Brückenkurs
• Brücke zwischen Schule und Universität
• Vorlesung mit vielen Übungen
• Gelegenheit für Fragen
• Äußern Sie Wünsche z.B. wenn Sie ein Thema ausführlicher behandelt haben möchten.
Literaturvorschläge:
• Physik, Tipler, Spektrum Verlag• Physik, Giancoli, Pearson Verlag• Oberstufenschulbuch: Physik, Höfling, Dümmler Verlag
Die Bücher enthalten auch viele Übungsaufgaben und Beispiele.
Inhalt:
Die Kinematik der Massenpunkte
• Geschwindigkeit
• Beschleunigung
• Bewegungsarten von Massenpunkten
- Freier Fall, schiefe Ebene, vertikaler Wurf
- Kreisbewegung
- Horizontaler und schiefer Wurf
• Newtonsche Axiome
- Gegenkraft und Kompensationskraft
• Bezugsysteme
• Arbeit
• Energie
- Formen der Energie
- Konservative Kräfte
- Gradient der potentiellen Energie
M1
M2
M3
M4
• Leistung
• Impulserhaltung und Schwerpunktsatz
- Kraftstoß
- Impuls, Impulserhaltung, elastische und unelastische Stöße
- Massenmittelpunkt/Schwerpunkt
• Drehbewegungen
- Drehmoment
- Kräftepaar
- Trägheitsmoment, Satz von Steiner
- Drehimpuls
• Schwingungen
- Harmonische ungedämpfte Schwingungen
- Vergleich: Kreisbewegung
- Synthese und Analyse von Schwingungen
M4
M5
M6
M7
Welche der folgenden physikalischen Größen ist keine Grundgröße im SI-System?a) Masseb) Längec) Kraftd) Zeite) alle Größen sind physikalische Grundgrößen
Am Ende einer Berechnung erhalten Sie m/s im Zähler und m/s2 im Nenner. Wie lautet die endgültige Maßeinheit?a) m2/s3
b) 1/sc) s3/m2
d) se) m/s
Richtig oder falsch?
a) Zwei physikalische Größen müssen die gleiche Dimension besitzen, um addiert werden zu können.
b) Zwei physikalische Größen müssen die gleiche Dimension besitzen, um multipliziert werden zu können.
Es gibt physikalische Größen, die durch einen Zahlenwert und eine Einheit vollständig charakterisiert sind, Skalare, und solche die zusätzlich die Angabe einer Richtung benötigen, Vektoren.
Richtig oder Falsch?
• Masse – Skalar ?• Volumen – Vektor ?• Geschwindigkeit – Vektor ?• Wellenlänge – Vektor ?• Temperatur – Skalar ?• Beschleunigung – Skalar ?• Kraft – Vektor ?• Impuls – Vektor ?
Ein senkrecht nach oben geworfener Gegenstand fällt zurück auf den Boden. Seine Flugzeit beträgt t und die erreichte Maximalhöhe h. Seine mittlere Geschwindigkeit für den gesamten Flug beträgt:a) h/tb) 0c) h/(2t)d) 2h/t
Die Kinematik der Massenpunkte:
Bewegungen eines Körpers:• als Ganzes durch den Raum• Drehbewegungen• Formveränderungen• seine Teile können Schwingungen gegeneinander ausführen
Wir betrachten den Fall:• Es interessiert nur die fortschreitende Bewegung.• Der Körper legt Entfernungen zurück, die groß verglichen mit seiner
Ausdehnung sind.
� Ersetzen den Körper durch die Modellvorstellung eines Massenpunktes!Idealisierung, die es in der realen Welt nicht gibt.
Eigenschaften des Massenpunktes:• keine Ausdehnung• Masse des Körpers soll im Massenpunkt vereinigt sein.
Vorteile:• Massenpunkt ist in einem Koordinatensystem einfach zu lokalisieren• Bewegung ist einfach• es gibt nur einen Angriffspunkt für Kräfte
v
t
v1
v2
Geschwindigkeit:
Gleichförmige Bewegung: Eine auf einer Geraden erfolgte Bewegung, bei der in beliebig großen, gleichen Zeitintervallen stets gleich große Wege zurückgelegt werden.
Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung: Einheit: m/st
sv
∆
∆=
rr
Weg - Zeit Diagramm Geschwindigkeits - Zeit Diagramm
t
s = v1.t
s=v2.t
v1
> v2
tvs ∆⋅=∆2
t∆
s
Mittlere Geschwindigkeit
in einem Intervall:
t
s
Weg - Zeit Diagramm der ungleichförmigen Bewegung:
t∆
t∆1
s∆
2s∆
t
smv
∆
∆=
rr
Momentangeschwindigkeit:.
0lim)( s
dt
sd
t
s
ttv
rrr
r==
∆
∆
→∆=
Geometrische Bedeutung:
Der Betrag der Momentangeschwindigkeit einer beliebigen Bewegung ist zu jeder Zeit gleich der Steigung der Tangente, die man an den zugehörigen Punkt des Weg-Zeit Diagramms zeichnen kann.
Mathematischer Einschub: Ableiten einer Funktion
Steigung der Sekante:
x
y
xxx
xfxxf
∆
∆=
−∆+
−∆+
00
00
)(
)()(
Differenzenquotient
Steigung im Punkt : 0x )(')(
)()(lim 0
00
00
0xf
xxx
xfxxf
x=
−∆+
−∆+
→∆
Definition der Ableitung (Differentialquotient erster Ordnung)
)(' xfdx
dyVerwendete Symbole: oder
Beispiel:
Ableitung der Funktion an der Stelle entsprechend der Definition der Ableitung.
3xy = 0x
3)( xxfy ==
x
xxx
xxx
xfxxfxf
xx ∆
−∆+=
−∆+
−∆+=
→∆→∆
3
0
3
0
000
00
00
)(lim
)(
)()(lim)('
x
xxxxxxxxf
x ∆
−∆+∆+∆+=
→∆
3
00
2
0
2
0
00
))(2(lim)('
x
xxxxxxxxxxxxf
x ∆
−∆+∆+∆+∆+∆+=
→∆
3
0
32
0
2
0
2
0
2
0
3
0
00
22lim)('
)33(lim33
lim)('2
0
2
00
32
0
2
0
00 xxxx
x
xxxxxxf
xx∆+∆+=
∆
∆+∆+∆=
→∆→∆
2
00 3)(' xxf =⇒
Einfacher: Rechenregeln für das Differenzieren von Funktionen n
xxf =)( )( Rn ∈ 1)('
−⋅= nxnxf⇒
xWeg - Zeit Diagramm eines Massenpunktes: x(t)
A
B
C D
t
Übung:
Welche Aussage ist richtig?
••• Der Massenpunkt bewegt sich nur in eine Richtung.• ist negativ
BA vv <0≈Cv
Dv
t
v = a2.t
v = a1.t
t
Gleichmäßig, geradlinig beschleunigte Bewegung:Bewegung, bei der der Geschwindigkeitsvektor nur seinen Betrag ändert und der Quotient aus der Geschwindigkeits-änderung und der dazu benötigten Zeit für beliebige Zeitintervalle konstant ist.
Beschleunigung:
Beschleunigte Bewegungen:
• Geschwindigkeitsbetrag nimmt zu (Alltagssprache)• Geschwindigkeitsbetrag nimmt ab• nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert sich
v∆ t∆
t
va
∆
∆=
rr
Einheit: m/s2
2
22
1tas = mv
v Fall: 0)0( ==tv
2
2
1
2
1
)(
tatvs
tav
tatv
m
m
⋅=⋅=⇒
⋅=⇒
⋅=⇒
2
0 0 0
2
1
''')'('
ats
dttadttvds
vdtds
s t t
=
⋅==
=
∫ ∫ ∫
oder:
t
v
t∆
t∆
v∆
v∆
Geradlinig, ungleichförmig beschleunigte Bewegung:
t
vma
∆
∆=
rr
..
2
2.
0lim)( s
dt
sd
dt
dt
sdd
vdt
vd
t
v
tta
rr
r
rrr
r=====
∆
∆
→∆=
Mittlere Beschleunigung pro Intervall:
Momentanbeschleunigung:
zez
yey
xex
ze
dt
zd
ye
dt
yd
xe
dt
xd
ze
dt
zdv
ye
dt
ydv
xe
dt
xdv
a
zez
yey
xex
ze
dt
dz
ye
dt
dy
xe
dt
dx
ze
zv
ye
yv
xe
xvv
zyxz
ezy
eyx
exs
rrrrrrrrrr
rrrrrrrrrr
rrrr
......
2
2
2
2
2
2
...
),,(
++=++=++=
++=++=++=
=++=
Vektoren:
Differentiation erfolgt komponentenweise!
m/s3=Svr
m/s4=Bvr
Beispiel: Vektor Geschwindigkeit
Bvr
Svr
Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Boot vom Ufer aus betrachtet?
m/s5/sm25)m/s3()m/s4(2222 ==+=v
=
v
vBarcsinα
Bvr
Svr
1.
α
vr
2.
=+=
=
=
0m/s
m/s4
m/s3
,
0m/s
m/s4
m/s0
,
0m/s
m/s0
m/s3
BSBS vvvvvrrrrr
x
y
z
m/s5/sm25)m/s3()m/s4(2222 ==+=v
Übungen:
Kann der Betrag einer Ortsverschiebung eines Massenpunktes
• gleich der entlang seiner tatsächlichen Bahn zurückgelegten Strecke sein?
• größer als die entlang seiner tatsächlichen Bahn zurückgelegten Strecke sein?
• kleiner als die entlang seiner tatsächlichen Bahn zurückgelegten Strecke sein?
Richtig oder Falsch?
• Der Betrag der Summe zweier Vektoren muss größer als der Betrag jedes einzelnen Vektors sein.
• Ein Nullvektor kann eine Komponente ungleich Null besitzen!
Verschiedene Bewegungsarten von Massenpunkten:
1. Gleichförmige BewegungDer Geschwindigkeitsvektor ist unveränderlich, Betrag und Richtung sind konstant, es tritt keine Beschleunigung auf.
2.Ungleichförmige oder beschleunigte Bewegung
Fall A: Der Geschwindigkeitsvektor ändert nur seinen Betrag. Es treten nur Bahnbeschleunigungen auf. Beispiel: Freier Fall, schiefe Ebene, vertikaler Wurf
Fall B: Der Geschwindigkeitsvektor ändert nur seine Richtung. Es treten nur Radialbeschleunigungen auf.Beispiel: Kreisbewegung
Fall C: Der Geschwindigkeitsvektor ändert seinen Betrag und seine Richtung. Es treten Bahnbeschleunigungen und Radialbeschleunigungen auf. Beispiele: horizontaler und schiefer Wurf
Beispiele für geradlinig beschleunigte Bewegungen: 1. Freier Fall
Alltagserfahrungen:• Alle Körper fallen zu Boden.• Ein Apfel fällt schneller vom Baum als ein Blatt.• Im Wasser fallen Körper langsamer als in Luft, wenn überhaupt.
Galileo Galilei (1562 – 1642):
Werden störende Einflüsse ausgeschaltet hängt die Beschleunigung, die ein Körper erfährt nicht von seiner Größe, Masse oder Form ab.
Die Fallbeschleunigung g ist für alle Körper dieselbe!
Näherungswert für g nahe der Erdoberfläche: 2m/s81,9≈g
h
s
g
2. Reibungsfreies Gleiten auf einer geneigten Ebene:
αα
αsing
αcosg
Konstante Beschleunigung:
Es gilt:
αsinga =
sgv
tgs
tgtav
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=⋅=
α
α
α
sin2
2sin2
1
sin Sonderfall: °=90α
sh =⇒=⇒ 1sinα
ghv 2=Endgeschwindigkeit:
3. Der vertikale Wurf
Ein Körper wird mit der Anfangsgeschwindigkeit vertikal nach unten oder nach oben geworfen.
Beschreibung als Überlagerung von zwei unabhängigen Teilbewegungen:
• Einer auf- oder abwärts gerichteten gleichförmigen Bewegung mit der konstanten Geschwindigkeit .
• Einer abwärts gerichteten, gleichmäßig beschleunigten Fallbewegung mit der Beschleunigung g.
0v
2
2
1
0)(,
0)( gttvtsgtvtv +=+=
2
2
1
0)(
0)(
gttvts
gtvtv
−=
−=
Wurf nach unten:
Wurf nach oben: Steigzeit : st
g
v
st
sgtvtv
0
00)(
=⇒
−==
g
v
g
vg
g
vH
sts
2
20
2
20
2
120)( =−==
Maximale Steighöhe:
Übung:
Ein Porsche beschleunigt gleichförmig von 80,5 km/h bei t=0 auf 113 km/h bei t = 9s. Welches Diagramm in der Abbildung beschreibt die Bewegung des Autos am besten?
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
a b c
d e f
mit folgt:
Betrag der Bahngeschwindigkeit:
Bewegung auf einem Kreis, bei der in beliebig großen, gleichen Zeitintervallen stets gleich lange Wege auf dem Kreis zurückgelegt werden.
Beispiel bei dem nur eine Radialbeschleunigung auftritt: Die gleichmäßige Kreisbewegung
t∆s∆
r
M
A2
A1
1vr
2vr
ϕ∆
s∆ ϕ∆⋅=∆ rs ωϕ
rt
rv =
∆
∆⋅=
Allgemein gilt: rvrrr
×=ω
t
sv
∆
∆=
Der Beschleunigungsvektor ist bei der gleichmäßigen Kreisbewegung stets zum Kreismittelpunkt gerichtet.
Normal- oder Zentripetalbeschleunigung: rar
vr
rar
M
:ωr
Winkelgeschwindigkeit
Einheit: rad/s
A B
CD
Betrag von : rar
tv ∆⋅Überlagerung von zwei Teilbewegungen:
AB =
AC =
Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke:
CD2 = AC . CE
einsetzen ergibt:
2
2
1tra ∆
tv ∆⋅
2
2
1tra ∆
( )
∆−⋅∆=∆⋅ 2
2
122
2
12 tr
artratv
22
4
12t
rar
rav ∆−=⇒
Dies gilt umso genauer, je kleiner ist. Für gilt: t∆ 0→∆t rr
av =2
rr
var
22
ω==
Weitere wichtige Größen zur Beschreibung einer Drehbewegung:
t
n=υ
n: Anzahl der Umdrehungen
t: Zeit für n Umdrehungen
Einheit: 1/s = 1 HzFrequenz:
Periodendauer:υ
1=T
Zusammenhang zwischen und :υ ω
Betrag der Bahngeschwindigkeit: rrT
r
t
sv ωυπ
π===
∆
∆= 2
2
πυω 2=⇒ „Kreisfrequenz“
Weitere Beispiele für beschleunigte Bewegungen:
1. Der horizontale Wurf0vr
Beschreibung als zwei unabhängige Teilbewegungen:• Eine entlang der x-Achse verlaufende gleichförmige Bewegung mit
konstanter Geschwindigkeit
• Eine entlang der y-Achse verlaufende gleichmäßig beschleunigte Fallbewegung mit der konstanten Beschleunigung g.
0v
x
y
Geschwindigkeit des Körpers zur Zeit t : vr
tgvvvv yx
rrrrr+=+= 0
222
0 tgvv +=
In der Zeit t zurückgelegte Wege: 2
02
1, gtytvx ==
Zeit t eliminieren: 2
2
0
2
0 22
1)( x
v
g
v
xgxy =
=
x
y
Parabel
2. Der schiefe Wurf
x
y
0vr
α
xv0
yv0
yx
yyxxyx
egtvevtv
egtvevtvvtvrrr
rrrrr
⋅−⋅+⋅⋅=
⋅−+⋅=+=
)sin(cos)(
)()()(
00
00
αα
2
0
2
0 )sin()cos()( gtvvtv −⋅+⋅= αα
)2
1sin()(
cos)(
2
0
0
gttvty
tvtx
−⋅⋅=
⋅⋅=
α
α
2
22
0
2
00
0
cos2tan)(
cos2
1
cossin)(
xv
gxxy
v
xg
v
xvxy
αα
ααα
−⋅=
−⋅⋅=
Bahnkurve:
α
y
x
Wurfweite:
g
v
g
vx
xy
ααα 2sinsincos2
0)(
2
0
2
0 ==⇒
=
g
vtgtvv ssy
αα
sin0sin0 0
0
⋅=⇒=−⋅⇒=
Steigzeit:
Wurfhöhe: g
v
g
vg
g
vvhty S
αααα
22
0
22
0
2
00max
sin
2
1)
sin
2
1sinsin()( =
−⋅⋅==
Übung
Ein Geschoss wird unter einem Winkel von 35°gegenüber der Horizontalenabgefeuert. Im höchsten Punkt seiner Bahn beträgt seine Geschwindigkeit200 m/s. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.
Die horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit betrug:
• 0 m/s
• 200 m/s cos35°
• 200 m/s sin35°
• 200 m/s
• 200 m/s / (cos35°)