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Übersicht Motivation Das schwache Max/Min-Prinzip Das starke Max/Min-Prinzip
Maximumprinzip und Minimumprinzip
Daniela Rottenkolber
LMU München
Zillertal / 13.12.2012 16.12.2012
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Übersicht Motivation Das schwache Max/Min-Prinzip Das starke Max/Min-Prinzip
Übersicht
• Motivation mit Beispielen
• Schwaches Maximumprinzip
• Schwaches Minimumprinzip
• Starkes Maximumprinzip
• Starkes Minimumprinzip
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Beispiel im Eindimensionalen
• f : x 7−→ x2
x ∈]− R,R[ für ein R ∈ Ru′′(x) = 2 > 0=⇒ kein Maximum im Inneren=⇒ max
If = max
∂If
• f : x 7−→ −x2x ∈]− R,R[ für ein R ∈ Ru′′(x) = −2 < 0=⇒ kein Minimum im Inneren=⇒ min
If = min
∂If
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Beispiel im Zweidimensionalen
• u : (x , y) 7−→ x2 − y2 auf Br (M)4u = ∂2xu + ∂2yu = 2− 2 = 0=⇒ kein Maximum und kein Minimum im Inneren=⇒ max
Bu = max
∂Bu
=⇒ minB
u = min∂B
u
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Das schwache Maximumprinzip
Es soll gelten :(i)∑
ij |aij(x)|2 ≤ Λ2
(ii) aij(x)ξiξj ≥ λ | ξ2 | ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn
und für das schwache Maximumprinzip:u ∈W 1,2(Ω)Lu ≤ 0 auf Ω⇒ sup
Ωu ≤ sup
∂Ωu+
mit Lu = −Σij∂xi(aij (x)∂xj
u)
Ω ⊆ Rn
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Übersicht Motivation Das schwache Max/Min-Prinzip Das starke Max/Min-Prinzip
Beweis
Annahme : u ist lipschitz stetig
Lu : C∞07→ R es soll gelten Lu ≤ 0, also Lu = −Σij∂xi (aij(x)∂xju) ≤ 0
Wir multiplizieren Lu nun mit ϕ ∈W1,20
beliebig ,L(u, ϕ) = −Σij∂xi (aij(x)∂xju)ϕ ≤ 0
−Σij
∫Ω ∂xi (aij∂xju)ϕ dx = Σij
∫Ω(aij∂xju)∂xiϕ dx ≤ 0 ∀ϕ in W
1,20
Setze ϕ = max u − k , 0 und k = supδΩ
u+
⇒ ∂iϕ =
∂iu wenn u > k (ϕ 6= 0)0 wenn u ≤ k (ϕ = 0)
Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 6/14
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Übersicht Motivation Das schwache Max/Min-Prinzip Das starke Max/Min-Prinzip
Beweis
Annahme : u ist lipschitz stetig
Lu : C∞07→ R es soll gelten Lu ≤ 0, also Lu = −Σij∂xi (aij(x)∂xju) ≤ 0
Wir multiplizieren Lu nun mit ϕ ∈W1,20
beliebig ,L(u, ϕ) = −Σij∂xi (aij(x)∂xju)ϕ ≤ 0
−Σij
∫Ω ∂xi (aij∂xju)ϕ dx = Σij
∫Ω(aij∂xju)∂xiϕ dx ≤ 0 ∀ϕ in W
1,20
Setze ϕ = max u − k , 0 und k = supδΩ
u+
⇒ ∂iϕ =
∂iu wenn u > k (ϕ 6= 0)0 wenn u ≤ k (ϕ = 0)
Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 6/14
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Übersicht Motivation Das schwache Max/Min-Prinzip Das starke Max/Min-Prinzip
Beweis
Annahme : u ist lipschitz stetig
Lu : C∞07→ R es soll gelten Lu ≤ 0, also Lu = −Σij∂xi (aij(x)∂xju) ≤ 0
Wir multiplizieren Lu nun mit ϕ ∈W1,20
beliebig ,L(u, ϕ) = −Σij∂xi (aij(x)∂xju)ϕ ≤ 0
−Σij
∫Ω ∂xi (aij∂xju)ϕ dx = Σij
∫Ω(aij∂xju)∂xiϕ dx ≤ 0 ∀ϕ in W
1,20
Setze ϕ = max u − k , 0 und k = supδΩ
u+
⇒ ∂iϕ =
∂iu wenn u > k (ϕ 6= 0)0 wenn u ≤ k (ϕ = 0)
Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 6/14
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Beweis
⇒ Σij
∫Ω aij∂xju∂xiϕ dx = Σij
∫Ω∩u>k aij∂xju∂xiu dx ≤ 0
0 ≥ Σij
∫Ω∩u>k aij∂xju∂xiu dx ≥ λΣij
∫u>k | 5 u|2 ≥ 0
⇒ |5 u| = 0 fast uberall auf u > k ⇒ kein Supremum auf Ω⇒ sup
Ωu ≤ sup
∂Ωu+
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Übersicht Motivation Das schwache Max/Min-Prinzip Das starke Max/Min-Prinzip
Beweis
⇒ Σij
∫Ω aij∂xju∂xiϕ dx = Σij
∫Ω∩u>k aij∂xju∂xiu dx ≤ 0
0 ≥ Σij
∫Ω∩u>k aij∂xju∂xiu dx ≥ λΣij
∫u>k | 5 u|2 ≥ 0
⇒ |5 u| = 0 fast uberall auf u > k ⇒ kein Supremum auf Ω⇒ sup
Ωu ≤ sup
∂Ωu+
Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 7/14
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Übersicht Motivation Das schwache Max/Min-Prinzip Das starke Max/Min-Prinzip
Beweis
⇒ Σij
∫Ω aij∂xju∂xiϕ dx = Σij
∫Ω∩u>k aij∂xju∂xiu dx ≤ 0
0 ≥ Σij
∫Ω∩u>k aij∂xju∂xiu dx ≥ λΣij
∫u>k | 5 u|2 ≥ 0
⇒ |5 u| = 0 fast uberall auf u > k ⇒ kein Supremum auf Ω⇒ sup
Ωu ≤ sup
∂Ωu+
Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 7/14
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Übersicht Motivation Das schwache Max/Min-Prinzip Das starke Max/Min-Prinzip
Beweis
⇒ Σij
∫Ω aij∂xju∂xiϕ dx = Σij
∫Ω∩u>k aij∂xju∂xiu dx ≤ 0
0 ≥ Σij
∫Ω∩u>k aij∂xju∂xiu dx ≥ λΣij
∫u>k | 5 u|2 ≥ 0
⇒ |5 u| = 0 fast uberall auf u > k ⇒ kein Supremum auf Ω⇒ sup
Ωu ≤ sup
∂Ωu+
Daniela Rottenkolber Maximumprinzip und Minimumprinzip 7/14
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Das schwache Minimumprinzip
Es gelten die gleichen Voraussetzungen (i,ii)wie im schwachen Maximumprinzip.Auÿerdem soll gelten: u ∈W 1,2 (Ω)Lu ≥ 0 auf Ω⇒ inf
Ωu ≥ inf
∂Ωu−
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Beweis.
Wende das schwache Maximumprinzip auf L(−u) = −Lu ≤ 0 an,Wenn − Lu ≤ 0⇒ sup
Ω−u ≤ sup
∂Ω(−u)+
⇒ − infΩu ≤ − inf
∂Ωu−
⇒ infΩu ≥ inf
∂Ωu−
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Korollar der Eindeutigkeit:
Sei u ∈W1,20
(Ω) und Lu = 0 auf ΩDann gilt u = 0 auf Ω
Beweis.
Lu = 0⇒ supΩ
u = sup∂Ω
u+ ∧ infΩu = inf
∂Ωu−
Aber da u ∈W1,20
(Ω) sind die Randwerte gleich Null .⇒ u = 0 auf Ω
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Das starke Maximumprinzip
Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie beim schwachenMaximumprinzip (i,ii)
Theorem
F ur das starke Maximumprinzip gilt nun :u ∈W 1,2 (Ω) und Lu ≤ 0 auf ΩDann folgt aus : sup
B
u = supΩ
u ≥ 0
f ur einen Ball B ⊂ Ω⇒ u muss in Ω konstant sein
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Beweis.
Setze B = BR(y) o.B.d .A. sei B4R(y) ⊂ Ω.Sei M = sup
B
u und wende die schwache Harnack Ungleichheit
f ur die Subl osung v = (M − u)+ an
⇒ 0 ≤ R−n ∫
B2R(M − u)+dx ≤ C inf
B(M − u) = 0
u ≡ M auf BR und wir erhalten u ≡ M auf Ω
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Das starke Minimumprinzip
Es gelten die gleichen Voraussetzungen (i, ii) wie im starkenMaximumprinzip.Es sei u ∈ W 1,2(Ω) und Lu ≥ 0 auf ΩDann folgt aus:infBu = inf
Ωu ≤ 0 f ur einen Ball B ⊂ Ω
⇒ u muss auf Ω konstant sein
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