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Bremen, Oktober 2005 1
Bildrekonstruktion
als Studentenprojekt
DIETER SCHOTT
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Bremen, Oktober 2005 2
Logiker Mathematiker
Professor in Jena
Begründer der modernen Logik
Aristoteles II.
TRADITION Gottlob Frege
*1848 Wismar
†1925 Bad Kleinen
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Bremen, Oktober 2005 3
Mathematiklehre - Dilemma
• Wissensexplosion – Stofffülle
• Innovation – neue Hilfsmittel
• große Streuung der Eingangskenntnisse
• begrenzter Stundenumfang
• begrenztes Lehrpersonal
• Geldmangel - Imageproblem
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Bremen, Oktober 2005 4
Mathematiklehre - Anspruch
• modern (Kenntnisstand, Hilfsmittel, Methoden)
• wissenschaftlich (Theorie, Hochschule)
• anwendungsorientiert (Praxis, Wirtschaft)
• motivierend (Anwendungen, Interesse, Spannung)
• international (Globalisierung, Austausch, Kooperation)
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Bremen, Oktober 2005 5
Mathematiklehre - Struktur
Eingangs-prüfung
Grundlagenallg. Prinzipien
und Denkweisen
ProblemlösenSelbststudium
kleine Auswahlaktueller Gebiete
Projekte
Literatur-Quellen
InternetkurseFachliteratur
WerkzeugeHilfsmittelComputerSoftware
KritikfähigkeitKerncurriculum
interdisziplinärkooperativangewandt
PraxisproblemeZusatzangebote
Modellieren
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Bremen, Oktober 2005 6
Praxis-Problem
ModellModell
Mathematisches Modell
Mathematisches Modell
Algebra
Analysis
Algebra
Analysis
Numerische
Methoden
Numerische
Methoden
mathematische Lösung
mathematische Lösung
INFORMATIKINFORMATIK
VerifikationVerifikationComputer Software
Expertensystem Expertensystem
LösungLösung VerifikationVerifikation
Anwendung
in der Praxis
Anwendung
in der Praxis
• Fehler-Analyse
• Fallstudien
• Experimente
• Wechsel der Verfahren
• Interpretation
• Fehler-Analyse
• Fallstudien
• Experimente
• Wechsel der Verfahren
• Interpretation
Modellkorrekturen Modellkorrekturen
Grafik
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Bremen, Oktober 2005 7
Interdisziplinäre Vernetzung
• Mathematik – Lösungsmethoden
• Physik – naturwissenschaftliche Modelle
• Informatik – Software, Grafik
• Technik – Apparate, Geräte
• Design – Gestaltung, Aussehen, Funktion
• Wirtschaft – Ökonomie, Vermarktung
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Bremen, Oktober 2005 8
Projekte - Funktionen
• Praxisrelevanz
• Interdisziplinarität
• Modellierung
• Kooperation, Kreativität, Konkurrenz
• Computer, Software, Programmierung
• Präsentation (Text, Vortrag, Verteidigung)
• Selbststudium (Quellen)
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Bremen, Oktober 2005 9
Projekte - Beispiele
• Bildrekonstruktion (CT)
• Schwingungen (Pendel)
• Ökologische Modelle (Räuber-Beute)
• Strategische Spiele
• Graphenalgorithmen (Kürzeste Wege, Rundreisen)
• Fraktale Geometrie
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Bremen, Oktober 2005 10
Computermathematik
• Computeralgebra, Numerik, Grafik• Softwarekenntnisse (MATLAB)• Standardfunktionen (Expertensystem)• Programmierung (Funktionen,
Oberflächen)• grafische Schnittstelle (Nutzerinteraktion)• Experimente, Simulationen (Strategie)• anspruchsvolle Beispiele aus der Praxis
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Bremen, Oktober 2005 11
Computertomographie - Modell
• Strahl geometrisch (Geraden, Streifen, Zylinder, Kegel)
• Strahlenergie (monoenergetisch, Spektrum)
• Objektstruktur – Schwächungsverteilung – Funktion
• Objekt 3D – parallele Objektschnitte 2D
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Bremen, Oktober 2005 12
Computertomographie - Modell
Objektschnitt mit StrahlI0
I
Q
f(x,y)
L
0 exp( )I I f l 0 exp( ( , ) )L
I I f x y dl
0( , ) ln : ( )L
If x y dl g L
I RADON - Integralgleichung
Physikalisches
Gesetz
Mathematisches
Modell
L: Gerade
: Objekt
Q: Quadrat
f: Dichte
I: Intensität
Schwächung
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Bremen, Oktober 2005 13
Calculating projections
s perpendicular distance from origin to line L(, s) angle of the normal of the line L(, s)
( , ) ( , ) L
P s f x y dl
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Bremen, Oktober 2005 14
Calculating projections
Rotate the x-y axis by angle
cos sinsin cos
xsyt
cos sinsin cos
x sy t
[0, )
( , ) ( , ) ( cos sin , sin cos ) P s f x y dl f s t s t dt
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Bremen, Oktober 2005 15
Bildrekonstruktion - ein interdisziplinäres Problem
• Wissenschaftstheorie (Abstraktion, Modell, Simulation)• Physik (Röntgen-Strahlung und ihre Schwächung)• Mathematik (Radonsche Integralgleichung)
– Analysis, Numerik, Wissenschaftliches Rechnen• Informatik (Implementierung der Algorithmen)
– Komplexität, Algorithmen, Datenstrukturen, Programme
• Ingenieurwissenschaften (Computertomograph)• Medizin (Diagnostik, Bilddarstellung, Strahlenbelastung)• Wirtschaft (Aufwand und Nutzen)
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Bremen, Oktober 2005 16
Diskretisierung der Integralgleichung
Li
aij Schnittlänge von Li in Qj, oft aij=0
Q
Q1
Qj
m = p q Geraden Li mit Daten gi := g(Li)
Quadrat Q mit
n = k2 Pixeln Qj
Funktion f
konstant über Qj:
f | Qj=: fj
Wert - Farbe f1
Wert - Farbe fj
Strahlennetz
Pixelraster
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Bremen, Oktober 2005 17
Numerisches Modell:Lineares Gleichungssystem
( , ) ( )L
f x y dl g L
1
( 1,..., )
.
n
ij j ii
a f g i m
bzw A f g
Diskretisierung, Approximation
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Bremen, Oktober 2005 18
Lineares Gleichungssystem (LGS)
LGS
Defekt- Min.Kleinste-Quadrate-Lösungen
eine Lösung
mod. LGS
viele Lösungen keine Lösung
allgemeine Lösung
(Struktur, Parameter)
spezielle Lösung
(Zusatzbedingungen)
Lösungen
Computer-
LösungVerfälschung von Werten und Struktur
Geometrische
Bedeutung
Fehler!!!Regularisierung
Verfahren
Pseudoinverse
Größe
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Bremen, Oktober 2005 19
Lösungskonzept
• A f = g LGS mit A = ( aij ) vom Format (m,n)– m Messdaten, n Pixel– m < n : LGS unterbestimmt (mehr Pixel)– m > n : LGS überbestimmt (weniger Pixel)
• A f = g schwach besetzt und i. Allg. nicht lösbar– spezielle Speichertechniken– verallgemeinerte Lösungen (KQL, Pseudoinverse)
• Vor-Bedingung: f >= 0 (koordinatenweise)• Regularisierung:
(AT A + E) f = AT g (Parameter > 0 klein)
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Bremen, Oktober 2005 20
Lösungsverfahren: spezielle Iteration
H1
H2
Projektion auf Hyperebenen (KACZMARZ 1937)
Auswahlstrategie der Hyperebenen: zyklisch, größter Abstand,...
Spezialfall
m=n=2
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Bremen, Oktober 2005 21
Lösungsverfahren:Modifikationen
Über-Relaxation
Unter-Relaxation
Algebraic reconstruction technique (ART): HERMAN 1970
A-priori-Information: Null-Setzen der negativen Koordinaten
HParameter-Optimierung
Konvergenz- Beschleunigung
Regularisierung
Kleinste-Quadrate-Lösungen
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Bremen, Oktober 2005 22
Methodologie
Rekonstruktionsproblem
Radonsche Integralgleichung
Lineares Gleichungssystem
Lösungskonzept
Lösungsverfahren
Implementierung
Berechnung einer Lösung
UntersuchungenExperimente
UntersuchungenExperimente
InterpretationVerifikation
InterpretationVerifikation
Physikalische Gesetze
Computer Software
ProgrammierungProgrammierung
math. Modell
ApproximationDiskretisierung
Kleinste QuadrateRegularisierung
Gauss, Konj. Grad., ART
Messdaten
Fehler
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Bremen, Oktober 2005 23
Teilprogramme
Messgeometrie Messdaten
Matrix Vektor
Datengenerator
Phantom-Modell
Matrixgenerator
Lineares Gleichungssystem
Lösungsverfahren
Vektor Skelett Funktion
Interpolation
Grafik
SkelettFunktion
2D3D
![Page 24: Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022062417/55204d6749795902118bd70e/html5/thumbnails/24.jpg)
Bremen, Oktober 2005 24
Bedienoberfläche - Wand
![Page 25: Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022062417/55204d6749795902118bd70e/html5/thumbnails/25.jpg)
Bremen, Oktober 2005 25
Bedienoberfläche - Dose
Cylindric rise
2 2 2 1 for ( ) ( )( , ) 0 elsewhere
x a y b rf x y
![Page 26: Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022062417/55204d6749795902118bd70e/html5/thumbnails/26.jpg)
Bremen, Oktober 2005 26
Bedienoberfläche - Maus
![Page 27: Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022062417/55204d6749795902118bd70e/html5/thumbnails/27.jpg)
Bremen, Oktober 2005 27
Objekt Kopfschnitt
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Bremen, Oktober 2005 28
Objekt Autobild
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Bremen, Oktober 2005 29
Untersuchungen - Experimente
• Strahlen L - Strahlenmodell, Strahlennetz• Approximation von f - Raum für Lösungen • Strahlennetz - Lösungsbasis (Relation)• Bestimmung von A (Effizienz, Fehler)• Berechnung von g (Pseudo-Messdaten)• Lösungsverfahren A f = g (PSH, BART, Opt.)• Q-Erweiterung von f, Grafik, Effekte• Gütemaß Original – Rekonstruktion• Bedienoberfläche• Objekte 2D - 3D (Funktion, Bild, stetig-diskret)
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Bremen, Oktober 2005 30
Parallel beams Fan beams
Strahlennetze
![Page 31: Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022062417/55204d6749795902118bd70e/html5/thumbnails/31.jpg)
Bremen, Oktober 2005 31
Strahlen als Streifen
![Page 32: Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022062417/55204d6749795902118bd70e/html5/thumbnails/32.jpg)
Bremen, Oktober 2005 32
Struktur von Strahlennetzen
p = 32q= 32
m = 1024
![Page 33: Bremen, Oktober 2005 1 Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022062417/55204d6749795902118bd70e/html5/thumbnails/33.jpg)
Bremen, Oktober 2005 33
Besetztheit von B = A‘A
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Bremen, Oktober 2005 34
ISSN
ISBN 3-446-22043-7
Dieter Schott
Mit diesem Buch
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Bremen, Oktober 2005 35
Doppelspitze
Rekonstruktion
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Bremen, Oktober 2005 36
Wellen mit Spitze
Rekonstruktion