Einfuhrung Strukturen digitaler Filter
Digitale SignalverarbeitungVorlesung 5 - Filterstrukturen
Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung
13. November 2017
Siehe Skript, Kapitel 8Kammeyer & Kroschel, Abschnitt 4.1
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Digitale Signalverarbeitung Vorlesung 5 - Filterstrukturen
Einfuhrung Strukturen digitaler Filter
1 EinfuhrungFilterstrukturen: FIR vs. IIR
2 Strukturen digitaler FilterStrukturvarianten
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Einfuhrung Strukturen digitaler Filter
Motivation:
Grundlage fur Hardware- und Software-Realisierung digitalerSysteme
Auswahl optimaler Struktur
Vermeidung quantisierungsbedingter Probleme
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Filterstrukturen: FIR vs. IIR
Kurznotation: Signalflussgraph
x k( ) X z( ) X z( )
x k( ) x k( )
x k( ) x k( )
x k( ) x k( )
x k( ) x k( )
a x k( ) a x k( )
x k D x k( -1)= ( ){-1
zT
a
a
aa x k( ) a x k( )
a
+
1
2
3
1 1
2 2
3 3
i ii i
i iå å
1z}
a
a
a
a
1
2
3
Technisches Element Signalflussgraf
Figure : Elemente zeitdiskreter LTI-Systeme [2].
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Filterstrukturen: FIR vs. IIR
Struktur eines FIR-Filters
v(k) b0 y(k)
v(k-N)
z-1
z-1
z-1
v(k-1)
v(k-N-1)
v(k-2)
b1
b2
bN-1
bN
Figure : Filter mit endlicher Impulsantwort (Finite Impulse Response -FIR).
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Filterstrukturen: FIR vs. IIR
Mogliche Struktur eines IIR-Filters
v(k-N) y(k-N)
v(k) b0 y(k)
z-1 z-1
z-1 z-1
z-1 z-1
v(k-1) y(k-1)
v(k-N-1) y(k-N-1)
v(k-2) y(k-2)
b1 a1
b2 a2
bN-1 aN-1
bN aN
-1
Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort (Infinite Impulse Response -IIR). Dies ist die Direktform I, andere Strukturen werden im nachstenAbschnitt besprochen.
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Filterstrukturen: FIR vs. IIR
FIR vs. IIR-Filter
FIR-Filter IIR-Filter
Ubertragungs- nur i.A.
funktion Nullstellen Pole und Nullstellen
Stabilitat immer nicht immer
Effizienz oft große i.A. geringere
Filterordnung notig Ordnung
besondere linearphasiger Nachimplementierung
Moglichkeiten Entwurf analoger Filter
Probleme Rechenaufwand Stabilitat
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Faktorisierung der Ubertragungsfunktion
Die Ubertragungsfunktion war:
H(z) =
∑mµ=0 bµz
−µ∑nν=0 aνz
−νmit a0 = 1
(1)
oder
H(z) = zn−m
∑mµ=0 bµz
m−µ∑nν=0 aνz
n−ν. (2)
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Mogliche Struktur eines IIR-Filters
v(k-N) y(k-N)
v(k) b0 y(k)
z-1 z-1
z-1 z-1
z-1 z-1
v(k-1) y(k-1)
v(k-N-1) y(k-N-1)
v(k-2) y(k-2)
b1 a1
b2 a2
bN-1 aN-1
bN aN
-1
Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort (Infinite Impulse Response -IIR). Dies ist die Direktform I.
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Strukturvarianten
Varianten und Verbesserungsmoglichkeiten
Die erste, geradlinige Realisierung hat einige Nachteile, vor allem:
Unnotig viele Verzogerungsterme und
Unnotig viele Signalpfade.
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Strukturvarianten
Erste kanonische FormSukzessive Umformung fuhrt zur ersten kanonischen Struktur:
b1 -a1
b2 -a2
bN-1 -aN-1
bN -aN
z-1
v(k) b0 y(k)
z-1
z-1
Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, erste kanonische Struktur
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Strukturvarianten
Zweite kanonische Struktur
Zur Umformung jedes beliebigen Signalflussgrafen lasst sich dieGraph-Transponierung einsetzen. Dabei wird
jede Signalflussrichtung umgekehrt
jede Verzweigung zu einem Summenknoten und umgekehrt
und der Eingang wird mit dem Ausgang vertauscht.
Beweis: Siehe [1] (Abschnitt zur “Gain Formula of Signal FlowGraph Theory.”)
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Strukturvarianten
Zweite kanonische StrukturGraph-Transposition fuhrt zur zweiten kanonischen Struktur:
-a1 b1
-a2 b2
-aN-1 bN-1
-aN bN
z-1
v(k) b0 y(k)
z-1
z-1
Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, zweite kanonische Struktur
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Strukturvarianten
Die dritte kanonische Struktur ergibt sich aus einer Faktorisierungder Gesamtubertragungsfunktion:
H(z) =
p∏i=1
Hi (z). (3)
Dabei werden alle einzelnen Ubertragungssysteme als Systemeerster oder zweiter Ordnung realisiert:
Hi (z) =b0i + b1iz
−1
1 + a1iz−1(4)
bzw.
Hi (z) =b0i + b1iz
−1 + b2iz−2
1 + a1iz−1 + a2iz−2(5)
Teilsysteme erster Ordnung konnen je einen Pol und eine Nullstelledes Gesamtsystems beitragen, wahrend Teilsysteme zweiterOrdnung ein konjugiert komplexes Pol-/Nullstellenpaar liefern.
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Strukturvarianten
Dritte kanonische Struktur
V(z) Y(z) H2(z) H1(z) Hp(z) ...
Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, dritte kanonische Struktur
Die Teilsysteme werden in 1. oder 2. kanonischer Strukturrealisiert.
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Strukturvarianten
Dritte kanonische Struktur
Vorteile:
Pole und Nullstellen konnen so zusammengefasst werden, wiees am sinnvollsten ist. Das heißt:
Jede Stufe sollte moglichst gut ausgesteuert seinund in jeder Stufe sollte der Fehler durchKoeffizientenquantisierung minimiert werden (siehe VL6.)
Stabilitat kann pro Teilsystem uberpruft werden.
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Strukturvarianten
Dritte kanonische Struktur
Figure : Matlab-Filter in Biquad-Struktur
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Strukturvarianten
Vierte kanonische Struktur
Die vierte (und letzte) kanonische Struktur ist schließlich durcheine Partialbruchzerlegung von H(z) in der Form
H(z) = b0 +
q∑i=1
Hi (z). (6)
zu erhalten, und stellt das Gesamtsystem also als Summe vonTeilsystemen dar:
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Strukturvarianten
Vierte kanonische Struktur
V(z) Y(z)
H1(z)
...
H2(z)
Hq(z)
b0
Figure : Filter mit unendlicher Impulsantwort, vierte kanonische Struktur
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Strukturvarianten
Vierte kanonische Struktur
Uberlegungen:
Es bleiben die Vorteile der dritten kanonischen Strukturgegenuber den ersten beiden, direkten Realisierungen:
Pole und Nullstellen konnen so zusammengefasst werden, wiees am sinnvollsten ist.Stabilitat des quantisierten Systems kann pro Teilsystemuberpruft werden.
Die Struktur ist nun parallel statt sequentiell.
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Strukturvarianten
Lernziele
Sie sollten die Unterschiede zwischen FIR- und IIR-Filternkennen, und die Vor- und Nachteile beider Filterartenverstehen.
Sie sollten die vier kanonischen Filterstrukturen kennen, unddiese ineinander umrechnen konnen.
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Strukturvarianten
Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!
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Strukturvarianten
S. Mason and H.J. Zimmermann.Electronic Circuits, Signals and Systems.Wiley, New York, 1960.
Hans Wilhelm Schußler.Digitale Signalverarbeitung, volume 1.4. Auflage, Berlin: Springer, 1994.
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