Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe IIAbleitung von Funktionen
Exaktifizierung des Ableitungsbegriffs – Zugänge und Umsetzungsmöglichkeiten in der Schule
• Anstieg einer Kurve in einem Punkt/ Tangentenproblem
• Änderungsrate einer Funktion
• Lineare Approximation
Neumann/Rodner 1
Zugang: Tangentenproblem
Funktion f sei in einem Intervall
]a, b[ definiert;
Anstieg der Sekante in [x0, x]
Anstieg der Tangente in P(x0|f(x0))
Veranschaulichung des Grenzübergangs mithilfe des Computers
Neumann/Rodner 2
[b,a]x,x0
0
0
xx
)x(f)x(f
0
0
xx xx
)x(f)x(flim
0
Zugang: Tangentenproblem
Der schulklassische Zugang zum Ableitungsbegriff findet noch oft über das Tangentenproblem statt. Dieser enthält jedoch einige Schwierigkeiten im Verständnis!
Zugang durchläuft folgende Schritte:(1) Definition der Steigung einer Kurve in einem
Punkt über die Tangente.(2) Die Tangente als Grenzlage von Sekanten.(3) Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert.
Die Frage „Wieso interessiert man sich für den lokalen Anstieg?“ bleibt offen.
Neumann/Rodner 3
Zugang: Tangentenproblem
Probleme:
Zu (1): Tangente als Gerade, die sich der Kurve lokal um den Berührungspunkt anschmiegt, geht weit über die bis dahin erworbene Vorstellung des Schülers von einer Tangente hinaus! (Schüler: geometrische Vorstellung als globale Stützgerade, Lehrer: analytisch, Tangente als lokaleSchmieggerade)
Zu (2): Vorbereitung der Tangentensteigung durch neue Idee: Tangente in einem Punkt als Grenzlage benachbarter Sekanten, knüpft nicht an die Definition der Tangente (Tangente als bestapproximierte Gerade) aus (1) an.
Zu (3): Sekantensteigung ist berechenbar mit 2 Punkten, wieso dann x = x0? Es entstehen Schwierigkeiten, die durch die Algebraisierung des Verfahrens verdeckt werden.
Neumann/Rodner 4
Zugang: Änderungsrate einer Funktion
Mögliche Alternative zum klassischen Zugang über die
Tangentensteigung ist die Einbettung in Sachkontexte,
die die Frage nach dem lokalen Anstieg in natürlicher
Weise enthält und somit auch möglichst nahe an der
Erfahrungswelt der Schüler liegt:
Ableitung als lokale Änderungsrate
kinematisches Beispiel der Momentangeschwindigkeit
Neumann/Rodner 5
Zugang: Änderungsrate einer Funktion
Funktion f im Intervall [x0,x]
Absolute Änderung (konkrete Änderung des Bestandes)
im Zeitraum [x0, x]: Ratenbildung
Durchschnittliche (mittlere) Änderung(durchschnittliche Änderung des Bestandes) pro Zeiteinheit im
Zeitraum [x0, x]:
Grenzwertbildung
Momentane (lokale) Änderung (momentane Änderung
des Bestandes) pro Zeiteinheit zum Zeitpunkt x0:
Neumann/Rodner
0
0
xx
)x(f)x(f
)x(f)x(f0
0
0
0xx xx
)x(f)x(flim
6
Begriff der Änderungsrate in einem IntervallBeispiel: mittlere Wachstumsgeschwindigkeit (Mathematik 1, Gymnasiale Oberstufe, LK, Brandenburg, Cornelsen)
Neumann/Rodner7
Begriff der Änderungsrate in einem IntervallBeispiel: von der mittleren zur momentanen Geschwindigkeit
„ Neulich bin ich mit dem Auto von Bielefeld nach Berlingefahren und habe für 400km genau 4 Stunden gebraucht.“
„ Dann warst du aber mit 100km/h nicht besonders schnell.“„ Wie man‘s nimmt, manchmal bin ich über 150 km/h
gefahren.“
Dieser Sachverhalt ist allen Schülern vertraut und nicht zu kompliziert.
Er ist offen formuliert und bietet viele Aspekte zum Besprechen.
Ein Übergang zur eigentlichen Fragestellung fehlt, kann aber über ein gegebenes Weg-Zeit-Diagramm t s(t), z.B. Anfahrvorgang thematisiert werden.
Neumann/Rodner 8
Begriff der Änderungsrate Beispiel: von der mittleren zur momentanen Geschwindigkeit
• Zugang über einen Bewegungsvorgang, der in einem Weg-Zeit-Diagramm gegeben ist
• Interpretation des Bewegungsablaufes unter Benutzung des Begriffs der physikalischen Größe Geschwindigkeit
• Frage nach der Geschwindigkeit in gegebenen Zeitintervallen Durchschnittsgeschwindigkeit
• Frage nach der Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0
• Idee: Verkleinerung der Zeitintervalle [t0 ,t] mit t = t0 + h;
t t0 bzw. h 0
• Für t t0 ergibt sich die Momentangeschwindigkeit
Neumann/Rodner
)t(vtt
)t(s)t(s0
0
0
9
Begriff der Änderungsrate in einem IntervallBeispiel: von der mittleren zur momentanen Geschwindigkeit
Galileo Galilei (1564-1642)
untersuchte die Gesetze des
Freien Falls. Seine Versuche
zeigten, dass der Fallweg s
quadratisch mit der Fallzeit t
zunimmt: s(t) = 5t² (t in Sekunden, s in Meter).
Welche
Momentangeschwindigkeit hat
der Körper zum Zeitpunkt
t0 = 2s?
Neumann/Rodner
Zeit t > 2 Mittl. Geschwindigkeit [2;t]
3
2,1
2,01
2,001
2 20m/s
s
m25
23
)2(s)3(s
s
m5,20
21,2
)2(s)1,2(s
s
m05,20
201,2
)2(s)01,2(s
s
m005,20
2001,2
)2(s)001,2(s
10
Begriff der Änderungsrate Beispiel: von der mittleren zur momentanen Geschwindigkeit
Exakte Berechnung:
( als Wert für die mittlere Geschwindigkeit im Intervall [2; t])
Man sieht, dass = 5(t + 2) dem Wert 20 beliebig nahe
kommt, wenn nur t genügend nahe bei 2 liegt.
(Einheit: v in m/s)
Neumann/Rodner
2t;v)2t(5
2t
)2t)(2t(5
2t
²25²t5
2t
)t(s)2(s
t
s
20)2t(5lim)2(v2t
11
v
v
Begriff der Änderungsrate Beispiel: von der mittleren zur momentanen Geschwindigkeit
Alle drei Grunderfahrungen sind gleichermaßen
beteiligt:
Realitätsbezug (G1)
Durchdringung eines zentralen theoretischen Begriffs (G2)
Erfahrung erfolgreichen heuristischen Arbeitens (G3)
Neumann/Rodner 12
Begriff der ÄnderungsrateLokale Änderungsrate
Definition: lokale Änderungrate
Wenn für eine von x abhängige Größe f die
Änderungsrate für x x0 gegen den
Wert m(x0) strebt, so heißt m(x0) die lokale oder
momentane Änderungsrate von f an der Stelle x0.
Neumann/Rodner
0
0
xx
)x(f)x(f
)x(fh
)x(f)hx(flim
xx
)x(f)x(flim)x(m 0
00
0h0
0
xx0
0
13
Zugang: Änderungsraten
Rahmenlehrplan Berlin, S.VII:
„Die Ableitung ist sowohl als lokale Änderungsrate als
auch als Tangentensteigung zu deuten“
Zugänge über Wege/ Geschwindigkeiten/ Beschleunigungen eignen sich gut für Einstiege in die Analysis
Siehe u.a. Dankwerts,R.; Vogel,D.: Analysis verständlich unterrichten. Spektrum,2006,S.51ff
Der im Folgenden vorgestellte Zugang wurde in ähnlicher Form von H.-W. Henn (TU Dortmund) vorgeschlagen.
Neumann/Rodner 14
Änderungsraten Beispiel: von der mittleren zur momentanen Beschleunigung
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm:
Geschwindigkeit v = f(t) in Abhängigkeit von der Zeit
Neumann/Rodner 15
Änderungsraten Beispiel: von der mittleren zur momentanen Beschleunigung
Konkrete Daten:
A: 0 s bis 100 s; ICE beschleunigt von 0 km/h auf 173 km/h
B: 100 s bis 200 s; ICE beschleunigt von 173 km/h auf 245 km/h
C: 200 s bis 300 s; ICE beschleunigt von 245 km/h auf 285 km/h
Quantifizierung der Beschleunigungsaussage:
Geschwindigkeitszunahme von y km/h in x s
A: B: C:
Es handelt sich um mittlere Beschleunigungen für 100 s-Zeitintervalle
Die hier verwendete, anschaulich recht verständliche Einheit
wird üblicherweise in umgerechnetNeumann/Rodner 16
s100
h
km173
s100
h
km72
s100s200
h
km173
h
km245
s100
h
km40
s200s300
h
km245
h
km285
s
h
km
²s
m
Änderungsraten Beispiel: von der mittleren zur momentanen Beschleunigung
Die mittlere Beschleunigung zwischen 100 s und 200 s lässt sich als Steigung der Geraden durch die beiden Datenpunkte deuten.
Die mittlere Beschleunigung entspricht der Änderung der Geschwindigkeit im Zeitintervall von 100 s und 200 s.
Neumann/Rodner 17
Änderungsraten Beispiel: von der mittleren zur momentanen Beschleunigung
Für ein festes gibt die Funktion mit
die durchschnittliche Beschleunigung im Intervall an
Eine genauere Aussage über das Beschleunigungsverhalten bei
t = 100 s erhält man durch die mittlere Änderungsraten wie
oder oder
allgemein mit
Anschaulich ist klar:
Wird das Zeitintervall kleiner, so wird die Aussage über die
Beschleunigung bei t = 100 s genauer.
Neumann/Rodner 18
s100s110
)s100(v)s110(v
s100s105
)s100(v)s105(v
s100t;s100t
)s100(v)t(v
1
1
t )t(a
t
)t(v)tt(v
t
v)t(a
]tt,t[
Änderungsraten Beispiel: von der mittleren zur momentanen Beschleunigung
Aus dem ICE-Diagramm lassen sich einige Werte für
ablesen:
Neumann/Rodner 19
s50t
t in s [t; t + 50] v(t) in km/h v(t + 50) in km/h
0 [0; 50] 0 105 2,10
100 [100; 150] 173 215 0,84
200 [200; 250] 245 268 0,46
300 [300; 350] 285 295 0,20
400 [400; 450] 305 312 0,14
500 [500; 550] 319 323 0,08
600 [600; 650] 327 329 0,04
s
h/kmin)t(a
Änderungsraten Beispiel: von der mittleren zur momentanen Beschleunigung
Graph der Funktion t
für die mittleren Beschleunigungen mit
Neumann/Rodner 20
)t(a
)t(a s50t
Änderungsraten Beispiel: von der mittleren zur momentanen Beschleunigung
Man verbessert die Aussage, indem man die Intervalle immer
kleiner wählt. Anschaulich bedeutet das:
Übergang von der mittleren zur lokalen Beschleunigung
allgemein:
Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate
Übergang von der Steigung der Sekanten zur Steigung der Tangenten („Tangente“ im anschaulichem, nicht präzisem Sinne)
Mathematisch stellt sich das Problem des Grenzwertes:
Die Existenz des Grenzwertes ist in diesem Beispiel anschaulich
recht klar.
Neumann/Rodner 21
t
t
)t(v)tt(vlim)t(a
0t
Beispiele für lokale Änderungsraten
Größe Lokale Änderungsrate
Neumann/Rodner
1. Geschwindigkeit v in [t1;t2] Beschleunigung zum Zeitpunkt t0
2. Länge l in [t1;t2] einer Hopfenpflanze Wachstumsgeschwindigkeit w zum Zeitpunkt t0
3. Wassermenge V einer Quelle in [t1;t2] Schüttung S der Quelle zum Zeitpunkt t0
4. Höhe h auf dem Streckenabschnitt[x1;x2]
Lokale Höhenzu- oder Höhenabnahme an der Stelle x0, auch Steigung oder Gefälle an der Stelle x0
5. Anzahl a von noch vorhandenenAtomen bei radioaktivem Zerfall in[t1;t2]
Momentaner Zerfall zum Zeitpunkt t0
6. Kraftstoffinhalt des Tanks eines Pkw auf der Strecke [s1,s2]
Lokaler Kraftstoffverbrauch an der Stelle s0
22
Lokale Änderungsraten
Einheit der momentanen ÄnderungsrateSind x und f(x) Größen mit den Einheiten e1 und e2, so ist die lokale Änderungsrate eine Größe mit der Einheit
Bsp: (G3)Lokale Änderungsrate des Inhaltes einer KreisflächeEin Kreis mit dem Radius r0 (in cm) wird vergrößert oder verkleinert.Gesucht ist die lokale Änderungsrate und ihre Deutung.
Der Flächeninhalt ändert sich bei Vergrößerung oder Verkleinerungdes Radius r0 von A(r0)=πr0² auf A(r0+h)=π(r0+h)²; damit ist
Die lokale Änderungsrate des Flächeninhaltes hat die Einheitund ist somit der Umfang des Kreises.
Neumann/Rodner
1
2
e
e
000h
000 r2)hr2(lim);hr2(
h
)r(A)hr(A
cmcm
²cm
23
Wie kann man sich das plausibel machen?
Kreis mit Radius r; Vergrößerung des Radius um
Flächenzuwachs unterscheidet sich umso weniger vom Produkt aus Umfang und
je kleiner ist.
Also ist bzw.
für kleine .
Neumann/Rodner 24
r
A
r2 r
r
rr2A r2r
A)r(A
r
Zugang: Lineare Approximation
Ziel:
„Optimale“ Approximation
einer Funktion f durch
eine lineare Funktion
(Mit linearen Funktionen lässt
sich leichter arbeiten.)
Neumann/Rodner 25
Zugang: Lineare Approximation
Geg.: Funktion f:
Ges.: lineare Funktion h: mit
und
Absoluter Approximationsfehler: a(x) = f(x) – h(x)
(Falls f stetig in x0, so gilt .)
Relativer Approximationsfehler:
h approximiert „optimal“, wenn r(x) in der Nähe von x0 „klein“ ist, d.h. wenn
h approximiert f in x0 optimal, falls h die Tangente an f
beschreibt.
Neumann/Rodner 26
)x(f)x(h 00 m);x(f)xx(m)x(h 00
0)x(alim0xx
mxx
)x(f)x(f
xx
)x(f)xx(m)x(f
xx
)x(h)x(f)x(r
0
0
0
00
0
mxx
)x(f)x(flim0)x(rlim
0
0
xxxx 00
Zusammenfassung der Zugänge zum Ableitungsbegriff
Alle drei Ansätze führen zu dem Grenzwert
Präzisierung dieser Ideen führt zu einer Definition.
Definition:
f heißt differenzierbar (ableitbar) in es existiert
ein mit
bzw.
Neumann/Rodner 27
0
0
xx xx
)x(f)x(flim
0
Dx,D:f,D 0
:x0
c
0
0
xx xx
)x(f)x(flimc
0
h
)x(f)hx(flimc 00
0h
Welcher dieser Zugänge ist für die Schule am besten geeignet?
Alle drei Zugänge habe eine gewisse Bedeutung; Anstiege/Tangenten können auch bei anderen Zugängen der geometrischen Interpretation/ Veranschaulichung dienen.
Zugang über Änderungsraten hat einige Vorteile:- Anwendungsbeispiele, Anknüpfung an Alltagserfahrungen
- Bezüge zu den Aspekten funktionalen Denkens
- „Bestand und Änderung“ – tragfähiger Zugang zu Ableitung
und Integral
- Interpretationsmöglichkeit nicht nur der ersten, sondern auch
der zweiten Ableitung (Änderung der Änderungsrate)
Neumann/Rodner 28
Interaktive Lernpfade
http://www.austromath.at/
Neumann/Rodner
Mathematik Fachportal von ZUM.DE
29
Aufgaben
1. Jemand definiert die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x0 durch den Grenzwert
.
Ist dies gleichwertig mit der vertrauten Definition, und wie ist es geometrisch zu interpretieren?
2. Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate des Volumens Va) für einen Würfel mit der Kantenlänge ab) für eine Kugel mit dem Radius rc) für einen Zylinder in Abhängigkeit von r bei festem h
(in Abhängigkeit von h bei festem r).Welche anschauliche Bedeutung hat diese lokale Änderungsrate?
Neumann/Rodner
h2
)hx(f)hx(flim 00
0h
30