Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Kristallographie und Röntgenbeugung
Tina Hilbig
16.04.2009
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Gliederung
1 Grundlagen der Kristallographie
Einteilung der Festkörper
Struktur der Kristalle
Indizierung
reziprokes Gitter
2 Röntgenbeugung
Röntgenstrahlung
Laue-Bedingung
Bragg-Bedingung
Ewaldsche Konstruktion
Röntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
3 Zusammenfassung
4 Quellen
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Einteilung der Festkörper
Festkörper
↙ ↘
kristalliner Festkörperregelmäÿige, periodisch wiederkehrende Anordnungender Strukturbausteine in allen 3 Raumrichtungen
amorpher Festkörperkeine Fernordnung derStrukturbausteine
↙ ↘monokristallin
periodischwiederkehrendeAtomstrukturerstreckt sich überdas ganze Volumen
polykristallin
einkristalline Bereicheerstrecken sich über wenigeµmstatistische Verteilung derOrientierung der Kristallite
idealer Kristall: monokristalliner Festkörper ohne Gitterfehler
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Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Kristallstruktur
Kristallgitter: periodische dreidimensionale Anordnung von AtomenMolekülen oder Ionen, deren Art und geometrische Struktur die äuÿereErscheinung und physikalischen Eigenschaften des Kristalls bestimmt
Kristallstruktur (7)
Kristallstruktur = Raumgitter + Basis
Raumgitter, Punktgitter: mathematischeAbstraktion des Kristallgitters auf eineräumliche periodische Anordnung vonPunkten, die den Gitterpunkten entsprechen
Basis: Gruppe von Atomen, Molekülen oderIonen, die jedem Gitterpunkt zugeordnet ist
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Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Translationsvektoren und Kristallachsen
primitive Translation:
Das Punktgitter ist vollständig durch
einen Satz dreier Vektor ~a,~b,~c(primitive Translationsvektoren)beschrieben.
Jedem Gitterpunkt kann einTranslationsvektor ~T zugeordnetwerden:~T = n1~a + n2~b + n3~cn1, n2, n3 . . . ganze Zahlen
Kristallstruktur (7)
Kristallachsen: durch die primitiven Translationsvektoren de�nierteRichtungen
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ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Elementarzelle und Einheitszelle
Elementarzelle
Parallelepiped, welches durch 3primitive Translationsvektorenaufgespannt wird
Zelle mit kleinstmöglichemVolumen, die durch wiederholteAnwendung der möglichenTranslationsoperationen dengesamten Raum ausfüllt
verschiedene Möglichkeiten für Elementarzellen (3)Vergleich von Elementar- und Einheitszelle amBeispiel des kubisch �ächenzentrierten Gitters (5)
Einheitszelle
soll die Symmetrie des Raumgittersmöglichst o�ensichtlich wiederspiegeln
VEinheitszelle ≥ VElementarzelle
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Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Elementarzelle und Einheitszelle
Elementarzelle
Parallelepiped, welches durch 3primitive Translationsvektorenaufgespannt wird
Zelle mit kleinstmöglichemVolumen, die durch wiederholteAnwendung der möglichenTranslationsoperationen dengesamten Raum ausfüllt
verschiedene Möglichkeiten für Elementarzellen (3)
Vergleich von Elementar- und Einheitszelle amBeispiel des kubisch �ächenzentrierten Gitters (5)
Einheitszelle
soll die Symmetrie des Raumgittersmöglichst o�ensichtlich wiederspiegeln
VEinheitszelle ≥ VElementarzelle
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Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Elementarzelle und Einheitszelle
Elementarzelle
Parallelepiped, welches durch 3primitive Translationsvektorenaufgespannt wird
Zelle mit kleinstmöglichemVolumen, die durch wiederholteAnwendung der möglichenTranslationsoperationen dengesamten Raum ausfüllt
verschiedene Möglichkeiten für Elementarzellen (3)
Vergleich von Elementar- und Einheitszelle amBeispiel des kubisch �ächenzentrierten Gitters (5)
Einheitszelle
soll die Symmetrie des Raumgittersmöglichst o�ensichtlich wiederspiegeln
VEinheitszelle ≥ VElementarzelle
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ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Elementarzelle und Einheitszelle
Elementarzelle
Parallelepiped, welches durch 3primitive Translationsvektorenaufgespannt wird
Zelle mit kleinstmöglichemVolumen, die durch wiederholteAnwendung der möglichenTranslationsoperationen dengesamten Raum ausfüllt
verschiedene Möglichkeiten für Elementarzellen (3)
Vergleich von Elementar- und Einheitszelle amBeispiel des kubisch �ächenzentrierten Gitters (5)
Einheitszelle
soll die Symmetrie des Raumgittersmöglichst o�ensichtlich wiederspiegeln
VEinheitszelle ≥ VElementarzelle
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Elementarzelle und Einheitszelle
Elementarzelle
Parallelepiped, welches durch 3primitive Translationsvektorenaufgespannt wird
Zelle mit kleinstmöglichemVolumen, die durch wiederholteAnwendung der möglichenTranslationsoperationen dengesamten Raum ausfüllt
verschiedene Möglichkeiten für Elementarzellen (3)
Vergleich von Elementar- und Einheitszelle amBeispiel des kubisch �ächenzentrierten Gitters (5)
Einheitszelle
soll die Symmetrie des Raumgittersmöglichst o�ensichtlich wiederspiegeln
VEinheitszelle ≥ VElementarzelle
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Die 14 Bravais-Gitter:
Beschreibung eines Gitters durch 6Gitterkonstanten:
Längen der die Einheitszelleaufspannenden Vektoren
Winkel zwischen diesen Vektoren
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ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebene und Millersche Indizes
Netzebene: beliebige Ebene, die mitGitterpunkten besetzt ist
→ De�ninion mittels Schnittpunkten der Ebene mitden Kristallachsen
Netzebenen (1)
Millersche Indizes hmkm lm:Bildung der Millerschen Indizes:
(1) Bestimmung der Schnittpunkte der Ebene mitden Kristallachsen in Einheiten derGitterkonstanten, S1 : m1~a, S2 : m2
~b, S3 : m3~c
⇒ m1 = 3,m2 = 1,m3 = 2
(2) Bildung der Reziprokwerte, 1m1, 1m2, 1m3
⇒ 13, 11, 12
(3) Erweiterung zu teilerfremden ganzen Zahlen,dazu Multiplikation mit kleinster ganzer Zahlp: h = p
m1, k = p
m2, l = p
m3
⇒ h = 2, k = 6, l = 3
Bsp. Millersche Indizes (4)
⇒ Ebenenkennzeichnung durch Einklammern der Millerschen Indizes: (hkl)
⇒ (263)
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebene und Millersche Indizes
Netzebene: beliebige Ebene, die mitGitterpunkten besetzt ist
→ De�ninion mittels Schnittpunkten der Ebene mitden Kristallachsen
Netzebenen (1)
Millersche Indizes hmkm lm:Bildung der Millerschen Indizes:
(1) Bestimmung der Schnittpunkte der Ebene mitden Kristallachsen in Einheiten derGitterkonstanten, S1 : m1~a, S2 : m2
~b, S3 : m3~c
⇒ m1 = 3,m2 = 1,m3 = 2
(2) Bildung der Reziprokwerte, 1m1, 1m2, 1m3
⇒ 13, 11, 12
(3) Erweiterung zu teilerfremden ganzen Zahlen,dazu Multiplikation mit kleinster ganzer Zahlp: h = p
m1, k = p
m2, l = p
m3
⇒ h = 2, k = 6, l = 3
Bsp. Millersche Indizes (4)
⇒ Ebenenkennzeichnung durch Einklammern der Millerschen Indizes: (hkl)
⇒ (263)
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebene und Millersche Indizes
Netzebene: beliebige Ebene, die mitGitterpunkten besetzt ist
→ De�ninion mittels Schnittpunkten der Ebene mitden Kristallachsen
Netzebenen (1)
Millersche Indizes hmkm lm:Bildung der Millerschen Indizes:
(1) Bestimmung der Schnittpunkte der Ebene mitden Kristallachsen in Einheiten derGitterkonstanten, S1 : m1~a, S2 : m2
~b, S3 : m3~c
⇒ m1 = 3,m2 = 1,m3 = 2
(2) Bildung der Reziprokwerte, 1m1, 1m2, 1m3
⇒ 13, 11, 12
(3) Erweiterung zu teilerfremden ganzen Zahlen,dazu Multiplikation mit kleinster ganzer Zahlp: h = p
m1, k = p
m2, l = p
m3
⇒ h = 2, k = 6, l = 3
Bsp. Millersche Indizes (4)
⇒ Ebenenkennzeichnung durch Einklammern der Millerschen Indizes: (hkl)
⇒ (263)
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebene und Millersche Indizes
Netzebene: beliebige Ebene, die mitGitterpunkten besetzt ist
→ De�ninion mittels Schnittpunkten der Ebene mitden Kristallachsen
Netzebenen (1)
Millersche Indizes hmkm lm:Bildung der Millerschen Indizes:
(1) Bestimmung der Schnittpunkte der Ebene mitden Kristallachsen in Einheiten derGitterkonstanten, S1 : m1~a, S2 : m2
~b, S3 : m3~c⇒ m1 = 3,m2 = 1,m3 = 2
(2) Bildung der Reziprokwerte, 1m1, 1m2, 1m3
⇒ 13, 11, 12
(3) Erweiterung zu teilerfremden ganzen Zahlen,dazu Multiplikation mit kleinster ganzer Zahlp: h = p
m1, k = p
m2, l = p
m3
⇒ h = 2, k = 6, l = 3
Bsp. Millersche Indizes (4)
⇒ Ebenenkennzeichnung durch Einklammern der Millerschen Indizes: (hkl)
⇒ (263)
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebene und Millersche Indizes
Netzebene: beliebige Ebene, die mitGitterpunkten besetzt ist
→ De�ninion mittels Schnittpunkten der Ebene mitden Kristallachsen
Netzebenen (1)
Millersche Indizes hmkm lm:Bildung der Millerschen Indizes:
(1) Bestimmung der Schnittpunkte der Ebene mitden Kristallachsen in Einheiten derGitterkonstanten, S1 : m1~a, S2 : m2
~b, S3 : m3~c⇒ m1 = 3,m2 = 1,m3 = 2
(2) Bildung der Reziprokwerte, 1m1, 1m2, 1m3
⇒ 13, 11, 12
(3) Erweiterung zu teilerfremden ganzen Zahlen,dazu Multiplikation mit kleinster ganzer Zahlp: h = p
m1, k = p
m2, l = p
m3
⇒ h = 2, k = 6, l = 3
Bsp. Millersche Indizes (4)
⇒ Ebenenkennzeichnung durch Einklammern der Millerschen Indizes: (hkl)
⇒ (263)
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebene und Millersche Indizes
Netzebene: beliebige Ebene, die mitGitterpunkten besetzt ist
→ De�ninion mittels Schnittpunkten der Ebene mitden Kristallachsen
Netzebenen (1)
Millersche Indizes hmkm lm:Bildung der Millerschen Indizes:
(1) Bestimmung der Schnittpunkte der Ebene mitden Kristallachsen in Einheiten derGitterkonstanten, S1 : m1~a, S2 : m2
~b, S3 : m3~c⇒ m1 = 3,m2 = 1,m3 = 2
(2) Bildung der Reziprokwerte, 1m1, 1m2, 1m3
⇒ 13, 11, 12
(3) Erweiterung zu teilerfremden ganzen Zahlen,dazu Multiplikation mit kleinster ganzer Zahlp: h = p
m1, k = p
m2, l = p
m3
⇒ h = 2, k = 6, l = 3
Bsp. Millersche Indizes (4)
⇒ Ebenenkennzeichnung durch Einklammern der Millerschen Indizes: (hkl)
⇒ (263)
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebene und Millersche Indizes
Netzebene: beliebige Ebene, die mitGitterpunkten besetzt ist
→ De�ninion mittels Schnittpunkten der Ebene mitden Kristallachsen
Netzebenen (1)
Millersche Indizes hmkm lm:Bildung der Millerschen Indizes:
(1) Bestimmung der Schnittpunkte der Ebene mitden Kristallachsen in Einheiten derGitterkonstanten, S1 : m1~a, S2 : m2
~b, S3 : m3~c⇒ m1 = 3,m2 = 1,m3 = 2
(2) Bildung der Reziprokwerte, 1m1, 1m2, 1m3
⇒ 13, 11, 12
(3) Erweiterung zu teilerfremden ganzen Zahlen,dazu Multiplikation mit kleinster ganzer Zahlp: h = p
m1, k = p
m2, l = p
m3
⇒ h = 2, k = 6, l = 3
Bsp. Millersche Indizes (4)
⇒ Ebenenkennzeichnung durch Einklammern der Millerschen Indizes: (hkl)
⇒ (263)
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebene und Millersche Indizes
Netzebene: beliebige Ebene, die mitGitterpunkten besetzt ist
→ De�ninion mittels Schnittpunkten der Ebene mitden Kristallachsen
Netzebenen (1)
Millersche Indizes hmkm lm:Bildung der Millerschen Indizes:
(1) Bestimmung der Schnittpunkte der Ebene mitden Kristallachsen in Einheiten derGitterkonstanten, S1 : m1~a, S2 : m2
~b, S3 : m3~c⇒ m1 = 3,m2 = 1,m3 = 2
(2) Bildung der Reziprokwerte, 1m1, 1m2, 1m3
⇒ 13, 11, 12
(3) Erweiterung zu teilerfremden ganzen Zahlen,dazu Multiplikation mit kleinster ganzer Zahlp: h = p
m1, k = p
m2, l = p
m3
⇒ h = 2, k = 6, l = 3
Bsp. Millersche Indizes (4)
⇒ Ebenenkennzeichnung durch Einklammern der Millerschen Indizes: (hkl) ⇒ (263)
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebene und Millersche Indizes
jedes Tripel (hkl) de�niert eine Schar parallelerNetzebenen
äquivalente Ebene {hkl}
Kristallrichtungen [uvw]
äquivalente Richtungen 〈uvw〉
Spezialfälle:
Ebenenschar verläuft parallel zur Kristallachse:entsprechender Index ist Nullnegativer Achsenabschnitt: Minuszeichen überder Zahl angegeben, z.B.: (h̄kl)Indizierung im hexagonalen Gitter (hkil) bzw.[pstw]
Bsp. für eine Netzebenenscharin einem kubischen Gitter (4)
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Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Konstruktion des reziprokes Gitter
Ortsraum reziproker Raum
primitiveTranslationsvektoren
~a,~b,~c
~a∗ = 2π~b×~c
~a·(~b×~c)
~a · (~b × ~c) = VE
. . .Volumen der Elementarzelle
~b∗ = 2π~c×~aVE
~c∗ = 2π~a×~b
vE
~a∗ steht senkrecht auf der durch ~b und ~caufgespannten Ebene und i.a. ~a∗ ∦ ~a
~a∗~a = 2π,~b∗~b = 2π,~c∗~c = 2π
~T = n1~a + n2~b + n3~c ~G = h~a∗ + k~b∗ + l~c∗
~T · ~G = 2π(nh + nk + nl)
V ∗ = (2π)3
V
n1, n2, n3, h, k, l. . . ganze Zahlen
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ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Konstruktion des reziprokes Gitter
Ortsraum reziproker Raum
primitiveTranslationsvektoren
~a,~b,~c
~a∗ = 2π~b×~c
~a·(~b×~c)
~a · (~b × ~c) = VE
. . .Volumen der Elementarzelle
~b∗ = 2π~c×~aVE
~c∗ = 2π~a×~b
vE
~a∗ steht senkrecht auf der durch ~b und ~caufgespannten Ebene und i.a. ~a∗ ∦ ~a
~a∗~a = 2π,~b∗~b = 2π,~c∗~c = 2π
~T = n1~a + n2~b + n3~c ~G = h~a∗ + k~b∗ + l~c∗
~T · ~G = 2π(nh + nk + nl)
V ∗ = (2π)3
V
n1, n2, n3, h, k, l. . . ganze Zahlen
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ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Vergleich reales und reziprokes Gitter
Beispiele:
(1) kubisch primitives Gitter mitGitterkonstante aVE = a3
~a∗ = 2π(~b×~c)a3
= 2πa~ea
⇒ reziprokes Gitter: kubisch primitiv
Gitterkonstante: a∗ = 2πa
Volumen V ∗ =(2πa
)3(2) kubisch �ächenzentriertes Gitter⇒ reziprokes Gitter: kubischinnenzentriert
Zusammenhang zwischen reziprokem Gitter und derForm der Elementarzelle des realen Gitters (7)
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ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebenenabstand
Bessetzungsdichte vonNetzebenenscharen (1)
Netzebenen (2)
Netzebenenabstand dhkl : senkrechter Abstand zweieraufeinanderfolgender Ebenen derselben Schar
dhkl = 2π
|~G |
. dhkl kann bei Kenntnis des Kristallsystems aus denIndizes (hkl) berechnet werdenBsp.: rechtwinkliges Gitter: dhkl = 1√(
ha
)2
+(k
b
)2
+(lc
)2
. Je niedriger die Indizes einer Netzebene sind, destodichter ist die Besetzung mit Atomen und desto gröÿerist der Netzebenenabstand
Identitätsabstand I: kürzester Abstand translatorisch identischer Atome aufeiner Geraden
i.a. gilt:Identitätsabstand Iin einer Richtung
6= Netzebenenabstand dhkl der auf dieser Richtungsenkrecht stehenden Netzebenenschar
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Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebenenabstand
Bessetzungsdichte vonNetzebenenscharen (1)
Netzebenen (2)
Netzebenenabstand dhkl : senkrechter Abstand zweieraufeinanderfolgender Ebenen derselben Schar
dhkl = 2π
|~G |
. dhkl kann bei Kenntnis des Kristallsystems aus denIndizes (hkl) berechnet werdenBsp.: rechtwinkliges Gitter: dhkl = 1√(
ha
)2
+(k
b
)2
+(lc
)2
. Je niedriger die Indizes einer Netzebene sind, destodichter ist die Besetzung mit Atomen und desto gröÿerist der Netzebenenabstand
Identitätsabstand I: kürzester Abstand translatorisch identischer Atome aufeiner Geraden
i.a. gilt:Identitätsabstand Iin einer Richtung
6= Netzebenenabstand dhkl der auf dieser Richtungsenkrecht stehenden Netzebenenschar
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ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebenenabstand
Bessetzungsdichte vonNetzebenenscharen (1)
Netzebenen (2)
Netzebenenabstand dhkl : senkrechter Abstand zweieraufeinanderfolgender Ebenen derselben Schar
dhkl = 2π
|~G |
. dhkl kann bei Kenntnis des Kristallsystems aus denIndizes (hkl) berechnet werdenBsp.: rechtwinkliges Gitter: dhkl = 1√(
ha
)2
+(k
b
)2
+(lc
)2
. Je niedriger die Indizes einer Netzebene sind, destodichter ist die Besetzung mit Atomen und desto gröÿerist der Netzebenenabstand
Identitätsabstand I: kürzester Abstand translatorisch identischer Atome aufeiner Geraden
i.a. gilt:Identitätsabstand Iin einer Richtung
6= Netzebenenabstand dhkl der auf dieser Richtungsenkrecht stehenden Netzebenenschar
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Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebenenabstand
Bessetzungsdichte vonNetzebenenscharen (1)
Netzebenen (2)
Netzebenenabstand dhkl : senkrechter Abstand zweieraufeinanderfolgender Ebenen derselben Schar
dhkl = 2π
|~G |
. dhkl kann bei Kenntnis des Kristallsystems aus denIndizes (hkl) berechnet werdenBsp.: rechtwinkliges Gitter: dhkl = 1√(
ha
)2
+(k
b
)2
+(lc
)2
. Je niedriger die Indizes einer Netzebene sind, destodichter ist die Besetzung mit Atomen und desto gröÿerist der Netzebenenabstand
Identitätsabstand I: kürzester Abstand translatorisch identischer Atome aufeiner Geraden
i.a. gilt:Identitätsabstand Iin einer Richtung
6= Netzebenenabstand dhkl der auf dieser Richtungsenkrecht stehenden Netzebenenschar
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Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Einteilung der FestkörperStruktur der KristalleIndizierungreziprokes Gitter
Netzebenenabstand
Bessetzungsdichte vonNetzebenenscharen (1)
Netzebenen (2)
Netzebenenabstand dhkl : senkrechter Abstand zweieraufeinanderfolgender Ebenen derselben Schar
dhkl = 2π
|~G |
. dhkl kann bei Kenntnis des Kristallsystems aus denIndizes (hkl) berechnet werdenBsp.: rechtwinkliges Gitter: dhkl = 1√(
ha
)2
+(k
b
)2
+(lc
)2
. Je niedriger die Indizes einer Netzebene sind, destodichter ist die Besetzung mit Atomen und desto gröÿerist der Netzebenenabstand
Identitätsabstand I: kürzester Abstand translatorisch identischer Atome aufeiner Geraden
i.a. gilt:Identitätsabstand Iin einer Richtung
6= Netzebenenabstand dhkl der auf dieser Richtungsenkrecht stehenden Netzebenenschar
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Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Röntgenbeugung
Wellenlängenbereich von ca. 10−3 · · · 100nmBrechzahl ≈ 1 in allen Materialien
Beugung einer ebenen Welle an einer Punktreihe (1)
Abmessungen derbeugenden Strukturenvergleichbar mitWellenlängen der gebeugtenStrahlung:0, 03nm ≤ λ ≤ 0, 5nm
Beugung erfolgt an denElektronen der Atome→ Intensität der Beugungist stark von derOrdnungszahl abhängig
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ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Röntgenbeugung
Wellenlängenbereich von ca. 10−3 · · · 100nmBrechzahl ≈ 1 in allen Materialien
Beugung einer ebenen Welle an einer Punktreihe (1)
Abmessungen derbeugenden Strukturenvergleichbar mitWellenlängen der gebeugtenStrahlung:0, 03nm ≤ λ ≤ 0, 5nm
Beugung erfolgt an denElektronen der Atome→ Intensität der Beugungist stark von derOrdnungszahl abhängig
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RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Laue-Bedingung
Streuung an Gitterpunkten
~S, ~S0 . . . Normaleneinheits-vektoren der Richtungeinfallender und gestreuterStrahlung
Gangunterschied: ~a~S −~a~S0
für konstruktive Interferenz ergeben sich die Laue-Gleichungen:
~a(~S − ~S0) = hλ bzw.~b(~S − ~S0) = kλ
~c(~S − ~S0) = lλ
(cosα− cosα0)~a = hλ
(cosβ − cosβ0)~b = kλ(cosγ − cosγ0)~c = lλ
hkl. . . ganze Zahlen
Translationsvektor im reziproken Raum: ~G = h~a∗ + k~b∗ + l~c∗
Wellenzahlvektor: ~k0 = 2πλ~S0, ~k = 2π
λ~S ⇒ ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Laue-Bedingung
Streuung an Gitterpunkten
~S, ~S0 . . . Normaleneinheits-vektoren der Richtungeinfallender und gestreuterStrahlung
Gangunterschied: ~a~S −~a~S0
für konstruktive Interferenz ergeben sich die Laue-Gleichungen:
~a(~S − ~S0) = hλ bzw.~b(~S − ~S0) = kλ
~c(~S − ~S0) = lλ
(cosα− cosα0)~a = hλ
(cosβ − cosβ0)~b = kλ(cosγ − cosγ0)~c = lλ
hkl. . . ganze Zahlen
Translationsvektor im reziproken Raum: ~G = h~a∗ + k~b∗ + l~c∗
Wellenzahlvektor: ~k0 = 2πλ~S0, ~k = 2π
λ~S ⇒ ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
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ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Laue-Bedingung
Streuung an Gitterpunkten
~S, ~S0 . . . Normaleneinheits-vektoren der Richtungeinfallender und gestreuterStrahlung
Gangunterschied: ~a~S −~a~S0
für konstruktive Interferenz ergeben sich die Laue-Gleichungen:
~a(~S − ~S0) = hλ bzw.~b(~S − ~S0) = kλ
~c(~S − ~S0) = lλ
(cosα− cosα0)~a = hλ
(cosβ − cosβ0)~b = kλ(cosγ − cosγ0)~c = lλ
hkl. . . ganze Zahlen
Translationsvektor im reziproken Raum: ~G = h~a∗ + k~b∗ + l~c∗
Wellenzahlvektor: ~k0 = 2πλ~S0, ~k = 2π
λ~S ⇒ ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Laue-Bedingung
Streuung an Gitterpunkten
~S, ~S0 . . . Normaleneinheits-vektoren der Richtungeinfallender und gestreuterStrahlung
Gangunterschied: ~a~S −~a~S0
für konstruktive Interferenz ergeben sich die Laue-Gleichungen:
~a(~S − ~S0) = hλ bzw.~b(~S − ~S0) = kλ
~c(~S − ~S0) = lλ
(cosα− cosα0)~a = hλ
(cosβ − cosβ0)~b = kλ(cosγ − cosγ0)~c = lλ
hkl. . . ganze Zahlen
Translationsvektor im reziproken Raum: ~G = h~a∗ + k~b∗ + l~c∗
Wellenzahlvektor: ~k0 = 2πλ~S0, ~k = 2π
λ~S ⇒ ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Bragg-Bedingung
Re�exion an Gitterebenen
ϑ . . .Glanzwinkel bzw.Braggwinkel
λ . . .Wellenlängedhkl . . .Netzebenen-
abstandn. . .ganze Zahl,
Beugungsordnung
Gangunterschied: ∆S = 2dhkl sinϑfür konstruktive Interferenz: ∆S = nλ
⇒ nλ = 2dhkl sinϑ
Laue Indizes: mit der Ordnung der Interferenz n multiplizierte
Millersche Indizes
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Bragg-Bedingung
Re�exion an Gitterebenen
ϑ . . .Glanzwinkel bzw.Braggwinkel
λ . . .Wellenlängedhkl . . .Netzebenen-
abstandn. . .ganze Zahl,
Beugungsordnung
Gangunterschied: ∆S = 2dhkl sinϑfür konstruktive Interferenz: ∆S = nλ
⇒ nλ = 2dhkl sinϑ
Laue Indizes: mit der Ordnung der Interferenz n multiplizierte
Millersche Indizes
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Konstruktion der Ewald-Kugel
Ewald-Kugel: Darstellung der elastischen Streuung an Gitterpunkten imreziproken Raum
zweidimensionale Darstellung derEwald-Kugel (7)
Kristall → reziprokes Gitter
Primärstrahlrichtung, Wellenlänge: ~k0→ endet bei Koordinatenursprung (00)
Anfangspunkt A von ~k0 fällt i.a. nicht mitGitterpunkt zusammen
→ Kugel um A mit Radius |~k0|
elastische Streuung: |~k| = |~k0|→ alle Wellenvektoren ausgehend von A endenauf Kugelober�äche
notwendige Bedingung für Beugungsmaximum:
Laue-Bedingung: ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
→ gilt für ~k der gebeugten Strahlung, die von Aausgehend auf Punkte des reziproken Gitterszeigen
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Konstruktion der Ewald-Kugel
Ewald-Kugel: Darstellung der elastischen Streuung an Gitterpunkten imreziproken Raum
zweidimensionale Darstellung derEwald-Kugel (7)
Kristall → reziprokes Gitter
Primärstrahlrichtung, Wellenlänge: ~k0→ endet bei Koordinatenursprung (00)
Anfangspunkt A von ~k0 fällt i.a. nicht mitGitterpunkt zusammen
→ Kugel um A mit Radius |~k0|
elastische Streuung: |~k| = |~k0|→ alle Wellenvektoren ausgehend von A endenauf Kugelober�äche
notwendige Bedingung für Beugungsmaximum:
Laue-Bedingung: ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
→ gilt für ~k der gebeugten Strahlung, die von Aausgehend auf Punkte des reziproken Gitterszeigen
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Konstruktion der Ewald-Kugel
Ewald-Kugel: Darstellung der elastischen Streuung an Gitterpunkten imreziproken Raum
zweidimensionale Darstellung derEwald-Kugel (7)
Kristall → reziprokes Gitter
Primärstrahlrichtung, Wellenlänge: ~k0→ endet bei Koordinatenursprung (00)
Anfangspunkt A von ~k0 fällt i.a. nicht mitGitterpunkt zusammen
→ Kugel um A mit Radius |~k0|
elastische Streuung: |~k| = |~k0|→ alle Wellenvektoren ausgehend von A endenauf Kugelober�äche
notwendige Bedingung für Beugungsmaximum:
Laue-Bedingung: ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
→ gilt für ~k der gebeugten Strahlung, die von Aausgehend auf Punkte des reziproken Gitterszeigen
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Konstruktion der Ewald-Kugel
Ewald-Kugel: Darstellung der elastischen Streuung an Gitterpunkten imreziproken Raum
zweidimensionale Darstellung derEwald-Kugel (7)
Kristall → reziprokes Gitter
Primärstrahlrichtung, Wellenlänge: ~k0→ endet bei Koordinatenursprung (00)
Anfangspunkt A von ~k0 fällt i.a. nicht mitGitterpunkt zusammen
→ Kugel um A mit Radius |~k0|
elastische Streuung: |~k| = |~k0|→ alle Wellenvektoren ausgehend von A endenauf Kugelober�äche
notwendige Bedingung für Beugungsmaximum:
Laue-Bedingung: ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
→ gilt für ~k der gebeugten Strahlung, die von Aausgehend auf Punkte des reziproken Gitterszeigen
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Konstruktion der Ewald-Kugel
Ewald-Kugel: Darstellung der elastischen Streuung an Gitterpunkten imreziproken Raum
zweidimensionale Darstellung derEwald-Kugel (7)
Kristall → reziprokes Gitter
Primärstrahlrichtung, Wellenlänge: ~k0→ endet bei Koordinatenursprung (00)
Anfangspunkt A von ~k0 fällt i.a. nicht mitGitterpunkt zusammen
→ Kugel um A mit Radius |~k0|
elastische Streuung: |~k| = |~k0|→ alle Wellenvektoren ausgehend von A endenauf Kugelober�äche
notwendige Bedingung für Beugungsmaximum:
Laue-Bedingung: ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
→ gilt für ~k der gebeugten Strahlung, die von Aausgehend auf Punkte des reziproken Gitterszeigen
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Konstruktion der Ewald-Kugel
Ewald-Kugel: Darstellung der elastischen Streuung an Gitterpunkten imreziproken Raum
zweidimensionale Darstellung derEwald-Kugel (7)
Kristall → reziprokes Gitter
Primärstrahlrichtung, Wellenlänge: ~k0→ endet bei Koordinatenursprung (00)
Anfangspunkt A von ~k0 fällt i.a. nicht mitGitterpunkt zusammen
→ Kugel um A mit Radius |~k0|
elastische Streuung: |~k| = |~k0|→ alle Wellenvektoren ausgehend von A endenauf Kugelober�äche
notwendige Bedingung für Beugungsmaximum:
Laue-Bedingung: ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
→ gilt für ~k der gebeugten Strahlung, die von Aausgehend auf Punkte des reziproken Gitterszeigen
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Laue-Verfahren
Strahlung: kontinuierliches Röntgenspektrum
λmin . . . λmax , k = 2πλ
Probe: feststehender Einkristall
Prinzip: zu jeder Netzebenenschar gibt eseine Wellenlänge für die die Bragg-Bedingungerfüllt ist
Anwendung: Untersuchung vonKristallorientierungen und -symmetrien,Feststellung von Kristallbaufehlern
Laue Methode in der EwaldschenKonstruktion (1)
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Laue-Verfahren
Strahlung: kontinuierliches Röntgenspektrumλmin . . . λmax , k = 2π
λ
Probe: feststehender Einkristall
Prinzip: zu jeder Netzebenenschar gibt eseine Wellenlänge für die die Bragg-Bedingungerfüllt ist
Anwendung: Untersuchung vonKristallorientierungen und -symmetrien,Feststellung von Kristallbaufehlern
Laue Methode in der EwaldschenKonstruktion (1)
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Drehkristall-Verfahren*
Ewaldsche Ausbreitungskugel im dreidimensionalen reziproken Gitter (2)
Strahlung: monochromatisch, Primärstrahlrichtungfest
, Ewald-Kugel ortsfest
Probe: Einkristall
Prinzip: Drehung des Kristalls um eine feste Achse,bei bestimmten Winkeln wird Bragg-Bedingung erfüllt
reziprokes Gitter dreht sich unter Ewald-Kugel durch
Drehkristall Methode in derEwaldschen Konstruktion (1)
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Drehkristall-Verfahren*
Ewaldsche Ausbreitungskugel im dreidimensionalen reziproken Gitter (2)
Strahlung: monochromatisch, Primärstrahlrichtungfest , Ewald-Kugel ortsfest
Probe: Einkristall
Prinzip: Drehung des Kristalls um eine feste Achse,bei bestimmten Winkeln wird Bragg-Bedingung erfülltreziprokes Gitter dreht sich unter Ewald-Kugel durch
Drehkristall Methode in derEwaldschen Konstruktion (1)
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Drehkristall-Verfahren*
Ewaldsche Ausbreitungskugel im dreidimensionalen reziproken Gitter (2)
Strahlung: monochromatisch, Primärstrahlrichtungfest , Ewald-Kugel ortsfest
Probe: Einkristall
Prinzip: Drehung des Kristalls um eine feste Achse,bei bestimmten Winkeln wird Bragg-Bedingung erfülltreziprokes Gitter dreht sich unter Ewald-Kugel durch
Drehkristall Methode in derEwaldschen Konstruktion (1)
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Debye-Scherrer-Verfahren*
Strahlung: monochromatisch,Primärstrahlrichtung fest
Ewald-Kugel ortsfest
Probe: polykristallines Kristallpulver
Vektor im reziproken Gitter kann jede
beliebige Richtung einnehmen
Debye-Scherrer-Methode in derEwaldschen Konstruktion (1)
Prinzip: unter den Kristalliten be�ndet sich stets eine ausreichende Anzahl,deren Netzebenen so liegen, dass sie Bragg genügen
Bragg-Bed. ist auf Schnittkurve erfüllt mit: Ggrenz = 2k0 = 4πλ
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
RöntgenstrahlungLaue-BedingungBragg-BedingungEwaldsche KonstruktionRöntgenverfahren zur Strukturanalyse von Kristallen
Debye-Scherrer-Verfahren*
Strahlung: monochromatisch,Primärstrahlrichtung festEwald-Kugel ortsfest
Probe: polykristallines KristallpulverVektor im reziproken Gitter kann jede
beliebige Richtung einnehmen
Debye-Scherrer-Methode in derEwaldschen Konstruktion (1)
Prinzip: unter den Kristalliten be�ndet sich stets eine ausreichende Anzahl,deren Netzebenen so liegen, dass sie Bragg genügenBragg-Bed. ist auf Schnittkurve erfüllt mit: Ggrenz = 2k0 = 4π
λ
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Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Zusammenfassung
Kristallographie:
Kristall: anisotroper homogener Körper, der eine dreidimensional periodischeAnordnung der Strukturbausteine (Atome, Ionen, Moleküle) besitzt
Kristallstruktur=Raumgitter+Basis
14 unabhängige Raumgitter: Bravais-Gitter
Millersche Indizes hkl: ganzzahlige, teilerfremde reziproke Werte derAchsenabschnitte der Ebene → Kennzeichnung von Netzebenen
Zusammenhang von Netzebenenabstand dhkl und Translationsvektor desreziproken Gitters ~G : dhkl = 2π
|~G |
Röntgenbeugung:
Wellenlänge der Röntgenstrahlung in der Gröÿenordnung der beugendenStrukturen (0, 03nm ≤ λ ≤ 0, 5nm)
Bragg-Gleichung: nλ = 2dhkl sinϑ
äquivalente Formulierung: Laue-Bedingung: ∆~k = ~k − ~k0 = ~G
Ewaldsche Konstruktion zur Darstellung der elastischen Streuung anGitterpunkten im reziproken Raum
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
Quellen
(1) : W. Kleber, H.-J. Bautsch, J. Bohm, Einführung in die Kristallographie,Verlag Technik GmbH Berlin, 17.Au�age, 1990
(2) : R. Glocker, Materialprüfung mit Röntgenstrahlen, Springer Verlag,5.Au�age
(3) : Stöcker (Hrsg.), Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch,5.Au�age, 2007
(4) : W. Demtröder, Experimentalphysik 3, Springer Verlag, 3.Au�age, 2005
(5) : Vorlesungsunterlagen - Physik der Materie 2
(6) : Versuchsanleitung zum F-Praktikum, Röntgenversuche
(7) : S. Hunklinger, Festkörperphysik, Oldenbourg Verlag München Wien, 2007
(8) : W. Borchardt-Ott, Kristallographie, Springer Verlag, 6.Au�age, 2002
* zusätzliche Folien, die nicht im Vortrag vorkamen - zur Erklärung siehe
Kleber, Kapitel 5.1.4, S. 355
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung
Grundlagen der KristallographieRöntgenbeugung
ZusammenfassungQuellen
weitere Abb. zu Laue- und Debye-Scherrer-Verfahren
Laue Methode in der Ewaldschen Konstruktion (1) Debye-Scherrer-Methode in der EwaldschenKonstruktion (1)
Tina Hilbig Kristallographie und Röntgenbeugung