Polyneikes
Thersandros
≡ hatKind
Interpretation I1
Ödipus
Iokaste
Polyneikes
Thersandros
≡ hatKind
Interpretation I2
Sowohl in der Interpretation I1 als auch in der Interpretation I2
hat Iokaste ein Kind das ein Vatermörder ist; dessen Kinde jedoch kein Vatermörder ist.
→ A (⊨ hatKind(VaterMörder ⊓ hatKind.VaterMörder)) (Iokaste)?
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Structural Subsumption Algorithmen
Reduktion auf Inklusion
C ist unerfüllbar C ⊑
C ≡ D C D und D C ⊑ ⊑ CD= (C ⊓ D) ⊑
Idee:
Test auf Inklusion von Konzepten
Algorithmen zum Vergleich syntaktischer Strukturen
Schwächen
unvollständig: Es werden Inklusionen übersehen
keine Unterstützung von Negation, Disjunktion und kompletter Existenzquantifizierung → Ausdrucksfähigkeit begrenzt
erlauben keine zyklischen Terminologien
→ Entwicklung einer effizienteren Strategie
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Tableau-based Subsumption Algorithmen (1)
Keine direkte Prüfung auf Inklusion: sondern Reduzierung von Inklusion auf Erfüllbarkeit:
C ⊑ D genau dann, wenn C ⊓ D unerfüllbar
Idee: Wenn (C ⊓ D) unerfüllbar → C ⊑ D Finden einer Interpretation I mit (C ⊓ D) Lösung entspricht der eines Constraintproblems
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Tableau-based Subsumption Algorithmen (2)
Vorgehen
leere ABox A
Initialisierung von A mit A:={(C ⊓ D)(x)}
Sukzessive Anwendung von konsistenzerhaltenden Transformationsregeln:→ Menge von ABoxes S:={A1,…, Ak}
Die initialisierte ABox ist konsistent genau dann wenn mindestens eine ABox Ai (mit 1≤ i ≤ k ) konsistent ist.
Lösung von ausdrucksstarken DL-Dialekt erfordert (theoretisch) exponentiellen Zeitaufwand
Optimierungen von Tableau-Based Algorithmen: → In der Praxis sehr effizient
Einsatz in derzeitigen DL-Reasoner (Racer, Fact)
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24
Fazit
Description Logics: neue effiziente Form der Wissensrepräsentation
Die Basis Description Logic FL-0
Syntax
Semantik
Erweiterungen (Dialekte)
→ gute Skalierbarkeit durch Anpassung der Ausdrucksfähigkeit
Von der Description Logic zum DL-Reasoner Terminologien, Assertions & Inferenz
Tableau-based Subsumption Algorithms Effizientes Reasoning für Description Logics
State-of-the-Art in aktuellen Reasonern
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25
Ausblick für die Projektgruppe P2P
Evaluierung über den Einsatz von Description Logics
Identifikation von allgemeingültigem Wissen
Entscheidung für einen Dialekt
Überführung des Wissens in eine Terminologie
Entscheidung für einen DL-Reasoner
Einbindung von Terminologien in den DL-Reasoner
Prototypische Realisierung mit konkretem Situationswissen
Wissensbasis K=(T,A, R)
allgemeingültigesWissen
konkretes Situationswissen
Inferenzsystem
Benutzerschnittstelle
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26
Fragen & Diskussion
Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit !
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27
Ursprünge von Description Logics (DL)
Repräsentation von Wissen in Form von:
Objektklassen (Konzepten)
Beziehungen zwischen diesen Objektklassen (Rollen)
Semantische Netzwerke, frame-based systems, KL-ONE
Mann Frau
Vater Mutter
Person
hatKind
Elternteilbeispielhaftes semantisches Netzwerk
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28
b a c k u p – f o l i e n
Trigger Rules als Ergänzung der TBox Komplexität für das Reasoning von Dialekten
OWL DL → Martin Steinhoffs Seminarvortrag (T8: OWL) Ian Horrocks „DAML+OIL: A Description Logic for the
Semantic Web“
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29
Trigger Rules
Zusätzlich zu Terminlogien (TBox) und Weltbeschreibungen (ABox) Seien C, D Konzepte:
C D„Wenn ein Individuum eine Instanz eines Konzeptes C istdann ist es auch eine Instanz des Konzeptes D“
Erweiterungen der Knowledge Base zu K = (T,A,R) Trigger Rules sind eng zu Inklusionen C D verwandt, aber:⊑
C D D C
Notation: C D K C D⊑K realisiert Beschränkung auf gültige Instanzen der ABox oder solche die durch ABox und TBox impliziert werden.
→ Durch diese Beschränkung wirkt sich das Inklusionsaxiom nicht auf Erfüllbarkeit und Inklusionsbeziehungen zwischen Konzepten aus.
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30
Komplexität für Inferenzprozesse
nach F. M. Donini et al: "The Complexity of Concept Languages“
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31
Algorithmen
Daten Daten
Wissen
Inferenz
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32
Wissensbasis
allgemeingültigesWissen
konkretes Situationswissen
Inferenzsystem
Benutzerschnittstelle
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33
Prädikatenlogik erster Stufe (FOL)
DL
Unäre PrädikateVater(x)
Binäre PrädikatehatKind(x,y)
Beschränkungauf 1 freie Variable
transitive Rollenbeschreibungen