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Life in crowded and disordered environments
Lecture 18: Crowding Rädler/Lipfert SS 2014
Biophysics of Macromolecules
8. Juli. 2014
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Summary: Life at low Reynoldsnumbers
G. Taylor
Bacteria move like screw drivers
Bacteria are like fish in thick honey
Re(bacteria)=10-‐8
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The friction coefficient of rigid bodies
€
F = −γ⊥ ⋅ v
€
M = −γ r ⋅ω
From Howard, 2001
TranslaHon
RotaHon
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Drive through anisotropy of fricEonal force
fricHon Propulsive force
From Sackmann 2010
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Bakterien und Spermien schrauben sich durch Wasser
ps ζζ 2≈s
p
AchsezusenkrechtibungAchsezuparallelibung
ObjekteeStabförmig
ζ
ζ
ReRe
Taylor Gleichung: UqaKqaKqAv
2/1)()2/1)(
21
0
022
+−
=
K0 Bessel FunkHonenKraP ist Effekt zweiterOrdnung From Sackmann 2010
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Wie effizient ist Diffusion als Transport ?
Die Welt kleiner Péclet Zahlen ist durch Diffusion homogenisiert
Bakterium : v ≈ 1µm/s, d ≈ 1µm, D(Wasser) ≈ 1µm2/ms=10-9m2/s => Pe ≈ 10-3
€
Pe =Diffusionszeit
Driftzeit=vd
D
Experiment : Die Diffusionsuhr
Die Péclet Zahl gibt das Verhältnis von KonvekHon und Diffusion an.
€
dc
dt= D
d2c
dx2
€
c(t) =N
4πDt( )3 2
e−x
24Dt
Diffusions-‐ Gleichung
€
σ 2(x) = 2Dt
v
d
1.6 mm ≈ 0.75h (eine Schulstunde) 2.5cm ≈ 7d (eine Woche) 12,8cm ≈ 27 Wochen (ein Schulhalbjahr)
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Das Paradox der DNA Replikation
Drehmoment
Mechanischer Reibungsverlust:
Umdrehungsfrequenz: ω=600s-1
€
M = 4π ωηR2L
€
Wfric = −Mω( ) ω 2π( ) = 8π 2 ωηR2L
≈ 2 ⋅10−17Jm−1( ) ⋅ L
L=6000bp
ATP Hydrolyse bringt 8,2 10-20J => L kann bis zu 2mm lang sein !
Kann die DNA Helicase gegen die Reibung ankommen ?
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Crowding - why is it important ?
Crowding alters Biochemical Equilibria
Crowding alters the KineHcs within Cells
§ Excluded volume forces § Binding staHcHcs
§ Slowing of diffusion
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Examples of dense filament architectures
acHn Axon Nerve cell
Aligned collagen
Bundles of cellulose
AcHn filaments
Collagen matrix Strands o
Sugar Cell wall Of gram NegaHve bacteria
Mat of Collagen and proteoglycans (Hssue cells)
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AcHn filaments at the leading edge of a crawling cell
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Das Ausschlußvolumen
• Die einfache Betrachtung als random walk ergab für den End-zu-End-Abstand eines Polymerknäuels:
r2
= N ⋅ l2
• Flory löste das Problem durch eine einfache heuristische Betrachtung: Wenn 2 Monomere überlappen, dann stoßen sie sich ab. Die Wahrscheinlichkeit, daß 2 Monomere am selben Ort liegen wächst mit dem Quadrat der Konzentration der Monomere.
W = vkBT ⋅c
m
2
Energiedichte: cm=
N
r2
3
W = vkBT ⋅
N2
r26
€
EAusschluß =W ⋅ r2
3
= vkBT ⋅N2
r2
3
Mittlerer End-zu-End-Abstand wird als Maß für den Radius des Polymers genommen
• Problem: Das Polymer kann sich nicht selbst durchdringen. Deshalb müßte der mittlere quadratische End-zu-End-Abstand größer sein.
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• Die Ausschlußenergie treibt das Polymerknäuel auseinander. Diese Kraft muß jetzt durch die entropische Kraft ausgeglichen werden, die das Knäuel zusammentreibt.
EAusschluß = W ⋅ r23
= vkBT ⋅N2
r 23
FAusschluß =∂EAusschluß
∂ r2= −vkBT ⋅ 3 ⋅
N2
r 24
Fentr
≅3kT
N ⋅l2⋅ r
2
3kT
N ⋅ l2⋅ r
2− vk
BT ⋅3 ⋅
N2
r24 =!
0
1
l2⋅ r
25
= −v ⋅N3
r2∝ N
3
5 r2∝ N
0.5
im Gegensatz zu:
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D: Distance
osmoHc pressure of the small beads
n: parHcle conc. N/V
Experiments by Yodth et al see als Phillips et al page 526
DepleEon forces
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Steric stabilisation depletion interaction
Entropic forces
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Lajce Model of Biochemical Binding Equilibrium
Zsol (L,C) =Ω!
L!C!(Ω− L −C)!e−βLεL
Sol
e−βCεCSol
pbound =1
1+ (Ω− L −C L) ⋅eβΔεLSol
FracEon bound vs. ligand conc
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DissociaEon constant vs. volume fracEon
Kd (ΦC )Kd (ΦC = 0)
= (1−ΦC )r
Crowding reduces the dissociaHon constant Depending on size raHo crowder/ligand=r
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Colloidal Glass TransiHon
from Eric Weeks
Phase diagram of monodisperse hard-‐spheres as a funcHon of volume fracHon, φ.
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20
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How is diffusion affected by the presence of spheres ?
• Vesicles occupy up to 30 % volume fraction Φ
• Theory predicts an „effective“ viscosity of the medium due to hydrodynamic interactions
(Einstein Formula)
(Krieger Dougherty)
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Relative viscosity of colloids vs volume fraction
polystyrene beads (Krieger 1972)
silica beads in cyclohexane (de Kruif 1986)
From Jones: soP maler
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Shear thinning
![Page 24: BPM SS14 Vorlesung22 - physik.uni-muenchen.de · Das Ausschlußvolumen! • Die einfache Betrachtung als random walk ergab! für den End-zu-End-Abstand eines Polymerknäuels: ! r2](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081606/5d59492c88c99341518b7d35/html5/thumbnails/24.jpg)
supercooled
Confocal microscopy
glassy π =0.61
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Tracer diffusion Self diffusion
Diffusion of proteins in crowded protein soluHon
LeP:. BSA (fileld cirlces), ribonuclease (filled squares) Right: myoglobin (white circles), hemoglobin (black circles)
Minton 1993 (nach R. Philps)
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Die Kontrolle der Transkription in Eukaryontenzellen ist komplex:"
• Eukaryontische RNA-Polymerasen benötigen "Allgemeine Transkriptionsfaktoren“"
• Eine eukaryotische Gen-Kontrollregion besteht aus einer Promotor plus Regulator-DNA-Sequenzen"
• Verstärker-Elemente regulieren Gene in Abstand"
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Zeitskala der Suche nach der Bindungsstelle
€
D =kT6πηR
€
P(r,t) =14πtD
exp − r2
4Dt$
% &
'
( )
€
tdiffusion =d2
2D
Stokes Einstein Gleichung (z.B. DGFP=3-7µm2/s)
Wahrscheinlichkeitsverteilung
1µm
Typische Zeitskala dass ein Protein einen beliebigen Punkt in E.coli findet : tD ≈ 0.1s
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Diffusion to an adsorbing disk
€
J = −D4πr2 dCdr
€
dCdt
=1r2D ddr
4πr2 dCdr
#
$ %
&
' (
€
C(r) =J
D4πr+ C(∞)
€
C(∞) = N V
€
C(ε) = 0
€
J = 4πεDNV
€
τ on =V
4πDεN≈ 20s N
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Verweildauer der Transkriptionsfaktoren
€
1τ off
=1τ on
V ⋅ exp ΔG kT( ) = 4πDε M[ ] ⋅ exp ΔG kT( )
(mit τon=20s/N folgt, dass 1Molekül in 1µm3 einen Operator gerade halb besetzt)
für spezifische Bindungsstellen (Operator) mit 1M-1=1.6nm3 and ΔGspez=-12.6kcal/mol, ε=1 folgt
€
τ off ≈ 20s
für unspezifische Bindungsstellen mit ΔGuspez=-‐10-‐4 kcal/mol,
€
τ off ≈10−4 s
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Die Suche auf dem DNA Strang
€
τ =L2
2D1≈ 200.000s ≈ 2Tage
Unspezifische Bindung von TFs and DNA ist ein Problem, da die Suche auf nach der Bindungsstelle auf dem Strang länger dauert. Wenn die Verweildauer unendlich wäre, würde ein ein-dimensionaler random walk
dauern (L=1.5mm und D1≈D)
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Die Suche auf der DNA wird durch „Sprünge“ auf benachbarte DNA Stränge beschleunigt
€
τ ≈l2
D1
$
% &
'
( ) ⋅Ll≈LlD1
Mit L=1.5mm, l=150nm folgt
€
τ ≈ 50s
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Verstärker (Enhancer) „wirken auf Distanz“
W. Su et al PNAS (1990)
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Schleifenbildung erhöht die Wechselwirkung
Van Hippel
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Beispiel: NtrC (nitrogen regulatory Protein C)
a transcription factor that activates a variety of genes that are involved in nitrogen utilization by contacting simultaneously a binding site on the DNA and RNA polymerase complexed with the σ54 sigma factor at the promoter.
from enteric bacteria :
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Distribution of DNA loops formed of NtrC and Pol
W. Su et al PNAS (1990)
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J. Mol. Biol. (1997) 270, 125-138
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Die F0 -F1 ATPase ist der kleinste Rotationsmotor der Welt"
D. Müller et al. ‘00"
Wie kann man die Antriebskraft Eines so kleinen Motors messen ?
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Reibungskraft als Maß zur Messung molekularer Motoren
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Der F0 Rotor ist ein „Schrittmotor“
Diskrete Sprünge in der Umdrehung