Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-1
Exzentrischer Stoß
● Allgemeine Stoßvorgänge zwischen zwei Körpern in der Ebene können mit Hilfe des integrierten Impulssatzes und des integrierten Drallsatzes behandelt werden.
● Während des Stoßes treten kurzzeitig große Kräfte auf, die zu einer Änderung der Geschwindigkeiten führen.
● Bekannt sind die Geschwindigkeiten und Winkelge-schwindigkeiten vor dem Stoß.
● Gesucht sind die Geschwindigkeiten und Winkelge-schwindigkeiten nach dem Stoß.
● Der genaue zeitliche Verlauf der Kraft ist nicht bekannt.
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Exzentrischer Stoß
1. Idealisierungen
2. Definitionen
3. Integrierter Impuls- und Drallsatz
4. Stoß zwischen freien Körpern
5. Stoß auf gelagerten Körper
6. Rauer Stoß
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1. Idealisierungen
● Idealisierungen sind vereinfachende Annahmen, die ge-troffen werden, damit ein Problem rechnerisch untersucht werden kann.
● Bei Stoßvorgängen werden folgende Annahmen getrof-fen:
– Die Stoßdauer tS ist so klein, dass Lageänderungen der
beiden Körper während der Stoßdauer vernachlässigt werden können.
– Die an der Berührstelle der Körper auftretenden Kräfte sind so groß, dass während der Stoßdauer alle anderen Kräfte vernachlässigt werden können.
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1. Idealisierungen
– Die Verformungen der beiden Körper sind so klein, dass die Bewegungsgesetze für starre Körper angewendet werden können.
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2. Definitionen
P
S1
S2
Stoßnormale
Berührungsebene
● Die Berührungsebene liegt tangential zu den beiden Körpern.
● Der Stoßpunkt P liegt in der Berührungsebene.
● Die Stoßnormale geht durch den Stoßpunkt P und steht senkrecht auf der Berührungsebene.
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2. Definitionen
● Gerader Stoß: ● Schiefer Stoß:
P
S1
S2
v1
v2
Stoßnormale
P
S1
S2
v1
v2
Stoßnormale
Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-7
2. Definitionen
● Beim geraden Stoß haben die Geschwindigkeiten un-mittelbar vor dem Stoß die Richtung der Stoßnormalen.
● Beim schiefen Stoß stimmen die Richtungen der Ge-schwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß nicht mit der Stoßnormalen überein.
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2. Definitionen
● Zentrischer Stoß: ● Exzentrischer Stoß:
S1
S2
P
Stoßnormale
P
S1
S2
Stoßnormale
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2. Definitionen
● Beim zentrischen Stoß geht die Stoßnormale durch die beiden Schwerpunkte.
● Beim exzentrischen Stoß geht die Stoßnormale nicht durch die beiden Schwerpunkte.
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2. Definitionen
● Glatter Stoß:– Reibungskräfte werden
vernachlässigt.– Die Stoßkräfte wirken in
Richtung der Stoßnorma-len.
● Rauer Stoß:– Reibungskräfte werden
berücksichtigt.– Es wirken auch Kräfte in
der Berührungsebene.
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3. Integrierter Impuls- und Drallsatz
● Integrierter Impulssatz:– Die Bewegung des Schwerpunktes eines starren Körpers
wird durch den Impulssatz beschrieben:
– Integration bezüglich der Zeit liefert:
– Mit dem Kraftstoß
lautet der integrierte Impulssatz:
– Für ebene Probleme folgen daraus die beiden Gleichungen:
m v̇S=F
∫t 1
t 2
m v̇ S dt=∫t 1
t 2
F dt
F=∫t1
t2
F dt
m vS t2−vS t1= F
m vSx t2−vSx t1= F x , m vSyt2−vSy t1= F y
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3. Integrierter Impuls- und Drallsatz
● Integrierter Drallsatz:– Die Drehung eines starren Körpers um seinen Schwerpunkt
wird durch den Drallsatz beschrieben:
– Integration bezüglich der Zeit liefert:
– Für einen Stoß ist die Zeit tS = t
2 – t
1 so klein, dass die
Lageänderung des Körpers während dieser Zeit vernachlässigt werden kann.
L̇S=M S
∫t 1
t 2
L̇S dt=∫t1
t2
M S dt
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3. Integrierter Impuls- und Drallsatz
– Daher gilt:
– Mit
lautet der integrierte Drallsatz:
– Für eine Drehung um die z-Achse folgt daraus:
∫t 1
t 2
M Sdt=∫t 1
t 2
rP×F dt=rP×∫t1
t2
F dt=r P× FS
P
F
rP
∫t 1
t 2
L̇Sdt=LS t2−LS t1=J S t2−t1
J S t2−t1=rP× F
J Sz t 2−t1=x P F y− yP F x
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4. Stoß zwischen freien Körpern
● Aufgabenstellung:– Zwei glatte Körper stoßen aufeinander.
– Bekannt sind die Massen m1 und m
2, die Massenträgheits-
momente JS1
und JS2
, die Schwerpunktsgeschwindigkeiten v
1 und v
2 sowie die Winkelgeschwindigkeiten ω
1 und ω
2 vor
dem Stoß.
– Gesucht sind die Schwerpunktsgeschwindigkeiten V1 und
V2 sowie die Winkelgeschwindigkeiten Ω
1 und Ω
2 nach dem
Stoß.
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4. Stoß zwischen freien Körpern
● Koordinatensystem:– Die x-Achse zeigt entlang
der Stoßnormalen.– Die y-Achse liegt in der
Berührungsebene.
x
y
P
S1
S2
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4. Stoß zwischen freien Körpern
● Aufstellen der Gleichungen:
x
yS1
S2
a1
a2
F(t)
F(t)
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4. Stoß zwischen freien Körpern
– Integrierter Impulssatz für Körper 1:
– Integrierter Drallsatz für Körper 1:
m1 V 1 x−v1 x = − F xm1 V 1 y−v1 y = 0
J S 1 1−1 =a1 F x
– Integrierter Impulssatz für Körper 2:
– Integrierter Drallsatz für Körper 2:
m2 V 2 x−v2 x = F xm2 V 2 y−v2 y = 0
J S 2 2−2 =−a2 F x
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4. Stoß zwischen freien Körpern
– Damit stehen sechs Gleichungen zur Ermittlung der sieben unbekannten Größen V
1x, V
1y, V
2x, V
2y, Ω
1, Ω
2 und zur
Verfügung.– Die fehlende Gleichung folgt aus der Stoßbedingung, die
zwischen den Geschwindigkeiten im Punkt P besteht:
– Dabei ist k die Stoßzahl.– Für die Geschwindigkeiten im Punkt P gelten die
kinematischen Beziehungen
F x
k=−V P1x−V P2x
vP1x−vP2x
vP1x = v1 x−a11
V P1x = V 1 x−a11
vP2x = v2 x−a22
V P2x = V 2 x−a22
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4. Stoß zwischen freien Körpern
● Auflösen der Gleichungen:– Aus dem integrierten Impulssatz in y-Richtung folgt:
– Aus dem integrierten Impulssatz in x-Richtung folgt:
– Aus dem integrierten Drallsatz folgt:
– Damit lassen sich die gesuchten Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten berechnen, wenn der Kraftstoß bekannt ist.
V 1 y=v1 y , V 2 y=v2 y
V 1 x=v1 x−F xm1, V 2 x=v2 x
F xm2
1=1a1 F xJ S 1
, 2=2−a2 F xJ S 2
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4. Stoß zwischen freien Körpern
– Aus der Stoßbedingung folgt:
– Mit den kinematischen Beziehungen ergibt sich:
– Einsetzen der Beziehungen zwischen den Geschwindigkei-ten und dem Kraftstoß führt auf:
k vP1x−vP2x V P1x−V P2x=0
k v1 x−a11−v2 xa22 V 1 x−a11−V 2 xa22=0
V 1 x−V 2 x−a11a22=−k v1 x−v2 x−a11−a22
v1 x−v2 x− F x 1m1
1m2 −a11a22−
F x a12
J S 1a22
J S 2 =−k v1 x−v2 x−a11a22
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4. Stoß zwischen freien Körpern
– Daraus folgt:
● Ergebnis:
1k v1 x−v2 x−a11a22 = F x 1m11m2
a12
J S 1a22
J S 2 F x=1k
v1 x−v2 x−a11a22
1m1
1m2
a12
J S 1a22
J S 2
V 1 x=v1 x−F xm1, V 1 y=v1 y , 1=1
a1 F xJ S 1
V 2 x=v2 xF xm2, V 2 y=v2 y , 2=2−
a2 F xJ S 2
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4. Stoß zwischen freien Körpern
● Beispiel:– Ein Fahrzeug fährt seitlich versetzt auf ein langsameres
Fahrzeug auf.
S2
S1
P
x
y
a1
a2
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4. Stoß zwischen freien Körpern
– Daten für Fahrzeug 1:● Masse m
1 = 2000kg
● Massenträgheitsmoment J
S1 = 1500kgm2
● Geschwindigkeit v1 =
180km/h● Winkelgeschwindigkeit
ω1 = 0s-1
● Abstand a1 = 0,5m
– Daten für Fahrzeug 2:● Masse m
2 = 1000kg
● Massenträgheitsmoment J
S2 = 500kgm2
● Geschwindigkeit v2 =
140km/h● Winkelgeschwindigkeit
ω2 = 0s-1
● Abstand a2 = -0,3m
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4. Stoß zwischen freien Körpern
● Stoßzahl: k = 0,4– Bemerkung:
● Der Wert des Abstandes a2 ist negativ, da sich der Stoßpunkt
P unterhalb des Schwerpunktes S2 befindet.
– Ergebnisse:● Kraftstoß:
● Geschwindigkeiten:
● Winkelgeschwindigkeiten:
F x=8423,6Ns
V 1=164,84km/h , V 2=170,32km/h
1=2,81 s−1 , 2=5,05s
−1
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5. Stoß auf gelagerten Körper
● Beim Stoß auf einen gelagerten Körper treten auch am Lager Stoßkräfte auf.
● Die Stoßkräfte am Lager haben die gleiche Größenord-nung wie die Stoßkräfte am Stoßpunkt.
● Alle anderen Kräfte können gegenüber den Stoßkräften vernachlässigt werden.
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5. Stoß auf gelagerten Körper
● Aufgabenstellung:– Auf einen gelenkig gelagerten Körper wirkt ein Stoß.– Der gestoßene Körper ist vor dem Stoß in Ruhe.– Bekannt ist der Kraftstoß , die Masse m und das Massen-
trägheitsmoment JA des gestoßenen Körpers.
– Gesucht sind die Lagerkräfte während des Stoßes und die Winkelgeschwindigkeit des Körpers nach dem Stoß.
F
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5. Stoß auf gelagerten Körper
● Koordinatensystem:– Die x-Achse wird so ge-
wählt, dass sie in Rich-tung des Kraftstoßes zeigt.
S
A
F(t)
x
y
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5. Stoß auf gelagerten Körper
● Aufstellen der Gleichungen:
d
b
S
A
F(t)
x
y
c
Ax(t)
Ay(t)
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5. Stoß auf gelagerten Körper
– Integrierter Impulssatz:
– Integrierter Drallsatz bezüglich des ortsfesten Punktes A:
– Kinematik:– Damit lassen sich die Lagerkräfte aus dem integrierten
Impulssatz berechnen:
mV x=F− Ax
mV y=−A y
J A z=b F =b FJ A z
V x=c , V y=−d
Ax= F−mV x=F−mc
A y=−mV y=md
Ax= F 1−mcbJ A z
A y= FmdbJ A z
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5. Stoß auf gelagerten Körper
● Stoßmittelpunkt Π:– Der Stoßmittelpunkt ist der Punkt, in dem der Körper ge-
lagert werden muss, damit im Lager keine Kräfte auftreten.– Damit die x-Komponente der Lagerkraft verschwindet, muss
gelten:
– Mit dem Trägheitsradius
folgt:
1−mcbJ A z
=0 c=J A zmb
i A=J A zm
c=i A2
b
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5. Stoß auf gelagerten Körper
– Damit die y-Komponente der Lagerkraft verschwindet, muss der Abstand d gleich Null sein.
– Der Stoßmittelpunkt liegt auf der zur Stoßkraft senkrechten Geraden durch den Schwerpunkt und hat vom Schwer-punkt den Abstand
c
b
F
S
Π
c=i A2
b
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5. Stoß auf gelagerten Körper
– Bei Körpern, auf die Stöße wirken, wird versucht, den Lagerpunkt in den Stoßmittelpunkt zu legen:
● Hammer● Tennisschläger
– Ein Körper, der nicht gelagert ist, dreht sich unmittelbar nach dem Stoß um den Stoßmittelpunkt. Der Stoßmittel-punkt ist der Momentanpol der freien Bewegung unmittelbar nach dem Stoß.
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5. Stoß auf gelagerten Körper
● Beispiel:– In welcher Höhe h muss eine homogene Billardkugel hori-
zontal angestoßen werden, damit sie auf glatter Ebene nach dem Stoß rollt?
h
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5. Stoß auf gelagerten Körper
– Freigeschnittene Billardkugel:
– Da die Ebene glatt ist, muss die Horizontalkraft verschwinden.
h r
S
Ay
A
x
y
F
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5. Stoß auf gelagerten Körper
– Die Horizontalkraft verschwindet, wenn Punkt A der Stoßmittelpunkt ist.
– Dann muss gelten:
– Massenträgheitsmoment bezüglich Punkt A:
– Ergebnis:
r=J A zmh
h=J A zmr
J A z=J S zmr2=25mr2mr 2=
75mr2
h=75r
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6. Rauer Stoß
● Beim Stoß zwischen rauen Körpern wird angenommen, dass die Körper während des Stoßes aneinander haften.
● Die Geschwindigkeitskomponenten am Berührungspunkt P in der Berührungsebene sind während des Stoßes und damit auch unmittelbar nach dem Stoß gleich:
V P1y=V P2y
Prof. Dr. Wandinger 4. Exzentrischer Stoß Dynamik 2 4-37
6. Rauer Stoß
● Aufgabenstellung:– Eine homogene Kugel stößt schief gegen eine raue Wand.
– Bekannt ist die Masse m, das Massenträgheitsmoment JS
sowie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v und die Win-kelgeschwindigkeit ω vor dem Stoß.
– Gesucht ist die Schwerpunktsgeschwindigkeit V und die Winkelgeschwindigkeit Ω nach dem Stoß.
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6. Rauer Stoß
● Koordinatensystem:– Die x-Achse steht
senkrecht auf der Wand.– Die y-Achse ist parallel
zur Wand.v
ω
x
y
P
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6. Rauer Stoß
● Aufstellen der Gleichungen:– Integrierter Impulssatz:
– Integrierter Drallsatz bezüglich des Schwerpunkts:
– Stoßbedingung:
– Haftbedingung:
PS
r
x
y Fx
Fy
m V x−vx =− F xm V y−v y =− F y
J S −=−r F y
k=−V Px
vPx=−
V x
vx V x=−k vx
V Py=0 V yr=0 V y=−r
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6. Rauer Stoß
– Aus dem integrierten Impulssatz in y-Richtung folgt:
– Damit folgt aus dem integrierten Drallsatz:
– Mit folgt:
F y=−m V y−v y =m rv y
J S − =−r m rv y
J Smr2 =J S−mr v y
=J S−mr v yJ Smr
2
J S=25mr2
=
25mr2−mr v y
25mr2mr2
=27−
57
v yr
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6. Rauer Stoß
● Ergebnis:
– Fall 1:
● Die Kugel prallt nach unten zurück und behält dabei ihre Drehrichtung bei.
– Fall 2:
● Die Kugel prallt nach oben zurück und ändert dabei ihre Drehrichtung.
=27−
57v yr, V x=−k vx , V y=
57v y−
27r
52v yr
V y0, 0
52v yr
V y0, 0