institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
1. Kapitel:Zinsrechnen
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
Zinsrechnung: Grundfragen
Die Grundfragen der Zinsrechnung lauten:
a. Welches ist das Endkapital (Kn), wenn ein bestimmtes Anfangskapital(K0) zu einem bestimmten Zinssatz (i) während einer bestimmten Laufzeit (n)angelegt wird?
b. Welches ist das Anfangskapital (K0), um mit einem bestimmten Zinssatz (i)während einer bestimmten Laufzeit (n) ein bestimmtes Endkapital (Kn)zu erreichen?
c. Welches ist der Zinssatz (i), damit ein bestimmtes Anfangskapital (K0) nacheiner bestimmten Laufzeit (n) auf ein bestimmtes Endkapital (Kn) anwächst?
d. Welches ist die Laufzeit (n), damit ein bestimmtes Anfangskapital (K0), verzinstzu einem bestimmten Zinssatz (i), ein bestimmtes Endkapital (Kn) erreicht?
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 3
Zinsrechnung: Ausprägungen
Laufzeit
Zinsperioden
Verzinsung
Zinsusanz
unterjährigeLaufzeit
überjährige Laufzeit
zwei, drei, vierund mehr Jahre
zwei, drei, vier und mehr Jahreplus ein angebrochenes Jahr
bestimmte Anzahl Zinsperiodendiskrete Verzinsung
eine Zinsperiodeunterjährlich/jährlich
mehrere Zinsperioden
jährlich ½-, ¼-jährlich, usw.
unendlich vieleZinsperioden
stetige Verzinsung
Lineare Verzinsungeinfacher Zins
exponentielle VerzinsungZinseszins
gemischte Verzinsung
actual/360internationale/
französische Usanz(Eurozinsmethode)
actual/365englische Usanz
actual/actualecht/echt-Methode
(ISMA-Rule)
30/360deutsche Usanz/schweizer Usanz
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 3
Beispiel: jährlich verzinste Spareinlage von CHF 5’000.00 mit einer Laufzeit von 4 Jahren und 158 Tagen
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 5
Banksparen in der Schweiz: Kassenobligationen31.12.1925-31.12.2014
2'48
6.68
620.19
10
100
1'000
10'000
100'000
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020
CH
F /
log
arit
hm
isch
e Sk
ala
KassenobligationTeuerungsindex
Datenbasis: Nationalbank (SNB)Diagramm: Max Lüscher-Marty
+3,68%nominell
+1,57%real
3,24% 2,82% 3,35% 5,08% 4,60% 5,29% 3,01% 1,60%4,20%
-1,60% 1,49% 1,37% -0,45% 1,24% 2,34% 2,07% 1,23%7,23%
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016
1T 1M 3M 6M 12M 2J 3J 4J 5J 6J 7J 8J 9J 10J 20J 30J
ZinsstrukturkurvenZin
ssat z
/ V
erf
all
ren
dit
e
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
Flache Zinsstrukturkurve
Inverse Zinsstrukturkurve
Normale Zinsstrukturkurve
FM/S, Seite 6
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 7
Geld- und Kapitalmarktsätze SchweizMonatsendwerte: 31.12.1988-30.09.2015
-0.79
5.88
-0.58
4.07
-0.10
4.11
0.55
4.45
-1.5
0.0
1.5
3.0
4.5
6.0
7.5
9.0
10.5
31.12.1986 31.12.1991 31.12.1996 31.12.2001 31.12.2006 31.12.2011 31.12.2016
3-M
-LIB
OR
/ C
H-B
un
des
anle
ihen
(%
)
3 Monate5 Jahre
10 Jahre20 Jahre
Datenbasis: Nationalbank (SNB)Diagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 7
Zinsstrukturkurven SchweizMonatsendwerte: 31.12.1989, 31.12.1993, 31.12.1998
5.88 5.71 5.67 5.65 5.63 5.56
1.251.57 1.71 1.73 1.72 1.81
2.11 2.28 2.43 2.58
3.43
6.13
6.74
5.76 5.62
8.63
9.699.38 9.19
8.88
4.323.783.753.944.134.314.13
3.53
4.14
3.46 3.66 3.89 3.97 4.04 4.09
1.95
2.71
4.78
0.881.41
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
1T 1M 3M 6M 12 M 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 J 8 J 9 J 10 J 20 J 30 J
Laufzeit
Lib
ors
ätze
/ C
H-B
un
des
anle
ihen
(%
)
31.12.1989
31.12.1993
31.12.1998
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 12
Kapitalentwicklung bei linearer (einfacher) VerzinsungAnfangskapital: 1'500.00, Zinssatz: 4,50%
1'50
0.00
1'63
5.00
1'77
0.00
1'90
5.00
2'04
0.00
2'17
5.00
2'31
0.00
2'44
5.00
2'58
0.00
2'71
5.00
2'85
0.00
1'000.00
1'500.00
2'000.00
2'500.00
3'000.00
3'500.00
4'000.00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Jahre
End
kap
ital
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 14
Kapitalentwicklung bei exponentieller und linearer VerzinsungAnfangskapital: 1'500.00, Zinssatz: 4,50%
1'50
0.00
1'63
8.04
1'78
8.78
1'95
3.39
2'13
3.15
2'32
9.45
2'54
3.82 2'77
7.92 3'03
3.56 3'
312.
72 3'61
7.57
1'50
0.00
1'63
5.00
1'77
0.00
1'90
5.00
2'04
0.00
2'17
5.00
2'31
0.00
2'44
5.00
2'58
0.00
2'71
5.00
2'85
0.00
1'000.00
1'500.00
2'000.00
2'500.00
3'000.00
3'500.00
4'000.00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Jahre
End
kap
ital
exponentielle Verzinsung
lineare Verzinsung
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 19
Lineare und exponentielle Verzinsung im VergleichMonatliche Entwicklung des Zinsertrgs; Kapital: 10'000.00, Zinssatz: 50%
833.
33
1'66
6.67
2'50
0.00
3'33
3.33
4'16
6.67
699.
13
1'44
7.14
2'24
7.45
3'10
3.71
4'01
9.83
4'58
3.33
3'75
0.00
2'91
6.67
2'08
3.33
1'25
0.00
416.
67
5'00
0.00
4'50
1.64
3'55
4.03
2'66
8.35
1'84
0.54
1'06
6.82
343.
66
5'00
0.00
0.00
1'000.00
2'000.00
3'000.00
4'000.00
5'000.00
0 2 4 6 8 10 12
Monate
Zin
sert
rag
Einfache Verzinsung (linear)
Zinseszins (exponentiell)
institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
2. Kapitel:Rentenrechnen
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 27
Rentenrechnung: KapitalaufbauRente/nachschüssig: CHF 5'000.00, Zinssatz: 4,5%, Laufzeit: 10 Jahre
0 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000
5'00
0.00
10'2
25.0
0
15'6
85.1
3
21'3
90.9
6
27'3
53.5
5
33'5
84.4
6
40'0
95.7
6
46'9
00.0
7
54'0
10.5
7
61'4
41.0
5
0
15'000
30'000
45'000
60'000
75'000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Laufzeit/Jahre
Ren
te, K
apit
al (
CH
F)
Rente nachschüssig
Kapital
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 27
Rentenrechnung: KapitalabbauRente/nachschüssig: CHF 5'000.00, Zinssatz: 4,5%, Laufzeit: 10 Jahre
5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000
36'3
43.9
5
32'9
79.4
3
29'4
63.5
0
25'7
89.3
6
21'9
49.8
8
17'9
37.6
3
13'7
44.8
2
9'36
3.34
4'78
4.69
39'5
63.5
9
0
10'000
20'000
30'000
40'000
50'000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Laufzeit/Jahre
Ren
te, K
apit
al (
CH
F)
Rente nachschüssig
Kapital
Rentenrechnung: Ausprägungen/Formen
Rentenhöhe
Rentendauer
Zinsperioden
Konstante (fixe)Renten
veränderliche Renten
sich regelmässigändernde Renten
sich regellosändernde Renten
endliche Rentenbefristete Renten
unendliche Rentenendlose Renten
vorschüssige Rentenzu Beginn einer Rentenperiode
nachschüssige Rentenam Ende einer Rentenperiode
Rentenzahlung
Rentenperioden jährlich unterjährlich
jährlich unterjährlich
halb-jährlich
quartals-weise
monatlich usw.
halb-jährlich
quartals-weise
monatlich usw.
Beispiel: jährliche Einzahlung von CHF 6’500.00 auf ein 3a-Konto, jeweils am 31. Dezember
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 28
Endkapital einer vorschüssigen Rente: Optik Geldgeber (Sparer)Jahresrente/vorschüssig: 500.00, Zinssatz: 3,00%, Laufzeit: 10 Jahre
+ 1’000
+ 2’000
+ 3’000
+ 4’000
+ 5’000
+ 6’000
- 1’500
- 1’250
- 1’000
- 750
- 500
-250
-50 0
.00
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10
+5’
903.
9 0
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr 10
Zinstermine
Rate/Ratenzahlung
0
Rn
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 29
Endkapital einer vorschüssigen Rente: Optik Geldnehmer (Bank)Jahresrente/vorschüssig: 500.00, Zinssatz: 3,00%, Laufzeit: 10 Jahre
+ 250
+ 500
+ 750
+ 1’000
+ 1’250
+ 1’500
- 6’000
- 5’000
- 4’000
- 3’000
- 2’000
-1’000
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10
-5’9
03.9
0
Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr 10
Zinstermine
Rate/Ratenzahlung
0
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
Rn
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 29
Endkapital einer nachschüssigen Rente: Optik Geldgeber (Sparer)Jahresrente/nachschüssig: 500.00, Zinssatz: 3,00%, Laufzeit: 10 Jahre
+ 1’000
+ 2’000
+ 3’000
+ 4’000
+ 5’000
+ 6’000
- 1’500
- 1’250
- 1’000
- 750
- 500
-250
-50 0
.00
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10
+5’
731.
9 4
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
-50 0
.00
Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr 10
Zinstermine
Rate/Ratenzahlung
0
Rn
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 30
Anfangskapital einer nachschüssigen Rente: Optik VersicherterJahresrente/nachschüssig: 500.00, Zinssatz: 3,00%, Laufzeit: 10 Jahre
+ 250
+ 500
+ 750
+ 1’000
+ 1’250
+ 1’500
- 6’000
- 5’000
- 4’000
- 3’000
- 2’000
-1’000
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10
Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr 100
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
Zinstermine
Rate/Ratenzahlung
K0
-4'2
65.1
0
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 30
Rentenrechnung: Endwert jährlicher nachschüssiger Renten
Der Kapitalaufbau auf der Basis nachschüssiger Zahlungen kann mit folgenden Fragestellungen verknüpft sein:
a. Welches ist der Rentenendwert (Rn), wenn eine jährliche nachschüssigeRente (r) während einer Laufzeit (n) zum jährlichen Zinssatz (i) angespart wird?
b. Welches ist die jährliche nachschüssige Rente (r), verzinst zum jährlichenZinssatz (i), damit nach einer Laufzeit (n) ein bestimmter Rentenendwert (Rn) erreicht wird?
c. Welches ist der jährliche Zinssatz (i), damit eine jährliche nachschüssige Rente(r) während einer Laufzeit (n) einen bestimmten Rentenendwert (Rn) ergibt?
d. Welches ist die Laufzeit (n), damit eine jährliche nachschüssige Rente (r), ver-zinst zum jährlichen Zinssatz (i), einen bestimmten Rentenendwert (Rn) ergibt?
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 31
Rentenrechnung: Barwert jährlicher nachschüssiger Renten
Der Kapitalabbau auf der Basis nachschüssiger Zahlungen ist mit folgenden Fragestellungen verknüpft:
a. Welches Kapital bzw. welcher Rentenbarwert (R0) muss heute vorliegen,um - bei einem jährlichen Zinssatz (i) - eine jährliche nachschüssige Rente (r)während einer Laufzeit (n) auszahlen zu können?oder:
Welches ist, abgezinst zum jährlichen Zinssatz (i), der Gegenwartswert (Present Value) bzw. der Rentenbar-wert (R0) jährlicher nachschüssiger Zahlungen (r), die während einer bestimmten Laufzeit (n) anfallen?
b. Welches ist die jährliche nachschüssige Rente (r), verzinst zum jährlichenZinssatz (i), die während einer Laufzeit (n) aufgrund eines bestimmtenAnfangskapitals bzw. Rentenbarwertes (R0) geleistet werden kann?
c. Welches ist der jährliche Zinssatz (i), damit eine jährliche nachschüssigeRente (r) während einer Laufzeit (n) aufgrund eines bestimmten Anfangs-kapitals bzw. Rentenbarwertes (R0) geleistet werden kann?
d. Welches ist die Laufzeit (n), während der eine jährliche nachschüssigeRente (r), verzinst zum jährlichen Zinssatz (i), aufgrund eines bestimmtenAnfangskapitals bzw. Rentenbarwertes (R0) geleistet werden kann?
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 34
Anfangskapital einer vorschüssigen Rente: Optik VersicherterJahresrente/vorschüssig: 500.00, Zinssatz: 3,00%, Laufzeit: 10 Jahre
+ 250
+ 500
+ 750
+ 1’000
+ 1’250
+ 1’500
- 6’000
- 5’000
- 4’000
- 3’000
- 2’000
-1’000
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10
Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr 100
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
+5 0
0.00
-4' 3
93.0
5
Zinstermine
Rate/Ratenzahlung
K0
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 37
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 48
ImmobilienbewertungBarwert konstanter Nettomietzinseinnahmen
499'
995.
40
499'
981.
36
499'
920.
00
499'
656.
65
498'
526.
39
493'
675.
44
472'
855.
82
383'
500.
68
0
100'000
200'000
300'000
400'000
500'000
600'000
0 25 50 75 100 125 150 175 200
Jahre
Bar
wer
te/B
arw
erts
um
me
M1 = CHF 30'000.00i = 6,00% bzw. 0.06w = 0,00% bzw. 0.00
institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
3. Kapitel:Bondrechnen
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
Obligation (Bond): Optik GeldgeberNennwert: 5’000.00, Coupon: 6,00%, Laufzeit: 5 Jahre
+ 1’000
+ 2’000
+ 3’000
+ 4’000
+ 5’000
+ 6’000
- 6’000
- 5’000
- 4’000
- 3’000
- 2’000
-1’000
-5’ 0
00.0
0
Zinstermine
Bondcoupon
0
5’0
00.0
0
Jahr 1
300.00
C5
300.00 300.00 300.00
300.00
C4C1 C2 C3
Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 51
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 52
Zinssensitivität einer ObligationCoupons 6%, Laufzeit 5 Jahre
100.00
103.91
97.89
100.00 100.47
105.38 105.38
112.00113.32
108.906.00
5.00
7.50
6.00
5.50
4.50
4.50
4.00
3.50
4.00
4.50
90.0
95.0
100.0
105.0
110.0
115.0
120.0
00.511.522.533.544.55
Restlaufzeit
Bar
wer
t/B
on
dku
rs
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
Mar
ktzi
ns/
Ver
fallr
end
ite
(%)
BarwertMarktzins
Barwert einer ObligationCoupon 6,00%, Verfallrendite 4,00%, Nennwert CHF 5’000.00, Restlaufzeit 5 Jahre
Zinstermine/ Rückzahlung (t) Zahlungsströme (Z) Barwerte
heute in 1 Jahr ÷ 1.04 =
2
3
4
5
heute in 2 Jahren
288.46
5’445.18
t
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 53
heute in 3 Jahren
heute in 4 Jahren
heute in 5 Jahren
300.00
300.00
300.00
300.00
5’300.00
277.37
266.70
256.44
4’356.21
Total
÷ 1.04 =
÷ 1.04 =
÷ 1.04 =
÷ 1.04 =
300.00
300.00
300.00
300.00
5’300.00
=
Der Barwert der Obligation ist CHF 5’445.18.Das entspricht einem Börsenkurs von 108,90% (CHF 5’445.18 von CHF 5’000.00).
108,90%
Barwert einer ObligationCoupon 6,00%, Verfallrendite 3,00%, Nennwert CHF 5’000.00, Restlaufzeit 3.5 Jahre
Zinstermine/ Rückzahlung (t) Zahlungsströme (Z) Barwerte
heute in 0.5 Jahren ÷ 1.03 =
heute in 1.5 Jahren
295.60
-150.00
t
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 55
heute in 2.5 Jahren
heute in 3.5 Jahren
Total
300.00
300.00
300.00
5’300.00
286.99
278.63
4’779.09
5’640.31
÷ 1.03 =
÷ 1.03 =
÷ 1.03 =
=
300.00
300.00
300.00
5’300.00
=
0.5
1.5
2.5
3.5
./. Marchzins für 180 Tage
= 5’490.31= Börsenkurs 109,81%
Duration einer Obligation bei EmissionCoupon 6,00%, Verfallrendite 6,00%, Nennwert CHF 5’000.00, Restlaufzeit 5 Jahre
(1)Zinstermine/Rückzahlung(t)
(2)Zahlungs-ströme(Z )
(3)Barwerte
in 1 Jahr 6.00 6 ÷ 1.06 = 5.6604
6 ÷ 1.06 = 5.3400
6 ÷ 1.06 = 5.0377
6 ÷ 1.06 = 4.7256
106 ÷ 1.06 = 79.2093
2
3
4
5
in 2 Jahren
in 3 Jahren
in 4 Jahren
in 5 Jahren
6.00
6.00
6.00
6.00
(4)Barwert-anteile
(5)Kapitalbindungder Zahlungs-ströme inJahren
(6)mit der Kapitalbin-dung gewichteteBarwertanteile(4) x (5)
5,6604% 1 Jahr
2 Jahre
3 Jahre
4 Jahre
5 Jahre
5,3400%
5,0377%
4,7526%
79,2093%
100,0000%=
0.0566
0.1068
0.1511
0.1901
3.9605
4.4651=100.0000
t
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 59
Duration einer ObligationCoupon 6%, Nennwert CHF 5'000, Laufzeit 5 Jahre
283.02 267.00 251.89 237.63
3960.47
0.0
500.0
1'000.0
1'500.0
2'000.0
2'500.0
3'000.0
3'500.0
4'000.0
4'500.0
1 2 3 4 5
Fälligkeit der Zahlungsströme
Bar
wer
t
4.4651Duration
283.02 x 3.4651 = 980.69
267.00 x 2.4651 = 658.18
251.89 x 1.4651 = 369.04
237.63 x 0.4651 = 110.05
3'960.47 x 0.5349 = 2'118.46
2'117.96
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 59
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 61
Duration einer ObligationCoupon 6%, Nennwert CHF 5'000, Laufzeit 5 Jahre
100.00
106.00
112.36
119.10
126.25
133.82
108.90
113.26
117.79
122.50
127.40
129.75132.50
92.01
99.38
107.33
115.91
125.18
135.20
90.0
100.0
110.0
120.0
130.0
140.0
0 1 2 3 4 5
Laufzeit
End
wer
t (%
)
Du
rati
on
= 4
.465
1
Schockartige Marktzins-senkung unmittelbarnach Emission um 2%
Schockartige Marktzins-erhöhung unmittelbarnach Emission um 2%
Duration einer Obligation während der LaufzeitCoupon 6.00%, Verfallrendite 5,00%, Nennwert CHF 5’000.00, Restlaufzeit 3.25 Jahre
(1)Zinstermine/Rückzahlung(t)
(2)Zahlungs-ströme(Z )
(3)Barwerte
in 3 Monaten 6.00 6 ÷ 1.05 = 5.9273
6 ÷ 1.05 = 5.6450
6 ÷ 1.05 = 5.3762
106 ÷ 1.05 = 90.4567
in 1.25 Jahren
in 2.25 Jahren
in 3.25
6.00
6.00
106.00
(4)Barwert-anteile
(5)Kapitalbindungder Zahlungs-ströme inJahren
(6)mit der Kapitalbin-dung gewichteteBarwertanteile(4) x (5)
5,5186% 0.25 Jahre
1.25 Jahre
2.25 Jahre
3.25 Jahre
5,2558%
5,0055%
84.2201%
100,0000%=
0.0138
0.0657
0.1126
2.7372
2.9293=107,4052
t
0.25
1.25
2.25
3.25
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 61
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 63
KonvexitätZinssensitivität von Obligationen
118.85
100.00
116.85
80.0
85.0
90.0
95.0
100.0
105.0
110.0
115.0
120.0
125.0
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
Marktzins (%)
Wer
t/K
urs
der
Ob
ligat
ion
(%
)
Kurvenverlauf effektiv
Kurvenverlauf Duration
Schockartige Marktzinsreduktionvon 6% auf 2%.
Kurssteigerungbei Unter-
stellung der Duration
Konvexitätsfehler
institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
4. Kapitel:Performancerechnen
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 69
Aktie A und Aktie B: Kurse und Dividenden
150.00193.00 215.00
162.00205.00 224.00
635.00590.00
684.00
764.00
682.00
819.00
0.00
100.00
200.00
300.00
400.00
500.00
600.00
700.00
800.00
900.00
1000.00
Kurse Aktie A 150.00 193.00 215.00 162.00 205.00 224.00
Dividende Aktie A 0.00 4.00 5.00 4.00 6.00 6.00
Kurse Aktie B 635.00 590.00 684.00 764.00 682.00 819.00
Dividende Aktie B 0.00 7.00 8.00 8.00 8.00 9.00
Anfang 2011 Ende 2011 Ende 2012 Ende 2013 Ende 2014 Ende 2015
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 72
Aktie A: Kurs- und Kapitalentwicklung
150.00
193.00
215.00
162.00
205.00
224.00
150.00
197.00
224.46
173.12
225.08
251.94
100
150
200
250
300
Kursentwicklung 150.00 193.00 215.00 162.00 205.00 224.00
Dividende 0.00 4.00 5.00 4.00 6.00 6.00
Endkapital 150.00 197.00 224.46 173.12 225.08 251.94
Diskrete Rendite 31.33% 13.94% -22.87% 30.01% 11.93%
Stetige Rendite 27.26% 13.05% -25.97% 26.24% 11.27%
Anfang 2011 Ende 2011 Ende 2012 Ende 2013 Ende 2014 Ende 2015
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 72
Aktie B: Kurs- und Kapitalentwicklung
635.00
590.00
684.00
764.00
682.00
819.00
635.00
597.00
700.12
790.00
713.21
865.48
500
600
700
800
900
1'000
Kursentwicklung 635.00 590.00 684.00 764.00 682.00 819.00
Dividende 0.00 7.00 8.00 8.00 8.00 9.00
Endkapital 635.00 597.00 700.12 790.00 713.21 865.48
Diskrete Rendite -5.98% 17.27% 12.84% -9.72% 21.35%
Stetige Rendite -6.17% 15.93% 12.08% -10.23% 19.35%
Anfang 2011 Ende 2011 Ende 2012 Ende 2013 Ende 2014 Ende 2015
Renditebestimmung bei Einlagen/EntnahmenBetrachtungszeitraum: 31.12.2015-31.12.2016
Datum Depotbestand vorEinlagen/Entnahmen
31. Dezember 2015
12. März 2016
t
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 78a/81
30. Juni 2016
12. September 2016
31. Dezember 2016
1’000’000.00
1’015’000.00
1’086’300.00
1’079’475.00
1’081’600.00
EinlagenEinzahlungen
50’000.00
23’700.00
EntnahmenRückzahlungen
39’475.00
Depotbestand nachEinlagen/Entnahmen
Rendite
1’000’000.00
1’065’000.00
1’110’000.00
1’040’000.00
+1,50%
+2,00%
-2,75%
+4,00%
Zeitgewichtete Rendite
1’015’000.00
1’000’000.00
1’086’300.00
1’065’000.00
1’079’475.00
1’110’000.00
1’081’600.00
1’040’000.00-1 = 0.047102 bzw. +4,7102%
1.015 1.02 0.9725 1.04 -1 = 0.047102 bzw. +4,7102%
Renditebestimmung bei Einlagen/EntnahmenBetrachtungszeitraum: 31.12.2015-31.01.2016
Datum Depotbestand vorEinlagen/Entnahmen
t
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 78b/81
1’000’000.00
1’015’000.00
1’086’300.00
1’079’475.00
1’081’600.00
EinlagenEinzahlungen
50’000.00
23’700.00
EntnahmenRückzahlungen
39’475.00
Depotbestand nachEinlagen/Entnahmen
Rendite
1’000’000.00
1’065’000.00
1’110’000.00
1’040’000.00
+1,50%
+2,00%
-2,75%
+4,00%
Zeitgewichtete Rendite
1’015’000.00
1’000’000.00
1’086’300.00
1’065’000.00
1’079’475.00
1’110’000.00
1’081’600.00
1’040’000.00-1 = 0.047102 bzw. +4,7102%
1.015 1.02 0.9725 1.04 -1 = 0.047102 bzw. +4,7102%
31. Dezember 2015
06. Januar 2016
t
15. Januar 2016
21. Januar 2016
31. Januar 2016
institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
5. Kapitel:Funktionen und Diagramme
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
2.0%
3.0%
6.0%
8.0%
9.0%
Zin
ssat zRisk Adjusted Pricing
Risiko: Ausfallwahrscheinlichkeit, Ausfallquote
4.0%
5.0%
7.0%
Refinanzierungssatz
Risikokostenmarge
Betriebskostenmarge
Gewinnmarge
Eigenmittelkosten
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 85
Kartesisches Koordinatensystem
+1
+2
+3
+4
+5
+6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
- 1-2-3-4-5-6
+6+5+4+3+2+1
+7
-7
-7
+7
-8
+8
+8
-8Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 87
Kartesisches Koordinatensystem
+1
+2
+3
+4
+5
+6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
- 1-2-3-4-5-6
+6+5+4+3+2+1
+7
-7
-7
+7
-8
+8
+8
-8
Nullpunkt
(Ursp
rung
)
1. Quadrant
4. Quadrant
2. Quadrant
3. Quadrant
P (-5/+3)
x-Achse
y-A
chse
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 88
Kauf (long) bzw. Leerverkauf (short) einer Aktie LReferenzkurs: CHF 50.00
Ge w
inn
-/V
erl u
st (
CH
F)
0.00
2.50
5.00
7.50
10.00
12.50
-2.50
-5.00
-7.50
-10.00
-12.50
Underlying: Aktie L (CHF)
52.5055.00
57.5060.00
62.5065.00
67.5032.50 47.5045.00
42.5040.00
37.5035.0030.00 70.0050.00
+
-
- +
1. Quadrant2. Quadrant
3. Quadrant 4. Quadrant
Aktienkauf (long)
Aktienverkauf (short)
+10.00
+7.50
+5.00
+2.50
-2.50
-5.00
-7.50
-10.00
-12.50
-2.50
-5.00
-7.50
-10.00
-12.50
+2.50
+5.00
+7.50
+10.00
+12.50 +12.50
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 88
Lineare Funktion
+1
+2
+3
+4
+5
+6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
- 1-2-3-4-5-6
+6+5+4+3+2+1
+7
-7
-7
+7
-8
+8
+8
-8
x-Achse
y-A
chse
b = 1
m = 1.5
y = 1.5x + 1
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 91
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 92
ExponentialfunktionArithmetische (lineare) Skala
1.00
00
1.20
00
1.44
00
1.72
80 2.07
36 2.48
83 2.98
60 3.58
32
4.29
98
5.15
98
6.19
17
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x-Achse (z.B. Jahre)
y-A
chse
(z.
B. C
HF)
ExponentialfunktionLogarithmische Skala
1.00
00 1.20
00 1.44
00 1.72
80 2.07
36 2.48
83 2.98
60 3.58
32 4.29
98 5.15
98 6.19
17y = e0.1823x
1.00
10.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x-Achse (z.B. Jahre)
y-A
chse
(z.
B. C
HF)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 93
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 94
Das Schachbrett und die ReiskörnerArithmetische (lineare) Skala
32'76865'536
524'288
262'144
131'072
y = 0.5e0.6931x
0
100'000
200'000
300'000
400'000
500'000
600'000
0 5 10 15 20 25
Schachbrettfelder
An
zah
l Rei
skö
rner
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 96
Geometrische Folgen und ReihenBeispiel: Vorschüssige Rente
1.20
00
1.44
00
1.72
80
2.07
36
2.48
83
2.98
60
3.58
32
4.29
98
5.15
98
6.19
17
4.36
80 6.44
16 8.92
99 11.9
159 15
.499
1 19.7
989
24.9
587
31.1
504
2.64
00
1.20
00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x-Achse (z.B. Jahre)
y-A
chse
(z.
B. C
HF)
Endwerte R10, R9, usw.Summe der Endwerte
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 96
Geometrische Folgen und ReihenBeispiel: Nachschüssige Rente
1.00
00
1.20
00
1.44
00
1.72
80
2.07
36
2.48
83
2.98
60
3.58
32
4.29
98
5.15
98
3.64
00 5.36
80 7.44
16 9.92
99 12.9
159 16
.499
1 20.7
989
25.9
587
2.20
00
1.00
00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x-Achse (z.B. Jahre)
y-A
chse
(z.
B. C
HF)
Endwerte R10, R9, usw.Summe der Endwerte
Umkehrfunktion
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x-Achse
y-A
chse
Umkehr-funktion
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 97
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 98
Wertentwicklung CH-AktienJahresschlusswerte: 31.12.1925-31.12.2014
84
'76
7.0
3
8'56
3.13
4'10
9.96
2'75
0.54
1'53
6.64
382.
47
157.
93
164.
67
55'4
19.6
7
100
.00
53'7
97.5
8
0
25'000
50'000
75'000
100'000
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020
CH
-Akt
ien
ind
ex /
CH
F /
arit
hm
etis
ch
Datenbasis: Banque Pictet, SIXDiagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 99
Wertentwicklung CH-AktienJahresschlusswerte: 31.12.1925-31.12.2014
84'7
67.0
3
8'56
3.13
4'10
9.96
2'75
0.54
1'53
6.64
382.
47
157.
93
164.
67
53'7
97.5
8
100.
00
55'4
19.6
7
10
100
1'000
10'000
100'000
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020
CH
-Akt
ien
ind
ex /
CH
F /
log
arit
hm
isch
Datenbasis: Banque Pictet, SIXDiagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 99
BIP-Wachstum real und CH-Aktienmarktrenditen31.12.1948-31.12.2014
-50.0%
-37.5%
-25.0%
-12.5%
0.0%
12.5%
25.0%
37.5%
50.0%
-10.0% -8.0% -6.0% -4.0% -2.0% 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0%
CH-BIP-Wachstum real
CH
-Akt
ien
ren
dit
en
9 37
200 Datenbasis: SNB, Pictet, SECODiagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite100
Standard & Poor's 500 Price Index31.12.2013-20.11.2015
1'500
1'750
2'000
2'250
Dez 13 Mrz 14 Jun 14 Sep 14 Dez 14 Mrz 15 Jun 15 Sep 15 Dez 15
Pun
kte
/ U
SD
Datenbasis: finance.yahoo.comDiagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 101
Standard & Poor's 500 Price Index31.12.2013-20.11.2015
1'500
1'750
2'000
2'250
Dez 13 Mai 14 Okt 14 Mrz 15 Aug 15
Pun
kte
/ U
SD
Dez 15
Datenbasis: finance.yahoo.comDiagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 102
Verteilung diskreter CH-Aktienrenditen: 1926-2014Mittelwert = 7,87%, Standardabweichung = 19,09%
-80.0
-60.0
-40.0
-20.0
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020
CH
-Akt
ien
ren
dit
en d
iskr
et (
%)
Datenbasis: Banque Pictet, SIXDiagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 102
CH-Banken: Kunden- und Hypothekarforderungen In-/Ausland31.12.1994-31.12.2014
248.
3
167.
3
168.
1
192.
2
321.
6
355.
0
287.
9
287.
4
246.
5
253.
2
263.
6
254.
9
267.
5145.
9
125.
9
156.
3
164.
3
212.
1
222.
1
201.
1
190.
4
152.
7
183.
0
224.
0
271.
6
309.
3
369.
2
295.
8
260.
9
270.
8
261.
6
296.
1
309.
8
385.
4430.
7
446.
2
464.
0
479.
2
496.
8
508.
0
512.
7
527.
5
546.
1
579.
2
601.
6 646.
8
667.
4 682.
3
701.
9
733.
8
767.
1
809.
4
847.
9
884.
0 918.
6
177.
5
164.
7
171.
6
193.
2
195.
2
193.
2
217.
5
234.
6
0.0
250.0
500.0
750.0
1'000.0
1'250.0
1'500.0
1'750.0
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014
Mia
. CH
F
Hypothekarforderungen
Kundenforderungen gedeckt
Kundenforderungen ungedeckt
Datenbasis: Nationalbank (SNB)Diagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 103
Hypothekarforderungen Inland: Marktanteile31.12.1994-31.12.2014: Mia. CHF / inkl. Fremdwährungskredite
169.
2
173.
1
181.
1
182.
5
183.
0
180.
7
176.
5
178.
9
181.
5
190.
0
198.
9
214.
0
222.
1
225.
5
228.
1
231.
3
234.
0
240.
6
252.
1
258.
4
264.
1
152.
1
156.
8
160.
2
166.
1
172.
6
180.
8
180.
7
186.
0
192.
2
197.
6
203.
3
210.
5
217.
0
221.
9
230.
0
245.
8
260.
1
275.
7
289.
8
303.
5
315.
4
33.1
36.3
40.0
44.3
48.5
52.1
59.3
63.5
68.6
74.2
79.5
83.9
88.2
94.3
101.
4
110.
7
119.
6
128.
5
135.
6
143.
3
150.
5
49.3
50.3
51.5
52.7
55.0
57.0
58.5
59.9
61.2
62.5
64.1
66.1
67.8
67.5
70.2
73.8
77.5
80.5
83.3
85.9
88.6
22.1 23.6 24.6 27.1 25.4 27.5 30.6 33.2 36.6 38.8 41.6 44.2 48.2 56.0 59.5 63.3 66.9 72.5 73.5 78.8 82.2
0%
25%
50%
75%
100%
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014
Wer
te in
Mia
. CH
F
Grossbanken Kantonalbanken Raiffeisenbanken Regionalbanken Übrige/weitere Banken
Datenbasis: Nationalbank (SNB)Diagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 103
CH-Aktienmarkt 1926-2014Die 20 besten Börsenjahre
22.76%23.06%
23.61%
26.10%26.14%
27.29%29.20%
34.66%
39.49%44.46%
46.76%47.19%
49.39%50.81%
52.52%55.19%
23.18%
24.60%
35.61%
61.36%
0.0% 10.0% 20.0% 30.0% 40.0% 50.0% 60.0% 70.0%
19581995200919882013192719541983195919412005196819601975196719611993193619971985
Bö
rsen
jah
r
Jahresperformance
Datenbasis: Banque Pictet, SIXDiagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 104
SNB: NotenumlaufMonatsendwerte: 31.08.1978-30.09.2015
68.182
25.790
0.0
15.0
30.0
45.0
60.0
75.0
12 1978 12 1983 12 1988 12 1993 12 1998 12 2003 12 2008 12 2013 12 2018
Mia
. CH
F
andere 100 200 1000 total total bis 200
Datenbasis: Nationalbank (SNB)Diagramm: Max Lüscher-Marty
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 104
Anzahl Banken und Geschäftsstellen in der Schweiz
626
631
625
592
569
529
494
413
403
394
376
372
375
369
356
342
338
337
331
330
327
325
320
312
297
283
275
622
5'55
5
5'55
1
5'54
6
5'44
4
5'29
0
5'08
2
4'91
2
4'66
9
4'57
0
4'34
0
4'11
6
3'86
4
3'80
9
3'73
3
3'67
3
3'60
7
3'53
8
3'53
7
3'49
7
3'51
8
3'48
8
3'45
8
3'44
2
3'38
2
3'33
0
3'27
1
3'21
3
5'48
6
0
300
600
900
1987 1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2014
An
zah
l Ban
ken
0
2'500
5'000
7'500
An
zah
l Ges
chäf
tsst
elle
n (
Sitz
e, F
ilial
en)
Banken Inland-Geschäftsstellen
Datenbasis: Nationalbank (SNB)Diagramm: Max Lüscher-Marty
institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
6. Kapitel:Statistik
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
Wachstum
Erträge- Dividenden- Zinsen
Rendite: Erwartungswert
Kovarianz/Korrelation
Risiko: Volatilität
Investment A
Investment B
Varianz
Standard-abweichung
Portfoliotheoretische Basiskennzahlen
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 107
Statistik
Schliessende Statistik(analytische Statistik)
Beschreibende Statistik(deskriptive Statistik)
Daten sammeln
Daten aufbereiten
Daten präsentieren
versucht, aufgrund vergleichsweisekleiner Datenmengen, allgemein
gültige Aussagen abzuleiten,Trends zu erkennen oderVorhersagen zu machen
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 107/8
Histogramm mit NormalverteilungskurveBeispiel: Intelligenztest mit 508 Probanden
5 15
35
62
86
102
86
62
35
15 50.00%0.98%
2.95%
6.89%
12.20%
16.93%
20.08%
16.93%
12.20%
6.89%
2.95%
0.98%0.00%
0
25
50
75
100
125
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Häu
fig
keit
0%
5%
10%
15%
20%
25%
Wah
rsch
ein
lich
keit
Mittelwert = 100Standardabweichung = 20
Wahrscheinlichkeit68.26% (ca. 2/3)
Wahrscheinlichkeit95.44% (ca. 95%)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 110
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 111
Verteilung stetiger CH-Aktienrenditen: 1926-2014Mittelwert = 7,58%, Standardabweichung = 19,09%
0.1
1%
4.9
8%
10.4
3%
16.7
1%
20.
48%
19.1
9%
13.
75%
7.5
4%
1.0
1%
0.2
5%
1.8
2% 3
.16
%
0.5
1%
0%
7%
14%
21%
28%
-55% -45% -35% -25% -15% -5% 5% 15% 25% 35% 45% 55% 65%
Stetige Rendite
Häu
fig
keit
/ r
elat
iv
historische Häufigkeittheoretische Häufigkeit
201119941934196519641929193019481943197819632007
1962193919661981193519701957
1979199920002014198219491998197119451992199120121996195120061972192819262003
19891958199520091988201319271954198319591941
20051968196019751967
19611993193619971985
1938195620101940196919841932194419551980194220041946193719761977195219331950198619471953
193119872002
200119731990
Datenbasis: Banque Pictet, SIXDiagramm: Max Lüscher-Marty
20081974
StandardnormalverteilungMittelwert = 0, Standardabweichung = -4.0 bis 0.0; 0.0 bis +4.0
0.1587
0.0228
0.8413
0.9772
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00
Standardabweichung (N-Werte)
Wah
rsch
ein
lich
keit
/ D
ich
te
Wahrscheinlichkeit68.26%
Wahrscheinlichkeit95.44%
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 115
Diagramm NormalverteilungPuls nach Treppensteigen
0.0%
0.5%
1.0%
1.5%
2.0%
2.5%
3.0%
88.38 95.17 101.96 108.74 115.53 122.32 129.11 135.90 142.69 149.48 156.27 163.06 169.85
Puls nach Treppensteigen
Wah
rsch
ein
lich
keit
/ D
ich
te
Die Wahrscheinlichkeit,einen Studenten (Raucher)mit einem Pulsschlag von weniger als 115.53 auszu-wählen, beträgt 15.87%
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 118
StreudiagrammZigarettenkonsum / Pulsfrequenz
10; 1
32
6; 1
15 8; 1
20
9; 1
30
5; 1
22
20; 1
45
14; 1
10
17; 1
38
15; 1
50
100
115
130
145
160
175
0 5 10 15 20 25
Anzahl Zigaretten pro Tag
Puls
freq
uen
z n
ach
Tre
pp
enst
eig
en
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 120
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 120
StreudiagrammZigarettenkonsum / Pulsfrequenz
10; 1
26.5
1
6; 1
19.8
2
8; 1
23.1
7
9; 1
24.8
4
5; 1
18.1
5
20; 1
43.2
4
14; 1
33.2
0
17; 1
38.2
2
15; 1
34.8
8
100
115
130
145
160
175
0 5 10 15 20 25
Anzahl Zigaretten pro Tag
Puls
freq
uen
z n
ach
Tre
pp
enst
eig
en
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 122
StreudiagrammZigarettenkonsum / Pulsfrequenz
10; 1
276; 1
34
8; 1
31
9; 1
295; 1
36
20; 1
11
14; 1
21
17; 1
16
15; 1
19
100
115
130
145
160
175
0 5 10 15 20 25
Anzahl Zigaretten pro Tag
Puls
freq
uen
z n
ach
Tre
pp
enst
eig
en
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 123
StreudiagrammZigarettenkonsum / Pulsfrequenz
10; 1
32
9; 1
30
5; 1
22
20; 1
45
15; 1
50
6; 1
15 8; 1
20
14; 1
10
17; 1
38
y = 1.6732x + 109.78
R2 = 0.4066
100
115
130
145
160
175
0 5 10 15 20 25
Anzahl Zigaretten pro Tag
Puls
freq
uen
z n
ach
Tre
pp
enst
eig
en
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 125
StreudiagrammZigarettenkonsum / Pulsfrequenz
10; 1
32
9; 1
30
5; 1
22
20; 1
45
15; 1
50
17; 1
38
14; 1
10
8; 1
20
6; 1
15
100
115
130
145
160
175
0 5 10 15 20 25
Anzahl Zigaretten pro Tag
Puls
freq
uen
z n
ach
Tre
pp
enst
eig
en
m = 1.6732
b= 109.78
x/y = 12/130
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 128
SMI: NormalverteilungsfunktionJahresrendite (Mittelwert) = 6.33%, Standardabweichung = 10.99%
0.00%
1.00%
2.00%
3.00%
4.00%
-26.64 -15.65 -4.66 6.33 17.32 28.31 39.30
Stetige Rendite (%)
Wah
rsch
ein
lich
keit
Mit einer WS von 68,26% ist die
Jahresrendite höherals -4,66%, jedochtiefer als 17,32%
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 129
ABBN: NormalverteilungsfunktionJahresrendite (Mittelwert) = 1,17%, Standardabweichung = 15.27%
0.00%
1.00%
2.00%
3.00%
4.00%
-44.64 -29.37 -14.10 1.17 16.44 31.71 46.98
Stetige Rendite (%)
Wah
rsch
ein
lich
keit
Mit einer WS von 84,13% (100 - 15,87)ist die Jahresrendite höher als -14,10%.
Mit einer WS von 15,87% (ca. 16%)
ist die Jahresrendite tiefer als -14,10%.
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 130
-8.08%;-16.40%
-1.69%;4.37%
9.09%;-10.50%
13.91%;5.88%
18.43%;22.50%y = 1.01169x - 0.05236
R2 = 0.53076
-25%
-20%
-15%
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
-25% -20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20% 25%
Swiss Market Index
AB
BN
b = -5.2360%
m = 1.01169
SMI/ABBN: Regressionsgerade, Alpha, Beta
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 131a
ABBN/SMI 1994-2014: Beta, Alpha, R2
y = 1.5165x - 0.0057
R2 = 0.2585
-20%
-15%
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
-20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20%
SMI
AB
BN
(A
BB
Ltd
.)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 131b
NESN/SMI 1994-2014: Beta, Alpha, R2
y = 0.581x + 0.0044
R2 = 0.3817
-20%
-15%
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
-20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20%
SMI
NES
N (
Nes
tlé)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 131c
ROG/SMI 1994-2014: Beta, Alpha, R2
y = 0.7530x + 0.0023
R2 = 0.3720
-20%
-15%
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
-20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20%
SMI
RO
G (
Ro
che
GS)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 131d
ZURN/SMI 1994-2014: Beta, Alpha, R2
y = 1.6737x - 0.0066
R2 = 0.6095
-20%
-15%
-10%
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
-20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20%
SMI
ZUR
N (
Zuri
ch In
sura
nce
Gro
up
)
Lorenzkurve
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Bevölkerung (Steuerzahler)
Ein
kom
men
sste
ue r
n
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
2.5% 7.5%
22.5%
47.5%
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 135
Lorenzkurve und Gini-Koeffizient
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Bevölkerung (Steuerzahler)
Ein
kom
men
sste
ue r
n
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Gini-K
oeffiz
ient =
0.4
8
2.5% 7.5%
22.5%
47.5%
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 136
institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
7. Kapitel:Wahrscheinlichkeitsrechnung
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
Entbindungen in einer FrauenklinikAnteil Knabengeburten
0.60
00
0.40
00
0.46
67
0.47
50 0.50
00
0.51
67 0.54
29
0.53
75
0.51
11
0.51
00
0.50
91
0.52
50
0.52
31
0.51
43
0.50
00
0.48
75
0.48
82
0.49
44
0.50
00
0.50
50
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
0.5000
0.5500
0.6000
0.6500
0.7000
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Entbindungen
Kn
aben
ante
il
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 141
Wahrscheinlichkeitsrechnung für zwei und mehr Ereignisse
Herzkarte oder Herz-Assbei einmaligem Kartenzug
Jedesmal Augenzahl 6bei mehrmaligem Würfeln
Herzkarte oder Herz-Ass bei jeeinem Zug aus zwei Kartenspielen
einfacherAdditionssatz
allgemeinerAdditionssatz
einfacherMultiplikationssatz
allgemeinerMultiplikationssatz
Augenzahl 5 oder 6bei einmaligem Würfeln
Herz-Ass oder Kreuz-Assbei einmaligem Kartenzug
Gerade Augenzahl oder Augen-zahl 6 beim einmaligen Würfeln
Gerade Zahl beim Roulette,vorausgesetzt sie ist rot
König oder Ass, vorausgesetztes wird eine Kreuzkarte gezogen
Ereignis A (B)schliesst Ereignis
B (A) aus
Ereignis A (B) istohne Einfluss
auf Ereignis B (A)
Ereignis AbeeinflusstEreignis B
Ereignis Aoder
Ereignis B
Ereignis Aund
Ereignis B
Drei Mal hintereinandergerade Zahl beim Roulette,
vorausgesetzt sie ist rot
Ereignisse Ereignismuster Rechenregeln Beispiele
Ereignis A (B)schliesst EreignisB (A) nicht aus
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 143
Baumdiagramm
"Prüfung bestanden" = 315
"prüfungsreif" = 350
"nicht prüfungsreif" = 150
"Prüfung nicht bestanden" = 35
"Prüfung bestanden" = 15
"Prüfung nicht bestanden" = 135
Ereignis A1
Ereignis A2
Ereignis B1
Ereignis B2
Ereignis B1
Ereignis B2
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 145
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Detailanalyse
WS "prüfungsreif"und "bestanden"
WS "prüfungsreif"und "nicht bestanden"
"prüfungsreif" = 350
"nicht prüfungsreif" = 150
"bestanden" = 315
"nicht bestanden" = 35
"bestanden" = 15
"nicht bestanden" = 135
P(A1) = 0.70
P(A2) = 0.30
0.70 x 0.90 = 0.63
WS "nicht prüfungsreif"und "bestanden"
WS "nicht prüfungsreif"und "nicht bestanden"
0.70 x 0.10 = 0.07
0.30 x 0.10 = 0.03
0.30 x 0.90 = 0.27
Summe = 1.00
Beta-Fehler
Alpha-Fehler
P(B1 A1) = 0.90
P(B2 A1) = 0.10
P(B1 A2) = 0.10
P(B2 A2) = 0.90
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 147
Ereignisse und Ereignis-Wahrscheinlichkeiten
Grippe = 78
zufrieden = 390
unzufrieden = 260
keine Grippe = 312
Grippe = 78
keine Grippe = 182
P(A1) = 0.60
P(A2) = 0.40
P(B2 A1) = 0.20
P(B1 A1) = 0.80
P(B1 A2) = 0.70
P(B2 A2) = 0.30
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 148
Ereignisse und Ereignis-Wahrscheinlichkeiten
bewilligt = 705
"guter" Kredit = 750
"schlechter" Kredit = 250
abgelehnt = 45
bewilligt = 15
abgelehnt = 235
P(A1) = 0.75
P(A2) = 0.25
P(B1 A1) = 0.94
P(B2 A1) = 0.06
P(B1 A2) = 0.06
P(B2 A2) = 0.94
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 149
Variationen KombinationenPermutationen
Kombinatorik
Gegeben sind k sichausschliessende Ereignisse
Gegeben sind nverschiedene Elemente
Gegeben sind nverschiedene Elemente
Wie viele verschiedeneEreignisabfolgen sind bei
n Versuchen möglich
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die verschiedenen Elemente anzuordnen
bzw..einzureihen?
Wie viele Anordnungen sind möglich, wenn aus n
Elementen k Elemente gezogen werden?
Wie viele verschiedeneKombinationen* sind
möglich, wenn zufällig k Elemente gezogen werden?
* Bei Kombinationen spieltdie Reihenfolge der Elemente
keine Rolle?
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 150
institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
8. Kapitel:Tilgungsrechnung
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 157
FesttilgungKapital: 1'000'000, Laufzeit: 15 Jahre, Zinssatz: 4.00%, Tilgung: 66'666.67
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
66'6
66.6
7
40'0
00.0
0
37'3
33.3
3
34'6
66.6
7
32'0
00.0
0
29'3
33.3
3
26'6
66.6
7
24'0
00.0
0
21'3
33.3
3
18'6
66.6
7
16'0
00.0
0
13'3
33.3
3
10'6
66.6
7
8'00
0.00
5'33
3.33
2'66
6.67
0
20'000
40'000
60'000
80'000
100'000
120'000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Jahre
Tilg
ung
srat
e/Zi
nsb
etra
g
ZinsbetragTilgungsrate
Festtilgung
Rückzahlung (t)
1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Ratenzahlung (A)
106'666.67
104'000.00
101'333.33
80'000.00
77'333.33
74'666.67
72'000.00
69'333.33
82'666.67
85'333.33
88'000.00
90'666.67
93'333.33
96'000.00
98'666.67
Tilgung (T) Zins (Z) Restkredit (K)
66’666.67
66’666.67
66’666.67
66’666.67
66’666.67
66’666.67
66’666.67
66’666.67
66’666.67
66’666.67
66’666.67
66.666.67
66.666.67
66’666.67
66’666.67
40’000.00
37’333.33
34'666.67
32'000.00
29'333.33
26'666.67
24'000.00
21'333.33
18'666.67
16'000.00
13'333.33
10'666.67
8'000.00
5'333.33
2'666.67
933’333.33
866'666.67
800’000.00
733'333.33
666'666.67
600’000.00
533'333.33
466'666.67
400’000.00
333'333.33
266'666.67
200’000.00
133'333.33
66’666.67
0.00
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite (157)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 157
AnnuitätentilgungKapital: 1'000'000, Laufzeit: 15 Jahre, Zinssatz: 4.00%, Annuität: 89'941.10
49'9
41.1
0
51'9
38.7
4
54'0
16.2
9
56'1
76.9
5
58'4
24.0
2
60'7
60.9
8
63'1
91.4
2
65'7
19.0
8
68'3
47.8
4
71'0
81.7
6
73'9
25.0
3
76'8
82.0
3
79'9
57.3
1
83'1
55.6
0
86'4
81.8
340'0
00.0
0
38'0
02.3
6
35'9
24.8
1
33'7
64.1
5
31'5
17.0
8
29'1
80.1
2
26'7
49.6
8
24'2
22.0
2
21'5
93.2
6
18'8
59.3
4
16'0
16.0
7
13'0
59.0
7
9'98
3.79
6'78
5.50
3'45
9.27
0
20'000
40'000
60'000
80'000
100'000
120'000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Jahre
Tilg
un
gsr
ate/
Zins
betr
ag
ZinsbetragTilgungsrate
Annuitätentilgung
Rückzahlung (t)
1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Annuität (A)
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
89’941.10
Tilgung (T) Zins (Z) Restkredit (K)
49’941.10
51’938.74
54’016.29
56’176.95
58’424.02
60’760.98
63’191.42
65’719.08
68’347.84
71’081.76
73’925.03
76’882.03
79’957.31
83’155.60
86’481.83
40’000.00
38’002.36
35’924.81
33’764.15
31’517.08
29’180.12
26’749.68
24’222.02
21’593.26
18’859.34
16’016.07
13’059.07
9’983.79
6’785.50
3’459.27
950’058.90
898’120.16
844’103.86
787’926.92
729’502.89
668’741.91
605’550.48
539’831.40
471’483.56
400’401.80
326’476.77
249’594.74
169’637.43
86’481.83
0.00
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 162
EU-Annuitätenmethode
Kredit (K0) CHF 5'000.00
Rate/Annuität (A) CHF 902.70
Anzahl Raten (m) 6 (zweimonatlich)
Laufzeit (n) 1 Jahr
Zinssatz (normal) (i) 14.00%
Zinsatz (EU-Norm) (i) 14.84%
CH
F 5'0
00.0
0
CH
F 902.7
0
CH
F 902.7
0
CH
F 902.7
0
CH
F 902.7
0
CH
F 902.7
0
CH
F 902.7
0
Rate 1nach
2Monaten
Rate 2nach
4Monaten
Rate 3nach
6Monaten
Rate 4nach
8Monaten
Rate 5nach10
Monaten
Rate 6nach12
Monaten
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 169
institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
9. Kapitel:Investitionsrechnung
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
Methoden derInvestitionsrechnung
Statische (buchhalterische)Verfahren
Dynamische (mathematische)Verfahren
Kapitalwertmethode
Annuitätenmethode
Methode des internen Zinssatzes
Dynamische Amortisationsrechnung(dynamische Payback-Methode)
Kostenvergleichsrechnung
Gewinnvergleichsrechnung
Renditerechnung
Amortisationsrechnung(Paypack-Methode)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 173
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 175
Kapitalwertverfahren: Maschine A
29'835.39 27'625.36 25'579.04 23'684.3028'231.60
106'000.00
32'222.22
167'177.9161'177.91
0
25'000
50'000
75'000
100'000
125'000
150'000
175'000
Ko CFo CF1 CF2 CF3 CF4 CF5 CF6
An
sch
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ng
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t/B
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Ans
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low
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F)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 175
Kapitalwertverfahren: Maschine B
22'976.68 21'274.70 19'698.80 18'239.63 20'669.56
90'000.00
24'814.81
127'674.1937'674.19
0
25'000
50'000
75'000
100'000
125'000
150'000
175'000
Ko CFo CF1 CF2 CF3 CF4 CF5 CF6
An
sch
affu
ng
swer
t/B
arw
ert
Ans
chaf
fung
swer
t (K
o)
Kapital-wert(NPV)Su
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der
Cas
hflo
ws
(CF)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 177
Annuitätenmethode: Maschine A
21'5
66.2
8
21'5
66.2
8
21'5
66.2
8
21'5
66.2
8
21'5
66.2
8
34'8
00.0
0
34'8
00.0
0
34'8
00.0
0
34'8
00.0
0
34'8
00.0
0
34'8
00.0
0
21'5
66.2
8
0
10'000
20'000
30'000
40'000
1 2 3 4 5 6
Nutzungsdauer
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t-C
F)
Cas
hflo
w(Is
t-C
F)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 177
Annuitätenmethode: Maschine B
18'6
50.4
9
18'6
50.4
9
18'6
50.4
9
18'6
50.4
9
18'6
50.4
9
26'8
00.0
0
26'8
00.0
0
26'8
00.0
0
26'8
00.0
0
26'8
00.0
0
26'8
00.0
0
18'6
50.4
9
0
10'000
20'000
30'000
40'000
1 2 3 4 5 6
Nutzungsdauer
An
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/Cas
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t-C
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Cas
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t-C
F)
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oll-C
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t(S
oll-C
F)
Ann
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t(S
oll-C
F)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 180
Payback-Methode: Maschine A
-106
'000
.00
-71'
200.
00
-36'
400.
00
-1'6
00.0
0
33'2
00.0
0
68'0
00.0
0
102'
800.
00
0.00
-150'000
-100'000
-50'000
0
50'000
100'000
150'000
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
An
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t/C
ash
flo
ws
Payback-Dauer = 3.05 Jahre
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 180
Payback-Methode: Maschine B
-90'
000.
00
-63'
200.
00
-36'
400.
00
-9'6
00.0
0
17'2
00.0
0
44'0
00.0
0
70'8
00.0
0
0.00
-150'000
-100'000
-50'000
0
50'000
100'000
150'000
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
An
sch
afu
ng
swer
t/C
ash
flo
ws
Payback-Dauer = 3.36 Jahre
institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
10. Kapitel:Abschreibungsrechnung
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
Lineare Abschreibung Progressive AbschreibungDegressive Abschreibung
Abschreibungs-methoden
Der Abschreibungs-betrag ist von Jahr zu Jahr
gleich gross
Der Abschreibungs-betrag verringert sich
von Jahr zu Jahr.
Der Abschreibungs-betrag vergrössert sich
von Jahr zu Jahr.
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite (183)
Abschreibungsmethoden
0
5'000
10'000
15'000
20'000
25'000
30'000
35'000
40'000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Jahre (geschätzte Lebens-/Nutzungsdauer)
Bu
chw
ert progressiv
degressiv
linear
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 183
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 185
Lineare Abschreibung
4'375 4'375 4'375 4'375 4'375 4'375 4'375 4'375
35'000
30'625
26'250
21'875
17'500
13'125
8'750
4'375
0
5'000
10'000
15'000
20'000
25'000
30'000
35'000
40'000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Jahre (geschätzte Lebens-/Nutzungsdauer)
Ab
sch
reib
un
g /
Bu
chw
ert
Abschreibung (Q)
Buchwert (K)
Arithmetisch-degressive Abschreibung
Der Abschreibungsbetrag vermindert sich Jahr für Jahrum einen fixen Betrag (d)
DegressiveAbschreibung
Geometrisch-degressiveAbschreibung
Der Abschreibungsbetragverringert sich Jahr für Jahr
um einen fixen Prozentssatz (i)Grundform
Ausgangspunktist die Abschreibungfür das erste Jahr.
Sonderform
Ausgangspunktist die Abschreibungfür das letzte Jahr.
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 186
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 187
Arithmetisch-degressive Abschreibung
6'500 5'893 5'286 4'679 4'071 3'464 2'2502'857
35'000
28'500
22'607
17'321
12'643
8'571
5'107
2'250
0
5'000
10'000
15'000
20'000
25'000
30'000
35'000
40'000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Jahre (geschätzte Lebens-/Nutzungsdauer)
Ab
sch
reib
un
g /
Bu
chw
ert
Abschreibung (Q)
Buchwert (K)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 189
Digitale Abschreibung
6'806 5'833 4'861 3'889 2'917 9721'944
7'778
35'000
27'222
20'417
14'583
9'722
5'833
2'917972
0
5'000
10'000
15'000
20'000
25'000
30'000
35'000
40'000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Jahre (geschätzte Lebens-/Nutzungsdauer)
Ab
sch
reib
un
g /
Bu
chw
ert
Abschreibung (Q)
Buchwert (K)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 190
Geometrisch-degressive Abschreibung
5'216 4'265 3'488 2'852 2'333 1'908 1'5606'378
35'000
28'622
23'406
19'141
15'652
12'800
10'4678'560
7'000
0
5'000
10'000
15'000
20'000
25'000
30'000
35'000
40'000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Jahre (geschätzte Lebens-/Nutzungsdauer)
Ab
sch
reib
un
g /
Bu
chw
ert
Abschreibung (Q)
Buchwert (K)
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 192
Progressive Abschreibung (Annuitätensystem)
3'748 3'973 4'212 4'464 4'732 5'016 5'3173'536
35'000
31'464
27'715
23'742
19'530
15'066
10'333
5'317
0
5'000
10'000
15'000
20'000
25'000
30'000
35'000
40'000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Jahre (geschätzte Lebens-/Nutzungsdauer)
Ab
sch
reib
un
g /
Bu
chw
ert
Abschreibung (Q)
Buchwert (K)
institut für banken und finanzplanungFeldstrasse 41, 7205 Zizers081 330 82 40, [email protected]
Anhang:Algebra
Diagramme
Grundlagen der Finanzmathematik/-statistikKompakte Einführung für Praxis und StudiumMax Lüscher-Marty3. Auflage 2016Compendio Bildungsmedien AG
Copyright © 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
Regeln zum Auflösen von Gleichungen
Regel 1:Tauscht man die rechte Seite einer Gleichung mit der linken Seite,ändert sich die Aussage nicht.
Regel 2:Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man auf beiden Seitendieselbe Grösse addiert oder subtrahiert.
Regel 3:Eine Gleichung bleibt richtig, wenn beide Seiten mit derselbenGrösse mulipliziert oder durch dieselbe Grösse dividiert werden.Es darf jedoch nicht durch Null dividiert werden.
Regel 4:Die Auflösung einer Gleichung beginnt mit der höheren Rechenart: Potenzrechnung geht vor Multiplikation. Punktrechnung (Multiplikationund Division) vor Strichrechnung (Addition und Subtraktion). Klammernkönnen eine andere Reihenfolge verlangen.
Regel 5:Die gesuchte Grösse gehört auf die linke Seite der Gleichung.
Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 195