Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik
Dr. Jürgen Roth
2.1
Elemente der Algebra
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.2
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Inhaltsverzeichnis
Elemente der Algebra
1 Programm & Argumentationsgrundlagen
2 Funktionen
3 Lineare Funktionen, Gleichungen & Gleichungssysteme
4 Quadratische Funktionen und Gleichungen
5 Exponentialfunktionen
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.3
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Dr. Jürgen Roth
2.3
Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik
1 Program & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
2 Funktionen
Elemente der Algebra
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.4
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 2: Funktionen
2.1 Der Funktionsbegriff
2.2 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen
2.3 Monotonie
2.4 Umkehrfunktion
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.5
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Dr. Jürgen Roth
2.5
Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik
1 Program & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
2.1 Der Funktionsbegriff
2 Funktionen
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.6
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Funktionale Zusammenhänge
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.7
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Funktionale Zusammenhänge
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.8
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Kubikzahlen
Kubikzahlen
Summe der Sechseckzahlen
K(1) = 1K(2) = 1 + 7 = 8K(3) = 1 + 7 + 19 = 27K(4) = 1 + 7 + 19 + 37 = 64
K(n) = n + (n − 1)·n·(n + 1) = n³
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/figz2.htm
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.9
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Tankenhttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/tankstelle/
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.10
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Bußgeldhttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/bussgeld/
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.11
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Funktionale Zusammenhänge
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.12
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Funktionale Zusammenhänge
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.13
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Funktionale Zusammenhänge
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.14
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Funktionale Zusammenhänge
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.15
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Funktionale Zusammenhänge
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.16
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Funktionale Zusammenhänge
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.17
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Aspekte des Funktionsbegriffs
Aspekte desFunktionsbegriffs
Zuordnung
Änderungsverhalten (Kovariation)
Sicht als Ganzes
Vollrath, Weigand: Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 20073, S. 140 Malle: Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation. In: ml, Heft 103, 2000, S. 8-11
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.18
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Beispiel: Dreieckssehne
Zuordnung
Änderungsverhalten(Kovariation)
Sicht als Ganzes
Roth: Kurvenerzeugende Sehnen. In: Mathematik lehren, Heft 130, 2005, S. 8-10http://www.juergen-roth.de/dynageo/sehne_aenderung/sehne_aenderung.html
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.19
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Figuren verändern - Funktionen verstehen
Modellierung!
ZuordnungÄnderungsverhalten
(Kovariation)
Eigenschaften einesFunktionsgraphen
Entstehung einesFunktionsgraphen
Sicht als Ganzes
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.20
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Darstellungen in Beziehung setzenRoth: Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. In: Mathematik lehren, Heft
146, Februar 2008, S. 17-21 – http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/trapezflaeche_funktional.html
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.21
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Was ist eigentlich eine Funktion?
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.22
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Was ist eigentlich eine Funktion?
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.23
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Was ist eigentlich eine Funktion?
Definitions-menge D
Werte-menge W
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.24
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Was ist eine Funktion?
Definition:
A und B sind zwei nicht-leere Mengen. Ist jedemx ∈ A genau ein y ∈ B zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung eine Funktion mit Definitions-menge A und Zielmenge B
(bzw. eine Abbildung von der
Menge A in die Menge B).
Definition (alternativ):
Eine Funktion ist eine Teil-menge der Produktmenge A × B zweier nichtleerer Mengen A und B, für die gilt:
∀x ∈ A ∃!y ∈ B (x, y) ∈ A × B
(Für jedes x ∈ A existiert genau ein y ∈ B, so dass das Paar (x, y) Element der Produktmenge A × B ist.)
Bemerkung
Für eine Funktion mit Definitionsmenge A und Zielmenge B gilt:
(1) ∀x ∈ A ∃y ∈ B y = f(x) „Linkstotal“
(2) ∀f(x1), f(x2) ∈ B f(x1) ≠ f(x2) ⇒ x1 ≠ x2 „Rechtseindeutig“
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.25
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Was ist eine Funktion?
Bemerkungen:
Um auszudrücken, dassf eine solche Funktion (Abbildung) ist, schreibt man f : A → B.
Das dem Element x∈Azugeordnete Element y∈Bwird mit f(x) bezeichnet. Damit erhält man y = f(x).
Man schreibt auch:f : A → B, x f(x)
f(x) heißt Funktionswertvon f an der Stelle x(oder Bild von xbei der Abbildung f).
x heißt Argumentder Funktion f(oder Urbild von f(x)bei der Abbildung f).
Die Definitionsmenge einer Funktion f wird auch mit Df bezeichnet.
Bei einer Kurve im zweidimensionalen kartesischen Koordinaten-system handelt es sich genau dann um den Graph einer Funktion f : R → R, wenn jede vertikale Gerade den Graphen Gf genau einmal schneidet.
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.26
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
f : R → R, x → x2
Was ist eine Funktion?
fA BW
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.27
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Was ist eine Funktion?
Bei einer Funktion f : A → B interessiert man sich auch für die Menge der Funktionswerte, d.h. für die Menge der Elemente der Zielmenge, die als Bilder der Abbildung vorkommen.
Definition:
Die Wertemenge der Funktion f : A → B ist die Menge
W = {y ∈ B | ∃x∈A f(x) = y } = {f(x) | x ∈ A}
Bemerkung:
Es gilt: W ⊆ B
Die Wertemenge einer Funktion f wird auch mit Wf bezeichnet.
f1 = f2 ⇔ ( A1 = A2 = D ∧ ∀x∈D f1(x) = f2(x) )
f1 ≠ f2 ⇔ ( A1 ≠ A2 ∨ ∃x∈A1∩A2f1(x) ≠ f2(x) )
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.28
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Präsenzübung
Funktion oder nicht?
(1) f : R → R, x 7x2 + 5x – 4
(2) f : R → R, x
(3) f : N → N, x 3x – 5
(4) f : N → R, n
(5) f : N → N, n Anzahl der Teiler von n
(6) Achsenspiegelung an der Geraden y = –xf : R × R → R × R, (x, y) (–y, –x)
1x
1n
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.29
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Polynomfunktionen
Polynomfunktion
Die Aussageform
heißt Polynom.
Eine Funktion
mit ∀k∈N ak ∈ R und an ≠ 0 heißt Polynomfunktion.
Die natürliche Zahl n heißt Grad des Polynoms und wird mit deg p bezeichnet.
Die festen reellen Zahlen an, … , a0 heißen Koeffizienten des Polynoms.
011
10
...)(,: axaxaxaxaxpxp nn
nn
n
k
kk ++++==→ −
−=∑aRR
011
10
...)( axaxaxaxaxp nn
nn
n
k
kk ++++== −
−=∑
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.30
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Polynomdivision
Schriftliche Division
56088 : 456 =
–456
104
– 912
136
–1368
–
Polynomdivision
(4x6 + 7x5 + 5x4 + 2x3) : (x + 1)
–(4x6 + 4x5)
3x5
–(3x5 + 3x4)
2x4
–(2x4 + 2x3)
–
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/polynomdivision.htm
1 23
8
8
= 4x5
+ 5x4
+ 3x4
+ 2x3
+ 2x3
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.31
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Dr. Jürgen Roth
2.31
Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik
1 Program & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
2.2 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen
2 Funktionen
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.32
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Injektive Funktionen
Definition:
Eine Funktion f : A → B heißt injektiv oder linksein-deutig, genau dann wenn
∀x1,x2∈A x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
d. h. genau dann wenn
∀x1,x2∈ A f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
Für die Funktion f bedeutet die Eigenschaft injektiv:
An verschiedenen Stellen hat die Funktion f immer verschieden Werte.
Für eine injektive Funktionf : A → B gilt: |A| ≤ |B|
Für jedes y ∈ B hat die Gleichung f(x) = yhöchstens eine Lösung.
In der Wertetabelle kommt in der Spalte der Funktions-werte kein Wert mehrfach vor (falls kein Wert von A
mehrfach auftritt).
Man kann von einem Funktionswert f(x) auf das Argument x schließen.
Eine Funktion f : R → R ist genau dann injektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen Gf höchstenseinmal schneidet.
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.33
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Injektive Funktionen
fA BW
f : R → R, x → ex
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.34
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Surjektive Funktionen
Definition:
f : A → B heißt surjektiv oder rechtstotal bzgl. B genau dann wenn
∀y∈B ∃x∈A f(x) = y .
Bemerkung:
Jede Funktion f : A → B ist surjektiv bzgl. ihrer eigenen Wertemenge W ⊆ B.
Für die Funktion f : A → B bedeu-tet die Eigenschaft surjektiv:
Für jedes y ∈ B hat die Glei-chung f(x) = y mindestenseine Lösung x ∈ A.
In der Wertetabelle kommt in der Spalte der Funk-tionswerte jedes Element von B vor, d. h. B = W
Im Fall B = A heißt eine surjektive Funktion eine Abbildung von A auf sich.
Eine Funktion f : R → Rist genau dann surjektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen Gfmindestens einmal schneidet.
Für eine surjektive Funktion f : A → B gilt:|A| ≥ |B|
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.35
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Surjektive Funktionen
fA B = W
f : R → R, x → 0,2⋅x5 + x4 + x3 − 0,5⋅x2
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.36
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Bijektive Funktionen
Definition:
f : A → B heißt bijektivgenau dann wenn sie surjektiv und injektiv ist.
Für die Funktion f : A → B bedeutet die Eigenschaft bijektiv:
Für jedes y ∈ B hat die Gleichung f(x) = y genaueine Lösung.
Eine bijektive Funktion f : A → B ist eine eineindeutige Zuordnung zwischen A und B.
Die Funktion f : R → R ist genau dann bijektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen Gfgenau einmal schneidet.
Für eine bijektive Funktion f : A → B gilt: |A| = |B|
Definition:Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektiveFunktion f : A → B gibt.
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.37
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Bijektive Funktionen
fA B = W
f : R → R, x → x3
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.38
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv
f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja
f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein
f(x) = x2 nein nein nein
x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1
x − 1 für x > 1ja nein nein
f(x) = x3 ja ja ja
f(x) = ex ≡ exp(x) nein ja nein
f(x) = sin x nein nein nein
f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x} nein nein nein
Präsenzaufgabe
Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv
f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja
f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein
f(x) = x2 nein nein nein
x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1
x − 1 für x > 1ja nein nein
f(x) = x3 ja ja ja
f(x) = ex ≡ exp(x) nein ja nein
f(x) = sin x nein nein nein
f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}
Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv
f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja
f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein
f(x) = x2 nein nein nein
x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1
x − 1 für x > 1ja nein nein
f(x) = x3 ja ja ja
f(x) = ex ≡ exp(x) nein ja nein
f(x) = sin x
f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}
Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv
f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja
f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein
f(x) = x2 nein nein nein
x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1
x − 1 für x > 1ja nein nein
f(x) = x3 ja ja ja
f(x) = ex ≡ exp(x)
f(x) = sin x
f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}
Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv
f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja
f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein
f(x) = x2 nein nein nein
x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1
x − 1 für x > 1ja nein nein
f(x) = x3
f(x) = ex ≡ exp(x)
f(x) = sin x
f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}
Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv
f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja
f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein
f(x) = x2 nein nein nein
x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1
x − 1 für x > 1
f(x) = x3
f(x) = ex ≡ exp(x)
f(x) = sin x
f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}
Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv
f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja
f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein
f(x) = x2
x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1
x − 1 für x > 1
f(x) = x3
f(x) = ex ≡ exp(x)
f(x) = sin x
f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}
Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv
f(x) = ax + b (a ≠ 0) ja ja ja
f(x) = ax + b (a = 0)
f(x) = x2
x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1
x − 1 für x > 1
f(x) = x3
f(x) = ex ≡ exp(x)
f(x) = sin x
f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}
Funktion f : R → R surjektiv injektiv bijektiv
f(x) = ax + b (a ≠ 0)
f(x) = ax + b (a = 0)
f(x) = x2
x + 1 für x < −1f(x) = 0 für −1 ≤ x ≤ 1
x − 1 für x > 1
f(x) = x3
f(x) = ex ≡ exp(x)
f(x) = sin x
f(x) = [x] := max {k ∈ Z | k ≤ x}
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.39
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv
nein nein nein
nein ja nein
ja nein nein
ja ja ja
ja ja ja
Präsenzaufgabe
f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv
nein nein nein
nein ja nein
ja nein nein
ja ja ja
f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv
nein nein nein
nein ja nein
ja nein nein
f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv
nein nein nein
nein ja nein
f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv
nein nein nein
f(x) = x2 surjektiv injektiv bijektiv
RR→:f
++ → 00: RRf
RR →+0:f
+→ 0: RRf
+− → 00: RRf
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.40
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Äquivalenzumformungen
Äquivalenzumformungen von Gleichungen und Ungleichungen
Eine (Un-)Gleichung ist eine Aussageform.
Äquivalenzumformungen verändern die Erfüllungs-menge (Lösungsmenge) einer Aussageform nicht. Für die ursprüngliche Aussageform und die umgeformte Aussageform muss über der Grund-menge G also gelten:
Äquivalenzumformungen für Gleichungen :
Addition identischer Terme auf beiden Seiten der Gleichung
Subtraktion identischer Terme auf beiden Seiten der Gleichung
Multiplikation beider Gleichungsseiten mit identischen „von Null verschiedenen“ Termen
Division beider Gleichungsseiten durch identische „von Null verschiedene“ Termen
Vertauschung der Gleichungsseiten
)()( xBxAx ⇔∀ ∈G
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.41
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Äquivalenzumformungen
Äquivalenzumformungen für Ungleichungen, die das Ungleichungszeichen unverändert lassen:
Addition (bzw. Subtraktion) identischer Terme auf beiden Seiten der Ungleichung
Multiplikation beider Ungleichungsseiten mit identischen „von Null verschiedenen“ positiven Termen
Division beider Unglei-chungsseiten durch identische „von Null verschiedene“ positiveTermen
Äquivalenzumformungen für Ungleichungen, die zur Umkehrung des Unglei-chungszeichens führen:
Multiplikation beider Ungleichungsseiten mit identischen „von Null verschiedenen“ negativen Termen
Division beider Unglei-chungsseiten durch identische „von Null verschiedene“ negativeTermen
Vertauschung der Ungleichungsseiten
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
2.42
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Beispiel
Untersuchen Sie, ob
surjektiv oder injektiv ist.
Surjektivität:
Es gibt also für jedes y ∈ R ein x ∈ R, so dass y = f(x) ist.
Damit ist f surjektiv.
Injektivität:
Damit ist f injektiv und, weil es auch surjektiv ist, sogar bijektiv.
baxy += b−
axby =− ( )0: ≠aa
xab
ya
=−⋅1
ab
ya
x −⋅=1
2121, xxxx ≠∧∈R
)()( 12 xfxf −⇒)( 12 baxbax +−+=
)( 12 xxa −⋅={0≠
434210≠
0≠
)()( 21 xfxf ≠⇒
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2.43
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2.3 Monotonie
2 Funktionen
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Intervalle
Definition:
Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge von R.
heißt abgeschlossenes Intervall.
heißt offenes Intervall.
heißt linksseitig offenes Intervall.
heißt rechtsseitig offenes Intervall.
Bemerkung:
Es gilt:
[ ] { }bxaxba ≤≤∈= R:;
] [ { }bxaxba <<∈= R:;
] ] { }bxaxba ≤<∈= R:;
[ [ { }bxaxba <≤∈= R:;
] [ { } RR =∞<<∞−∈=∞∞− xx:;
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Monotonie
Definition:
Es sein Ι ein Intervall. Eine Funktion f : Ι → R heißt
monoton steigend, wenn gilt:
monoton fallen, wenn gilt:
streng monoton steigend, wenn gilt:
streng monoton fallen, wenn gilt:
Bemerkung: In der Literatur findet man synonym statt
„monoton steigend“ auch „monoton wachsend“oder „monoton zunehmend“,
„monoton fallend“ auch „monoton abnehmend“.
)()( 2121, 21xfxfxxxx ≤⇒<∀ Ι∈
)()( 2121, 21xfxfxxxx ≥⇒<∀ Ι∈
)()( 2121, 21xfxfxxxx <⇒<∀ Ι∈
)()( 2121, 21xfxfxxxx >⇒<∀ Ι∈
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Beispiele
f : R → R, x → e–x
f : R → R, x → [–x]
x + 1 für x > 1f : R → R, x → 0 für −1 ≤ x ≤ 1
x − 1 für x > 1
f : R → R, x → x3
monoton fallend
monoton steigend
streng monoton fallend
streng monoton steigend
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Beispiele
f : R → R, x → x2
f : R → R, x → sin(x)
f : R → R, x → 0,2⋅x5 + x4 + x3 − 0,5⋅x2
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Monotonie und Injektivität
Satz:
Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion f : Ι → R ist injektiv.
Bemerkung:
Auf „streng“ kann nicht verzichtet werden!
Beweis:
f sei streng monoton steigend oder fallend.
Sind x1, x2 ∈ Ι und x1 x2, dann gilt x1 x2 oder x1 x2.
Nach Voraussetzung ist dann entweder f(x1) f(x2) oder f(x1) f(x2), auf jeden Fall aber f(x1) f(x2).
Dies ist aber gerade die definierende Eigenschaft für die Injektivität von f.
#
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Monotonie und Injektivität
Satz:
Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion f : Ι → R ist injektiv.
Bemerkung:
Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch!
Beispiel:
Die Funktion
ist injektiv (sogar bijektiv), andererseits ist f weder monoton steigend noch fallend.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤≤−−
−<
→
1
11
1
:
xfürx
xfürx
xfürx
x
,f
a
RR
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Monotoniekriterium
Bemerkung:
Zur Untersuchung der Monotonie einer Funktion f : Ι → Rist es gelegentlich hilfreich die Differenz f(x2) – f(x1) für alle x1, x2 ∈ Ι mit x1 x2 zu betrachten. f : Ι → R ist nämlich
monoton steigend, wenn gilt:
monoton fallen, wenn gilt:
streng monoton steigend, wenn gilt:
streng monoton fallen, wenn gilt:
0)()( 12, 2121≥−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx
0)()( 12, 2121≤−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx
0)()( 12, 2121>−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx
0)()( 12, 2121<−∀ <∧Ι∈ xfxfxxxx
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Beispiel
Untersuchen Sie auf Monotonie.
Sei und .
⇒ f ist folglich streng mononton steigend.
( ) ( ) ( ) ( )66 1212
2212 −−−−−=− xxxxxfxf
( ) ( )1221
22 xxxx −−−=
66 1212
22 ++−−−= xxxx
( ) ( )[ ]11212 −+⋅−= xxxx
[ [∞∈ ;5,0, 12 xx 21 xx <
44344210>
434210>
{5,0>{
5,0≥
0>
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2.4 Umkehrfunktion
2 Funktionen
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Umkehrfunktion
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2.54
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Umkehrfunktion
Definition:
Die Umkehrfunktion einer Funktion f : A → B ist die Funktion f –1 : B → A, für die gilt:
∀x∈A f –1(f(x)) = x ∀y∈B f (f –1(y)) = y
Bemerkungen:
Die Bezeichnung f –1 für die Umkehrfunktion der Funktion fdarf nicht mit (f(x))–1 verwechselt werden.
Beispiel: f(x) = x + 1 ⇒
Im Fall erhält man den Graph der Umkehrfunktion , indem man den Graph der Funktion f an der Geraden y = x (das ist Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten) spiegelt.
( ))(
1)( 1
xfxf =−
RR ⊆→⊆ AAf :RR ⊆→⊆− AAf :1
( )1
1)( 1
+=−
xxf
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Umkehrfunktion
Satz:
Zu einer Funktion f existiert genau danneine Umkehrfunktion, wenn f bijektiv ist.
fA B = W
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Verkettung
Definition:
Seien P, Q und R nichtleere Mengen und f : P → Q sowie g : Q → R Funktionen, dann nennt man die durch
g f : P → R, x (g f )(x) := g(f(x))
definierte Funktion die Verkettung von f und g.
Für g f spricht man „g nach f “.
Definition:
Die Funktion idA : A → A, x x, die jedes Element der Menge A auf sich selbst abbildet, heißt identische Abbildung(oder Identität) auf A.
Bemerkung:
Für f : A → B, f –1 : B → Agilt f –1 f = idAund f f –1 = idB.
Für f : A → A gilt:f –1 f = f f –1Beispiel:
f : R → R, x x + 1; g : R → R, x x2
g f : R → R, x (g f )(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x + 1)2
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Funktionsterm der Umkehrfunktion
Geg.: f : R → R, x 2x – 1
Ges.: f –1 : R → R
Funktionsgleichung von f auflösen nach x:
x und y vertauschen:
Ergebnis:
12 += xyxy 21 =−
xy =−21
21
21
21
−= yx
21
21
−= xy
21
21
,:1 −→− xxf aRR
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Beispiele