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Gepaarter und ungepaarter t-Test
Statistik (Biol./Pharm.) – Herbst 2012
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Krebs
Mr. X
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Zwei Krebstypen
1
2
Typ 1: Mild Chemotherapie nicht nötig
Typ 2: Schwer Chemotherapie nötig
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Jetzt Chemotherapie oder nicht?
Problem:
Typ erst nach langer Zeit erkennbar
1 2
? ?
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Wie kann man
verschiedene Arten von Krebs
frühzeitig
unterscheiden?
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Vergleiche Krebszellen
Typ 1 Typ 2
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Idee:
Vergleiche Aktivität
innerhalb der Zelle
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Zentrales Dogma der Molekularbiologie
DNA mRNA Protein
Zelle
GEN
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Entnehme mRNA
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Entnehme mRNA
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Nehme einen Microarray
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Microarray: Zoom In
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mRNA auf Microarray
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mRNA auf Microarray
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Auf dem Microarray
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Voila: Ein Feuerwerk!
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Helligkeit = Aktivität des Gens
Gen 5 sehr aktiv
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Helligkeit = Aktivität des Gens
Gen 6 nicht aktiv
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Für jeden Patienten ein Microarray
Typ 1 Typ 2
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Microarray:
Aktivität aller Gene in der Zelle
Typ 1 Typ 2
Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat. 5
1 2.1 1.3 1.9 1.2 1.4
2 2.4 2.3 2.5 2.1 2.0
…
50000
Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4
1 1.9 2.5 2.4 2.9
2 2.3 2.2 2.4 2.1
…
50000
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Microarray:
Aktivität aller Gene in der Zelle
Typ 1 Typ 2
Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat. 5
1 2.1 1.3 1.9 1.2 1.4
2 2.4 2.3 2.5 2.1 2.0
…
50000
Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4
1 1.9 2.5 2.4 2.9
2 2.3 2.2 2.4 2.1
…
50000
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Microarray:
Aktivität aller Gene in der Zelle
Typ 1 Typ 2
Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat. 5
1 2.1 1.3 1.9 1.2 1.4
2 2.4 2.3 2.5 2.1 2.0
…
50000
Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4
1 1.9 2.5 2.4 2.9
2 2.3 2.2 2.4 2.1
…
50000
Ist Gen 1 bei Typ 2-Tumorzellen signifikant aktiver?
Falls ja: Gen 1 kann Typ1-Tumor und Typ-2 Tumor unterscheiden!
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Falls ja:
Gen 1 nicht aktiv Gen 1 aktiv
Chemotherapie Chemotherapie
Typ 1 Typ 2
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Microarray:
Aktivität aller Gene in der Zelle
Typ 1 Typ 2
Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat. 5
1 2.1 1.3 1.9 1.2 1.4
2 2.4 2.3 2.5 2.1 2.0
…
50000
Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4
1 1.9 2.5 2.4 2.9
2 2.3 2.2 2.4 2.1
…
50000
Ist Gen 1 bei Typ 2-Tumorzellen signifikant aktiver?
Ungepaarter t-Test
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Ungepaarter t-Test: 1/3
24
1. Modell:
X1; : : : ;Xn iid » N (¹X ; ¾2);
Y1; : : : ; Ym iid » N (¹Y ; ¾2):
2. Nullhypothese:
H0 : ¹X = ¹Y :
Alternative:
HA : ¹X 6= ¹Y (zweiseitig)
oder HA : ¹X > ¹Y (einseitig)
oder HA : ¹X < ¹Y (einseitig)
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Ungepaarter t-Test: 2/3
25
3. Teststatistik:
T =Xn ¡ Y m
Spoolp1=n+ 1=m
wobei
S2pool =1
n+m¡ 2
ÃnX
i=1
(Xi ¡Xn)2 +
mX
i=1
(Yi ¡ Y m)2
!=
=1
n+m¡ 2
¡(n¡ 1)¾̂2x + (m¡ 1)¾̂2y
¢:
Verteilung der Teststatistik unter H0: T » tn+m¡2.
𝑥 =1
𝑛∑𝑥𝑖
1
𝑛 − 1∑ 𝑥𝑖 − 𝑥
2
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Ungepaarter t-Test: 3/3
26
4. Signi¯kanzniveau: ®
5. Verwerfungsbereich fÄur die Teststatistik:
(¡1;¡tn+m¡2;1¡®=2] [ [tn+m¡2;1¡®=2;1) bei Alternative HA : ¹X 6= ¹Y ;
[tn+m¡2;1¡®;1) bei Alternative HA : ¹X > ¹Y ;
(¡1;¡tn+m¡2;1¡®] bei Alternative HA : ¹X < ¹Y :
6. Testentscheid: Entscheide, ob der beobachtete Wert der Teststatistik
im Verwerfungsbereich der Teststatistik liegt.
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Happy End !
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Happy End !
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Gepaart vs. Ungepaart
Bsp: Augeninnendruck; ein Auge behandelt, das andere
nicht (gepaarter Test ist angebracht)
Gemäss Vorraussetzungen dürfte auch ein ungepaarter
Test angewendet werden
29
Augendruck
links rechts
Ungepaart: Intuition Teststatistik: 𝑇 =
𝑋−𝑌
𝜎𝑋
Gepaart: Differenz 𝐷𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑌𝑖 Teststatistik 𝑇 =
𝐷
𝜎𝐷
𝐻0: 𝜇𝑋 = 𝜇𝑌
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Gepaart vs. Ungepaart: Simulationsstudie
𝐻0: 𝜇𝐷 = 0 bzw. 𝐻0: 𝜇𝑋 = 𝜇𝑌; n=m=10
𝑋~𝑁 100, 𝜎𝑋2 , 𝐷~𝑁 2, 1 , 𝑌 = 𝑋 + 𝐷
gepaarte Situation
Der gepaarte t-Test hat
mehr Macht, wenn die
Daten verrauscht sind.
30
gepaart
ungepaart
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t-Test falls Varianz in Gruppen unterschiedlich
(aka Welch-Test)
Grundidee identisch
Teststatistik und Verteilung falls 𝐻0 stimmt ist komplizierter
Computer: Dieser Test ist meist der default t-Test
Praxis: Man sollte immer annehmen, dass die Varianz der
Gruppen unterschiedlich ist; d.h., Welch-Test verwenden
31
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Mann-Whitney U-Test
(aka Wilcoxon Rank-sum Test)
Falls Daten nicht normalverteilt
𝑋𝑖~𝐹, 𝑖 = 1,… , 𝑛; 𝑌𝑗~𝐺, 𝑗 = 1,… ,𝑚
𝐻0: 𝐹 = 𝐺
𝐻𝐴: 𝐹 = 𝐺 + 𝛿 (𝛿 ≠ 0) (oder einseitig) (d.h., Verteilungen sind verschoben, haben aber gleiche From)
Teststatistik:
- Bilde Ränge über beide Gruppen hinweg
- Falls Gruppen gleich gross sind, sollten Rangsummen
etwa gleich sein
- Falls Gruppen ungleich, sollten Rangsummen in einem
gewissen Verhältnis stehen
32
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Bsp: Mann-Whitney U-Test
Behandlung (B) und Kontrolle (K) je 2 Patienten
Beobachtung: B: 1.2, 3.1; K: 5.9, 4.4
Gesamtrang: B: 1, 2; K: 4, 3
Rangsumme R in K: 4 + 3 = 7
Falls 𝐻0 stimmt sind alle Ränge in K gleich wahrscheinlich
Z.B. für einseitigen Test:
𝑃 𝑅 ≥ 7 = 𝑃 𝑅 = 7 =1
6≈ 0.167
𝐻0 kann auf dem 5% Niveau nicht verworfen werden
Praxis: Computer verwenden 33
Ränge 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4
R 3 4 5 5 6 7
P-Wert
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Übersicht: Tests für ungepaarte Stichproben
34
Test Annahmen 𝒏𝒎𝒊𝒏 (falls 𝒏 = 𝒎)
bei 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓
Macht
für ein Beispiel (1)
𝜎𝑋 = 𝜎𝑌 𝑋𝑖~𝑁
𝑌𝑖~𝑁 𝐹, 𝐺 haben
gleiche Form
iid pro
Gruppe
t
(𝜎𝑋 = 𝜎𝑌) x x x x 2 57 %
t
(𝜎𝑋 ≠ 𝜎𝑌) x x 2 56 %
MW
U-Test
x x x 4 53 %
(1): Xi~N 𝜇𝑋, 𝜎2 , 𝑌𝑖~𝑁 𝜇𝑌 , 𝜎
2 , 𝑛 = 𝑚 = 10; 𝐻0: 𝜇𝑋 = 𝜇𝑌; 𝐻𝐴: 𝜇𝑋 ≠ 𝜇𝑌; 𝛼 = 0.05
Macht berechnet für konkrete Alternative: 𝑋𝑖~𝑁 0,1 , 𝑌𝑖~𝑁(1,1)