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CAS Standards
eine interessante Herausforderung
Dr. Helmut Heugl
und
Standards für Mathematikam Ende der Sekundarstufe I
Version 080504Mai 2004
Bundesministerium fürBildung, Wissenschaft und Kultur
in Zusammenarbeitmit der
Zukunftskommission
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Wozu Standards?
– Wir haben
doch Lehrpläne!
Wozu Standards? –
Wir haben doch unsere
Leistungsbeurteilung!
Heugl
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Standards
Teil 1:
Heugl
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Standards wozu? – Einsatzbereiche
Standards als Beitrag zur internationalenVergleichbarkeit und Durchlässigkeit derBildungssysteme.
Standards als Bildungsauftrag der Gesellschaft an dieSchule
Standards als Grundlage der Systemevaluation.
Standards als Grundlage für die Qualitätsevaluationeinzelner Schulen
Standards zur Selbstevaluation für Schüler und Lehrer
Standards als ein Instrument der Berechtigungsvergabe
Heugl
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Begriffsklärung II
Inhaltsbezogene Standardssind Vorgaben über Inhalte und zugeordnete Ziele. Diese Rolle erfüllen überwiegend die Lehrpläne/Rahmenpläne.
Produktorientierte Standards Leistungsstandardsbeschreiben wesentliche Kompetenzen, über die die Schüler zu einem bestimmten Zeitpunkt verfügen sollen.
Standards für den Unterrichtsprozesssind Vorgaben zum Prozess, also Maßnahmen zur Erreichung der geforderten Schülerkompetenz.
Heugl
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Begriffsklärung III
Minimalstandards möglichst alle Lernenden sollen sie erreichen
Regelstandards sollen für durchschnittliche Schüler erreichbar sein
Maximalstandards drücken einen Idealzustand aus
Heugl
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Arten von Standards Vorgaben bezogen auf
Minimales -langfristigVerfügbares
Minimalstandards
Erwartetes
Regelstandards
Ideales
Idealstandards
Inhaltsbezogene Standards
Leistungsstandards
produktorientierteStandards
Standards für den Unterrichtsprozess
prozessorientierte
Standards
Kerncurriculum
PISA-Studie
NCTM-Standards
Heugl
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Derzeitiger Stand in Österreich Vorgaben bezogen auf
Minimales -langfristigVerfügbares
Minimalstandards
Erwartetes
Regelstandards
Ideales
Idealstandards
Inhaltsbezogene Standards
Leistungsstandards
produktorientierteStandards
Standards für den Unterrichtsprozess
prozessorientierte
Standards
Bildungsstandards
Regelstandards
Heugl
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Eigenschaften eines Kompetenzmodells IGrundlage ist ein bestimmtes Bild,
eine bestimmte Rolle der Mathematik:
Mathematik Technik des Problemlösens durch Schließen3 Phasen des Problemlöseprozesses: Modellieren – Operieren - Interpretieren
Mathematik als SpracheDie Schüler sollen 3 Arten von Sprachen lernen:die Muttersprache – Fremdsprachen - Mathematik
Mathematik als DenktechnologieExperimentieren, Analogisieren, Generalisieren, Spezialisieren; logisches Schließen; Argumentieren, Begründen; Dokumentieren, Präsentieren, usw.
Heugl
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Eigenschaften eines KompetenzmodellsTeildimensionen innerhalb des Fachbereiches
und unterschiedliche Niveaustufen
Inhaltliche mathematische Kompetenzen
Allgemeine mathematische Kompetenzen
Die Komplexität
Heugl
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Dimension 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen
A1 Modellbilden, Darstellen
A2 Operieren, Rechnen
A3 Interpretieren und Dokumentieren
A4 Argumentieren und Begründen
Heugl
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Dimension 2: Inhaltliche mathematische Kompetenzen
Arbeiten mit Zahlen und Maßen
Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten
Arbeiten mit Figuren und Körpern
Arbeiten mit statistische Kenngrößen und Darstellungen
Heugl
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Dimension 3: Die Komplexitätsdimension („complexity“)
Niveau I - geringe Komplexität Grundkompetenzen, einfache Grundbausteine
Niveau II – mittlere Komplexität einfache Verknüpfung von Grundkompetenzen
Niveau III – höhere Komplexität komplexe Verknüpfung von Grundkompetenzen
Heugl
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Mathematische Grundbildung zeigt sich erst dann, wenn Schülerinnen undSchüler in wechselnden Zusammenhängen und Situationen prozessbezogene(d.h. handlungsbezogene) Kompetenzen aktivieren und dabei auf inhaltliche Kompetenzen zurückgreifen können.[siehe: Kernlehrplan Mathematikunterricht, Sek I, Nordrhein-Westfalen]
Prozessbezogene(handlungsbezogene)
Kompetenzen
InhaltsbezogeneKompetenzen
Heugl
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content
performance
complexity
Level I
Level II
Level III
A1:
Mod
ellie
ren
A2:
Ope
rier
enA
3: I
nter
pret
iere
nA
4: A
rgum
entie
ren
Zahlen und Maße: B1
Variablen und funkt. Abh: B2.
Figuren und Körper: B3
Statistische Kenngr. u. Darst.: B4
(A2,B2)
(A3,B2)
(A4,B2)
(A1,B2)
Heugl
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Standards – formuliert als „ich kann…“-Statements
A
allgemeine mathematische Kompetenzen
B
inhaltliche mathematische Kompetenzen
A4: Argumentieren und Begründen
A4.1 Ich kann die Entscheidung für eine bestimmte Lösung begründen.
A4.2 Ich kann begründen, warum etwas falsch ist.
A4.3 Ich kann durch Probieren zu einer Vermutung kommen und diese begründen.●●
B1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen
B1.1 Ich kann Zahlen den verschiedenen Zahlenbereichen zuordnen.
B1.6 Ich kann Prozentrechnen.
B1.8 Ich kann Maßeinheiten umwandeln.
●●
Heugl
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Modellieren Operieren ArgumentierenInterpretieren
Niveau I
Niveau II
Niveau III
Anforderungsstufen so, dass man über schwächer Schülerauch positive Aussage machen kann Heugl
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Bandbreite innerhalb der Komplexitätsbereiche
Aufgabe: Bevölkerungsstatistik
Stelle die Einwohnerzahlen folgender österreichischer Bundesländer mit einem Balkendiagramm dar:
Bundesland Einwohnerzahl
Burgenland 200.000
Wien 1 600 000
Oberösterreich 1 400 000
Steiermark 1 200 000
Niederösterreich 1 500 000EW
100000 EW
0Burgenland Oberösterreich Niederösterreich
Wien Steiermark
Aufgabe: Bevölkerungsstatistik
Stelle die Einwohnerzahlen folgender österreichischer Bundesländer grafisch dar:
Bundesland Einwohnerzahl
Burgenland 228 000
Wien 1 609 000
Oberösterreich 1 380 000
Steiermark 1 202 000
Niederösterreich 1 542 000
Heugl
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Standards Kompetenzen
Weinert:Unter Kompetenzen versteht man kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten….
Bildungsstandards sind fachbezogen
Sie sollen die Kernideen des Faches herausarbeiten, um Lehren und Lernen zu fokussieren.
Zu den Kernideen gehören:grundlegende Begriffsvorstellungen,die damit verbundenen Denkoperationen und Verfahren,das ihnen zuzuordnende Grundlagenwissen
Bildungsstandards für allgemeinere, fächerübergreifende Kompetenzen:
MethodenkompetenzSozialkompetenzPersonalkompetenz
Fachliches Lernen ist nur Mittel zum Zweck der allgemeinen Schlüsselqualifikationen.
Kompetenz Disposition, die Personen befähigt, bestimmte Arten von Problemen zu erfolgreich lösen
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Überfachliche Kompetenzen (C)
Standards C1: Autonomes Lernen C1.1 Ich lerne regelmäßig mit (auch wenn keine Schularbeiten angesetzt sind).C1.3 Ich überlege mir, wie der neue Stoff mit dem zusammenhängt, was ich bereits weiß.C1.5 Wenn ich etwas nicht kann oder nicht verstanden habe, suche ich zusätzlich Informationen, um das Problem zu lösen.
Standards C2: Kooperatives Handeln C2.1 Ich arbeite bei Gruppenarbeiten aktiv mit.C2.3 Ich bin bereit in einer Gruppe Verantwortung zu übernehmen.C2.7 Ich vertrete meine Meinung in der Gruppe.
Standards C3: Kritisches Denken und Reflektieren C3.1 Bevor ich ich mir eine Meinung bilde, hole ich Informationen ein.C3.3 Ich unterscheide zwischen Meinungen und Fakten.
Standards C4: Arbeitstechniken, MethodenkompetenzenC4.2 Ich kann mir gezielt Informationen aus Bibliotheken beschaffen. C4.3 Ich kann mir gezielt Informationen aus dem Internet beschaffen. C4.5 Ich kann die ausgewählten Informationen mit eigenen Worten zusammenfassen.
Heugl
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Aufgabe als Beispiel für überfachliche Standards: „Zeit für Schule“Aufgabenstellung: Setzt Euch mit den Äußerungen der Schülerinnen und Schüler auseinander!
Standards für den mittleren BildungsabschlussDeutschland, Dezember 2003 Heugl
![Page 22: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/22.jpg)
Ein Vergleich mit DeutschlandBildungsstandards
für den mittleren Schulabschluss (Jahrgangsstufe 10)in Deutschland
www.kmk.org/aktuell/home1.html
Bildungsauftrag des Faches
Kompetenzmodell mit verschiedenen Anspruchsniveaus
Kompetenzen beziehen sich auf den Kernbereich des jeweiligen Fachesund weisen ein mittleres Anforderungsniveau aus
Konkretisierung durch Aufgabenbeispiele
Heugl
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Mathematik:Zwei fachliche Dimensionen – drei AnforderungsniveausFachliche Dimensionen:
Dimension 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen•Mathematisch argumentieren (K1)•Probleme mathematisch lösen (K2)•Mathematisch modellieren (K3)•Mathematische Darstellungen verwenden (K4)•Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik
umgehen können (K5)•Kommunizieren (K6)
Dimension 2: Inhaltsbezogene Kompetenzen geordnet nach mathematischen Leitideen
•Zahl (L1)•Messen (L2)•Raum und Form (L3)•Funktionaler Zusammenhang (L4)•Daten und Zufall (L5)
Heugl
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NCTM Standardshttp://www.nctm.org/standards/
The Standards for school mathematics describe the mathematical understanding, knowledge, and skills that students should acquire from prekindergarten through grade 12.Realizing the VisionPrinciples and Standards for School Mathematics acknowledges that there are significant challenges in realizing the vision for improving mathematics education. For example ….
2 subject oriented Dimensions
Content standards
Process standards
Heugl
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Content standards
Number and Operations
Algebra
Geometry
Measurement
Data Analysis and Probability
Heugl
![Page 26: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/26.jpg)
Process standards
Problem Solving
Reasoning and Proof
Communication
Connections
Representation
Heugl
![Page 27: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/27.jpg)
CAS und Standards
Teil 2:
Veränderungen bei der Rolle der Mathematik
Veränderungen beim Kompetenzmodellund bei den Standards
Veränderungen bei den Aufgaben
Heugl
![Page 28: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/28.jpg)
Der Einfluss von CAS auf das Lehren und Lernen
Der Unterricht wird schülerzentrierter und experimenteller
Wir beobachten eine Schwerpunktsverschiebung vom Operierenhin zum Modellbilden und Interpretieren
Es kommt zu einer Verschiebung der Tätigkeit vom Ausführenzum Planen
Der Unterricht wird anwendungsorientierter
Das Werkzeug CAS unterstützt nicht nur Kognition,es wird zu einem Teil der Kognition
Heugl
![Page 29: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/29.jpg)
Mathematik Technik des Problemlösens durch Schließensiehe Dimension 1: Mathematische Handlungskompetenzen
Mathematik als Sprache-Direktere Übersetzung von der Muttersprache in die Sprache der Mathematik-Neue Sprachelemente
Mathematik als DenktechnologieDas Werkzeug CAS unterstützt nicht nur Kognition, es wird zu einem Teil der Kognition
-Modulares Denken-„Window-Shuttle-Prinzip“
Heugl
Veränderungen bei der Rolle der Mathematik
![Page 30: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/30.jpg)
Dimension 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen - mathematische Handlungskompetenzen
A1 Modellbilden, Darstellen
A2 Operieren, Rechnen
A3 Interpretieren und Dokumentieren
A4 Argumentieren und Begründen
Veränderungen beim Kompetenzmodellund bei den Standards
Heugl
![Page 31: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/31.jpg)
A1 Modellbilden, Darstellen
(1) Ein größeres Angebot an Modellen und Darstellungen
(2) Eine direktere Übersetzung von der Alltagssprache in dieSprache der Mathematik
(4) Eine besondere Stärkung der Visualisierungskompetenz
(5) Eine erhöhte modulare Kompetenz
(3) Parallele Verfügbarkeit verschiedener Prototypen eines Modells
Heugl
![Page 32: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/32.jpg)
Übersetzung Phase 1: Wortformel„was passiert jedes Jahr?“
Das Kapital wird verzinstund die Rate wird abgezogen
Kneu = Kalt.(1+p/100) - R
Übersetzung Phase 2: Mathem. Sprache Rekursives Modell
Problem: Schuldentilgung durch Ratenzahlung
Zu (2) Eine direktere Übersetzung von der Alltagssprache in dieSprache der Mathematik
Heugl
![Page 33: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/33.jpg)
Problem: Schuldentilgung durch Ratenzahlung
Heugl
![Page 34: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/34.jpg)
Tabelle
Wortformel
Graph
TermRekursives Modell
Programm
Zu (1) und (3)Ein größeres Angebot an Modellen und DarstellungenParallele Verfügbarkeit verschiedener Prototypen eines Modells
Heugl
![Page 35: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/35.jpg)
Tabelle
Wortformel
Graph
TermRekursives Modell
Programm
Prototypen von Funktionen
Heugl
![Page 36: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/36.jpg)
Operieren
A2.1 Strukturerkennungskompetenz
A2.2 (Hand)kalkülkompetenz
A2.3 Werkzeugkompetenz
A2.4 Testkompetenz
Die Handlungsdimension des Operierens beinhaltet die Fähigkeit eines Individuums, einen gegebenen Kalkül in konkreten Situationen zielgerichtet anwenden zu können [Hischer, 1995].
A2 Operieren, Rechnen
Heugl
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A2.1 Strukturerkennungskompetenz
CAS und Standards
Strukurerkennung ist nötig:
bei der Eingabe eines Ausdrucks
bei der Auswahl der passenden Operation
bei der Überprüfung und Interpretation von Ergebnissen
beim Vergleich verschiedener Ergebnisse einer Aufgabe
Heugl
![Page 38: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/38.jpg)
Heugl
![Page 39: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/39.jpg)
A2.2 (Hand)kalkülkompetenz
Instrumental Understanding:Die Nutzung von mathematischen Regeln ohne notwendigerweise zu wissen, warum die Regel gilt.
2 Arten von „Verstehen“ (nach Skemp):
Relational Understanding:Die Fähigkeit, Regeln herzuleiten, zu begründen und anzuwenden. Regeln als Teil eines Netzwerks von Begriffen und Beziehungen zwischen Begriffen zu verstehen.Wissen, WIE es geht und WARUM
CAS Kalkülkompetenz
Schwerpunktsverschiebung:
Instrumental Understanding
Relational Understanding
WerkzeugkompetenzHeugl
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-T (ohne Technolgie) ?T +T (mit Technologie)
a – (b+3) (5+p)2 3a2(5a-2b)
(3+a)(b-7) (a2-3b)(-3a+5b2)
(a+b)2 (5+p)2 (3x-5y)2
3ab+6ac 3x3y+6x2y2
x2-4 x2+4x+4 x2-x-6
Handkalkülkompetenz
Herget: „Wieviel Termumformungen braucht der Mensch?“
Herget, Heugl, Kutzler, Lehmann
Heugl
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A3 Interpretieren und DokumentierenA3.1 Ich kann mathematische Begriffe und mathematische Darstellungen eines Sachverhalts im jeweiligen inner- oder außermathematischen Kontext interpretieren.
A3.2 Ich kann (Rechen-)Ergebnisse im jeweiligen inner- oder außermathematischen Kontext interpretieren.
A3.3 Ich kann die Angemessenheit und Brauchbarkeit eines mathematischen Modells oder einer mathematischen Darstellung im Hinblick auf die vorgegebene Problemstellung beurteilen.
A3.4 Ich kann die Korrektheit mathematischer Darstellungen und Lösungswege einschätzen bzw. Fehler erkennen.
A3.5 Ich kann den Lösungsweg einer Aufgabe beschreiben.
A3.6 Ich kann eine zur Problemstellung und zum verwendeten Lösungsmodell passende Antwort formulieren.
A3.7 Ich kann Darstellungen des technischen Hilfsmittels interpretieren
Heugl
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A4.1 Ich kenne die mathematische Fachsprache und kann sie korrekt verwenden.
A4.2 Ich kenne mathematische Begriffe, Zusammenhänge (Sätze, Formeln) und Verfahren und kann sie erklären.
A4.3 Ich kann meine Entscheidung für die Verwendung eines bestimmten mathematischen Modells bzw. eines bestimmten Lösungsweges, für eine bestimmte Darstellung oder auch für die Auswahl einer bestimmten Lösung begründen.
A4.4 Ich kann einzelne Rechenschritte begründen wie auch begründen, warum ein Rechenschritt bzw. eine bestimmte mathematische Argumentation falsch ist.
A4.5 Ich kann mathematische Zusammenhänge plausibel begründen, herleiten oder auch beweisen.
A4.6 Ich kann Annahmen und Voraussetzungen, die meiner Argumentation zugrunde liegen, benennen, erklären und begründen.
A4.6 Ich kann Darstellungen und Ergebnisse des technischen Hilfsmittels begründen
A4 Argumentieren und Begründen
CAS und Standards Heugl
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(1) Derzeitige ACDCA –Aktivitäten
Analysieren der derzeitigen Standardaufgaben-Aufgaben CAS-neutral-Aufgaben mit Vorteilen für „CAS-Schüler“-Aufgaben mit Nacheilen für „CAS-Schüler“
Entwickeln CAS-spezifischer Standardaufgaben
Veränderungen bei den Aufgaben
Heugl
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(2) Klassifikation von Aufgaben durch eine internationale Expertengruppe(Belgien, Dänemark, Schottland, Schweiz, Österreich)
C0 Aufgaben, bei denen CAS keine wesentliche Hilfe darstellen
C1 Aufgaben, die mit Hilfe von CAS wesentlich schneller gelöst werden können oder trivialisiert werden
C2 Aufgaben, welche die Werkzeugkompetenz testen
C3 Traditionelle Aufgaben, die durch die Nutzung von CAS ausgeweitet werden (Verallgemeinerung, Einfluss von Parametern usw.
C4 Aufgaben, die nur mit Hilfe von CAS gelöst werden können
Heugl
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Aufgabe 1 „traditionell“ (C0):Die folgende Tabelle gibt Aufschluss über das Wachstum der Weltbevölkerungbeginnend bei 1950 (Zeitpunkt 0) bis 1990 (Zeitpunkt 40). (Die freien Spalten sollen im Zuge der Rechnung von Dir ausgefüllt und das Ergebnis interpretiert werden!)
Weltbevölkerung in Millionen
Jahre Erhobener Wert Exponentielle Näherung
Lineare Näherung
1950 (0)
2516
1960 (10)
3019
1970 (20)
3693
1980 (30)
4449
1990 (40)
5321
Heugl
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Teil 1: Unter Annahme eines exponentiellen Wachstums ermittelte man die Näherungsformel:
N(t) = 2515,64 . 1,019t ( t in Jahren, 1950 entspricht t = 0)(a) Errechne mit Hilfe der angegebenen Formel die Bevölkerungszahlen für 1950 bis 1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein!(b) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten
sein?(c) Wann hätte sich die Weltbevölkerung verdoppelt?(d) Welche jährliche Wachstumsrate lässt sich angeben?
Teil 2: Unter Annahme eines linearen Wachstums ermittelte man die Näherungsformel:
N(t) = 70,4 t + 2391,6(a) Errechne mit Hilfe der angegebenen Formel die Bevölkerungszahlen für 1950 bis1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein!(b) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten sein?(c) Wann hätte sich nach diesem Modell die Weltbevölkerung bezogen auf 1990 verdoppelt?(d) Welcher jährliche Zuwachs lässt sich angeben?
Heugl
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Lösungen und Bemerkungen allg.Komp. fachl.Komp. Kompl.Level
Teil 1: a) O L1
b) O L1
c) M, O L2
d) M, O L3
Teil 2: a) O L1
b) O L1
c) M, O L2
d) M, O L3
Klassifikation
Heugl
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Aufgabe 1 für CAS-SchülerInnen (C4):Die folgende Tabelle gibt Aufschluss über das Wachstum der Weltbevölkerungbeginnend bei 1950 (Zeitpunkt 0) bis 1990 (Zeitpunkt 40). (Die freien Spalten sollen im Zuge der Rechnung von Dir ausgefüllt und das Ergebnis interpretiert werden!)
Weltbevölkerung in Millionen
Jahre Erhobener Wert Exponentielle Näherung
Lineare Näherung
1950 (0)
2516
1960 (10)
3019
1970 (20)
3693
1980 (30)
4449
1990 (40)
5321
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Teil 1:(a) Ermittle unter Annahme eines exponentiellen Wachstums eine möglichst gute Näherungsformel.(b) Errechne mit Hilfe der ermittelten Formel die Bevölkerungszahlen für 1950
bis 1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein!(c) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten
sein?(d) Wann hätte sich die Weltbevölkerung verdoppelt?(e) Welche jährliche Wachstumsrate lässt sich angeben?
Teil 2: (a) Ermittle unter Annahme eines linearen Wachstums eine möglichst gute Näherungsformel.(b) Errechne mit Hilfe der ermittelten Formel die Bevölkerungszahlen für 1950 bis1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein!(c) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten sein?(d) Wann hätte sich nach diesem Modell die Weltbevölkerung bezogen auf 1990 verdoppelt?(e) Welcher jährliche Zuwachs lässt sich angeben?
Heugl
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Lösungen und Bemerkungen allg.Komp. fachl.K. Kompl.Level
Teil 1: a) A2_W L2
b) A2_K L1
c) A2_K L1
d) A1, A2_K L2
e) A1, A2_K L3
Teil 2: a) A2_W L2
b) A2_K L1
c) A2_K L1
d) A1, A2_K L2
e) A1, A2_K L3
Klassifikation
Heugl
![Page 51: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/51.jpg)
Aufgabe 2 „traditionell“ (C2):Gegeben ist die Hyperbel 9x2 – 16y2 = 144 .
(a) Stelle die Gleichungen der Asymptoten auf!(b) Zeige: Die Asymptoten haben keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!)(c) Jede zu einer Asymptoten parallele Gerade hat genau einen Schnittpunkt. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!)(d) Erkläre allgemein, wie viele Punkte eine Gerade mit einer Hyperbel gemeinsam haben kann, und begründe dies!
Aufgabe 2 für CAS-SchülerInnen (C3):Gegeben ist die Hyperbel b²x2 – a²y2 = a²b² .
(a) Stelle die Gleichungen der Asymptoten auf!(b) Zeige: Die Asymptoten haben keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!)(c) Jede zu einer Asymptoten parallele Gerade hat genau einen Schnittpunkt. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!)(d) Erkläre allgemein, wie viele Punkte eine Gerade mit einer Hyperbel gemeinsam haben kann, und begründe dies!
Heugl
![Page 52: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/52.jpg)
(3) Klassenarbeiten mit Computeralgebrain der Sekundarstufe 1Eberhard Lehmann
Aufgabe 3 (C1):3.1 In der Abbildung sind drei Geraden zu sehen. Rekonstruiere die
Abbildung mit deinem CAS und dokumentiere den Arbeitsweg
3.2 Was hat diese Abbildung mit Thema „Lösen linearerGleichungssysteme“ zu tun?
A1, A2_W, A3
A4
Heugl
![Page 53: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/53.jpg)
Aufgabe 4 (C1):(Lehmann)Erkläre die drei Rechnungen, die der „voyage2000“ automatischdurchgeführt hat , indem du die Zwischenschritte aufschreibst.
A2_W, A2_K, A4
Heugl
![Page 54: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/54.jpg)
Aufgabe 5 (C1):(Lehmann)Der folgende Graph ist mit dem „voyage2000“ aus 6 verschiedenenFunktionen erstellt worden
(a) Gib die Funktionsgleichungen an und ordne jedem Teil des Graphen die entsprechende Funktion zu.
(b) Warum kann dieses Bild nicht nur aus 4 Funktionsgraphen erzeugt werden?
A1, A2_W
A4
Heugl
![Page 55: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/55.jpg)
Aufgabe 6 (C4):(Lehmann)Erkläre den Bildschirmausdruck (Hinweis: Es ist günstig, eine Zeilenach der anderen genau zu erklären)
A1_modK, A4
Heugl
![Page 56: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/56.jpg)
Variante 1: Ohne Technologie (C1)Consider the real function f defined by
• Determine the zeros of f • Determine the intervals where f is increasing / decreasing. • Draw the graph of f , and determine the range.• A region M in the fourth quadrant is bounded by the graph of the function f and the x-axis.• Calculate, using anti-derivatives, the area of M.• Use integration to calculate the volume of the solid of revolution generated by the rotation of M around the x-axis.
( ) 2 , 0 .f x x x x
Aufgabe 8: Dänische Abituraufgaben
Variante 2: Mit CAS (C3)Consider a family of real functions where the parameter a is a positive number.
• Determine the zeros of f2 and the intervals where f2 is decreasing / increasing.• Draw the graph of the function f2 and determine the range of the function. •A region Ma in the fourth quadrant is bounded by the graph of fa and the x- axis.• Given that the area of Ma is Aa , and the volume of the solid of revolution generated by the rotation of Ma around the x-axis is Va .• Calculate Aa and Va .• Calculate a, such that Va = π.Aa
( ) , 0 ,af x x a x x
![Page 57: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/57.jpg)
Aufgabe 9 (C4):J. BöhmKosten und Erlös bestimmen den Gewinn [Böhm, J.; 1998]
Die Analyse der Produktionskosten K für ein bestimmtes Produkt ergab für unterschiedliche Produktionsmengen x die folgenden Gesamtkosten:
Menge 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Kosten 160 188 210 220 235 255 284 330 390
Der Produzent hat fast ein Monopol auf dieses Produkt, so stehen Verkaufspreis und abgesetzte Menge bzw. angebotene Menge in einem Zusammenhang, der durch die Nachfragefunktion p(x) beschrieben wird. Durch Marktforschung versucht man die Verkaufspreise p zu bestimmen, zu denen bestimmte Mengen x abgesetzt werden können.
Menge x 10 20 30 40 50
Preis p 18 14 10 7 4,5
A1, A2_W
![Page 58: CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version 080504 Mai 2004 Bundesministerium](https://reader038.vdokument.com/reader038/viewer/2022110305/55204d6249795902118b64d9/html5/thumbnails/58.jpg)
CAS Standards
eine interessante Herausforderung
und
Standards für Mathematikam Ende der Sekundarstufe I
Version 080504Mai 2004
Bundesministerium fürBildung, Wissenschaft und Kultur
in Zusammenarbeitmit der
Zukunftskommission