Die Möbius-Gruppe
Isabell Donner Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar zur Differentialgeometrie Seminarleitung: Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer
2
Inhaltsverzeichnis
Einleitung S. 3
Die Möbius-Gruppe
1. Herleitung der Definition der Möbius-Transformation S. 3
2. Ausweitung der Definition der Möbius-Transformation S. 7
3. Die Möbius-Gruppe S. 9
4. Eigenschaften der Möbius-Gruppe S. 13
Quellenangaben S. 26
3
Einleitung
Im Folgenden wird vor dem Hintergrund des Themenbereichs „Matrizengruppen
geometrischer Transformationen“ die sogenannte Möbius-Transformation und die sich daraus
entwickelnde Möbius-Gruppe vorgestellt1, eine Gruppe geometrischer Transformationen, die
unter anderem die besondere Eigenschaft besitzt, Kreise in Kreise zu überführen. In
Abschnitt 1. wird zunächst die Möbius-Transformation als komplexe Funktion definiert.
Abschnitt 2. handelt von der Ausweitung der Definition auf den eindimensionalen projektiven
Raum ℂ 1P sowie auf die Einheitssphäre und dem Zusammenhang zwischen beiden. Auf
dieser Grundlage wird in Abschnitt 3. die Möbius-Gruppe definiert und ihre Isomorphie zur
Gruppe PGL(2,C) bewiesen. In Abschnitt 4. schließlich wird gezeigt, dass jede Möbius-
Transformation der Einheitssphäre Winkel und Kreise erhält.
Die Möbius-Gruppe
1. Herleitung der Definition der Möbius-Transformation
Ziel ist nun zunächst, die Möbius-Transformation auf C zu definieren, um hiervon ausgehend
diese Definition auf ℂ 1P , den eindimensionalen projektiven Raum über C, auszuweiten. Ein
besonderer Blick wird daher auf die Einbettung von C in ℂ 1P gerichtet, die sich im Zuge der
nachfolgenden Definition von ℂ 1P ergeben wird. Dieser wird definiert als spezieller Fall des
n-dimensionalen projektiven Raumes über einem Körper K, das heißt für den Fall 1=n und
K = C.
Definition 1.1: Die komplexe projektive Gerade wird definiert als der eindimensionale
projektive Raum ℂ 1P . Auf diesem wirkt die projektive Gruppe PGL(2,C) in der folgenden
Weise2:
=++=⋅
],[],[ dwczbwazwz
dc
ba ]1,[ dwcz
bwaz++ falls cz + dw ≠ 0
[1,0] falls cz + dw = 0
.
1 Die folgenden Ausführungen stützen sich, sofern nicht anders gekennzeichnet, auf Kühnel 2011, S. 47 ff. 2 Per Notationskonvention wird [z,w] als Zeilenvektor geschrieben, unter der Multiplikation mit einer Matrix allerdings wie ein Spaltenvektor behandelt.
4
Mit der Division beider obiger Komponenten durch dwcz+ erkennt man also, dass sich die
Multiplikation einer Matrix aus PGL(2,C) mit einem Element aus ℂ 1P so darstellen lässt,
dass der erste Eintrag die Gestalt dwcz
bwaz
++
trägt, der zweite Eintrag gleich 1 ist. Da man im
allgemeinen Fall über die Darstellung ]1,,...,[ 1 nxx in inhomogenen Koordinaten eine
Beschreibung des n-dimensionale affinen Raumes als Teilmenge des n-dimensionalen
projektiven Raumes3 erhält, kann man die obige Darstellung als Beschreibung von ℂ als
Teilmenge von ℂ 1P auffassen. Damit erhält man insbesondere eine Einbettung ℂ → ℂ 1P ,
]1,[zz֏ und damit die Abbildungdcz
bazz
++
֏ .
Für den Fall 0=+ dwcz , für den der Ausdruck dwcz
bwaz
++
nicht definiert ist, erhält man den
Punkt ]0,1[ als Komplement zu C in ℂ 1P . Im allgemeinen Fall des n-dimensionalen
projektiven Raumes liefert die Darstellung ]0,...,,[ 10 xx eine Beschreibung der
Fernhyperebene4. Im momentanen, eindimensionalen Fall erhält man mit ]0,1[ also den
Fernpunkt von ℂ 1P .
Auf Grundlage obiger Einbettung von C in ℂ 1P wird nun die Möbius-Transformation als
Funktion auf ℂ definiert, ausgenommen des Wertes, für welchen der Nenner den Wert 0
annimmt:
Definition 1.2: Eine Abbildung :f ℂ\{ }cd− → ℂ der Gestalt5
dcz
bazz
dc
bazf
++=⋅
=)(
mit a, b, c, d ∈ℂ und 0≠− bcad heißt Möbius-Transformation .
Das Kriterium 0≠− bcad , das heißt das Kriterium der von 0 verschiedenen Determinante
3 vgl. Kühnel 2011, S. 45. 4 ebd. 5 Bei der Multiplikation mit z wird die projektive Schreibweise [z,1] implizit mitgedacht.
5
der Matrix
dc
ba, ist von Notwendigkeit, da sonst die Wohldefiniertheit von Definition 1.1
verletzt wäre: Weil eine Matrix mit Determinante 0 keinen vollen Rang hat und ihr Kern,
aufgrund der nicht vorherrschenden Injektivität der Abbildung, mehr Elemente als das
Nullelement enthielte, existierte ein Element ]~,~[ wz , wobei wz ~,~ nicht beide gleich 0 sind mit
]0,0[]~~,~~[]~,~[ =++=⋅
wdzcwbzawz
dc
ba. Ein solches Element ist für den projektiven Raum
jedoch nicht definiert.
Es werden nun einige bedeutsame Folgerungen aus Definition 1.2 abgeleitet:
1.3 Folgerungen:
(i) Der Fall 0,1 ==== cbda liefert wegen zz
zzf =⋅=⋅
=
1
1
10
01)( die Identität.
(ii) Aufgrund des Kriteriums 0≠− bcad folgt, dass die Matrix
dc
ba in der Gruppe
GL(2,C) enthalten ist. Durch eine jede Matrix dieser Gruppe erhält man also eine Möbius-
Transformation.
(iii) Multipliziert man einen jeden Matrixeintrag und damit auch Zähler und Nenner des
Ausdrucks dwcz
bwaz
++
mit einer komplexen Konstante ∈0z ℂ, 00 ≠z , so erhält man aufgrund
zdzcz
bzaz
dzzcz
bzzaz
dcz
bazz
dc
ba⋅
=
++
=++=⋅
00
00
00
00
dieselbe Möbius-Transformation.
Über
=−
dc
babcad det m:= ⇔=−⇔ 1
m
bc
m
ad
m
d
m
a1=−
m
c
m
b lässt sich eine
jede Matrix so umfaktorisieren, dass sich ihre Wirkung auf die Wirkung einer Matrix mit
Determinante 1 zurückführen lässt, wobei der Faktorm bis auf Vorzeichen eindeutig
bestimmt ist. Aufgrund ∈m C (und )0≠m , existiert ein solcher Faktor für jede Determinante
m, da sich im Falle komplexer Zahlen klarerweise auch aus negativem m die Wurzel ziehen
lässt. Damit lassen sich die in Möbius-Transformationen wirksamen Matrizen zur Gruppe
SL(2,C) klassifizieren.
6
(iv) Da hier die Wirkung einer Matrix A mit der Wirkung einer Matrix B genau dann
übereinstimmt, wenn das Verhältnis BA λ= für ∈λ C \ }0{ gilt, lässt sich schlussfolgern, dass
die Möbius-Transformationen durch eben die Matrizen der Gruppe PGL(2,C) induziert
werden.
(iii) besagte nun, dass sich die Wirkung einer jeden Matrix der Gruppe GL(2,C) auf die
Wirkung einer Matrix aus SL(2,C) zurückführen lässt. Diese klassifiziert sich auf analoge
Weise zur Gruppe PSL(2,C) und für ∈BA, SL(2,C) gilt:
11)det()det()det()det()det(~ 21)det()det(
±=⇔=⇔=⇔=⇒=⇔==
λλλλλBA
BEABABABA
Das heißt, für die Äquivalenzklassen in PSL(2,C) gilt: BABA ±=⇔~ . In PSL(2,C) sind
also Repräsentanten der Gruppe PGL(2,C) enthalten, die bis auf Vorzeichen eindeutig sind
und es gilt PGL(2,C) = PSL(2,C).
(v) Die Gruppeneigenschaften von PGL(2,C) übertragen sich insofern auf die Möbius-
Transformationen, als sie in entsprechende Eigenschaften von Funktionen übersetzt werden:
• Verknüpfungstreue: Multipliziert man die Matrix in Definition 1.1 mit einer weiteren
Matrix aus PGL(2,C), so erhält man aufgrund der Verknüpfungstreue von PGL(2,C) wieder
eine Matrix dieser Gruppe, die ein Element aus ℂ1P über Multiplikation in die Gestalt einer
Möbius-Transformation überführt. Für ∈
δγβα
PGL(2,C) und 1=w gilt:
]1,[zdc
ba⋅
⋅
δγβα
= ]1,[zdcdc
baba⋅
++++
δβγαδβγα
= )]()(),()[( δβγαδβγα dczdcbazba ++++++
= )()(
)()(
δβγαδβγα
dczdc
bazba
++++++
.
7
Aufgrund
]1,[zdc
ba⋅
⋅
δγβα
= ],[ dzzdc
ba++⋅
γβα
lässt sich diese Matrizenmultiplikation als Hintereinanderausführung zweier Möbius-
Transformationen verstehen, wobei man als Ergebnis wieder eine Möbius-Transformation
erhält.
• Assoziativität: Die Assoziativität, die für die Gruppe PGL(2,C) erfüllt ist, überträgt sich
ganz offensichtlich auf die Möbius-Transformationen, so dass man für ∈CBA ,, PGL(2,C)
und zugehörige Möbius-Transformationen CBA fff ,, folgendes erhält:
)))((()()())()(( zfffzCBAzCBAzfff CBACBA ���� =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= .
• Neutralelement: Für eine beliebige Möbius-TransformationAf mit zugehöriger Matrix A ist
Ef mit
⋅=
10
01λE , ∈λ C, das neutrales Element zu Af :
)())(())(()(),(
zfzffzff A
ivi
EAEA ==� )())(())(()(),(
zfzffzff A
ivi
AEAE ==� .
• Inverselement: Für eine beliebige Möbius-TransformationAf mit zugehöriger Matrix A ist
1−Af das inverse Element zu Af , wobei 1−A die inverse Matrix zu A ist:
)())(( 11 zfzEzAAzff EAA =⋅=⋅⋅= −
−� analog: EAAfff =− �1
2. Ausweitung der Definition der Möbius-Transformation
2.1 Ausweitung der Definition auf die komplexe projektive Gerade
Es wird nun dazu übergegangen, die Definition der Möbius-Transformation auf die komplexe
projektive Gerade ℂ 1P auszuweiten. Dazu wird der folgende Schritt getan: Man fügt den
komplexen Zahlen ℂ den Fernpunkt ]0,1[ hinzu, den man auch als den Punkt ∞ auffasst, und
gelangt damit zur folgenden Definition:
8
Definition 2.1.1: Fügt man ℂ den Fernpunkt ∞ hinzu, der mit dem Punkt ]0,1[ identifiziert
wird, so erhält man
ℂ1P == C C∪ {∞}, genannt: Riemannsche Zahlensphäre.
Durch die Hinzunahme des Punktes ∞ zu ℂ lassen sich insbesondere Definitions- und
Wertebereich derjenigen komplexen Funktionen erweitern, die Definitionslücken besitzen.
Die Möbius-Transformation lässt sich dadurch wie folgt erweitern:
• Für den Fall 0=+ dcz setzt man, wie schon in Definition 1.1 angedeutet, als Funktionswert
den Fernpunkt ∞, das heißt: =)(zf ∞ für 0=+ dcz .
• Da der Fernpunkt auch dem Definitionsbereich von komplexen Funktionen hinzugefügt
wird, erhält man im Falle der Möbius-Transformation den Funktionswert (f ∞)c
a= . Spricht
man im sonstigen Fall von c
a
c
a
dcz
baz
zd
zb
→++
=++
für →z ∞ von einer Konvergenz gegen den
Wert c
a, so spricht man im momentanen Fall, anstatt von Konvergenz, von Gleichheit, da der
Wert ∞ dem Definitionsbereich angehört.
2.2 Ausweitung der Definition auf die Einheitssphäre
Das nächste Ziel besteht nun darin, eine Definition der Möbius-Transformation für die
Einheitssphäre 2S zu schaffen. Um eine Beziehung von den bisherigen Definitionsbereichen,
also ℂ und ℂ 1P , zu 2S herzustellen, arbeitet man mit der stereographischen Projektion, die
als Abbildung zwischen R² bzw. ℂ und 2S wie folgt definiert ist:
Definition 2.2.1:
Man betrachte die Standard-Einheitssphäre ∈= ),,{( 3212 xxxS RÚ }1| 2
32
22
1 =++ xxx . Die
stereographische Projektion ordnet jedem dem Nordpol ( )1,0,0=N verschiedenen Punkt P
der Sphäre den eindeutigen Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von P und N mit der Ebene
}0|),,{( 3321 =yyyy zu und ist gegeben über 2: Sσ \ )}1,0,0{( → R² mit
9
−−=
3
2
3
1321 1
,1
),,(x
x
x
xxxxσ .
Die zentrale Idee der stereographischen Projektion ist also, jedem Punkt P der Einheitssphäre
(deren Äquator in der Ebene }0|),,{( 3321 =yyyy liegt) den eindeutigen Schnittpunkt der
Verbindungsgeraden zwischen P und dem Nordpol mit der Ebene }0|),,{( 3321 =yyyy
zuzuordnen und dadurch eine Bijektion zwischen R² und 2S zu erlangen. Da in dieser
Definition allerdings der Nordpol ausgenommen wird und man also keine Objekte auf die
komplexe Ebene projizieren kann, die den Nordpol enthalten, weitet man die stereographische
Projektion insofern aus, als man den Nordpol auf den Fernpunkt ]0,1[ bzw. den Punkt ∞
abbildet und damit eine Bijektion zwischen 2S und ℂ 1P erhält:
Feststellung 2.2.2: Indem man über die stereographische Projektion durch ]0,1[))1,0,0((ˆ =σ
den Nordpol auf den Fernpunkt ]0,1[ abbildet, erhält man eine Bijektion 2:ˆ Sσ → ℂ 1P .
Über diese Identifikation zwischen 2S und ℂ 1P erklärt sich die Benennung des letzteren als
„Riemannsche Zahlensphäre“.
Diese Erweiterung eröffnet nun die Möglichkeit, Punkte der Einheitssphäre über σ auf ℂ 1P
zu projizieren, diese nachfolgend unter der Möbius-Transformation abzubilden, um sie dann
wieder mittels 1ˆ −σ auf 2S zu projizieren, wodurch man eine Möbius-Transformation der
Einheitssphäre erhält. Motiviert durch diesen Vorgang wird im nachfolgenden Abschnitt die
Möbius-Gruppe als Menge aller derartiger Transformationen der Einheitssphäre definiert.
3. Die Möbius-Gruppe
Definition 3.1: (a) Eine Abbildung 2: SF →2S , die gegeben ist über
σσ ˆˆ 1�� fF −= ,
wobei es sich bei :f ℂ 1P → ℂ 1P um eine Möbius-Transformation handelt, heißt Möbius-
Transformation der Einheitssphäre.
10
(b) Die Menge so gearteter F mit zugeordnetem ∈f PGL(2,C) heißt Möbius-Gruppe (im
Folgenden durch MG abgekürzt). Diejenigen geometrischen Größen, die von der Möbius-
Gruppe bewahrt werden, bezeichnet man als Möbius-Geometrie.
Satz 3.2: Die Möbius-Gruppe erfüllt die Gruppenaxiome
Beweis:
Verknüpfungstreue: Seien MGFF BA ∈, mit σσ ˆˆ 1�� AA fF −= , σσ ˆˆ 1
�� BB fF −= . Dann
gilt:
MGfffffFF BA
v
BABABA ∈=== ⋅−−− σσσσσσσσ ˆˆˆˆˆˆˆˆ
)(3.1111
�����������
Assoziativität: Seien MGFFF CBA ∈,, . BA FF , wie oben, σσ ˆˆ 1�� CC fF −= . Dann gilt:
CBA FFF �� )( = σσσσσσ ˆˆ)ˆˆˆˆ( 111�������� CBA fff −−−
= =−−− )ˆˆˆˆ(ˆˆ 111 σσσσσσ �������� CBA fff )( CBA FFF ��
Neutralelement: Sei σσ ˆˆ 1�� EE fF −= mit zzf E =)( für ∈z ℂ. Dann ist EF aufgrund
AAEAEAEA FfffffFF ==== −−−− σσσσσσσσ ˆˆˆˆˆˆˆˆ 1111�����������
analog: AAE FFF =�
das neutrale Element für alle MGFA ∈ .
Inverselement: Für MGFA ∈ beliebig betrachte σσ ˆˆ 111
�� −−−=
AAfF . Dann gilt:
σσσσσσσσ ˆˆˆˆˆˆˆˆ 1111111 ����������� EAAAAAA fffffFF −−−− === −−−
1−⇒A
F ist das inverse Element zu .AF
□
Satz 3.3: Die Möbius-Gruppe ist isomorph zu PGL(2,ℂ).
Dieser Zusammenhang ist vor allem in Hinblick auf das Oberthema „Matrizengruppen
geometrischer Transformationen“ von Bedeutung: Die Möbius-Gruppe ist zwar selbst nicht
als Matrizengruppe gegeben, sie ist allerdings insofern diesen Gruppentypen unterzuordnen,
als sie zu einer solchen Gruppe isomorph ist.
11
Beweis6:
Zu zeigen: :φ PGL(2,ℂ) → MG , σσ ˆˆ 1��֏ AA fFA −= ist ein Isomorphismus.
Dieser Beweis stützt sich auf den Homomorphiesatz für Gruppen, der wie folgt lautet:
Homomorphiesatz für Gruppen: Seien G und H Gruppen und Gf : → H ein
Epimorphismus.
Dann ist
fGf ker/: → H, )(ker xffx ֏ , Gx∈ ,
ein Isomorphismus.
• Zunächst ist wichtig, dass sich PGL(2,ℂ) als die folgende Faktorgruppe auffassen lässt: Für
∈= λλ |{ EU E ℂ }0, ≠λ gilt: PGL(2,ℂ) = GL(2,ℂ) ,2(|{/ GLAEAU E ∈⋅= λ ℂ)}.
Da diese Menge also die Klasse aller Vielfachen einer Matrix ,2(GLA∈ ℂ) enthält, bedeutet
die Darstellung als Faktorgruppe nichts anderes als die Klassifizierung zu PGL(2,ℂ) als
Quotient von ,2(GL ℂ) nach der Äquivalenzrelation ~ mit BA ~ ⇔ AB λ= , ∈λ ℂ\{0}.
• Man zeigt zunächst, dass es sich bei :~φ GL(2,ℂ) → MG, σσ ˆˆ 1
��֏ AA fFA −= um einen
Epimorphismus handelt. Da dann mit dem Homomorphiesatz folgt, dass
GL(2,ℂ) φ~ker/ isomorph zu MG ist, genügt es zu zeigen, dass ∈= λλφ |{~
ker E ℂ }0, ≠λ .
Zeige zunächst: :~φ GL(2,ℂ) → MG, σσ ˆˆ 1
��֏ AA fFA −= ist ein Epimorphismus
(i) Homomorphie: Seien ∈BA, GL(2,ℂ). Dann gilt:
)(~
)(~
BA φφ � = σσσσ ˆˆˆˆ 1����� BA ff − = σσ ˆˆ ��� BA ff
)(3.1 v
= σσ ˆˆ �� BAf ⋅ = )(~
BA ⋅φ
(ii) Surjektivität: Wie in 1.3 (ii) festgehalten, sind die in einer Möbius-Transformation
wirksamen Matrizen gerade durch die Elemente der Gruppe GL(2,ℂ) gegeben. Also
6 Für den folgenden Beweis stütze ich mich auf Herrmanns 2007, S. 69 ff.
12
lässt sich zu jedem AF mit σσ ˆˆ 1�� AA fF −= eine entsprechende Matrix ∈A GL(2,ℂ)
finden, woraus die Surjektivität folgt.
Insgesamt folgt: :~φ GL(2,ℂ) → MG ist ein Epimorphismus.
Zeige nun: ∈= λλφ |{)~
ker( E ℂ }0, ≠λ
""⊆ Sei )~
ker(φ∈A mit
=
dc
baA . Es ist ∈= A{)
~ker(φ GL(2,ℂ) }))((
~| ssA =φ mit 2Ss∈ .
Ferner gilt ssfsA A == − ))(ˆˆ())((~ 1 σσφ �� ⇒ ssf A =− )))(ˆ((ˆ 1 σσ ⇒ )(ˆ))(ˆ( ssf A σσ = .
Untersuche also zzf A =)( mit ∈= )(ˆ: sz σ ℂ1P und .)(
dcz
bazzf A +
+=
Betrachte charakteristische Werte für diese Abbildung:
- Für 0=z gilt: 0000
0 =⇔=⇔=+⋅+⋅
bd
b
dc
ba
- Für =z ∞ ist c
a
dcz
baz =++
⇒ 0=c , was aus den Erklärungen zu Definition 2.1.1 folgt.
- Für 1=z gilt: dad
a
dc
ba cb
=⇔=⇔=+⋅+⋅ ==
111
1 0
⇒A besitzt die Darstellung
⋅=
=
10
01
0
0a
a
aA ∈∈⇒ λλ |{ EA ℂ }0, ≠λ
""⊇ zzE =⋅λ , da die Vielfachen der Einheitsmatrix eben dieselbe Wirkung auf ein Element
aus ℂ haben, wie die Einheitsmatrix.
∈⇒ λλ |{ E ℂ φλ ~ker}0, ⊆≠
□
13
4. Eigenschaften der Möbius-Gruppe
Es werden nun im letzten Abschnitt wichtige Eigenschaften der Möbius-Transformation der
Einheitssphäre, also der Möbius-Gruppe vorgestellt.
Lemma 4.1:
(a) Die Möbius-Transformation der Einheitssphäre2S ist winkeltreu, das heißt, sie bewahrt
die Winkel zwischen zwei Tangentenvektoren.
(b) Die Möbius-Transformation der Einheitssphäre überführt Kreise in Kreise (wobei der
Mittelpunkt im Allgemeinen nicht bewahrt wird).
Beweis:
(a) Um zu zeigen, dass ein Element F der Möbius-Gruppe mit σσ ˆˆ 1�� fF −= winkeltreu ist,
zeigt man, dass σ und 1−σ sowie f winkeltreu sind. Als Hintereinanderausführung
winkeltreuer Funktionen ist dann auch F winkeltreu. Zeige also:
(i) f ist winkeltreu.
(ii) σ und 1−σ sind winkeltreu.
Vorbereitung: Der Nachweis der Winkeltreue stützt sich im Wesentlichen auf den folgenden
Hilfssatz:
Lemma 4.1.1: Sei Vf : → W eine differenzierbare Funktion, V, W Vektorräume. Ist das
Differential von f eine Drehstreckung, so ist f winkeltreu, das heißt, für das Differential in
jedem Punkt Vp∈ gilt:
Adf p λ= für ,V∈λ 0≠λ und )(nOA∈ ⇒ ∢ =))(),(( wdfvdf pp ∢ ),( wv für Vwv ∈, .
Dass es sich bei pdf um eine Drehstreckung handelt, ergibt sich klarerweise aus der
Darstellung als Produkt einer orthogonalen Matrix A mit einem Faktor λ , der als Streckfaktor
zu verstehen ist.
Die Winkeltreue der Funktion f durch das Kriterium
∢ =))(),(( wdfvdf pp ∢ ),( wv für Vwv ∈,
14
auszudrücken, gründet darin, dass sich im Falle differenzierbarer Funktionen nur dann
sinnvoller Weise von Winkeln zwischen Funktionswerten sprechen lässt, wenn man die
Winkel zwischen den Bildern von Tangentenvektoren unter dem Differential betrachtet.
Beweis: Um aufzuzeigen, dass der Winkel zwischen )(vdf p und )(wdf p mit dem Winkel
zwischen v und w übereinstimmt, wird gezeigt, dass Folgendes der Fall ist:
wv
wv
wdfvdf
wdfvdf
pp
pp
⋅><=
⋅
>< ,
)()(
)(),(
Diese Gleichung ist schnell gezeigt, da im Falle )(nOA∈ aufgrund von
>=<===>=< − xxxxAxAxAxAxAxAxAxAx TTTTT ,)(, 1 das Skalarprodukt unter A
erhalten bleibt und sich die linke Seite der Gleichung somit in wenigen Schritten umformen
lässt:
cos∢ =))(),(( wdfvdf pp AwAv
AwAv
AwAv
AwAv
wdfvdf
wdfvdf
pp
pp
λλλ
λλλλ
⋅><=
⋅><=
⋅
>< ,,
)()(
)(),( 2
= wv
wv
AwAv
AwAv
⋅><=
⋅>< ,,
= cos∢ ),( wv
□
Nun wird zum Hauptteil des Beweises von Lemma 4.1 (a) übergegangen:
ad(i): Zunächst muss gezeigt werden, dass jede Möbius-Transformation f winkeltreu ist. Dazu
führt man sich vor Augen, dass der Ausdruck dcz
baz
++
offensichtlich komplex differenzierbar
ist und es zu zeigen gilt, dass das Differential einer holomorphen Funktion reell betrachtet als
Drehstreckung aufzufassen ist.
Vorbereitung:
Sei :f C → C holomorph. Reell aufgefasst hat man eine Funktion :f R² → R², deren
Differential im Punkt 0z durch :0zdf R² → R², xDx ⋅֏ gegeben ist, wobei es sich bei D
um eine 22× -Jacobi-Matrix handelt. Komplex interpretiert trägt das Differential von f die
Darstellung :0zdf C → C, zzfz ⋅)(' 0֏ . Bei )(' 0zf handelt es sich klarerweise um eine
komplexe Zahl, so dass man das Differential einer holomorphen Funktion in jedem Punkt als
15
Multiplikation mit einer komplexen Zahl auffassen kann. Zeigt man nun noch, dass die
Multiplikation mit einer komplexen Zahl reell betrachtet als Drehstreckung aufzufassen ist, so
ist gezeigt, dass insbesondere das Differential einer holomorphen Funktion als Drehstreckung
zu verstehen ist:
Lemma 4.1.2: Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl lässt sich reell betrachtet als eine
Drehstreckung auffassen.
Beweis: Seien ∈21, zz C, die sich darstellen lassen als biaz +=1 , yixz +=2 , ∈yxba ,,, R.
Untersuche nun, welche Wirkung die Multiplikation mit 1z auf 2z hat:
iaybxbyaxbybixayiaxyixbiazz )()()()(21 ++−=−++=+⋅+=⋅ .
Man erhält wieder eine komplexe Zahl mit Realteil byax− und Imaginärteil aybx+ , was
reell gesehen dem Vektor ∈
+−
aybx
byaxR² und damit der folgenden Matrix-Vektor-
Multiplikation entspricht:
+−
=
⋅
−aybx
byax
y
x
ab
ba.
Nun gilt außerdem, dass sich die komplexe Zahl 1z in Polarkoordinaten darstellen lässt als
)sin(cos1 θθθ irrez i +== , ∈r R, ]2,0[ πθ ∈ .
Mit Blick auf die Darstellung von 1z als biaz +=1 folgt: θcosra = , θsinrb = .
Einsetzen dieser Werte in die obige Matrix ergibt
−=
−=
−θθθθ
θθθθ
cossin
sincos
cossin
sincosr
rr
rr
ab
ba,
womit man offenkundig eine Drehmatrix, multipliziert mit dem reellen Streckfaktor r erhält.
⇒Die Multiplikation mit der komplexen Zahl 1z lässt sich reell betrachtet als Drehstreckung
auffassen.
Insgesamt folgt, dass sich das Differential einer holomorphen Funktion und damit das
Differential jeder Möbius-Transformation in jedem Punkt als Drehstreckung auffassen lässt.
Mit Lemma 4.1.1 folgt die Winkeltreue von f.
16
ad (ii): Es wird gezeigt, dass σ und 1−σ winkeltreu sind. Der Beweis wird zunächst für
1−σ geführt und anschließend argumentiert, dass auch σ winkeltreu ist.
Anhand von σ lässt sich 1−σ wie folgt herleiten:
−−==
3
2
3
121321 1
,1
),(),,(x
x
x
xyyxxxσ
⇒ 3
11 1 x
xy
−֏ ,
3
22 1 x
xy
−֏ , ∈21, yy }0|),{( 3321 =yyyy .
Bilde 1x und 2x unter der Umkehrabbildung also wie folgt ab:
131 )1( yxx −֏ , 232 )1( yxx −֏ .
Weiter zu bestimmen bleibt dann noch die Komponente 3x im Ausdruck
),)1(,)1((),( 32313211 xyxyxyy −−=−σ .
Der Vereinfachung halber setzt man λ:)1( 3 =− x und erhält:
)1,,(),( 21211 λλλσ −=− yyyy . (1)
Aufgrund der Parametrisierung der Sphäre als ∈= ),,{( 3212 xxxS RÚ }1| 2
32
22
1 =++ xxx muss
für (1) gelten: 1)1()()( 222
21 =−++ λλλ yy , wodurch sich λ wie folgt bestimmen lässt:
1)1()()( 222
21 =−++ λλλ yy ⇔ 121 22
222
12 =+−++ λλλλ yy
⇔ 121)1( 22
21
2 =−+++ λλ yy ⇔ λλ 2)1( 22
21
2 =++ yy
⇔ 1
22
22
1 ++=
yyλ
Einsetzen in (1) ergibt:
),( 211 yy−σ =
++−
++++ 1
21,
1
2,
1
22
22
12
22
1
22
22
1
1
yyyy
y
yy
y
=
++−+
++++ 1
1,
1
2,
1
22
22
1
22
21
22
21
22
22
1
1
yy
yy
yy
y
yy
y
Um nun die Winkeltreue von 1−σ zu zeigen, wird wieder Lemma 4.1.1 verwendet: Man
bestimmt das Differential, d. h. in diesem Fall die Jacobi-Matrix von 1−σ und zeigt, dass es
sich dabei um eine Drehstreckung handelt, woraus sich die Winkeltreue von 1−σ ergibt.
17
Die Spalten der Jacobi-Matrix 1−σd erhält man durch partielles Ableiten nach 1y und 2y ,
d.h. durch die Vektoren 1
1
y∂∂ −σ
und 2
1
y∂∂ −σ
, die im Folgenden bestimmt werden:
1
1
y∂∂ −σ
=
++−+−++
++−
++−++
222
21
12
22
12
22
11
222
21
12
222
21
112
22
1
)1(
2)1()1(2,
)1(
22,
)1(
22)1(2
yy
yyyyyy
yy
yy
yy
yyyy
= ( ))1()1(,2,21)1(
2 22
211
22
21121
21
22
2122
22
1
−+−++−−++++
yyyyyyyyyyyyy
= ( )1212
22
1222
21
2,2,1)1(
2yyyyy
yy−+−
++
2
1
y∂∂ −σ
=
++−+−++
++−++
++−
222
21
22
22
12
22
12
222
21
222
22
1
222
21
21
)1(
2)1()1(2,
)1(
22)1(2,
)1(
22
yy
yyyyyy
yy
yyyy
yy
yy
= ( )22
22
121222
21
2,1,2)1(
2yyyyy
yy−+−
++
Um zu beweisen, dass diese Jacobi-Matrix eine Drehstreckung darstellt, wird das folgende
Lemma verwendet:
Lemma 4.1.3:
Sei :ϕ R²→ 2S , ),(),( yxyx ϕ֏ differenzierbar mit Jacobi-Matrix
∂∂
∂∂=
TT
yxd
ϕϕϕ .
Dann ist ϕd eine Drehstreckung, sofern folgende beide Kriterien erfüllt sind:
(i) yx ∂
∂=∂∂ ϕϕ
(ii) 0=∂∂⋅
∂∂
yx
ϕϕ.
Beweis:
Zunächst führt man sich vor Augen, dass man mittels ϕ von R² zur Einheitssphäre und
mittels ϕd von R² in einen Tangentialraum an 2S abbildet, das heißt in den von x∂
∂ϕ und
y∂∂ϕ
aufgespannten Raum. Um nun die Wirkung von ϕd zu untersuchen, betrachtet man
dessen Wirkung auf eine Orthonormalbasis des R², indem man die Konsequenzen für das
18
Skalarprodukt und den Winkel zwischen zwei Vektoren aus dem von dieser Basis
aufgespannten Raum untersucht.
Sei ),( 21 ee die Standardbasis des R², ∈wv��
, span{ }21,ee mit 21 beaev +=� , 21 decew +=� ,
∈dcba ,,, R. Abgebildet unter ϕd gilt ∈)(),( wdvd�� ϕϕ span{ }yx ϕϕ , mit yx bavd ϕϕϕ +=)(
�,
yx dcwd ϕϕϕ +=)(�
, wobei )( 1edx ϕϕ = , )( 2edy ϕϕ = .
• >< )(),( wdvd�� ϕϕ = >++< yxyx dcba ϕϕϕϕ ,
= ���������������
µµ
ϕϕϕϕϕϕ:0:
,,)(,
===
><+><++>< yyyxxx bdbcadac
= ><=+ wvbdac��
,)( µµ
⇒ ϕd überführt das Skalarprodukt zweier Vektoren ∈wv��
, span{ }21,ee in ein Produkt aus
eben diesem Skalarprodukt und einem konstanten Faktor µ .
Insbesondere folgt: ><>=< vvvdvd����
,)(),( µϕϕ und ><>=< wwwdwd����
,)(),( µϕϕ .
• cos∢ =))(),(( wdvd�� ϕϕ
wv
wv
wdvd
wdvd��
��
��
��
µµµ
ϕϕϕϕ
⋅><=
⋅>< ,
)()(
)(),( =
wv
wv��
��
⋅>< ,
=cos∢ ),( wv��
⇒ ϕd erhält den Winkel zwischen v�
und w�
.
Insgesamt folgt: Da ϕd zum einen das Skalarprodukt zweier Elemente aus span{ }21,ee in das
Produkt dieses Skalarproduktes mit einem konstanten Faktor überführt und zum anderen die
Winkel zwischen solchen Vektoren erhält, überführt ϕd eine Orthonormalbasis in eine
Orthogonalbasis, woraus folgt, dass für diese Basis eine Drehstreckung vorgenommen wird.
Da alle Elemente eines Vektorraumes Erzeugnisse der Basen sind, lässt sich diese Eigenschaft
für alle Elemente aus R² schlussfolgern. □
Zeigt man nun noch, dass 1
1
y∂∂ −σ
und 2
1
y∂∂ −σ
Kriterium (i) und (ii) erfüllen, so hat man das
Beweisziel erreicht und gezeigt, dass es sich bei dem Differential von 1−σ um eine
Drehstreckung handelt und also 1−σ winkeltreu ist.
19
1
1
y∂∂ −σ
= ( )( )21
22
21
222
2142
22
1
441)1(
4yyyyy
yy+++−
++
= 21
22
21
42
22
21
22
41
2122
22
1
442221)1(
2yyyyyyyyy
yy+++−++−
++
= ( ) 42
21
22
41
2122
22
1
1221)1(
2yyyyy
yy+++++
++
= ( )222
2122
22
1
1)1(
2yy
yy++
++
= 1
22
22
1 ++ yy
2
1
y∂∂ −σ
= ( )( )22
222
21
22
2142
22
1
414)1(
4yyyyy
yy+−++
++
= 22
42
22
21
22
41
21
22
2122
22
1
422214)1(
2yyyyyyyyy
yy++−−+++
++
= ( ) 42
21
22
41
2122
22
1
1221)1(
2yyyyy
yy+++++
++
= ( )222
2122
22
1
1)1(
2yy
yy++
++
= 1
22
22
1 ++ yy
⇒ 21 yy ∂
∂=∂∂ ϕϕ
2
1
1
1
yy
−− ∂⋅∂
∂ σσ= ( ) ( ) ( ) ( )( )21
22
212121
22
2142
22
1
41221)1(
4yyyyyyyyyy
yy+−+⋅−+−⋅+−
++
= ( )213
2123
1213
2123
121422
21
4222222)1(
4yyyyyyyyyyyyyy
yy++−−−+−
++
= ( )2121422
21
44)1(
4yyyy
yy+−
++ = 0
Da 1−σ winkeltreu ist, kann man nun schließen, dass auch σ winkeltreu ist, da dieses
Verhältnis generell für Abbildungen und ihre Umkehrabbildungen gilt, was das folgende
Lemma zeigt:
20
Lemma 4.1.4: Sei Vf : →W bijektiv und winkeltreu. Dann ist auch die Umkehrabbildung
Wf :1−→V winkeltreu.
Beweis: Da f winkeltreu ist, gilt:
wv
wv
wfvf
wfvf
⋅><=
⋅>< ,
)()(
)(),( (2)
Stelle die rechte Seite dar als:
))(())((
))(()),((,11
11
wffvff
wffvff
wv
wv−−
−−
⋅><=
⋅><
Wiederum aufgrund der Winkeltreue von f lässt sich die linke Seite der Gleichung (2) in
wv
wv
⋅>< ,
umformen, so dass insgesamt
))(())((
))(()),((,11
11
wffvff
wffvff
wv
wv−−
−−
⋅><=
⋅><
gilt, woraus direkt die Winkeltreue von 1−f folgt.
□
(b) Um zu zeigen, dass die Möbius-Transformation der Einheitssphäre Kreise in Kreise
überführt, werden wieder σ und f separat untersucht und also gezeigt:
(i) σ und 1−σ überführen (verallgemeinerte) Kreise in (verallgemeinerte)
Kreise.
(ii) f überführt Kreise in Kreise.
ad (i): Unter verallgemeinerten Kreisen versteht man Kreise im üblichen, engen Sinne und
Geraden, die als Kreise durch ∞ verstanden werden. Letztere werden im Folgenden eine
Rolle spielen, da sie sich für einige Fälle als Bilder vonσ ergeben werden. Da Geraden unter
1−σ wieder auf Kreise auf der Sphäre abgebildet werden, ist der Begriff des
verallgemeinerten Kreises gerechtfertigt. An späterer Stelle wird noch einmal darauf
eingegangen und verdeutlicht, wie die verallgemeinerten Kreise hier vorzustellen sind.
Um nun einen beliebigen Kreis auf der Einheitssphäre zu parametrisieren, betrachtet man den
Schnitt derselben mit einer Ebene. Diese sei für ∈δγβα ,,, R wie folgt gegeben:
21
0321 =+++ δγβα xxx .
Da die Einheitssphäre über 1−σ durch
++−+
++++=−
1
1,
1
2,
1
2),(
22
21
22
21
22
21
22
22
1
121
1
yy
yy
yy
y
yy
yyyσ
parametrisiert ist, bestimmt man den Schnitt zwischen Sphäre und obiger Ebene durch
Einsetzen dieser Punkte in die Ebenengleichung:
01
1
1
2
1
22
22
1
22
21
22
21
22
22
1
1 =+++−+
+++
+++
δγβαyy
yy
yy
y
yy
y (3)
Multiplikation mit 122
21 ++ yy ergibt:
0)1()1(22 22
21
22
2121 =+++−+++ yyyyyy δγβα
⇔ 022 22
21
22
2121 =+++−+++ δδδγγγβα yyyyyy
⇔ 022))(( 212
22
1 =−+++++ γδβαδγ yyyy (4)
• Beim Schnitt von Ebene und Sphäre, bei dem es sich um eine Quadrik handelt, erhält man
entweder einen leeren Schnitt, einen einpunktigen Schnitt oder einen Kreis. Da in der
momentanen Situation nur der letzte Fall von Relevanz ist, ist es ausreichend, nur diesen Fall
zu betrachten und festzuhalten, dass (4) für den Fall 0≠+ δγ einen Kreis beschreibt.
Wiederum anhand der Ebenengleichung 0321 =+++ δγβα xxx sieht man ein, dass dieser
Schnitt eben diejenigen Kreise beschreibt, die nicht durch den Nordpol verlaufen, da der
Nordpol )1,0,0(=N genau dann nicht im Schnittkreis enthalten ist, wenn er nicht in der
Ebene liegt, was für 0≠+ δγ der Fall ist:
0100 =+⋅+⋅+⋅ δγβα
⇔ 0=+ δγ
⇒ Für 0≠+ δγ ist der Nordpol nicht in der Ebene und damit nicht im Schnitt zwischen
Ebene und Sphäre enthalten.
• Sofort ergibt sich, dass für den Fall 0=+ δγ ein Kreis auf der Sphäre durch den Nordpol
verläuft. Folgend sieht man ein, dass die Gleichung (4) für diesen Fall eine Gerade beschreibt:
022))(( 212
22
1 =−+++++ γδβαδγ yyyy
⇔ δβα 222 21 −=+ yy
22
Anschaulich lässt sich dies wie folgt verdeutlichen: Beim Schnitt der Ebene mit 2S sind,
sofern der Schnitt(kreis) den Nordpol enthält, genau diejenigen Geraden in der Ebene
enthalten, die im Sinne der stereographischen Projektion durch den Nordpol und je jeden
Punkt des Schnittkreises verlaufen. Somit lässt sich der Schnitt der Ebene mit der R²-Ebene
als Bild der stereographischen Projektion verstehen und bei eben diesem Schnitt handelt es
sich um eine Gerade. Insbesondere wird dabei der Nordpol auf den Punkt ∞ abgebildet,
durch den natürlich auch die Gerade verläuft und als Kreis durch ∞ verstanden wird.
Insgesamt ist nun die Kreisverwandtschaft der stereographischen Projektion bewiesen. Da,
wie gezeigt, (3) äquivalent zu (4) ist, schlussfolgert man, dass auch 1−σ als Umkehrabbildung
einer kreistreuen Abbildung kreistreu ist.
ad (ii): Weiter wird nun bewiesen, dass die Möbius-Transformation Kreise in Kreise
überführt. Dazu wird zunächst gezeigt, dass das sich jede Möbius-Transformationen als
Hintereinanderausführung dreier Grundtypen darstellen lässt, und zwar der zentrischen
Streckung um den Faktor ∈2a ℂ, ,02 ≠a der Translation um eine feste Zahl ∈b C und der
Inversion:
(1.) zentrische Streckung:
=
−10
0
a
a
dc
ba mit zaz
a
azSa
210
0:)( =⋅
= −
(2.) Translation:
=
10
1 b
dc
ba mit bzz
bzb +=⋅
=
10
1:)(τ
(3.) Inversion:
−=
01
10
dc
ba mit
zzzI
1
01
10:)( −=⋅
−=
Durch geeignete Hintereinanderausführung dieser Grundtypen lässt sich die Gestalt dcz
baz
++
erreichen:
23
• Für ∈z C und 0≠c , sowie c
adbcm
+−=: betrachte
)(
)(111
dczc
dczaadbc
c
a
dczc
adbc
dczc
adbc
dczdczczz
ca
mdc SIS
+++−=+
+⋅−
+−⋅+−
+−+
ττ
֏֏֏֏֏
dcz
baz
dczc
aczbc
++=
++=
)(
Über das Produkt
dcz
bazz
c
cd
m
mca
++=⋅
⋅
⋅
−⋅
⋅
−−
21
21
0
010
1
01
10
0
0
10
1
ergibt sich also die gewünschte Gestalt7.
• Für 0=c erfolgt die Darstellung
d
baz
d
bz
d
az
d
az
db
daS
+=+τ
֏֏ ,
wodurch sich
( ) d
bazz
da
da
db +=⋅
⋅
−1
0
0
10
1 ergibt.
Zeigt man nun noch, dass alle drei Grundtypen Kreise in Kreise überführen, so folgt diese
Eigenschaft auch für jede Möbius-Transformation. Für die Streckung und die Translation ist
diese Eigenschaft offensichtlich, da im ersten Fall die Streckung eines Kreises lediglich den
Radius verändert und man im zweiten Fall den Kreis um einen festen Wert verschiebt.
Es wird folgend die Kreistreue der Inversion der Einheitssphäre gezeigt, indem bewiesen
wird, dass mittels der Inversion eine Spiegelung durchgeführt wird, die die Eigenschaft der
Kreistreue besitzt.
Um die Wirkung von σσ ˆˆ 1�� f− zu untersuchen, wobei f die Inversion ist, betrachte zunächst
die Struktur von f:
Für ∈= )(ˆ: sz σ C1P , 2Ss∈ untersuche
zzzf
1
01
10)( −=⋅
−= .
Betrachte nun die Darstellung von z als 21 iyyz += mit 21, yy ∈R und setzte dies in f ein:
2121
1)(
iyyiyyf
+−=+ .
7 vgl. https://caj.informatik.uni-jena.de/caj/file/details/id/10234
24
Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen ergibt
)(1
)())((
11)( 212
22
1
21212121
21 iyyyy
iyyiyyiyyiyy
iyyf −+
−=−−+
−=+
−=+ .
In reeller Darstellung liefert das eine Abbildung der folgenden Art:
),(1
),( 2122
21
21 yyyy
xxf −+
−= ,
was man in die Kreisparametrisierung
++−+
++++==−
1
1,
1
2,
1
2),,(),(
22
21
22
21
22
21
22
22
1
132121
1
yy
yy
yy
y
yy
yxxxyyσ
einsetzt. Somit erhält man für die Inversion der Einheitssphäre )),(( 21
1 xxf−σ in der ersten
Komponente:
1
2
2
22
21
2
2
22
21
1
22
21
21
+
++
+−
+−
yy
y
yy
y
yy
y
=
( ) ( )( )( )22
22
1
222
21
221
22
221
21
22
21
212
yy
yy
yy
y
yy
y
yy
y
+
++
++
+
+−
= ( )
( )222
21
22
21
222
21
22
21
12
yyyy
yy
yy
y
+++
+⋅
+−
= ( )
( )222
21
22
21
22
2112
yyyy
yyy
+++
+−
= ( )2
22
1
222
21
22
21
22
21
12
yy
yy
yy
yy
y
++
+++
− =
1
22
22
1
1
++−
yy
y
Für die zweite Komponente entsprechend:
1
2
2
22
21
2
2
22
21
1
22
21
2
+
++
+−
+
yy
y
yy
y
yy
y
= 1
22
22
1
2
++ yy
y
sowie für die dritte Komponente:
1
1
2
22
21
2
2
22
21
1
2
22
21
2
2
22
21
21
+
++
+−
−
++
+−
yy
y
yy
y
yy
y
yy
y
= 1
12
22
1
22
21
++−+
yy
yy.
25
Daraus ergibt sich für die Inversion der Einheitssphäre:
( )( ) ),,(1
1,
1
2,
1
2, 3212
22
1
22
21
22
21
22
22
1
121
1 xxxyy
yy
yy
y
yy
yxxf −=
++−+
++++−=−σ
Da sich also lediglich das Vorzeichen der ersten Komponente ändert, erhält man eine
Spiegelung an der −32 , xx Ebene und somit eine orthogonale Projektion der Sphäre in sich,
also eine Abbildung, die Kreise in Kreise überführt.
Insgesamt ist nun die Kreistreue der Möbius-Transformation f bewiesen.
□
26
Quellenangaben
Kühnel, Wolfgang, Matrizen und Lie-Gruppen. Eine geometrische Einführung. Wiesbaden:
Vieweg und Teubner Verlag (2011).
Herrmanns, Wencke, Der methodische Einsatz von Möbius-Transformationen über den
Quaternionen in der Geometrie des Raumes. Math. Diss., Aachen (2007).
http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=98557626x (abgerufen am 23.05.2011).
https://caj.informatik.uni-jena.de/caj/file/details/id/10234 (abgerufen am 23.05.2011).