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5.3-1
26.02.19
3. Frequenzganganalyse
● Die Berechnung der Antwort auf eine harmonische Anre-gung wird als Frequenzganganalyse bezeichnet.
● Mithilfe der Frequenzganganalyse werden die Übertra-gungsfunktionen berechnet.
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5.3-2
26.02.19
3. Frequenzganganalyse
3.1 Grundgleichung
3.2 Direkte Frequenzganganalyse
3.3 Modale Frequenzganganalyse
3.4 Praktische Hinweise
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5.3-3
26.02.19
3.1 Grundgleichung
● Grundgleichung:
– Aus der Bewegungsgleichung
für das Finite-Elemente-Modell folgt mit
die Grundgleichung der Frequenzganganalyse:
– [L] und [U] sind komplexe Matrizen mit den Informationen über Amplitude und Phase.
[ M ] [ u (t )]+ [ D ] [ u (t )]+ [ K ] [u (t )]= [ l (t )]
[ l (t )]=ℜ ( [L (Ω)] eiΩ t ) , [u (t )]=ℜ ( [U (Ω)] e iΩ t )
(−Ω2[ M ]+ iΩ [D ]+ [K ] ) [U (Ω)]=[L (Ω) ]
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5.3-4
26.02.19
3.1 Grundgleichung
– Die komplexe Matrix
heißt dynamische Steifigkeitsmatrix.
● Partitionierung:
– Unterteilung der Grundgleichung in lokale Freiheitsgrade und Freiheitsgrade mit vorgegebenen Verschiebungen er-gibt:
[K d(Ω)]=[ K ]+ iΩ [D ]−Ω
2[M ]
[ [K L Ld(Ω)] [K L P
d(Ω)]
[K L Pd(Ω) ]
T[K P P
d(Ω) ] ][
[U L(Ω) ][U P (Ω)] ]=[
[ LL (Ω)][LP (Ω) ]]
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5.3-5
26.02.19
3.1 Grundgleichung
– Bei reiner Kraftanregung sind die vorgeschriebenen Ver-schiebungen null. Für die Verschiebungen an den lokalen Freiheitsgraden folgt:
– Für die Lagerreaktionen gilt:
– Bei reiner Bewegungsanregung sind die Kräfte an den loka-len Freiheitsgraden null. Für die Verschiebungen folgt:
[K L Ld(Ω)] [U L(Ω)]= [LL(Ω)]
[LP (Ω)]= [K L Pd(Ω) ]
T[U L(Ω) ]
[K L Ld(Ω)] [U L(Ω)]=−[K L P
d(Ω)) [U P(Ω)]
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5.3-6
26.02.19
3.1 Grundgleichung
– Für die Lagerreaktionen gilt:
– Im allgemeinen Fall lautet die Gleichung zur Berechnung der Verschiebungen an den lokalen Freiheitsgraden:
● Lastmuster:
– Reale Lasten lassen sich durch Überlagerung von Lastmus-tern beschreiben:
[LP (Ω)]= [K L Pd(Ω) ]
T[U L(Ω) ]+[ K P P
d(Ω)] [U P (Ω)]
[K L Ld(Ω)] [U L(Ω)]= [LL(Ω)]− [K L P
d(Ω) ] [U P (Ω)]
[ l (t )]=∑k
[ l k ]ϕk (t )
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5.3-7
26.02.19
3.1 Grundgleichung
– Die Lastmuster [lk ] beschreiben die räumliche Verteilung der Last und die Funktionen ϕk(t) die zeitliche Abhängigkeit.
– Für die Frequenzganganalyse folgt:
– Für die Ermittlung der Übertragungsfunktionen werden die Antworten [Uk(Ω)] für jeweils ein Lastmuster mit Φk(Ω) = 1 berechnet.
– In dem häufigen Fall, dass die Übertragungsfunktionen für Einzellasten zu berechnen sind, enthält das Lastmuster nur einen einzigen Eintrag, und zwar in der Zeile, die dem Frei-heitsgrad entspricht, an dem die Last angreift.
[L (Ω) ]=∑k
[L k ]Φk (Ω)
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5.3-8
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3.2 Direkte Frequenzganganalyse
● Methode:
– Die Grundgleichung der Frequenzganganalyse wird für jede gewünschte Erregerkreisfrequenz Ω gelöst.
● Vorteile:
– Es werden keine weiteren Näherungen gemacht.
– Frequenzabhängige Steifigkeits- oder Dämpfungsmatrizen, wie sie z. B. bei viskosen Dämpfern auftreten, können leicht berücksichtigt werden.
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5.3-9
26.02.19
3.2 Direkte Frequenzganganalyse
● Nachteile:
– Für jede Erregerkreisfrequenz muss ein komplexes lineares Gleichungssystem von sehr großer Dimension gelöst wer-den.
– In der Nähe der Resonanzfrequenzen kann das Glei-chungssystem schlecht konditioniert sein.
● Einsatz:
– Die direkte Frequenzganganalyse kommt zum Einsatz, wenn die Antwort nur für sehr wenige Erregerfrequenzen zu berechnen ist.
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5.3-10
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3.3 Modale Frequenzganganalyse
● Methode:
– Die Antwort wird durch eine Überlagerung von Eigenvekto-ren approximiert. Dabei ist die Anzahl der verwendeten Ei-genvektoren klein im Vergleich zur Anzahl der Freiheitsgra-de.
● Vorteile:
– Das zu lösende Gleichungssystem ist von wesentlich klei-nerer Dimension als bei der direkten Frequenzganganalyse.
– Im Falle von modaler Dämpfung ergeben sich entkoppelte Gleichungen.
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5.3-11
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3.3 Modale Frequenzganganalyse
● Nachteile:
– Die Methode liefert eine Näherungslösung für die Grund-gleichung der Frequenzganganalyse.
– Wenn die Matrizen frequenzabhängig sind, sind weitere Näherungen nötig.
– Es muss zuerst eine Modalanalyse durchgeführt werden, um die Eigenvektoren und Eigenfrequenzen zu ermitteln.
● Einsatz:
– Die modale Frequenzganganalyse wird verwendet, wenn die Antworten für sehr viele Erregerfrequenzen gesucht sind. Sie ist daher die Standardmethode für die Berechnung von Übertragungsfunktionen.
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5.3-12
26.02.19
3.3 Modale Frequenzganganalyse
3.3.1 Modale Reduktion
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
3.3.3 Fehlerabschätzung
3.3.4 Modale Beiträge
3.3.5 Bewegungsanregung
3.3.6 Modale effektive Massen
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5.3-13
26.02.19
3.3.1 Modale Reduktion
● Transformation auf modale Koordinaten:
– Da die Eigenvektoren eine Basis bilden, lässt sich jeder Verschiebungsvektor als Linearkombination der Eigenvekto-ren darstellen:
– Mit den Matrizen
gilt:
– [UL] und [Q] sind komplexe Matrizen, während [X] reell ist.
[U L ]=∑n=1
N
[ xn ] Q n
[ X ]= [ [ x1 ] ⋯ [ x N ] ] und [Q ]T= [Q1 ⋯ QN ]
[U L ]= [X ] [Q ]
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5.3-14
26.02.19
3.3.1 Modale Reduktion
– Einsetzen in die Grundgleichung und Projektion auf die Ei-genvektoren ergibt:
– Mit den modalen Matrizen
gilt:
[ X ]T [K L L
d ] [X ] [Q ]= [X ]T[ LL ]
[ M ]X= [X ]T[M L L ] [X ] , [D ]X= [X ]
T[ DL L ] [X ]
[ K ]X= [X ]T[ K L L ] [X ] , [ L ]X=[ X ]
T[ LL ]
[K d ]X [Q ]= [L ]X
[ X ]T [K L L
d ] [X ]=[K d ]X=−Ω2[M ]X+ iΩ [ D ]X+ [ K ]X
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5.3-15
26.02.19
3.3.1 Modale Reduktion
– Wenn die Eigenvektoren massennormiert sind, folgt aus den Orthogonalitätseigenschaften der Eigenvektoren:
– Die Gleichungen sind nur über die Dämpfung gekoppelt.
– Bei modaler Dämpfung gilt:
[ M ]X= [ I ] , [K ]X=[ω1
2⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ ωN2 ]=[Ω ]
2
[ D ]X=[2ω1 D1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 2ωN DN
]
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5.3-16
26.02.19
3.3.1 Modale Reduktion
– Bei modaler Dämpfung sind die Gleichungen entkoppelt:
– Daraus lassen sich die modalen Koeffizienten bestimmen:
– Die modale Übertragungsfunktion
stimmt mit der Übertragungsfunktion eines Systems mit ei-nem Freiheitsgrad überein.
(−Ω2+2 iΩωn Dn+ωn
2 )Q n= [ xn ]T[LL ] , n=1,… , N
Q n (Ω)=[ x n ]
T[ LL ]
ωn2−Ω
2+2 iΩωn Dn
=H (ηn , Dn)[ xn ]
T[LL ]
ωn2 , ηn=
Ωωn
H (η , D )= 11−η2
+2 i D η
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5.3-17
26.02.19
3.3.1 Modale Reduktion
● Modale Reduktion:
– Da der Rechenaufwand zur Ermittlung aller Eigenschwin-gungen in der Regel deutlich größer ist als der Rechenauf-wand zur Lösung der Grundgleichung, ist die modale Trans-formation für die praktische Berechnung unbrauchbar.
– Die meisten Eigenfrequenzen liegen jedoch weit oberhalb der Erregerfrequenz. Ihre Antwort ist daher mit guter Nähe-rung quasistatisch.
– Daher ergeben sich bereits brauchbare Ergebnisse, wenn nur die p ≪ N Eigenschwingungen mit den niedrigsten Ei-genfrequenzen verwendet werden.
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5.3-18
26.02.19
3.3.1 Modale Reduktion
– Mit den Abkürzungen
lauten die Gleichungen für die modale Reduktion:
[X p ]= [ [ x1 ] ⋯ [ x p ] ] , [Q p ]= [Q1 ⋯ Q p ]T
[ M ] p=[X p ]T[ M L L ] [X p ]= [ I ] p , [K ] p= [X p ]
T[ K L L ] [X p ]= [Ω ] p
2
[ D ] p=[X p ]T[ DL L ] [X p ] , [L ] p=[X p ]
T[ LL ]
[U L ]≈ [U Lp ]= [X p ] [Q p ]
[K d ] p [Qp ]= [L ] p
[K d ] p= [K ] p−Ω2[M ] p+ iΩ [ D ] p= [Ω
2 ]p−Ω
2[ I ] p+ iΩ [D ] p
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5.3-19
26.02.19
3.3.1 Modale Reduktion
– Die Anzahl der benötigten Eigenschwingungen ergibt sich aus der Bedingung
– In der Praxis ist p um mehrere Zehnerpotenzen kleiner als N, so dass sich die modale Reduktion auch dann lohnt, wenn die Dämpfung nicht modal ist.
ηp<0, 3 → ω p>3Ωmax , f p>3 f max
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5.3-20
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
● Motivation:
– Bei der gewöhnlichen modalen Reduktion wird die quasista-tische Antwort der weggelassenen Eigenvektoren komplett vernachlässigt.
– Damit ergibt sich eine brauchbare Näherung für die Ver-schiebungen, wenn gilt:
– Diese Bedingung ist in der Praxis meist erfüllt.
maxn> p
{|[ xn ]T[LL ]|/ωn
2 }≪maxn≤ p
{|( [ x n ]T[ LL ] )|/ωn
2 }
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5.3-21
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
– Antworten wie Verzerrungen und Spannungen beruhen auf räumlichen Ableitungen der Eigenfunktionen, die mit ab-nehmender Wellenlänge zunehmen.
– Deshalb ist der Beitrag der höheren Eigenschwingungen zu den Verzerrungen und Spannungen größer als zu den Ver-schiebungen.
– Daher sind die mit der modalen Reduktion berechneten Nä-herungen für die Verzerrungen und Spannungen oft nicht befriedigend.
– Wird die quasistatische Antwort der weggelassenen Eigen-vektoren berücksichtigt, ergeben sich für alle Antworten gute Näherungen.
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5.3-22
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
● Methode der modalen Beschleunigungen:
– Da die Antwort der weggelassenen Eigenvektoren quasista-tisch ist, können die Beiträge zu den Trägheits- und Dämp-fungskräften vernachlässigt werden.
– Umstellen der Grundgleichung ergibt zunächst:
– Werden die Trägheits- und Dämpfungskräfte mit den aus der modalen Reduktion gewonnenen Verschiebungen be-rechnet, können korrigierte Verschiebungen aus
berechnet werden.
[ K L L ] [U L ]=[ LL ]+(Ω2[ M L L ]−iΩ [D L L ] ) [U L ]
[ K L L ] [U Lpc ]= [ LL ]+(Ω
2[M L L ]−iΩ [ DL L ] ) [X p ] [Q p ]
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5.3-23
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
– Das Verfahren der modalen Beschleunigungen wird im Eng-lischen als Mode Acceleration Method oder Force Summa-tion Method bezeichnet.
– Zur Berechnung der verbesserten Verschiebungen muss ein lineares Gleichungssystem gelöst werden.
– Die rechte Seite hängt von der Erregerkreisfrequenz Ω ab. Wenn die Antwort für viele Erregerfrequenzen gesucht ist, treten viele rechte Seiten auf.
– Die Berechnung kann dann recht aufwändig werden.
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5.3-24
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
● Restmodekorrektur:
– Die Verschiebungen setzen sich zusammen aus den mit der modalen Reduktion berechneten Verschiebungen und einer Korrektur:
– Der Korrekturterm beschreibt den Beitrag der in der moda-len Reduktion vernachlässigten Eigenvektoren.
– Wenn die Antwort der vernachlässigten Eigenvektoren qua-sistatisch ist, gilt näherungsweise:
[U L ]= [U Lp ]+ [ΔU L ]
[ΔU L ]≈ ∑n= p+1
N1ωn
2 [ x n ] [ x n ]T[ LL ]
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5.3-25
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
– Für Ω = 0 liefert die Grundgleichung die statische Lösung:
– Für die modalen Koeffizienten der statischen Lösung gilt:
– Multiplikation mit der Steifigkeitsmatrix ergibt:
[ K L L ] [U LS ]=[ LL ]
Q nS=
1ωn
2 [ x n ]T[ LL ] → [U L
S ]=∑n=1
N1ωn
2 [ xn ] [ xn ]T[LL ]
[ K L L ]∑n=1
N1ωn
2 [ xn ] [ xn ]T[LL ]= [ K L L ] [U L
S ]= [ LL ]
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5.3-26
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
– Daraus lässt sich die Summe über die vernachlässigten Ei-genvektoren berechnen:
– Mit folgt für die Korrektur:
– Auf der rechten Seite dieser Gleichung stehen die Lasten abzüglich der Lasten, die von den berechneten Eigenvekto-ren aufgenommen werden.
[ K L L ] ∑n= p+1
N1ωn
2 [ x n ] [ xn ]T[LL ]=[ LL ]−∑
n=1
p1ωn
2 [ K L L ] [ x n ] [ xn ]T[ LL ]
[ K L L ] [ x n ]=ωn2[ M L L ] [ xn ]
[ K L L ] [ΔU L ]= [ LL ]−[ M L L ] [X p ] [X p ]T[ LL ]
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5.3-27
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
– Für eine Last der Form
werden zunächst die Korrekturen
ermittelt.
– Damit lassen sich die Korrekturen für die einzelnen Erreger-frequenzen leicht berechnen:
[LL(Ω) ]=∑k
[LLk ]Φk (Ω)
[ΔU Lk ]=[ K L L ]−1 ( [ LLk ]−[ M L L ] [ X p ] [X p ]
T[ LLk ] )
[ΔU L(Ω) ]=∑k
[ΔU Lk ]Φk (Ω)
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5.3-28
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
● Erweiterte modale Reduktion:
– Bei der erweiterten modalen Reduktion wird die quasistati-sche Antwort der vernachlässigten Eigenvektoren durch zu-sätzliche Vektoren berücksichtigt, die aus den Lastmustern gewonnen werden.
– Zunächst wird für jedes Lastmuster ein statischer Vektor aus der Gleichung
gewonnen.
[ K L L ] [~x kS ]= [ LLk ]−[ M L L ] [X p ] [X p ]
T[ LLk ]
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5.3-29
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
– Für diese Vektoren gilt:
– Diese statischen Vektoren sind also massenorthogonal be-züglich den berechneten Eigenvektoren.
– Durch Linearkombination der statischen Vektoren lassen sich neue Vektoren gewinnen, die massenorthonormal sind.
– Dazu werden die statischen Vektoren zu einer Matrix zu-sammengefasst:
[ x n ]T[ M L L ] [~x k
S ]=1ωn
2 [ x n ]T[ K L L ] [~x k
S ]
=1ωn
2 ( [ x n ]T[ LL ]−[ x n ]
T[ M L L ] [ x n ] [ xn ]
T[ LL ] )=0
[~X S ]=[ [~x 1S] … [~x K
S] ]
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5.3-30
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
– Die Lösung des projizierten Eigenwertproblems
liefert Vektoren ,
die orthogonal bezüglich der Massenmatrix und der Steifig-keitsmatrix sind und massennormiert werden können.
– Die modale Reduktion erfolgt nun mit der Matrix
– Damit kann die statische Antwort exakt wiedergegeben werden.
[~X S ]T[ K L L ] [
~X S ] [~Q ]=[~X S ]T[ M L L ] [
~X S ] [~Q ] [~Ω ]2
[X S ]=[~X S ] [~Q ]
[X pe ]=[[X p] [X S
] ]
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5.3-31
26.02.19
3.3.2 Verbesserte modale Reduktion
– Die Eigenkreisfrequenzen des projizierten Eigenwertpro-blems sind deutlich höher als die Eigenkreisfrequenzen der p berechneten Eigenschwingungen. Sie haben keine physi-kalische Bedeutung.
~ωn
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5.3-32
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
● Die Qualität der mit modaler oder verbesserter modaler Reduktion gewonnenen Lösung kann mithilfe des Fehlers in der Formänderungsenergie beurteilt werden.
● Der Fehler in der Formänderungsenergie kann bereits vor Durchführung der Frequenzganganalyse abgeschätzt werden.
● Formänderungsenergie:
– Die zeitabhängige Formänderungsenergie berechnet sich zu
eF(t )=1
2 [u (t )]T[ K ] [u (t ) ]=
12 [uL(t ) ]
T[K L L ] [uL(t ) ]
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5.3-33
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
– Im Falle eines harmonischen zeitlichen Verlaufs gilt für den zeitlichen Mittelwert der Formänderungsenergie:
● Fehler in der Formänderungsenergie:
– Der Fehler in der Formänderungsenergie ist definiert durch
– Mit Hn = H(ηn , Dn ) gilt für die Verschiebungen:
E F=⟨ eF
(t ) ⟩= 14 [U L ]
H[ K L L ] [U L ]
ΔE Fp=
14 ( [U L ]
H[ K L L ] [U L ]−[U L
p ]H[ K L L ] [U L
p ] )
[U L ]=∑n=1
N H n
ωn2 [ x n ] [ xn ]
T[ LL ] , [U L
p ]=∑n=1
p H n
ωn2 [ x n ] [ x n ]
T[ LL ]
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5.3-34
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
– Unter Berücksichtigung der Orthogonalitätseigenschaften der Eigenvektoren folgt für den Fehler in der Formände-rungsenergie:
● Abschätzung des Fehlers:
– Wegen ηp < 1 gilt für n > p :
– Daraus folgt:
Δ E Fp=
14 ∑n= p+1
N
|H n|2( [ xn ]
T[LL ]
ωn )2
ηn=Ω/ωn<ηp → H n<H p
ΔE Fp<
14 |
H p|2 ∑
n= p+1
N
( [ x n ]T[ LL ]
ωn )2
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5.3-35
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
– Die Summe über die weggelassenen Eigenvektoren lässt sich mithilfe der Formänderungsenergie der statischen Lö-sung berechnen.
– Für die statische Lösung gilt:
– Die Formänderungsenergie der statischen Lösung berech-net sich zu
[uL ]=[ K L L ]−1
[ LL ]=∑n=1
N [ xn ] [ x n ]T[ LL ]
ωn2
E SF=
12 [uL ]
T[K L L ] [uL ]=∑
n=1
p12 (
[ xn ]T[ LL ]
ωn )2
+ ∑n= p+1
N12 (
[ x n ]T[ LL ]
ωn )2
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5.3-36
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
– Mit den modalen Formänderungsenergien
folgt:
– Damit gilt für den Fehler in der Formänderungsenergie:
E nF=
12 (
[ x n ]T[ LL ]
ωn )2
∑n= p+1
N
( [ xn ]T[ LL ]
ωn )2
=2 ∑n= p+1
N
E nF=2 E S
F−2∑
n=1
p
E nF
ΔE Fp<
12|
H p|2 (E S
F−∑
n=1
p
E nF )
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5.3-37
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
– Als Fehlermaß dient der auf die statische Formänderungs-energie bezogene Fehler in der Formänderungsenergie:
– Der erste Faktor strebt mit zunehmendem p gegen eins, während der zweite Faktor gegen null strebt.
– Die modalen Formänderungsenergien zeigen an, wie stark die einzelnen Eigenvektoren an der Lösung beteiligt sind.
eFp=Δ E Fp
E SF <
12|
H p|2 (1−∑n=1
p E nF
E SF )
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5.3-38
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
– Wird die quasistatische Antwort der weggelassenen Eigen-schwingungen durch eine Restmodekorrektur oder die er-weiterte modale Reduktion berücksichtigt, gilt:
– Daraus folgt für das Fehlermaß:
– Bei Berücksichtigung der quasistatischen Antwort streben beide Faktoren des Fehlermaßes gegen null.
eFpc<
12 (|H p|
2−1 )(1−∑n=1
p E nF
E SF )
[U Lp ]=∑
n=1
p H n
ωn2 [ x n ] [ xn ]
T[ LL ]+ ∑
n= p+1
N1ωn
2 [ xn ] [ xn ]T[LL ]
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5.3-39
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
● Beispiel:
– Daten:● a = 2,5 m● E = 2,1·1011 Pa, ρ = 7850 kg/m3
● A = 10-4 m2, Iz = 10-6 m4
● Dämpfung:
a
a
a
2a
x
y
A
B
C
D E
K
H
G
F
F
Dn=12 (αKωn+
αMωn )
mit αK=2⋅10−5 s , αM=71s
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5.3-40
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
– Gesucht:● Übertragungsfunktionen für eine Kraft in x-Richtung am Punkt
G:HBG : Verschiebung in x-Richtung am Punkt BHEG : Verschiebung in x-Richtung am Punkt EHGG : Verschiebung in x-Richtung am Punkt G
● Frequenzbereich: 0 Hz bis 300 Hz
– Modale Reduktion:● Berechnet werden die ersten 25 Eigenschwingungen.● Die Frequenz der höchsten berechneten Eigenschwingung
liegt bei 514,2 Hz.
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5.3-41
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
● Normierte modale Formänderungsenergien:Modal strain energies of component "frame"
Loadcase 1:
mode frequency En/ES Sum 1 - Sum
1 8.70 Hz 9.30696e-01 0.930696 6.93044e-02 2 30.10 Hz 3.87359e-02 0.969432 3.05685e-02 3 50.05 Hz 1.44658e-05 0.969446 3.05540e-02 4 57.53 Hz 7.71215e-06 0.969454 3.05463e-02 5 58.02 Hz 2.59130e-02 0.995367 4.63331e-03 6 60.26 Hz 8.02391e-06 0.995375 4.62528e-03 7 122.86 Hz 5.68203e-05 0.995432 4.56846e-03 8 139.56 Hz 2.51060e-05 0.995457 4.54336e-03 … … … …
23 447.48 Hz 1.25179e-07 0.998569 1.43132e-03 24 489.79 Hz 2.96397e-04 0.998865 1.13492e-03 25 514.25 Hz 1.81427e-04 0.999047 9.53496e-04
![Page 42: Die Berechnung der Antwort auf eine harmonische Anre- gung ...wandinger.userweb.mwn.de/StruktDyn/v5_3.pdf · Prof. Dr. Wandinger 5. Methode der finiten Elemente Strukturdynamik 5.3-1](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022011811/5e0f4119a6e3d01bb62719e2/html5/thumbnails/42.jpg)
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5.3-42
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
● Bezogener Fehler in der Formänderungsenergie:
● Die Fehleranalyse zeigt, dass die Anzahl der Eigenschwin-gungen ausreichend ist.
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5.3-43
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
● Eigenschwingungen:
● Die Vernetzung ist fein genug.
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5.3-44
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
– Übertragungsfunktionen:
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5.3-45
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
● Frequenzraster:
– 300 gleichmäßig gewählte Frequenzen zwischen 1 Hz und 300 Hz
– 9 gleichmäßig gewählte Frequenzen pro Halbwertsbreite– Fehler in den Verschiebungen:
● Die folgenden Diagramme zeigen die Beträge der Differenzen zwischen den mit direkter Frequenzganganalyse und den mit modaler Reduktion berechneten Übertragungsfunktionen, be-zogen auf das Ergebnis der direkten Frequenzganganalyse.
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5.3-46
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
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5.3-47
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
![Page 48: Die Berechnung der Antwort auf eine harmonische Anre- gung ...wandinger.userweb.mwn.de/StruktDyn/v5_3.pdf · Prof. Dr. Wandinger 5. Methode der finiten Elemente Strukturdynamik 5.3-1](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022011811/5e0f4119a6e3d01bb62719e2/html5/thumbnails/48.jpg)
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5.3-48
26.02.19
3.3.3 Fehlerabschätzung
– Bezogener Fehler in der Formänderungsenergie:
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5.3-49
26.02.19
3.3.4 Modale Beiträge
● Definition:
– Für jede Antwort R, die linear von den Verschiebungen ab-hängt, gilt:
– Dabei ist Rn die aus dem n-ten Eigenvektor berechnete Ant-wort, z. B. eine Verschiebung oder eine Spannungskompo-nente.
– Die Summanden
geben die Beiträge der einzelnen Eigenschwingungen zur gesamten Antwort an.
– Sie heißen modale Beitragsfaktoren.
R=∑n=1
N
Q n Rn=∑n=1
N
C n
C n=Q n Rn
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5.3-50
26.02.19
3.3.4 Modale Beiträge
– Die normierten modalen Beitragsfaktoren sind die durch die Gesamtantwort dividierten modalen Beitragsfaktoren:
– Modale Beitragsfaktoren und normierte Beitragsfaktoren sind komplexe Größen.
● Interpretation:
– Aus
folgt, dass die Summe der Realteile der normierten moda-len Beitragsfaktoren eins ergibt und die Summe der Imagi-närteile null.
c n=C n /R
∑n=1
N
c n=1R∑n=1
N
C n=1
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5.3-51
26.02.19
3.3.4 Modale Beiträge
– Anhand der Realteile der normierten modalen Beitragsfak-toren kann festgestellt werden, welche Eigenschwingungen den größten Beitrag zur Antwort liefern.
– Positive Realteile zeigen an, dass die Eigenschwingung ei-nen Beitrag liefert, der in Phase mit der gesamten Antwort ist.
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5.3-52
26.02.19
3.3.5 Bewegungsanregung
● Bewegungsgleichung:
– Bei reiner Bewegungsanregung lautet die zu lösende Glei-chung:
– Bei der direkten Frequenzganganalyse wird diese Glei-chung für jede Erregerfrequenz gelöst.
– Die Lagerreaktionen folgen dann aus
[K L Ld(Ω)] [U L(Ω)]=−[K L P
d(Ω)] [U P (Ω)]
[LP (Ω)]= [K L Pd(Ω) ]
T[U L(Ω) ]+[ K P P
d(Ω)] [U P (Ω)]
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5.3-53
26.02.19
3.3.5 Bewegungsanregung
● Modale Frequenzganganalyse:
– Zur Berechnung der Eigenvektoren wird die Struktur an den Freiheitsgraden festgehalten, an denen die Verschiebungen vorgeschrieben sind.
– Der Ansatz
ist ungünstig, da die Eigenformen bei Annäherung an den Rand mit der vorgeschriebenen Bewegung stetig gegen null gehen, während die tatsächliche Verschiebung stetig gegen die vorgeschriebene Verschiebung geht.
– Um eine gute Näherung zu erreichen, wird deshalb eine sehr große Anzahl von Eigenvektoren benötigt.
[U Lp ]≈ [X p ] [Q p ]
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5.3-54
26.02.19
3.3.5 Bewegungsanregung
– Wesentlich günstiger ist eine Aufspaltung der Verschie-bungsantwort in eine statische Grundbewegung und eine Antwort relativ zu dieser Grundbewegung:
– Die statische Grundbewegung ist die statische Verformung infolge der vorgeschriebenen Verschiebungen:
– Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt:
[U L ]= [U LG ]+[U L
r ]
[ K L L ] [U LG ]+ [ K L P ] [U P ]= [0 ] → [U L
G ]=−[ K L L ]−1
[ K L P ] [U P ]
[K L Ld ] [U L
r ]=−(−Ω2[M L L ]+ iΩ [ DL L ] ) [U L
G ]−(−Ω
2[M L P ]+ iΩ [ DL P ] ) [U P ]
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5.3-55
26.02.19
3.3.5 Bewegungsanregung
– Die Relativverschiebungen werden durch eine Überlage-rung der Eigenvektoren approximiert:
– Projektion auf die Eigenvektoren ergibt:
– Die Eigenschwingungen werden durch die Trägheitskräfte und die Dämpfungskräfte infolge der vorgeschriebenen Be-wegung angeregt.
[U Lrp ]= [X p ] [Q p ]
[K d ] p [Qp ]=Ω2 [X p ]
T( [ M L L ] [U L
G ]+ [ M L P ] [U P ] )
−iΩ [X p ]T( [ DL L ] [U L
G ]+ [ DL P ] [U P ] )
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5.3-56
26.02.19
3.3.5 Bewegungsanregung
– Solange die Erregerfrequenz kleiner als etwa 30 % der ers-ten Eigenfrequenz ist, können diese Trägheits- und Dämp-fungskräfte vernachlässigt werden. Dann folgt die Antwort der Struktur quasistatisch der vorgeschriebenen Bewegung.
● Dämpfungsmatrix:
– Wenn die Dämpfung durch modale Lehrsche Dämpfungs-maße beschrieben wird, ist die Dämpfungsmatrix [DLL] nicht gegeben.
– Bekannt ist: [ D ] p=[X p ]T[ DL L ] [X
p ]=[2ω1 D1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 2ω p D p
]
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5.3-57
26.02.19
3.3.5 Bewegungsanregung
– Für die Matrix [X] aller Eigenvektoren gilt:
– Für die Dämpfungsmatrix folgt:
– Mit
lautet die zu lösende Gleichung:
[ I ]= [X ]T[ M L L ] [X ] → [X ]
−1= [X ]
T[ M L L ]
[ X ]T[ DL L ]= [X ]
T[ DL L ] [X ] [X ]
−1= [D ]X [X ]
T[ M L L ]
[X p ]T[ DL L ]= [D ] p [X
p ]T[ M L L ]
[K d ] p [Qp ]=Ω2
[ X p ]T ( [ M L L ] [U L
G ]+ [ M L P ] [U P ] )
−iΩ ( [ D ] p [Xp ]
T[ M L L ] [U L
G ]+ [X p ]T[ DL P ] [U P ] )
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5.3-58
26.02.19
3.3.5 Bewegungsanregung
● Fehlerabschätzung:
– Für die Formänderungsenergie gilt:
– Wegen
gilt:
E F=
14
[U ]H
[K ] [U ]=14( [U G ]
H+ [U r ]
H) [ K ] ( [U G ]+ [U r ] )
=14( [U G ]
H[K ] [U G ]+ [U G ]
H[K ] [U r ]+ [U r ]
H[K ] [U G ]+ [U r ]
H[ K ] [U r ] )
[ K ] [U G ]=[ [K L L ] [U LG ]+ [ K L P ] [U P ]
[ K L P ]T [U L
G ]+ [ K P P ] [U P ] ]=[[0 ]
[ LP ]] , [U r ]=[ [U Lr ]
[0 ] ]
[U G ]H
[K ] [U r ]=0, [U r ]H
[ K ] [U G ]=0
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5.3-59
26.02.19
3.3.5 Bewegungsanregung
– Mit folgt für die Formänderungsenergie:
– Für den Fehler in der Formänderungsenergie folgt:
– Werden die Dämpfungskräfte vernachlässigt, gilt:
[U Lr ]=∑
n=1
N
[ xn ] Q n
E F=
14
[U G ]H
[K ] [U G ]+14∑n=1
N
ωn2|Q n|
2
Δ E Fp=
14 ∑n= p+1
N
ωn2|Q n|
2
Q n=H nΩ
2
ωn2 [ x n ]
T ( [ M L L ] [U LG ]+ [ M L P ] [U P ] )
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5.3-60
26.02.19
3.3.5 Bewegungsanregung
– Für den Fehler folgt:
– Die Summe über die vernachlässigten Eigenvektoren kann wie im Falle der Kraftanregung mithilfe der statischen Lö-sung von
berechnet werden.
– Beim Bilden des bezogenen Fehlers kürzt sich der Faktor Ω4.
Δ E Fp<
14 |
H p|2Ω
4 ∑n= p+1
N
( [ xn ]T ( [M L L ] [U L
G ]+ [ M L P ] [U P ] )ωn
)2
[ K L L ] [uL ]=Ω2 ( [ M L L ] [U L
G ]+ [ M L P ] [U P ] )
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5.3-61
26.02.19
3.3.5 Bewegungsanregung
● Restmodekorrektur:
– Die Restmodekorrektur kann wie im Falle der Kraftanre-gung berechnet werden.
– Dabei wird die Last
verwendet.
[ LL ]=Ω2 ( [ M L L ] [U L
G ]+ [M L P ] [U P ] )
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5.3-62
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
● Wenn die Bewegung der Lagerung im Wesentlichen eine Starrkörperbewegung ist, kann der Fehler in der Formän-derungsenergie mithilfe der modalen effektiven Massen abgeschätzt werden.
● Starrkörperbewegungen:
– Jede Starrkörperbewegung lässt sich als Überlagerung der sechs elementaren Starrkörperbewegungen darstellen.
– Die elementaren Starrkörperbewegungen sind:● 3 Einheitstranslationen in x-, y- oder z-Richtung● 3 Einheitsrotationen um die x-, y- oder z-Achse
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5.3-63
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
● Modale Partizipationsfaktoren:
– Sei [Rk] eine der sechs elementaren Starrkörperbewegun-gen:
Wird angenommen, dass die Starrkörperbewegungen un-gedämpft sind, d. h.
lautet die Gleichung für die Relativbewegung:
[ DL L ] [ RkL ]=[0 ] und [ DL P ] [RkP ]= [0 ] ,
[K L Ld ] [U L
r ]=Ω2( [ M L L ] [ RkL ]+ [ M L P ] [ RkP ] )
[U P ]=[ RkP ] , [U LG ]=[ RkL ]
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5.3-64
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
– Die modale Reduktion ergibt:
– Mit den modalen Partizipationsfaktoren
folgt:
(1+2 i Dnηn−ηn2 )Q n=ηn
2[ xn ]
T( [ M L L ] [ RkL ]+ [ M L P ] [ RkP ] ) , n=1,… , p
Γkn= [ x n ]T( [ M L L ] [ RkL ]+ [ M L P ] [ RkP ] )
Q n=ηn2 H nΓkn , H n=H (ηn , Dn)
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5.3-65
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
● Interpretation der modalen Partizipationsfaktoren:
– Die modalen Partizipationsfaktoren hängen mit den Lager-kräften zusammen, die bei einer Eigenschwingung auftre-ten.
– Für eine Eigenschwingung gilt:
– Die resultierende Lagerkraft berechnet sich zu
−ωn2 [ [ M L L ] [M L P ]
[ M L P ]T
[ M P P ]][[ x n ][0 ] ]+[
[ K L L ] [K L P ]
[ K L P ]T
[ K P P ]] [[ x n ][0 ] ]=[
[0 ]
[ LP ] ]
[ RkP ]T[ LP ]=(−ωn
2[ RkP ]
T[ M L P ]
T+ [ RkP ]
T[ K L P ]
T) [ xn ]
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5.3-66
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
– Mit
folgt:
– Damit ist gezeigt:
– Die modalen Partizipationsfaktoren sind proportional zu den resultierenden Lagerreaktionen infolge einer Eigenschwin-gung.
[ RkL ]T[ K L L ]+ [ RkP ]
T[K L P ]
T=[0 ] und [ K L L ] [ x n ]=ωn
2[M L L ] [ x n ]
[ RkP ]T[ K L P ]
T[ xn ]=− [ RkL ]
T[ K L L ] [ x n ]=−ωn
2[ RkL ]
T[ M L L ] [ x n ]
[ RkP ]T[ LP ]=−ωn
2( [ RkP ]
T[ M L P ]
T+ [ RkL ]
T[M L L ] ) [ x n ]=−ωn
2Γkn
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5.3-67
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
– Eigenschwingungen, für die die resultierenden Lagerkräfte klein sind, werden durch eine Starrkörperbewegung der La-gerpunkte wenig angeregt.
● Modale effektive Massen:
– Wenn die Struktur eine Starrkörperschwingung ausführt, gilt für den zeitlichen Mittelwert der kinetischen Energie:
– Die Starrkörperbewegung an den lokalen Freiheitsgraden kann als Überlagerung der Eigenvektoren dargestellt wer-den:
E kK=Ω
2
4 [ Rk ]T[ M ] [ Rk ]≈
Ω2
4 [ RkL ]T[ M L L ] [ RkL ]
[ RkL ]=∑n=1
N
[ x n ] qkn=∑n=1
N
[ x n ] [ xn ]T[ M L L ] [ RkL ]
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5.3-68
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
– Mit folgt:
– Die Summanden heißen modale effektive Massen.
– Für ihre Summe gilt:
– Für Einheitstranslationen gilt:
– Für Einheitsrotationen gilt:
[ x n ]T[ M L L ] [ RkL ]≈Γkn
[ RkL ]=∑n=1
N
Γkn [ xn ] , E kK=Ω
2
4 ∑n=1
N
Γkn2=Ω
2
4 [ Rk ]T
[M ] [ Rk ]
mkk=m für k=1, 2, 3
m44=J x , m55=J y , m66=J z
Γkn2
∑n=1
N
Γkn2= [ Rk ]
T[M ] [ Rk ]=mkk
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5.3-69
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
● Fehlerabschätzung:
– Mit
folgt für den Fehler in der Formänderungsenergie:
– Wegen ηp < 1 gilt für n > p :
– Daraus folgt:
[ x n ]T[ LL ]=Ω
2[ x n ]
T( [ M L L ] [ RkL ]+ [ M L P ] [RkP ] )=Ω
2Γkn
Δ E Fp=Ω
2
4 ∑n= p+1
N
ηn2|H n|
2Γkn
2
ηn=Ω/ωn<ηp → H n<H p
Δ E Fp<Ω
2
4ηp
2|H p|
2 ∑n= p+1
N
Γkn2
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5.3-70
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
– Mit
lässt sich die Abschätzung berechnen:
– Als Fehlermaß wird der auf die kinetische Energie bezoge-ne Fehler in der Formänderungsenergie verwendet:
∑n=1
N
Γkn2=mkk → ∑
n= p+1
N
Γkn2=mkk−∑
n=1
p
Γkn2
ΔE Fp<Ω
2
4ηp
2|H p|
2(mkk−∑n=1
p
Γkn2 )
eFkp=ΔE Fp
E kK <ηp
2|H p|
2(1−∑n=1
pΓkn
2
mkk)
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5.3-71
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
● Beispiel:
– Daten:● a = 2,5 m● E = 2,1·1011 Pa, ρ = 7850 kg/m3
● A = 10-4 m2, Iz = 10-6 m4
– Gesucht:● modale effektive Massen
x
y
A
B
C
D E
K
H
G
F
Anschlusspunkte: A, K
a a
O
a
a
a
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5.3-72
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
– Modale effektive Massen:
Modal effective masses of component "frame"
Coordinates of reference point: 0.0000, 0.0000
mode frequency tx ty rz sum tx sum ty sum rz
1 8.70 Hz 7.7569e-01 1.1849e-29 8.4152e-01 0.77569 0.00000 0.84152 2 30.10 Hz 1.2001e-01 1.2450e-26 8.6386e-05 0.89569 0.00000 0.84161 3 50.05 Hz 2.5310e-26 1.0281e-01 1.4775e-27 0.89569 0.10281 0.84161 4 57.53 Hz 9.9126e-27 9.7593e-02 8.8683e-29 0.89569 0.20041 0.84161 5 58.02 Hz 4.0091e-02 1.0827e-27 2.0927e-03 0.93578 0.20041 0.84370 6 60.26 Hz 7.6723e-27 2.9922e-01 4.6855e-29 0.93578 0.49963 0.84370 7 122.86 Hz 3.7016e-04 6.0809e-28 1.0547e-01 0.93615 0.49963 0.94917 8 139.56 Hz 3.7335e-03 9.0756e-26 6.3115e-03 0.93989 0.49963 0.95548 9 156.27 Hz 2.7152e-26 3.9380e-01 2.3412e-26 0.93989 0.89343 0.95548 10 160.22 Hz 4.0910e-03 2.0097e-24 7.3843e-03 0.94398 0.89343 0.96286 … … … … … … …
28 604.99 Hz 1.5541e-03 1.2358e-28 1.1999e-03 0.97129 0.95183 0.98940 29 649.74 Hz 3.6640e-29 5.3140e-08 1.0199e-31 0.97129 0.95183 0.98940 30 681.36 Hz 1.5968e-03 4.5306e-29 4.7158e-04 0.97288 0.95183 0.98987
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5.3-73
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
– Eigenschwingungen:
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5.3-74
26.02.19
3.3.6 Modale effektive Massen
– Auswertung:● Die Eigenschwingungen 1, 2 und 5 werden durch horizontale
Bewegungen der Anschlusspunkte angeregt.● Die Eigenschwingungen 3, 6 und 9 werden durch vertikale
Bewegungen der Anschlusspunkte angeregt.● Die ersten 30 Eigenvektoren reichen aus, um die Antwort auf
eine horizontale oder vertikale Anregung zu berechnen
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5.3-75
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3.4 Praktische Hinweise
● Netzfeinheit:
– Die Vernetzung muss in der Lage sein, alle Eigenschwin-gungen, die für die modale Reduktion benötigt werden, gut zu approximieren.
● Frequenzraster:
– Da sich die Übertragungsfunktionen in der Nähe der Reso-nanzfrequenzen stark ändern, müssen sie in der Nähe der Resonanzen für ausreichend viele Erregerfrequenzen be-rechnet werden.
– Dazu sollten in der Halbwertsbreite jeder Resonanzfre-quenz 5 bis 9 Erregerfrequenzen vorgegeben werden.
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3.4 Praktische Hinweise
– Werden diese Erregerfrequenzen gleichmäßig über die Halbwertsbreite verteilt, stellt eine ungerade Anzahl sicher, dass die Resonanzfrequenz selbst auch als Erregerfre-quenz auftritt.
– Das Verhalten zwischen den einzelnen Halbwertsbreiten kann durch ein überlagertes gleichmäßiges Raster von Er-regerfrequenzen erfasst werden.