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Gruppentheoretische Methoden in derZahlentheorie und Geometrie rationaler
Funktionen
Peter Müller
Magdeburg, 3. Dezember 2015
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Überblick1 Beispielfragen über rationale Funktionen
Algebraische KurvenFunktionale ZerlegungenPermutationspolynome modulo PrimzahlenWertemengen von PolynomenInvariante Kurven
2 MonodromiegruppenKritische WerteMonodromiegruppe geometrisch
3 Dessins d’enfants
4 Klassifikation der Monodromiegruppen
5 Berechnung rationaler Funktionen
6 Monodromiegruppe algebraisch
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Algebraische Kurven, getrennte Variablen (Cassels, Birch)Selten zerlegbar, wie in
(4− 4x2 + x4)︸ ︷︷ ︸f (x)
− (4y 2 − y 4)︸ ︷︷ ︸g(y)
= (x2√2xy +y 2−2)(x2 +
√2xy +y 2−2)
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Funktionale Zerlegungen (Ritt)Maximale funktionale Zerlegungen rationaler Funktionen
f (z) = f1(f2(. . . (fn(z)) . . . ))
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Permutationspolynome modulo Primzahlen (Schur)Für welche Polynome f (x) ∈ Z[x ] ist
Z/pZ→ Z/pZa 7→ f (a)
bijektiv für unendlich viele Primzahlen p?
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Wertemengen rationaler Funktionen (Birch,Swinnerton-Dyer, Cohen)Fq endlicher Körper, f (x) ∈ Fq(x) „zufällig“, n = deg f :
1q|f (Fq)| = 1− 1
2!+
13!− · · · − (−1)n 1
n!︸ ︷︷ ︸Anteil Permutationen in Sym(n) mit Fixpunkt
+ On(q−1/2)
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Invariante Kurven (Fatou, Eremenko)f (z), g(z) ∈ C(z) rationale Funktionen mit f (g(z)) ∈ R(z).Kurve Γ = g(R) ist invariant unter g ◦ f :
(g ◦ f )(Γ) = g(f (g(R))︸ ︷︷ ︸⊂R
) ⊆ g(R) = Γ
Kann Γ eine Jordankurve 6= Kreis sein?
Ja (M. 2015):
ω = e2πi/3
f (z) =(6ω + 5)z3 + (−6ω − 3)z2 − 3z + 1
4z3 − 6z2 + 3z
g(z) =z2 − ω
2z3 + z2 + (ω + 1)z − ω
f (g(z)) =64z9 − 192z5 − 104z3 − 48z
96z8 + 104z6 + 96z4 − 8
Kann g ◦ f injektiv auf Γ sein? Nein (M. 2015)
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Invariante Kurven (Fatou, Eremenko)f (z), g(z) ∈ C(z) rationale Funktionen mit f (g(z)) ∈ R(z).Kurve Γ = g(R) ist invariant unter g ◦ f :
(g ◦ f )(Γ) = g(f (g(R))︸ ︷︷ ︸⊂R
) ⊆ g(R) = Γ
Kann Γ eine Jordankurve 6= Kreis sein? Ja (M. 2015):
ω = e2πi/3
f (z) =(6ω + 5)z3 + (−6ω − 3)z2 − 3z + 1
4z3 − 6z2 + 3z
g(z) =z2 − ω
2z3 + z2 + (ω + 1)z − ω
f (g(z)) =64z9 − 192z5 − 104z3 − 48z
96z8 + 104z6 + 96z4 − 8
Kann g ◦ f injektiv auf Γ sein? Nein (M. 2015)
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Invariante Kurven (Fatou, Eremenko)f (z), g(z) ∈ C(z) rationale Funktionen mit f (g(z)) ∈ R(z).Kurve Γ = g(R) ist invariant unter g ◦ f :
(g ◦ f )(Γ) = g(f (g(R))︸ ︷︷ ︸⊂R
) ⊆ g(R) = Γ
Kann Γ eine Jordankurve 6= Kreis sein? Ja (M. 2015):
ω = e2πi/3
f (z) =(6ω + 5)z3 + (−6ω − 3)z2 − 3z + 1
4z3 − 6z2 + 3z
g(z) =z2 − ω
2z3 + z2 + (ω + 1)z − ω
f (g(z)) =64z9 − 192z5 − 104z3 − 48z
96z8 + 104z6 + 96z4 − 8
Kann g ◦ f injektiv auf Γ sein? Nein (M. 2015)
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Monodromiegruppen (Riemann)
f (z) ∈ C(z) rationale Funktionvom Grad n
←→ Mon(f ) ≤ Sym(n)Untergruppe
Kritische Wertea ∈ C ∪ {∞} kritischer Wert
⇔|f −1(a)| < deg f
⇔f (z)− a hat mehrfache Nullstelle.
Beispiel
f (z) = z2(2z + 3) f (z)− 1 = (z + 1)2(2z − 1)
Kritische Werte: 0, 1 und ∞.
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Monodromiegruppen (Riemann)
f (z) ∈ C(z) rationale Funktionvom Grad n
←→ Mon(f ) ≤ Sym(n)Untergruppe
Kritische Wertea ∈ C ∪ {∞} kritischer Wert
⇔|f −1(a)| < deg f
⇔f (z)− a hat mehrfache Nullstelle.
Beispiel
f (z) = z2(2z + 3) f (z)− 1 = (z + 1)2(2z − 1)
Kritische Werte: 0, 1 und ∞.
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Monodromiegruppen (Riemann)
f (z) ∈ C(z) rationale Funktionvom Grad n
←→ Mon(f ) ≤ Sym(n)Untergruppe
Kritische Wertea ∈ C ∪ {∞} kritischer Wert
⇔|f −1(a)| < deg f
⇔f (z)− a hat mehrfache Nullstelle.
Beispiel
f (z) = z2(2z + 3) f (z)− 1 = (z + 1)2(2z − 1)
Kritische Werte: 0, 1 und ∞.
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
![Page 18: GruppentheoretischeMethodeninder ...mueller/Papers/...96z8 + 104z6 + 96z4 8 Kanng f injektivauf sein?Nein(M.2015) Monodromiegruppen (Riemann) f(z) 2C(z) rationale Funktion vomGradn!](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022041610/5e372cfb0b91b17e006aa282/html5/thumbnails/18.jpg)
Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
![Page 28: GruppentheoretischeMethodeninder ...mueller/Papers/...96z8 + 104z6 + 96z4 8 Kanng f injektivauf sein?Nein(M.2015) Monodromiegruppen (Riemann) f(z) 2C(z) rationale Funktion vomGradn!](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022041610/5e372cfb0b91b17e006aa282/html5/thumbnails/28.jpg)
Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
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f (z) = z2(2z+3)f −1(•) = {•, •, •}|f −1(•)| < 3
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)
f −1(•) = {•, •, •}f −1(•) = {•, •}f −1(•) = {•, •}
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Operation der Monodromiegruppe
z↓
f (z) = z2(2z+3)
Mon(f ) = <(2 3), (1 2)>
f −1(•) = {•, •}f −1(•) = {•, •}
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Dessins d’enfants (Grothendieck 1984)Linienzüge (Felix Klein 1879)
Bipartiter Graphf −1([0, 1]), n Kanten
Rationale Funktionf (z) ∈ C(z), Grad n, kritischeWerte 0, 1 und ∞
Erzeuger von Mon(f )
σ = (1 2 3)(5 6)
τ = (3 4 5 6 7)
στ = (1 2 3 4 6 7)
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Dessins d’enfants (Grothendieck 1984)Linienzüge (Felix Klein 1879)
Bipartiter Graphf −1([0, 1]), n Kanten Rationale Funktion
f (z) ∈ C(z), Grad n, kritischeWerte 0, 1 und ∞
Erzeuger von Mon(f )
σ = (1 2 3)(5 6)
τ = (3 4 5 6 7)
στ = (1 2 3 4 6 7)
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Dessins d’enfants (Grothendieck 1984)Linienzüge (Felix Klein 1879)
Bipartiter Graphf −1([0, 1]), n Kanten Rationale Funktion
f (z) ∈ C(z), Grad n, kritischeWerte 0, 1 und ∞
Erzeuger von Mon(f )
σ = (1 2 3)(5 6)
τ = (3 4 5 6 7)
στ = (1 2 3 4 6 7)
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Klassifikation der Monodromiegruppen
f (z) ∈ C(z) vom Grad n mit r kritischen WertenMon(f ) = <σ1, σ2, . . . , σr−1>∑r
i=1 Anzahl der Zykel von σi = (r − 2)n + 2
mit σr = σ1 · σ2 · · · σr−1.
Beispiele für Monodromiegruppen
f (z) r Mon(f )
zn 2 <(1 2 . . . n)> zyklischf (cosφ) = cos nφ 3 Diedergruppe der Ordnung 2n
„zufällig“ 2(n − 1) Sym(n)? 3 GL(3, 2) einfach, Ordnung 168
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Klassifikation der Monodromiegruppen
f (z) ∈ C(z) vom Grad n mit r kritischen WertenMon(f ) = <σ1, σ2, . . . , σr−1>∑r
i=1 Anzahl der Zykel von σi = (r − 2)n + 2
mit σr = σ1 · σ2 · · · σr−1.
Beispiele für Monodromiegruppen
f (z) r Mon(f )
zn 2 <(1 2 . . . n)> zyklisch
f (cosφ) = cos nφ 3 Diedergruppe der Ordnung 2n„zufällig“ 2(n − 1) Sym(n)
? 3 GL(3, 2) einfach, Ordnung 168
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Klassifikation der Monodromiegruppen
f (z) ∈ C(z) vom Grad n mit r kritischen WertenMon(f ) = <σ1, σ2, . . . , σr−1>∑r
i=1 Anzahl der Zykel von σi = (r − 2)n + 2
mit σr = σ1 · σ2 · · · σr−1.
Beispiele für Monodromiegruppen
f (z) r Mon(f )
zn 2 <(1 2 . . . n)> zyklischf (cosφ) = cos nφ 3 Diedergruppe der Ordnung 2n
„zufällig“ 2(n − 1) Sym(n)? 3 GL(3, 2) einfach, Ordnung 168
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Klassifikation der Monodromiegruppen
f (z) ∈ C(z) vom Grad n mit r kritischen WertenMon(f ) = <σ1, σ2, . . . , σr−1>∑r
i=1 Anzahl der Zykel von σi = (r − 2)n + 2
mit σr = σ1 · σ2 · · · σr−1.
Beispiele für Monodromiegruppen
f (z) r Mon(f )
zn 2 <(1 2 . . . n)> zyklischf (cosφ) = cos nφ 3 Diedergruppe der Ordnung 2n
„zufällig“ 2(n − 1) Sym(n)
? 3 GL(3, 2) einfach, Ordnung 168
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Klassifikation der Monodromiegruppen
f (z) ∈ C(z) vom Grad n mit r kritischen WertenMon(f ) = <σ1, σ2, . . . , σr−1>∑r
i=1 Anzahl der Zykel von σi = (r − 2)n + 2
mit σr = σ1 · σ2 · · · σr−1.
Beispiele für Monodromiegruppen
f (z) r Mon(f )
zn 2 <(1 2 . . . n)> zyklischf (cosφ) = cos nφ 3 Diedergruppe der Ordnung 2n
„zufällig“ 2(n − 1) Sym(n)? 3 GL(3, 2) einfach, Ordnung 168
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Klassifikation der Monodromiegruppen
GroßprojektBestimme die möglichen Monodromiegruppen rationaler Funktionen.
Wesentliche Fortschritte:I Guralnick-Thompson Vermutung gelöst: Außer Alt(n) nur
endlich viele nicht abelsche Kompositionfaktoren.I Bekannt für Polynome
Alles beruht auf der Klassifikation der endlichen einfachenGruppen, einem Satz mit einem Beweis auf 15.000 Seiten!
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Vom Dessin zur rationalen Funktion
Bipartiter GraphAnsatz
f (z)− 0 =(z − 1)5(z2 + az + b)
z
f (z)− 1 =(z − c)3(z − d)2(z2 + ez + g)
z
LösungKoeffizientenvergleich: Polynomiales System in {a, b, c , d , e, g}
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Vom Dessin zur rationalen Funktion
ProblemAnsatz berücksichtigt nur Eckenvalenzen des Dessins, daher viele„falsche“ Lösungen.Polynomiale Systeme nur bis etwa Grad n = 10 lösbar.
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Vom Dessin zur rationalen Funktion
Herausforderung
n = 23MathieugruppeM23
f (z) =?
(Matiyasevich 1998) Numerische Approximation durchDeformation, danach algebraische Koeffizienten erkennen.(Elkies 2013) Lösung über Primkörper Fp, danach p-adisch liftenzu Lösung in Qp, danach algebraische Koeffizienten erkennen.(M. 2015) Anderer Ansatz mit formalen Potenzreihen unddirekte exakte Lösung.
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Herausforderung
n = 23MathieugruppeM23
f (z) =?
(Matiyasevich 1998) Numerische Approximation durchDeformation, danach algebraische Koeffizienten erkennen.
(Elkies 2013) Lösung über Primkörper Fp, danach p-adisch liftenzu Lösung in Qp, danach algebraische Koeffizienten erkennen.(M. 2015) Anderer Ansatz mit formalen Potenzreihen unddirekte exakte Lösung.
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Vom Dessin zur rationalen Funktion
Herausforderung
n = 23MathieugruppeM23
f (z) =?
(Matiyasevich 1998) Numerische Approximation durchDeformation, danach algebraische Koeffizienten erkennen.(Elkies 2013) Lösung über Primkörper Fp, danach p-adisch liftenzu Lösung in Qp, danach algebraische Koeffizienten erkennen.
(M. 2015) Anderer Ansatz mit formalen Potenzreihen unddirekte exakte Lösung.
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Vom Dessin zur rationalen Funktion
Herausforderung
n = 23MathieugruppeM23
f (z) =?
(Matiyasevich 1998) Numerische Approximation durchDeformation, danach algebraische Koeffizienten erkennen.(Elkies 2013) Lösung über Primkörper Fp, danach p-adisch liftenzu Lösung in Qp, danach algebraische Koeffizienten erkennen.(M. 2015) Anderer Ansatz mit formalen Potenzreihen unddirekte exakte Lösung.
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Algebraische Definition der Monodromiegruppe
Beliebiger Körper K statt CMon(f ) für f (z) ∈ K (z), zum Beispiel für K endlich?
Mon(f ) = Gal(f (z)− t/K (t))
Stimmt für K = C mit der geometrisch definierten Gruppe überein.