Download - Dem Zufall auf der Spur
D. Totaro & C. Spannagel
Dem Zufall auf der Spur…
Ausgewählte Kapitel der MathematikWintersemester 2012 / 2013
D. Totaro & C. Spannagel
D. Totaro & C. Spannagel
Was haben diese Sachen gemeinsam?
Röntgenstrahlen
Klettverschluss
Mikrowelle
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Serendipität
…bezeichnet eine zufällige Beobachtung von etwas ursprünglich nicht Gesuchtem, das sich als neue und überraschende Entdeckung erweist.
Vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Serendipit%C3%A4t, Bild by: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:CristobalColon.jpgBild by: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penicillin_cures_gonorrhea.jpgBild by: Pavel Krok: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Post-It.jpg&filetimestamp=20051031161232 - CC-BY-SA
D. Totaro & C. Spannagel
Welche großen Zufälle haben Sie schon erlebt?
D. Totaro & C. Spannagel
„Auch der Zufall ist nicht unergründlich, er hat eine Regelmäßigkeit.“ (Navalis 1797)
Aber welche???
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Laplace und statistische WahrscheinlichkeitMehrstufige Zufallsexperimente
Übersicht
D. Totaro & C. SpannagelBild by: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gambling-ca-1800.jpg
Ursprung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Untersuchung von Vorgängen mit zufälligen Ausgängen.
Eigenschaften eines Zufallsexperiments:
1. Alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorab bekannt.2. Das Ergebnis eines einzelnen Experiments kann nicht vorhergesagt werden (Zufälligkeit).3. Das Experiment kann unter identischen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.
Definition
http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsexperiment
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Ergebnismenge
Bild by Gaz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dice.jpg CC-BY-SABild by Alborzagros: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:1_EURO_RE-15.jpeg CC-BY-SABild by: Honina: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gl%C3%BCcksrad.PNG?uselang=de CC-BY-SA
=
=
=
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Ereignisse
Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge.
Bsp.: Würfeln mit einem Würfel
E1 =
Ein sicheres Ereignis ist E = Ein unmögliches Ereignis ist E =
=
Bild by Gaz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dice.jpg CC-BY-SA
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Laplace
Bild by: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pierre-Simon_Laplace.jpg
Wenn bei einem Zufallsexperiment alle Ergebnisse gleichberechtigt sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit P (E) für das
Ereignis E definiert durch
Anzahl der günstigen FälleAnzahl der möglichen Fälle
„Klassische Wahrscheinlichkeit“
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Berechnen der Wahrscheinlichkeiten für:…das Würfeln einer 6:
…das Würfeln einer 1 oder einer 6:P () = P ( P ( = + =
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
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Alle Würfelergebnisse sind gleichwahrscheinlich.
Aber werden sie auch gleich häufig gewürfelt?
Alle Würfelergebnisse sind gleichwahrscheinlich.
Aber werden sie auch gleich häufig gewürfelt?
Gesetz der großen Zahlen
D. Totaro & C. Spannagel
Ein Laplace-Experiment ist ein Experiment, bei dem die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit sinnvoll ist.
Laplace-Experiment
Bild by: Honina: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gl%C3%BCcksrad.PNG?uselang=de CC-BY-SA
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Welches sind Laplace-Experimente?
Würfeln mit zwei Würfeln und Addition der Augenzahlen. =
Werfen einer Münze (Kopf oder Zahl) =
Werfen einer Reißzwecke und dem Betrachten: Liegt auf dem Kopf oder auf der Seite =
Bild by Gaz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dice.jpg CC-BY-SABild by Alborzagros: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:1_EURO_RE-15.jpeg CC-BY-SABild by: Honina: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gl%C3%BCcksrad.PNG?uselang=de CC-BY-SABild by: Simon A. Eugster: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Thumbtacks_color.jpg&filetimestamp=20100622173445 CC-BY-SA
Drehen an diesem Glücksrad =
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Wie kann man die Wahrscheinlichkeit bei NICHT
Laplace- Experimenten berechnen?
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Liegt aufgrund einer Asymmetrie des Zufallsgenerators keiner Gleichverteilung vor, so kann man die relative Häufigkeit für das Ereignis A aus einer langen Versuchsreihe als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wählen:
P(A)=
Statistische Wahrscheinlichkeit
1
2
Anzahl der Versuche mit dem Ereignis AGesamtzahl n der Versuche
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Übersicht
Laplace und statistische WahrscheinlichkeitMehrstufige Zufallsexperimente
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…ist eine Hintereinanderausführung von endlich vielen Zufallsexperimenten mit Ergebnismengen 2,… n.
Die Ergebnismenge des mehrstufigen Zufallsexperiments ist die Produktmenge:
= 2 … n
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment
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BaumdiagrammIn einer Urne sind 10 Kugeln. Man zieht nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ergebnisse:
• Die erste Kugel ist blau.• Beide Kugeln haben die gleiche Farbe.• Die zweite Kugel ist rot oder weiß.• Die erste Kugel ist nicht weiß, und die zweite grün.