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EinfÃŒhrung in DSGE-Modelle und deren
Lösung mit Hilfe von Dynare
Prof. Dr. Jochen Michaelis
Wintersemester 2015/2016
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Kapitel 2: log-Linearisierung
2
2. Methodischer Exkurs: Log-Linearisieren
Zietz, Joachim (2008): âA Clarifying Note on Converting to Log-Deviations from the
Steady Stateâ, Economics Bulletin 3: 1-15.
Uhlig, Harald (1999): A Toolkit for Analyzing Nonlinear Dynamic Stochastic Models
Easilyâ, in: R. Marimon und A. Scott (Eds.); Computational Methods for the Study
of Dynamic Economics, Oxford University Press, S. 30-61.
oder: Homepage von Harald Uhlig
Ausgangspunkt:
Die meisten Makro-Modelle sind nicht-linear und haben keine exakte Lösung.
Beispiel: ð = ð¶ + ðŒ mit Konsumfunktion ð¶ = ððŒ
ð â ððŒ = ðŒ
Nur NÀherungslösungen fÌr Y möglich!
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Kapitel 2: log-Linearisierung
3
Log-Linearisierung ist eine Methode fÌr Bestimmung solcher NÀherungslösungen
Kernidee (bzw. Annahme):
In der NÀhe des Steady States ist das Modell nÀherungsweise linear in
logarithmierten GröÃen
Vorgehensweise:
Formuliere das Modell in (prozentualen) Abweichungen vom Gleichgewicht
Abweichungen sind lineare Funktionen der Modellparameter (first order
approximation)
Umwandlung eines nicht-linearen Modells in ein lineares System
KomplexitÀtsreduktion, Nutzung von Standardsoftware
Achtung:
Lineare Approximation nur in der NÀhe des Gleichgewichts eine gute Approximation
Weiterentwicklung: second-order approximation
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Taylor-Approximation:
Taylor-Approximation n-ter Ordnung der Funktion ð(ð¥) um einen Wert ð¥0:
(2.1) ðð,ð¥0 ð¥ â¡ð(ð¥0)
0!+ðâ² ð¥0
1!ð¥ â ð¥0 +
ðâ²â² ð¥0
2!ð¥ â ð¥0
2 +â¯+ð(ð) ð¥0
ð!(ð¥ â ð¥0)
ð
First-order approximation: ð1,ð¥0 ð¥ = ð(ð¥0) + ðâ²(ð¥0) ð¥ â ð¥0
Second-order approximation: ð2,ð¥0 ð¥ = ð(ð¥0) + ðâ²(ð¥0) ð¥ â ð¥0 +ðâ²â²(ð¥0)
2ð¥ â ð¥0
2
Es gilt:
(2.2) ð ð¥ = ðð,ð¥0 ð¥ + ð ð mit ð ð als RestgröÃe (remainder)
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)(xf
x
â¢
â¢â¢
0x x
)(xf
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Mehrere Variablen
Approximation der Funktion ð(ð¥, ðŠ) um den Wert (ð¥0, ðŠ0)
First order TA:
(2.3) ð1,ð¥0,ðŠ0 ð¥, ðŠ â¡ ð(ð¥0, ðŠ0) + ðð¥ ð¥0, ðŠ0 â ð¥ â ð¥0 + ððŠ ð¥0, ðŠ0 â ðŠ â ðŠ0
6
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Definitionen
ðð¡ = Variable (z.B. Output, Arbeitszeit)
ð = Gleichgewichtswert (Steady State-Wert) der Variablen ðð¡
ð¥ð¡ = lnðð¡ = Logarithmus dieser Variable
ð¥ = ððð = Logarithmus des Steady State
(2.4) ð¥ ð¡ â¡ ð¥ð¡ â ð¥ = ðððð¡ â ððð log deviation of ðð¡ from its steady state ð
ð¥ ð¡ ist (ungefÀhr) gleich der prozentualen Abweichung von ðð¡ vom Steady state ð
Beispiel: Steady State = 100 aktueller Wert = 101
Prozentabweichung exakt: 101â100
100= 0.01 = 1%
Log-Differenz: ln 101 â ln 100 = 0.00995 = 0.995%
7
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First order TA der Variablen ð¿ð um den Steady State-Wert ð¿ :
1. Formuliere ðð¡ um zu:
ðð¡ = ð âðð¡
ð = ð â ð
ðððð¡ð = ð â ððð ðð¡âððð = ð â ðð¥ ð¡
mit ð¥ ð¡ â¡ ðððð¡ â ððð als prozentuale Abweichung von ðð¡ von seinem
Gleichgewichtswert ð .
2. FOTA fÃŒr die Funktion ðð¥ ð¡ um den Gleichgewichtswert ð¥ ð¡ = 0 ( ðð¡ = ð )
(2.5) ðð¥ ð¡ ð(ð¥)
â ð0 ð(ð)
+ ð0 ðâ²(ð)
(ð¥ ð¡ â 0)ð¥âð
= 1 + ð¥ ð¡
(2.6) ðð¡ â ð â (1 + ð¥ ð¡)
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Second order TA der Variablen ð¿ð um den Steady State-Wert ð¿ :
1. ðð¡ = ð â ðð¥ ð¡
2. SOTA fÃŒr die Funktion ðð¥ ð¡ um den Gleichgewichtswert ð¥ ð¡ = 0 ( ðð¡ = ð )
(2.7) ðð¥ ð¡ ð(ð¥)
â ð0 ð ð¥0
+ ð0 ðâ² ð¥0
(ð¥ ð¡ â 0)ð¥âð¥0
+1
2ð0 ðâ²â² ð¥0
ð¥ ð¡ â 02
ð¥âð¥02
= 1 + ð¥ ð¡ +1
2ð¥ ð¡2
(2.8) ðð¡ = ð â 1 + ð¥ ð¡ +1
2ð¥ ð¡2
9
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Log-Linearisierung einer linearen Gleichung: ðð = ðªð + ð®ð
Im Steady State gilt: ð = ð¶ + ðº
Umformulierung der Gleichung in prozentualen Abweichungen vom StSt mittels FOTA
ð â 1 + ðŠ ð¡ = ð¶ â 1 + ð ð¡ + ðº â (1 + ð ð¡)
ð + ð ðŠ ð¡ = ð¶ + ð¶ ð ð¡ + ðº + ðº ð ð¡
Beachtung der Steady-State Bedingung ð = ð¶ + ðº und Division durch ð fÃŒhrt zu
(2.9) ðŠ ð¡ = ððð ð¡ + ððð ð¡
mit Konsumquote ðð =ð¶
ð und Staatsquote ðð =
ðº
ð im Steady State
Ergebnis immer noch linear, aber jetzt formuliert in prozentualen Abweichungen vom StSt
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Log-Linearisierung einer nicht-linearen Gleichung: ðð = ðšð â ðµðð·
Steady State: ð = ðŽ â ð ðœ bzw. ln ð = ðð ðŽ + ðœ ðð ð
Logarithmiere die Ausgangsgleichung:
ðð ðð¡ = ðð ðŽð¡ + ðœ ðððð¡
ðð(ð ðð¡
ð ) = ðð(ðŽ
ðŽð¡
ðŽ ) + ðœ ðð(ð
ðð¡
ð )
ðð(ð ððŠ ð¡) = ðð(ðŽ ðð ð¡) + ðœ ðð(ð ðð ð¡)
ðð ð + ðŠ ð¡ = ðð ðŽ + ð ð¡ + ðœ ððð + ðœð ð¡
(2.10) ðŠ ð¡ = ð ð¡ + ðœð ð¡
log-linearisierte Form ist jetzt linear
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Ein âschnellererâ Weg:
Logarithmiere Ausgangsgleichung:
ðð ðð¡ = ðð ðŽð¡ + ðœ ðððð¡
Subtrahiere logarithmierte Steady-State Relation
ðð ðð¡ â ððð = ðð ðŽð¡ â ðððŽ + ðœ ðð ðð¡ â ðœ ððð
(2.10) ðŠ ð¡ = ð ð¡ + ðœð ð¡
Aber:
Dieser Weg ist fÌr first-order TA möglich, nicht aber fÌr second-order TA!
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Problemfall: Gleichung mit Erwartungswerten
Euler-Gleichung fÃŒr optimalen intertemporalen Konsum
(2.11) ðžð¡(ð¶ð¡+1)ð= ðœ(1 + ðð¡)
ðð¡
ðžð¡ðð¡+1(ð¶ð¡)ð
Logarithmieren:
(2.12) ln ðžð¡(ð¶ð¡+1)ð = lnðœ + ln 1 + ðð¡ + lnðð¡ â lnðžð¡ðð¡+1 + ln(ð¶ð¡)
ð
Achtung: ln ðžð¡ð¥ð¡+1 â ðžð¡(ln ð¥ð¡+1)
Hier: ln{ðžð¡[ ð¶ð¡+1ð]} â ðžð¡[ðð ð¶ð¡+1
ð] und ðððžð¡ðð¡+1 â ðžð¡(ðððð¡+1)
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Jensenâsche Ungleichung: ðððžð¡ð¥ð¡+1 > ðžð¡(ððð¥ð¡+1)
1ln tx
1tx
â¢
â¢â¢
1tt xE
)ln( 1tt xE
1
â¢
)(ln 1tt xE
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Annahme:
ð¥ð¡+1 sei lognormal-verteilt, also ð¥ð¡+1~ lnðð(ð, ð2)
dann ist ln ð¥ð¡+1 normal-verteilt mit Erwartungswert ð; ln ð¥ð¡+1~ðð(ð, ð2)
Erwartungswert einer lognormal-verteilten Variable: ðžð¡ð¥ð¡+1 = ðð+0,5ð2
Logarithmus der lognormal-verteilten Variable:
ln(ðžð¡ð¥ð¡+1) = ln ðð+0,5ð2 = ð + 0,5ð2
Erwartungswert der normal-verteilten Variable ln ð¥ð¡+1: ðžð¡ ln ð¥ð¡+1 = ð
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Es resultiert:
ln ðžð¡ð¥ð¡+1 â ðžð¡ ln ð¥ð¡+1 = ð + 0,5ð2 = ðððð ð¡.
Varianzen sind zeitinvariant; sie fallen also weg, wenn Abweichungen von einem
Steady State betrachtet werden. Daher werden die Konstanten von vornherein
weggelassen, d.h. log-Linearisierung âim Erwartungswertâ ist zulÀssig!!
Anwendung bei Euler-Gleichung:
ln{ðžð¡[ ð¶ð¡+1ð]} = ðžð¡[ðð ð¶ð¡+1
ð] und ðð(ðžð¡ðð¡+1) = ðžð¡ðððð¡+1
Einsetzen in (2.12):
(2.13) ððžð¡lnð¶ð¡+1 = ðððœ + lð 1 + ðð¡ + ðððð¡ + ðððð¶ð¡ â ðžð¡ðððð¡+1
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FÃŒr Nominalzins gilt: ln(1 + ðð¡) â ðð¡
FÃŒr erwartete Inflationsrate gilt: ðžð¡ðð¡+1 = ðžð¡ ðð¡+1â ðð¡
ðð¡= ðžð¡ ðð¡+1
ðð¡â 1
1 + ðžð¡ðð¡+1 = ðžð¡ ðð¡+1 ðð¡
ln( 1 + ðžð¡ðð¡+1) = ln ðžð¡ ðð¡+1â ln ðð¡ â ðžð¡ðð¡+1
Einsetzen in (2.13):
ððžð¡lnð¶ð¡+1 = ðððœ + ðð¡ â (ðžð¡ðððð¡+1 â ðððð¡) + ðððð¶ð¡
ððžð¡lnð¶ð¡+1 = ðððœ + ðð¡ â ðžð¡ðð¡+1 + ðððð¶ð¡
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Im Steady State gilt:
ððžð¡lnð¶ = ðððœ + ð â ðžð¡ð =0
+ ðððð¶
FÃŒr die Abweichung vom Steady State resultiert die
Log-linearisierte Euler-Gleichung
(2.14) ð ð¡ = ðžð¡ð ð¡+1 â1
ð(ð ð¡ â ðžð¡ðð¡+1)
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Schwachpunkte der Technik der log-Linearisierung
Approximation gilt nur fÃŒr kleine Abweichungen vom Steady State, d.h. groÃe
Schocks werden nicht adÀquat abgebildet
(Problem: kann Finanzkrise 2007ff. mit DSGE diskutiert werden??!)
Es werden nur Erwartungswerte einer Zufallsvariablen betrachtet, spielt die
Varianz eine Rolle wie bei RisikoÃŒberlegungen, ist log-Lin. nicht geeignet
Ausweg in Neu-Keynesianischer Makro: Second-order Taylor-Approximation, vgl.
Benigno und Woodford, Journal of Economic Theory (2012)