![Page 1: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/1.jpg)
Fachbereich Mathematik der Universitat Hamburg WiSe 2018/19
Dr. Hanna Peywand Kiani
Horsaalubung 2 Analysis III fur Studierende derIngenieurwissenschaften
Infos/ Lehrmaterial unter
http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/index.htmlFunktionen f : Rn → R
m
Hohenlinien, Gradienten, hohere Ableitungen
Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit wahrend der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der
Veranstaltung gegebenen zusatzlichen Erlauterungen sind diese Unterlagen unvollstandig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen).
Tipp– oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mundlich wahrend der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netzerfolgt NICHT!
Eine Veroffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!
![Page 2: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/2.jpg)
Veranschaulichung von Funktionen D ⊂ R2 , f : D → R
Gegeben: Funktion f : D → R, D ⊂ R2.
Beispiele: Temperatur an einzelnen Punkten einer Herdplatte, fur ein Stuck derErde (naherungsweise eben, also Erdkrummung vernachlassigt) Hohe uber demMeeresspiegel oder Luftdruck.
Veranschaulichung:
• Als Flache (x, y, f(x, y))T ∈ R3 (Modell einer Landschaft)
f4(x, y) = cos(2πy) sin(πx) :−1
−0.50
0.51
−1
−0.5
0
0.5
1−1
−0.5
0
0.5
1
2
![Page 3: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/3.jpg)
oder
• Mit Hilfe von Hohenlinien = Kurven auf denen f konstant ist
Hohe uber dem Meeresspiegel, Aquipotentiallinien, Isobaren
Beispiel 1: z = f(x, y) = exp(
−(x2 + y2))
,
Hohenlinien: exp(
−(x2 + y2))
= K ⇐⇒ −(x2 + y2) = ln(K) =: c
−2
−1
0
1
2
−2
−1
0
1
20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f(x,y)=exp(−x2−y2)
surf(X,Y,z)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
contour(X,Y,z,30)
Abbildung 1: Hohenlinien : manuell eingetragen
3
![Page 4: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/4.jpg)
Beispiel 2: z = f(x, y) = 4x2 + 9y2.
Und was, wenn es komplizierter wird?Aus 1D bekannt: Lineare Interpolation
4
![Page 5: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/5.jpg)
Ziel: Veranschaulichung/Auswertung einer Funktion z = f(x, y)auf einem x, y Gitter mit x− bzw. y−Unterteilung :
x : x0, x0 + h, x0 + 2h, · · · , xn hier x0 = −1, h = 0.5, xn = 1
y : y0, y0 + k, y0 + 2k, · · · , ym hier y0 = −2, k = 0.5, ym = 2
−1 −0.5 0 0.5 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Ausgewahlte MATLAB Befehle
Alternativ: ez-Befehle, zum Beispiel ezsurf, ezplot etc. Informieren Sie sich beiBedarf mittels help ezsurf, help ezplot, etc.
5
![Page 6: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/6.jpg)
MATLAB–Befehle:
>> x=[-1 : 0.5 : 1] ; Hier wird ein x bzw. ein
>> y=[-2 : 0.5 : 2] ; y-Vektor erzeugt
Die Funktionswerte sollen fur jede Kombination der x, y−Werte berechnet undgeplottet werden. Das geht einfach mit:
>> [X,Y]=meshgrid(x,y); Hier wird ein Gitter von
x,y-Werten erzeugt
Funktionsauswertung:
>> z = 4*X.*X + 9*Y.*Y;
Beachten Sie die Vektoroperation : .∗MATLAB muss schon wissen, dass komponentenweise multipliziert werden soll!!
6
![Page 7: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/7.jpg)
Veranschaulichung als NetzBefehlsfolge:>>
hold on
x=[-2 : .2 : 2];
y=[-2 : .2 : 2];
[X,Y] = meshgrid(x,y);
z=4*X.^2 + 9*Y.^2;
mesh(X,Y,z)
−2
0
2
−2 −1 0 1 2
0
10
20
30
40
50
60
7
![Page 8: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/8.jpg)
Veranschaulichung als Flache
Befehlsfolge:>>
hold on
x=[-2 : .2 : 2];
y=[-2 : .2 : 2];
[X,Y] = meshgrid(x,y);
z=4*X.^2 + 9*Y.^2;
surf(X,Y,z)
−202−2 −1 0 1 20
10
20
30
40
50
60
8
![Page 9: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/9.jpg)
Hohenlinien
a) contour(X,Y,z,30) : Es werden 30 Hohenlinien gezeichnet
b) Die Befehlsfolge
>>cs=contour(X,Y,z,20);
>>clabel(cs,’manual’);
bewirkt das plotten von 20 Hohenlinien, die man mit der Maus anfahrenkann. An den angeklickten Hohenlinien werden die Werte von f angegeben.In unserem Beispiel bleibt zunachst der mittlere Bereich des Bildes leer. DieHohenlinie zu 0.5 wurde nachtraglich eingefugt (s.unten).
9
![Page 10: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/10.jpg)
c) Der Befehl
>> contour(X,Y,z,[.5 .5]);
Bewirkt das Zeichnen der Hohenlinie C :={
(
xy
)
: f(x, y) = 0.5}
.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.48
2.48
9.9
9.9
37.1
37.137.1
37.1
0.5
10
![Page 11: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/11.jpg)
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Frage: Wie andern sich die Funktionswerte, wenn ich an einer oder an mehrerenVariablen wackle?
Gegeben: Funktion f : D → R, D ⊂ Rn
Stetigkeit: wie im R1, genau: Vorlesung!
Kurzform: fur jede Folge (xk)k∈N aus D
limk→∞
xk = x =⇒ limk→∞
f(xk) = f(x) .
11
![Page 12: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/12.jpg)
Differenzierbarkeit im R1: Stichworte
Tangentensteigung,
Hinreichend gute Approximierbarkeit durch lineare Funktionen
Anderungsrate: Wie stark andert sich der Wert von f bei Anderung von t?
f(t+∆t)− f(t)
∆t
0-2
2
1
-11
2
0 0
3
1 -12 -2
0
0.5
1
1
1.5
2
2.5
3
0
10.50-1 -0.5-1
12
![Page 13: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/13.jpg)
f heißt partiell differenzierbar nach xj in x ∈ D, wenn
limh→0
f(x+ hej) − f(x)
h= lim
h→0
1
h
f
x1
x2...
xj−1
xj + h
xj+1...xn
− f
x1
x2...
xj−1
xj
xj+1...xn
existiert. Im Falle der Existenz heißt der obige Wert
partielle Ableitung von f nach xj =:∂f
∂xj
(x) =: fxj(x)
f heißt partiell differenzierbar, wenn f nach allen Komponenten x1, . . . , xn
partiell differenzierbar ist.
f heißt stetig partiell differenzierbar, wenn alle fxj, j = 1, . . . , n stetig sind.
13
![Page 14: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/14.jpg)
Beispiel
f(x, y, z) := xy2 cos(z) =⇒
fx(x, y, z) =
fy(x, y, z) =
fz(x, y, z) =
Im Falle der Existenz: wird der Vektor der partiellen Ableitungen Gradient vonf genannt. Oder mit Hilfe des Differentialoperators Nabla ∇ · f
grad f(x) := (fx1(x), · · · , fxn(x) )
T = ∇ · f(x1, . . . , xn).
14
![Page 15: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/15.jpg)
In unserem Beispiel also mit x =
x1
x2
x3
=
x
y
z
und f(x, y, z) = xy2 cos(z)
grad f(x) =
Zum Beispiel: grad f(10, 1, 0) = (1, 20, 0 )T .
Und was heißt das?
ACHTUNG: Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt nicht einmal dieStetigkeit! (siehe Vorlesung)
15
![Page 16: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/16.jpg)
Veranschaulichung bei n=2: Hefte an Punkten (x, y) Vektoren in Richtungund Lange von gradf(x, y) an.
Beispiel: f(x, y) = exp(xy) = exy =⇒ ∇f(x, y) =
Hohenlinien:
Gradient:
16
![Page 17: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/17.jpg)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
17
![Page 18: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/18.jpg)
Veranschaulichung von Gradientenfeldern mit Matlab
hold off
x=[-0.0 : .05 : .9];
y=[-0.0 : .05 : .9];
[X,Y] = meshgrid(x,y);
z= exp(X.*Y);
contour(X,Y,z,30) %Hohenlinien
hold on
[px,py] = gradient(z); % Gradient
quiver(X,Y,px,py) % in (X,Y)
% wird der Vektor (px,py) angeheftet.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
18
![Page 19: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/19.jpg)
Tangentialebene an f in x0.
f beliebige in (x0, y0) ∈ D diff.bare Funktionf : D → R, D ⊂ R
2.
Was entspricht der Tangente aus dem D ⊂ R Fall?
0
0.5
1
1
1.5
2
2.5
3
0
10.50-1 -0.5-1
z(x, y) : = f(x0, y0) + grad f(x0, y0) · (x− x0)
= f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)Ebene im R
3. Schmiegt sich an die Flache (x, y, f(x, y))T an, wenn f diffbar!
19
![Page 20: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/20.jpg)
Beispiel: f(x, y) := 4− x2 − y2, x0 = 1, y0 = 1
T (x, y) := f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
f(1, 1)=
fx(x, y) = fy(x, y) =
20
![Page 21: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/21.jpg)
−2 −1 0 1 2−2 −1 0 1 2
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
−202 −2−1012
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
x=[-2 : .1 : 2];
t=[-2 : .1 : 2];
[X,Y] = meshgrid(x,t);
z=4-X.*X-Y.*Y;
hold on
tz=2-2*(X-1)-2*(Y-1); %Tang.ebene im Punkt (1,1,2)
mesh(X,Y,tz)
surf(X,Y,z)
21
![Page 22: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/22.jpg)
Ableitungen hoherer Ordnung
Ist f part. diffbar. auf einer offenen Menge D, so kann man versu-
chen die partiellen Ableitungen erneut partiell abzuleiten.
Beispiel: f(x, y, z) := xy2 cos(z) . Mit
fx(x, y, z) = y2 cos(z), fy(x, y, z) = 2xy cos(z)
fz(x, y, z) = xy2(− sin(z)),
Damit erhalten wir zum Beispiel∂
∂xfy(x, y, z) =: fyx(x, y, z) =
∂
∂yfy(x, y, z) =: fyy(x, y, z) =
∂
∂zfy(x, y, z) =: fyz(x, y, z) =
22
![Page 23: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/23.jpg)
Insgesamt erhalt man 9 sogenannte zweite Ableitungen, die man
zur Hessematrix von f zusammenfasst:
fxx fxy fxzfyx fyy fyzfzx fzy fzz
(x)
23
![Page 24: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/24.jpg)
Noch ein Beispiel:
Gegeben ist die Funktion
u : R × R+ \ {0} , u(x, t) :=
1√texp
(
− x2
4t
)
.
a) Zeigen Sie, dass die Funktion u die eindimensionale Warmelei-
tungsgleichung
ut = uxx lost.
b) Skizzieren Sie die Losung fur mindestens vier verschiedene
t−Werte.
Losungsskizze:
u(x, t) := 1√texp
(
− x2
4t
)
= t−12 · exp
(
−1
4x2t−1
)
24
![Page 25: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/25.jpg)
a) Zu berechnen sind die Ableitungen
ut =
ux =
uxx =
25
![Page 26: Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018 ... · Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg WiSe 2018/19 Dr. Hanna Peywand Kiani H¨orsaal ¨ubung 2 Analysis](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040712/5e16d2a43a0b3116695c460f/html5/thumbnails/26.jpg)
b) −3 −2 −1 0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
2.5
Lösungen der Wärmeleitungsgleichung
t=0.2
t=0.6
t=1
t=1.5
26