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Die VorlesungStatistische Methoden II
findet am 18.5.2007 (nächste Woche)nichtnicht statt.
Diese Vorlesung wird zu einem späteren Termin,der noch bekannt gegeben wird, nachgeholt.
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TESTS
TESTS
TESTS
TESTS
TESTS
TESTSTESTS
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Worum es gehtMan möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht.
Beobachtung (Stichprobe)
EntscheidungEntscheidungVorgabe:
„Irrtumswahrscheinlichkeit“
Formulierung einerHypothese
NullhypotheseNullhypotheseIn der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“sollte wenigstens klein sein.
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Mathematischer Rahmen ITESTS
Statistische Struktur
Testproblem(Hypothese)
NullhypotheseNullhypothese
Gegeben sind:
Stetiger Fall Diskreter Fall
Niveau
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Mathematischer Rahmen IITESTS
TestTest gegeben durch:
Ablehnungsbereich
Teilmenge der Grundgesamtheit :
Menge aller Beobachtungen ,die zur Ablehnung der Hypothese führen
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Mathematischer Rahmen IIITESTS
Beobachtung (Stichprobe)(Stichprobe)
Entweder Oder
Beobachtung liegtim Annahmebereich
Beobachtung liegtim Ablehnungsbereich
Hypotheseannehmen!
Hypothese ablehnen!
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Fehler erster und zweiter Art
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HypotheseHypotheseakzeptiertakzeptiert
Hypotheseabgelehnt
HypotheseHypothesewahrwahr
Hypothesefalsch
EntscheidungEntscheidung
RealitätRealität
Fehler 1. Art
Fehler 2. Art
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Niveau und Macht
Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. ArtFehler 1. Art zu begehenNiveauNiveau
Wahrscheinlichkeit, keinenkeinen Fehler 2. ArtFehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt
MachtMacht in einem Punkt der Alternative
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2 Würfel
Fairer Würfel
Gezinkter Würfel
1/6
1/5
?
?
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
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Neyman-Pearson-Test
Für einen Test mit
gilt immer:
Sei * ein Neyman-Pearson Test vom Niveau . Dann insbesondere:
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Jeder Test, der vom Niveau eines gegebenen Neyman-Pearson-Tests ist, besitzt
höchstens die Machthöchstens die Macht dieses Neyman-Pearson-Tests.
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1857 - 1936
Geboren in London. Er versuchte, statistische Methoden auf biologische Probleme der Vererbung und der Evolution anzuwenden. In 18 Veröf-fentlichungen mit dem Titel „Mathematical Contributions to the Theory of Evolution“ führte er die Regressions-Analyse, den Korrelationsko-effizienten und den Chi-Quadrat-Test ein.
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1895 - 1980
Geboren in London als Sohn von Karl Pearson. Egon Pearson arbeitete ab 1921 im Institut seines Vaters am University College in London. Er besuchte zunächst alle Vorlesungen seines Vaters mit dem Erfolg, dass er bald selbst hervorragende Arbeiten auf dem Gebiet der Statistik produzierte. S. Neyman war 1925 - 26 als Stipendiat am UniversityCollege. Die Zusammenarbeit mit Egon Pearson begann.
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Geboren in Bendery, Moldavien. Als Jerzy Neyman sein Stipendium in London antrat, um mit Karl Pearson zusammenzuarbeiten, war er enttäuschtals er feststellte, dass Karl Pearson die moderne Mathematik ignorierte.Er kooperierte dann mit Egon Pearson undrevolutionierte durch seine Ergebnisse die Statistik.
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Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
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Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II
Vereinfachung für großes n(n 100)
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
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BeispielKaufhaus-Konzern
Kauf würde in Erwägung
gezogen
Kauf würde nicht in Erwägung
gezogen
572 1428
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ZusammenhangKonfidenzintervalle - Tests
Gegeben sei ein KonfidenzintervallKonfidenzintervall C() vom Niveau
ist dann mit dem AblehnungsbereichAblehnungsbereich
Für eine einfache Hypothese
ein Test Test vom Niveau gegeben, denn:
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Konfidenzintervalle
Intervallschätzung
Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet
Niveau , KonfidenzniveauKonfidenzniveau 1 -
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen
Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
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BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
AI
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
AII
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Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
AIII
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BI
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BII
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BIII
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Test für den ErwartungswertVarianz bekannt
Fall Normalverteilung
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Test für den ErwartungswertVarianz unbekannt
Fall Normalverteilung
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Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall1. Fall
2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y
Annahmen: X und Y normalverteilt
Varianz von X = Varianz von Y
Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y
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Für n unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen
mit
hat man:
Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung
![Page 36: Die Vorlesung Statistische Methoden II findet am 18.5.2007 (nächste Woche) nicht nicht statt. Diese Vorlesung wird zu einem späteren Termin, der noch bekannt](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081518/55204d6749795902118bd7f7/html5/thumbnails/36.jpg)
Für unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen W und U mit
hat man:
Mathematische Bedeutung der t-Verteilung
![Page 37: Die Vorlesung Statistische Methoden II findet am 18.5.2007 (nächste Woche) nicht nicht statt. Diese Vorlesung wird zu einem späteren Termin, der noch bekannt](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081518/55204d6749795902118bd7f7/html5/thumbnails/37.jpg)
Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 1. Fall1. Fall
Prüfgröße
n: Umfang der Stichprobe 1 (Stichprobenvariable X)
m: Umfang der Stichprobe 2 (Stichprobenvariable Y)
Ablehnungsbereich
bestimmt durch
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![Page 39: Die Vorlesung Statistische Methoden II findet am 18.5.2007 (nächste Woche) nicht nicht statt. Diese Vorlesung wird zu einem späteren Termin, der noch bekannt](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022081518/55204d6749795902118bd7f7/html5/thumbnails/39.jpg)
Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall2. Fall
2 unabhängige Stichproben mit Stichprobenvariablen X und Y
Annahmen: X und Y normalverteilt
n und m groß (> 30), damitApproximation der Varianzensinnvoll
Hypothese: Erwartungswert von X = Erwartungswert von Y
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Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 2. Fall2. Fall
Ausgangspunkt
Approximation
Prüfgröße
Ablehnungsbereich bestimmt durch