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Fehlerrechnung
Einführung
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Jede Messung ist fehlerbehaftet!Ursachen:• Ablesefehler (Parallaxe, Reaktionszeit)• begrenzte Genauigkeit der Messgeräte• falsche Kalibrierung/Eichung der Messgeräte
• Digitalisierungs-Fehler (typ. „± 1 Digit“)• Einfluss von Fremdgrößen (z.B. Temperatur)• Übertragungsfehler (elektronisch oder bei Messaufschrieb)
Einteilung in• V\VWHPDWLVFKH�)HKOHU und
• ]XIlOOLJH�)HKOHU
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Systematische Fehler• führen zu einer einseitigen Abweichung der gemessenen Größe
• sind mit statistischen Methoden nicht erfassbar oder korrigierbar
o müssen möglichst ausgeschlossen werden!
Zufällige Fehler• führen zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
• können statistisch erfasst werden• erlauben eine Berechnung des wahrscheinlichsten Wertes
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Statistische Methoden zur FehlerrechnungBei mehreren Messungen x1...xN ist der wahrscheinlichste richtige Wert
der DULWKPHWLVFKH�0LWWHOZHUW!
:DUXP�LVW�GDV�VR�"""""
Die Abweichung ist minimal, wenn die Fehlerfunktion
ihr Minimum hat. Dies ist der Fall, wenn
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung
Es ist also zu berechnen:
Die Ableitung ergibt:
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung
Ist die Anzahl N der Messwerte (“Stichprobe”) groß, kann der mittlereFehler eines gemessenen Einzelwertes berechnet werden als
Der mittlere Fehler des Mittelwerts beträgt dann
$QPHUNXQJ��%HL�NOHLQHQ�6WLFKSUREHQ��1������LVW�HV�VLQQYROO��PLW�GHP
PLWWOHUHQ�)HKOHU�GHV�(LQ]HOZHUWV�]X�UHFKQHQ�
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung
Beispiel: Zeitmessung an einer Fahrbahn:
L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10W�L��V 2,82 2,80 2,67 2,88 2,74 2,56 2,87 2,66 2,78 2,66
Mittelwert:Standardabweichung
*HVDPWDQJDEH�
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung: rel. Fehler
Oft interessiert nicht der absolute Fehler, sondern das Verhältnis zwischendem Fehler (Standardabweichung) und dem eigentlichen Wert (Mittelwert).
Dieser Quotient heisst “relativer Fehler”. Bezogen auf unser Beispiel istalso der relative Fehler der Zeitmessung:
oder mit konkreten Größen:
Die Gesamtangabe kann daher auch lauten:
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung:Fehlerfortpflanzung
Wird eine Größe nicht direkt gemessen, sondern aus anderen gemessenenGrößen berechnet, tragen die Fehler aller Einzelmessungen zumGesamtfehler bei.
In diesen Fällen berechnet man den Fehler der Zielgröße V = V(ξ1... ξK)nach Gauß als:
Das Symbol “∂” bezeichnet eine SDUWLHOOH�$EOHLWXQJ. Hierbei betrachtetman die Funktion V so, als sei sie nur von einer Eingangsgrößeabhängig.
(Nicht w mit “Delta” G verwechseln !!! )
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung:Beispiel zur Fehlerfortpflanzung
Wir nehmen an, dass mit den gemessenen Zeiten und einer bekanntenMessstrecke die Beschleunigung eines Wagens berechnet werden soll.Hierfür gilt die Gleichung
Der Fehler wird also berechnet als:
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung:Beispiel zur Fehlerfortpflanzung
Berechnung der partiellen Ableitungen:
und
Der Fehler der gemessenen Beschleunigung ist also:
Für den Fehler der Zeitmessung kann die Standardabweichung aus den10 Zeitmessungen eingesetzt werden.
Die Strecke wurde nur einmal gemessen, daher ist Hs sinnvollabzuschätzen (z.B. Ablesegenauigkeit des Lineals)
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung:Beispiel zur Fehlerfortpflanzung
Die Beschleunigung beträgt also
Für den Fehler erhält man:
Der Fehler wird fast ausschließlich von der Zeitmessung verursacht !
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung:Beispiel zur Fehlerfortpflanzung
Korrekte Angabe der Beschleunigung
oder
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung:Vereinfachungen
Setzt sich eine Größe V als Potenzprodukt der Eingangsgrößenzusammen, dann kann der relative Fehler der Endgröße vereinfachtberechnet werden:
Für das hier vorgestellte Beispiel ist dann
und folglich
Der Fehler ist die Summe der mit dem Exponenten gewichtetenrelativen Einzelfehler:
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Statistische Methoden zur Fehlerrechnung:Vereinfachungen