Die relativen Atom-, Molekül- und Ionenmassen atomare Masseneinheit u:
12
11
12CfatomKohlenstofvonMasse
u =
kg1066055,11 27−⋅=u
relative Atommasse rA :
ueitMasseneinhatomare
AtomseinesMasseAr
1=
relative Molekülmasse rM :
Summe der relativen Atommassen der das Molekül aufbauenden Atome. Beispiele:
Wasserstoff: umH 1,007825kg106735,1 27 =⋅= −
007825,1)(1 =HAr
0153,18)(
00000,12)(
2
12
=
=
OHM
CA
r
r
Die Stoffmenge Unter der Stoffmenge υ (oder Teilchenmenge) versteht man eine aus gleichartigen Teilchen bestehende Substanzmenge, die durch die Anzahl der in ihr enthaltenen Teilchen charakterisiert wird. Basiseinheit: 1 mol 1mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atome in 12/1000 kg
des Kohlenstoffnuklids C12
enthalten sind. Die Einzelteilchen können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen von beliebigen Teilchen sein. Die Stoffmenge 1 mol enthält unabhängig von äußeren
Bedingungen immer die gleiche Anzahl AN von
Teilchen.
Avogadro – Konstante: mol
1100221,6 23⋅=AN
Vergleich zur Veranschaulichung der Größenordnung: Wenn die Gasteilchen, die unter normalen Bedingungen in ein Wasserglas passen, so groß wie Erbsen wären, dann könnte man Europa etwa 100 m hoch damit bedecken.
Zusammenhang zwischen der Masse m und der Stoffmenge υ :
molare Masse: TeilchenAmolar mNm
M ==υ
Einheit: kg/mol Es gilt: Der Zahlenwert der in g/mol gemessenen molaren Masse einer homogenen Substanz stimmt mit der relativen Atom- oder Molekülmasse dieser Substanz überein.
mol
grmolar AM = , bzw.
mol
grmolar MM =
ideales Gas:
molares Volumen: υ
VVmolar = , Einheit: m3/mol
l/mol414,22=molarV unter Normalbedingungen
( C°= 0ϑ und 1013=p mbar)
Beispiele: 1. Berechnung der Masse eines Wasserstoffatoms ausgehend von der relativen Atommasse:
007825,1)( =HAr Gasförmiger Wasserstoff: H2 – Molekül
01565,2)( 2 =HM r
⇒ molare Masse mol
gMmolar 01565,2=
Masse eines einzelnen H2 – Moleküls:
gm
gmol
molg
N
Mm
H
A
molarH
24
24
123
1
2
106735,1
10347,31000221,6
01565,2
−
−
−
−
⋅=⇒
⋅=⋅
==
2. Größe von Silberatomen abschätzen:
870,107)( =AgAr daraus folgt s.o. gmAg2410179 −⋅=
Dichte von Silber: 33105,10 −⋅= mkgAgρ
Gesamtmasse der in einem Würfel mit der Kantenlänge von 1 m enthaltenen Silberatome:
kgVm3105,10 ⋅== ρ
⇒ Anzahl der im Würfel enthaltenen Atome:
28
27
3
1087,510179
105,10⋅=
⋅
⋅==
−kg
kg
m
mN
Ag
Volumen das ein Atom einnimmt:
330
28
3
100,171087,5
1m
mVAg
−⋅=⋅
=
Dies entspricht einem Würfel mit der Kantenlänge:
mma103 330 106,2100,17 −− ⋅=⋅=
und der Raumdiagonale:
1010 105,4106,233 −− ⋅=⋅⋅== mad
Der Durchmesser liegt zwischen der ein- und umschriebenen Kugel und beträgt etwa:
mdAg10105,3 −⋅=
Die allgemeine Gasgleichung
°+= ϑϑ
CVV
15,273
110 , .constp = und
°+= ϑϑ
Cpp
15,273
110 , .constV =
mit KC
KT 15,2731 +
°= ϑ bzw. )15,273(1 KT
K
C−
°=ϑ
folgt K
TVVT
15,2730= (bei konstantem Druck)
und K
TppT
15,2730= (bei konstantem Volumen)
Betrachtet man eine abgeschlossene Gasmenge folgt:
2
1
2
1
T
T
V
V= ( .)constp =
2
1
2
1
T
T
p
p= ( .)constV =
Es gilt also: .constT
pV= bzw.: CTpV =
0p
0
0
V
T
abgeschlossene Gasmenge:
0
0
0
VV
TT
pp
=
=
=
Druck wird bei konstanter Temperatur erhöht:
'1
0
1
VV
TT
pp
=
=
=
1
00'1
'1100
p
VpV
VpVp
=
=
Temperatur wird bei konstantem Druck erhöht:
1
1
1
VV
TT
pp
=
=
=
0
00
1
11
0
1'
1
1
T
Vp
T
Vp
T
T
V
V
=
⇒=
01 pp >
'1
0
V
T
1
1
V
T
1p
allgemeine Gasgleichung oder Zustandsgleichung der Gase (ideale Gase)
Die Konstante C: abgeschlossene Gasmenge unter Normalbedingungen:
mbarp
KCT
normal
normal
1013
15,2730
=
=°=
Die Gasmenge nimmt dann ihr Normalvolumen normalV
ein:
Es gilt: normal
normalnormal
T
VpC = bzw.: normalVC ~
Bezugsvolumen:
molares Volumen mit 1322414 −= molcmVmolar
RC → , die allgemeine Gaskonstante mit
1113
3143,815,273
10132522414 −−−
=⋅
= molJKK
PamolcmR
Will man die allgemeine Gasgleichung auf ein beliebiges
Volumen beziehen gilt mit υ/VVmolar = :
RTpV υ=
universelle Gasgleichung
Mit ANN υ= folgt:
RTN
NpV
A
= ⇒ NkTTN
RNpV
A
==
Boltzmann Konstante 123103806,1 −−⋅= JKk
Zusammenhang zwischen drei wichtigen universellen Naturkonstanten:
AkNR =
Sonderfälle:
1. .constT = Isothermen
.constpV =⇒
Boyle-Mariotte Gesetz
321 TTT <<
Isothermen
V
p
T1
T2
p
T
1V
2V
3V
V
T
1p
2p
3p
2. .constp =
Isobaren
22
11
RTpV
RTpV
υ
υ
=
=
2
1
2
1
T
T
V
V=⇒
Gay-Lussac Gesetz
321 ppp >>
3. .constV = Isochoren
22
11
RTVp
RTVp
υ
υ
=
=
2
1
2
1
T
T
p
p=⇒
Gay-Lussac Gesetz
321 VVV >>
Die absolute Temperatur und die Molekülbewegung
Boyle-Mariotte Gesetz: ><= kinENpV3
2
mit ANN υ= folgt: ><= kinA ENpV υ3
2
universelle Gasgleichung: RTpV υ=
⇒ mittlere kinetische Energie eines Teilchens:
⇒ ><= kinA ENRT υυ3
2 ⇒ T
N
RE
Akin
2
3>=<
⇒ kTEkin2
3>=<
Die absolute Temperatur eines idealen Gases ist der mittleren kinetischen Translationsenergie seiner Teilchen proportional. Die Temperatur ergibt sich als statistischer Mittelwert über eine große Anzahl von Teilchen. Gerichtete Bewegung des Gases als Ganzes spielt keine Rolle, nur die ungeordnete Teilchenbewegung.
Für 0=T ist auch 0>=< kinE
„physikalischer Sinn des absoluten Nullpunktes“
Gesamtbetrag der kinetischen Translationsenergie eines idealen Gases:
RTTN
RNENE
Akingeskin υ
2
3
2
3, =>=<=
Beispiel: Kinetische Translationsenergie von 1 mol eines idealen Gases bei T = 273,15 K.
J3400
K15,273molJK3143,8mol12
3
2
3
,
11
,
=
⋅⋅⋅== −−
geskin
geskin
E
RTE υ
Formen der kinetischen Energie: Ideales Gas: Translationsenergie reale Gasteilchen:
• Translationsenergie
• Rotationsenergie
• Schwingungsenergie
vr
ωr
Freiheitsgrade: Translation: Beispiele: Eisenbahn auf Schienen: 1 Freiheitsgrad der Translation Schiff auf dem Meer: 2 Freiheitsgrade der Translation Flugzeug in der Luft: 3 Freiheitsgrade der Translation � Die Teilchen eines einatomigen Gases haben 3 Freiheitsgrade der Translation!
kTEkin2
3>=< : Auf jeden einzelnen Freiheitsgrad
entfällt eine mittlere Energie von kT2/1 pro Teilchen oder RT2/1 pro Mol. Rotation:
Zweiatomige Moleküle haben 2 Freiheitsgrade der Rotation, dreiatomige Moleküle haben 3 Freiheitsgrade der Rotation. � Ein zweiatomiges Molekül enthält also die mittlere
Energie von kTEkin2
5>=< .
1ωr
2ωr
3ωr
J
LJErot
22
1 22 == ω
Schwingung:
Schwingungen werden unterhalb von 500°C nicht angeregt. Für den Energieinhalt eines Gases mit f Freiheits-
graden gilt dann:
RTf
TN
RN
fkTNfE
A
Ageskin υυ222
1, =⋅⋅=⋅⋅=
Übungen: Um welchen Faktor muss die absolute Temperatur eines Gases erhöht werden, um die quadratisch gemittelte
Geschwindigkeit rmsvv =>< 2 (rms: root mean square) seiner Moleküle zu verdoppeln?
• Faktor 2 • Faktor 4 • Faktor ½ • Faktor ¼
Wovon hängt die mittlere kinetische Energie der Moleküle eines idealen Gases ab?
• von der Stoffmenge und der Temperatur • vom Druck • von Druck und der Temperatur • von der Temperatur • vom Volumen und der Temperatur
Eine bestimmte Gasmenge wird auf gleich bleibendem Druck gehalten. Um welchen Faktor ändert sich ihr Volumen, wenn die Temperatur von 50 °C auf 100 °C erhöht wird.
• um den Faktor 0,5 • um den Faktor 1,15 • um den Faktor 2
Warum steigt der Druck auf die Wände eines Behälters an, wenn eine Gasmenge bei gleich bleibendem Volumen erwärmt wird?
• Das Eigenvolumen der Gasteilchen erhöht sich und somit die Dichte des Gases.
• Die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen steigt an und somit der mittlere Impuls.
• Die mittlere freie Weglänge nimmt zu und die Teilchen erreichen öfters die Wände.