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Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einfuhrung
A. Niemunis und F. PradaIBF-Karlsruhe
Viskositat, Teilsattigung und Zyklik10. Januar 2019
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Inhalt der Vorlesung (1)
I Hypoplastische Stoffgesetze
I Hypoplastizitat mit zyklischer Belastung 3D + iD
I Visko-hypoplastizitat, Setzung eines Damms
I Kriechhange mit Verdubelung
I Pseudo-Kriechen der Boden unter zyklischen Belastung
I Hochzyklisches Modell fur Pseudo-Kriechen
I Naturliche Boden
I Phanomen der Scherlokalisierung
I Verflussigungspotential
I Setzungen, Sackungen, großflachige Setzungen
I Sondierungen, Penetration, Kontaktmechanik
I Teilsattigung Hydraulik + Mechanik
I Teilsattigung Numerik
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Elastoplastizitat (EP) (2)
Konventionelle bodenmechanische Berechnungen:
I Setzungsberechnung: Boden ist elastischε
T
z.B. in der Formel s = σ1− ν2
πE
[L ln
B + R
L+ B ln
L + R
B
]mit R =
√L2 + B2 nach
Steinbrenner
I Tragfahigkeit: Boden ist starr ideal-plastischε
TTy
z.B. in den Grundbruchformeln σ = (2 + π)c oder σ =c
tanϕ
(1 + sinϕ
1− sinϕeπ tanϕ − 1
)nach Prandtl (Zonenbruch)
I Daraus Elastoplastizitatε
TTy
σ =
0 fur σε > 0 und |σ| = Ty
Eε fur andere Falle
oderT =
0 fur TD > 0 und |T | = Ty
Eε sonst
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Elastoplastizitat (EP) (3)
EP beschreibt die Spannungsrate T (T,D) und nicht dieSpannung T (ε){
T = 0 fur TD > 0 und |T | = Ty
T = ED sonst
mit D =dε
dtund T =
dT
dt
Pfadabhangigkeit
ε
ε
T
T( )?Ende
εT( )?Ende
εT( )?Ende
ε Ende
In der numerischen Berechnung erfordert EP eine inkrementelle Form:
∆T = E∆ε
und erst eine Zeitintegration T t+∆t = T t + ∆T , εt+∆t = εt + ∆ε ergibtT (ε(t)) (T ist ein pfadabhangiges Funktional von ε(t) und keine Funktion).
elastisch T = E D plastisch T = 0
|T | < Ty oder |T | = Ty und
T D < 0 T D > 0
Die Integrierte T (ε)-Kurve ist zu
“kantig” /Die Dilatanzeffekte sind schwerreproduzierbar (Rowe 1961) /
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Nichtlineare Elastizitat (4)
Inkrementelle (Hypo-) Elastizitat
T = ED wobei E =
[1−
(|T |Ty
)n]Emax
ist fur Boden nicht geeignet.
ε
T
E(T)1
T = Ty
ε
T
E(T)1
T = -Ty
ε
T
E(T)1soll
ε
T
E(T)1
ist ε
T
E(T)1
NL-Elastizitat ergibt zwar glatte Spannung-Dehnungs-Kurven, versagt aberbei Entlastung, da die Spannungs-Dehnung-Hysterese nicht modelliertwerden kann.
Hypoelastizitat ist integrierbar , z.B.solu=DSolve[{T’[e]== 100(1-(T[e] /10)^2), T[0]==0}, T[e] ,e][[1]];
Plot[T[e] /. solu, {e, -1, 1}]
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“Bilineare” Elastizitat (5)
“Bilineare” inkrementelle Elastizitat z.B. Davies & Mullenger, 1978
T =
ED fur TD > 0
EmaxD fur TD < 0
mit E =
[1−
(|T |Ty
)n]Emax
NL-elastisch fur Belastung TD > 0L-elastisch fur Entlastung TD < 0
ε
T
E(T)
E = Emax
Kontinuitatsbedingung verletzt daher ist das Stoffgesetz unbrauchbar /
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Problem mit der“bilinearen” Elastizitat (6)
Kontinuitatsbedingung im 3D Fall: Definition der Belastung.
T =
E : D fur n : E : D > 0 = Bel.
Emax : D fur n : Emax : D < 0 = Entl.
mit E =
[1−
(f(T)
Ty
)n]Emax und n = n(T)
Fließkrit: f(T)−Ty = 0 Be-lastung: n : E : D > 0
Bel.-richtung ndef=
[∂f
∂T
]→Belastung
Tn
Belastung Belastung Belastung
n.
T.
T ,D
T ,D
1 1
2 2
Bel.
Entl.
affine Flächen
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Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
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Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
![Page 10: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/10.jpg)
Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
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Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
![Page 12: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/12.jpg)
Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
![Page 13: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/13.jpg)
Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)
Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.
T0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
Spannungspfad
Dehnungspfad
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tt ΔΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D
T
T tΔ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
DehnungsraumSpannungsraum
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
ε0
D1
2 D2
T1
2 T2-
-
-
-D
T
T t
= isotrope Kompression= isotrope Extension
Δ
0
Abbildung =konstitutive Gleichung
So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.
![Page 14: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/14.jpg)
Antwortspolaren - numerisches Beispiel (7+)Needs["Tensor‘bnova‘"]
elUpdate[state_, de_, params_] := Module[{T, dT, eps},
{T, eps} = state[[1 ;; 2]]; m = normalized[T + dev[T]] ;
dT = iEVermeer[T, params]~colon~( de - m *0.3*Sqrt[(de ~colon~de)]);
{T + dT, eps + de, dT, de}];
T = -100*DiagonalMatrix[{3, 1, 1}]; eps = 0*delta ; state = {T, eps };
params = {75000, 200, 0.3 } ;
stressResponsePQ[elUpdate, {T, eps}, params]
stressResponse3D[elUpdate, {T, eps}, params]
200 200 400
200
100
100
200
300
600
![Page 15: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/15.jpg)
Diskontinuitat der ”bilinearen” Elastizitat (8)
To
TTo
n(a)
(b)
T o
f( ) = 0
Instabilität: infinitesimal kleine Abweichung in verursacht finite Änderung in
D
T.
1
T2
1D
2D
a a
b b
Instabilität
“bilineare” Elastizität
Diskontinuitat beim Uberqueren der neutralen Richtung /Die Operatoren der Be- und Entlastung sollen fur neutrale Dehnung (furdie n : E : D = 0 gilt) die gleiche Antworten T geben!
Die Antwort aus der Elastoplastizitat oder
Hypoplastizitat ist stetig! ,Konkavitat ist kein Problem
n
Antwortspolare elast.
e.-plast.
konkav
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Antwortspolaren - fur MCC (9)Masin & Gudehus, Geotechnique 2007 Dolezalova, Proceed. Modern Approaches to Plasticity,Horton, 1991.
![Page 17: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/17.jpg)
Antwortspolaren im Dehnungsraum (10)
Tamagnini,Masin,Constanzo,Viggiani, Proceed. Modern Trends in Geomechanics, 2006
Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren aus der Hypoplastizitat.
![Page 18: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/18.jpg)
Antwortspolaren im Dehnungsraum (8)
Versuche Karlsruhe Sand
εP [10-4]
ε Q [1
0-4]
-2-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
100 200 300 400 500 600
-100
0
100
200
300
Q (
kPa)
P (kPa)
ExperimentHyperelasticity UC
ICUEIE
Dehnungsrosetten an 23 Spannungen E.Espino und L.Knittel, IBF 2015
![Page 19: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/19.jpg)
Antwortspolaren im Dehnungsraum (9)
Experimentell schwierig (lokale Messung der Verformung)
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Antwortspolaren im Dehnungsraum (9)
Experimentell schwierig (lokale Messung der Verformung)
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Mehrflachen-EP als parallele Kopplung (11 )
1 2
back stress α = T1 - T2
Spannung T1
Spannung T2
Ges.SpannungT=T1+T2
T
εa
b
c d
e
fg
R1
R2
R +
R1
2
Mehrflachenplastizitat =
Geglatteter Ubergang vonElastizitat zu Plastizitat:
TTT
εε
y
I Gemeinsame Dehnungsrate Dk = D mit k = 1, 2, . . .
I Identische, elastische Steifigkeiten E fur Tk = E Dk
I Unterschiedliche Festigkeiten Rk bei Festigkeitskriteria |Tk| ≤ RkI Partiellen Spannungen konnen unterschiedlich sein. Sie werden
summiert T =∑nk=1 Tk
I α = ”Back stress” = Mittelpunkt des elastischen Bereiches.
I Die parallele Kopplung ergibt eine ”kinematische Verfestigung” :α wird verschoben.
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Mehrflachenmodelle (Mroz- oder Overlay Modell) (12)
T
T
T
e
e
T
e
e
T
e
T
e
I Guter T − ε Verlauf und gute Hysterese (Masing Regel) ,I Komplizierte Strukturspannungen (=’back stresses’) notig /I Kontraktanz ist zu klein (da die Entlastung vorwiegend elastisch ist-).
Reparatur ist kompliziert, z.B. mit der sog. Degradationsflache. /
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Hypoplastizitat (HP) (13)
Die HP liefert glatte Spannungs-Dehnung-Kurven mit Hysterese und bleibt
dabei sehr einfach , (HP - Kolymbas 1978; CLoE - Chambon 1996, Endochrone Theorie
- Valanis 1971)
T = E
(D −m
∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|) mit m = sign(T ) = ±1
Sonderfalle a,b,c,d:
2 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1T
Ty
εn=1
E1
a
b
c
d
Fur E = 100 MPa, n = 1.5 und D in [%/h]
a) T = Ty , D = 1 dh. m = 1 und
T = E(1− 1 |1|1.5 |1|) = 0
b) T = −Ty , D = −1 dh. m = −1 und
T = E(−1− (−1) |−1|1.5 |−1|) = 0
c) T = 13Ty , D = 1 dh. m = 1 und
T = E(1− 1∣∣ 13
∣∣1.5 |1|) = 810 kPa/h
d) T = Ty , D = −1 dh. m = 1 und
T = E(−1− 1 |1|1.5 |−1|) = −2000 kPa/h
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U: 1D-HP mit Mathematica : Rechenteil (17)Bezeichnungen:mat = {EE ,smax, n } = E, σmax, n{s1, e1, de, ds } = σ, ε,∆ε,∆σunknown = entweder ∆ε oder ∆σunapprox = Pradiktor fur {unknown, e1, s1 } fur implizite Zeitintegration.
states ={{σ, ε}1 , {σ, ε}2 , . . .
}Liste mit Zustandsgroßen = Pfad
increment[mat_, loading_]:= Module[{EE,smax,n,e0,e1,s0,s1,de,ds,eq1,eq2,eq3,unknown,unapprox},
{EE, smax, n} = mat;
{e0, s0} = Last[states];(*states is a global variable,
to be initialized outside*){de, ds} = loading;
eq1 = s0 + ds == s1;
eq2 = e0 + de == e1;
eq3 = ds == EE (de - Sign[s1]*Abs[s1/smax]^n Abs[de]);
unknown = Select[{de, ds}, ! NumberQ[#] &][[1]];
unapprox = {{unknown, 0}, {e1, e0}, {s1, s0}};
solution = FindRoot[{eq1, eq2, eq3}, unapprox , AccuracyGoal -> 5] ;
Evaluate[{e1, s1} /. solution] // N
];
step[mat_, loading_, ninc_] := Do[AppendTo[states, increment[mat, loading]], {iinc, 1, ninc}];
mat = {EE = 1000, smax = 10, n = 1};
states = {{0, 0}};
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1D-HP mit Mathematica : GUI (18)Simulation des Odometerversuchs im Kompressionsdiagramm
controlPanel[] := Module[{},
Manipulate[
ListPlot[ states[[All, 1 ;; 2]],Joined -> True,
PlotMarkers -> Automatic, AxesLabel -> {\[Epsilon],\[Sigma]}],
"Loading step consists of:", {{ninc, xninc}},
"increments consisting of", {{de, xde}}, {{ds, xds}}, "each",
Delimiter,
Button["Calculate step",
step[mat, {de, ds}, ninc];],
Button["Undo step",
If[Length[states]>= 2+ninc,states= Drop[states,-ninc],states={First[states]}];],
Button["Reset the initial state",
states = {states[[1]]}; ninc = xninc; de = xde; ds = xds; ]
] (*manipulate*)
] ; (*module*)
controlPanel[]
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HP: alte und neue Schreibweise (13b)
I Alt T = LD +N |D|, neu T = E
(D −m
∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|)
I Spannungsrate T =dT
dt, Dehnungsrate D =
dε
dt
I Fließbedingung (folgt aus T = 0 bei D 6= 0)∣∣∣∣NL∣∣∣∣ = 1 oder
∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣ = 1 oder |T | = Ty
I Fließregel (folgt ebenfalls aus T = 0 bei D 6= 0)
~D = sign(−N/L) oder ~D = m
I Parameter:
I Steifigkeit L = EI max. Spannung Ty
I neuer Exponent n
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HP mit einem Exponenten (13b)
T = E
(D −m
∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|) n beeinflusst die Krummung
Bei n→∞ und E →∞ erhalten wir St.-Venant Korper
2 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1T
Ty
εn=6
E12 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1T
Ty
εn=1
E1
Leider kann die HP nicht zwischen derErst- und Wiederbelastung unterscheiden
/.Das Problem heißt ”Ratcheting”
Sperrklinkeε
σ
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Endochrone Theorie (13a)
Die innere Zeit z ist die Lange des Dehnungsphades, dz = |ε|dt (Valanis 1971)
Die Spannung T wird als Integral (mit Kernfunktion K) formuliert:
T (z) =
∫ z
0
K(z, τ)dε(τ)
dτdτ mit K(z, τ) = Ee−b(z−τ) (1)
wobei τ ein Parameter analog zu z ist, d.h. dτ = |ε|dt.
1e
-b(z- )
ε
ε1
2
τ
τ = zτ
Die Kernfunktion K(z, τ)/E = e−b(z−τ) beschreibt einen ruckwarts entlangdes Verformungspfades abklingende Wichtungsfaktor. Damit wird diejungste Geschichte der Verformung im Vordergrund stehen.
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Endochrone Theorie (13a)Ableitung bezuglich z eines Integrals mit den Integrationsgrenzen abhangig von z (Leibnizregelfur Parameterintegrale, http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral):
d
dz
∫ U(z)
L(z)f(z, τ)dτ =
∫ U(z)
L(z)
∂f(z, τ)
∂zdτ + f(z, U)U
′(z)− f(z, L)L
′(z) (2)
Die Spannungsrate (bezuglich z) mit L(z) = 0 und U(z) = z betragt
dT
dz= −b
∫ z0K(z, τ)
dε(τ)
dτdτ +K(z, z)
dε(τ)
dτ1 (3)
dT
dz= −bT +E
dε(τ)
dτ(4)
dT = −bTdz +Edε(τ)
dτdz (5)
T = −bT |ε| +Eε (6)
HP und endochrone Theorie sind aquivalent und die beiden lassen sich mit‖ε‖ fur 3D verallgemeinern.
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Zyklische Akkumulation (ist zu groß) (14)
Δεacc
ampl2ΔT
T
ε
2Δε
(N<0)acc
E-(T/T )yn
E+(T/T )yn
ampl
ΔT
T
T>0
D>0
D>0
(>0)m=1
T<0ε
m=-1
T>0 m=1
T<0 m=-1
E-(T/T )yn
E+(T/T )yn
Dehnungszyklen ↑ Spannungszyklen ↑
∆T acc = 4Nεampl =
= −mE∣∣∣∣ TTy
∣∣∣∣n 4εampl
∆εacc =−4NT ampl
L2 −N2=
=4T amplY m
E(1− Y 2)mit Y =
∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n
pro Zyklus
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Schwinger mit hypoplastischer Feder (15)
lhypoplast.Feder
Masse
L,N
mε
A
l = u
I Gleichgewicht TA+mu = 0homogene Verformung u = lε u. u = lε ergibtTA+mlε = 0und abgeleitet nach Zeit:TA+ml
...ε= 0
...u= l
...ε= Ruck, engl. jerk
eq1 = T’[t] + 10 e’’’[t] == 0;
I Stoffgesetz: T = LD +N |D|, z.B. mit L = 10 und N = −Teq2 = T’[t] == 10 e’[t] - T[t] Abs[e’[t]];
I AB: (bei t = 0): T = 5, ε = 0, ε = 1, ε = 0IC = {T[0] == 5 , e[0] == 0, e’[0] == 1, e’’[0] == 0};
Die erhaltene GDG hat die numerische Losung
solu = NDSolve[{eq1,eq2,IC}, {e, T}, {t,0,100}, Method-> "BDF",
MaxSteps->100000][[1]]
ParametricPlot[ ({e[t], T[t]} /. solu), {t, 0, 100}]
ParametricPlot[ ({e[t], e’[t]} /. solu), {t, 0, 100}]
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Freies Schwingen - Beispiele (16)
Oben: Spannung-Dehnungskurven, unten: Phasendiagramme
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6T
ε
2 4 6 8 10 12
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1D
ε
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
T
ε
2 4 6 8 10 12
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1D
ε
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-6
-4
-2
2
4
6
T
ε
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1 D
ε
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
2
4
6
T
ε
2 4 6 8 10 12
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1D
ε
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-6
-4
-2
2
4
6
T
ε
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1D
ε
2 4 6 8 10
2
4
6
8
10
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 4 6 8 10
T
εD
ε
hat keine Grenze
N=-5 N=-T N=-TT(0)=0 T(0)=0 T(0)=5
Exzessive Akkumulation bei unsymm. Zyklen /BDF =(Backward Differencing Formula)= Differenzen unter Einbeziehung vorherigerZeitpunkte.BDF 1. Ordnung = Euler Integration.BDF 2. Ordnung basiert auf einer Parabel, die auf den Zeitpunkten t−∆t, t und t+∆tfestgelegt wird.Die Implementierung ist unwesentlich aufwendiger als Euler, die Ergebnisse sind jedochwesentlich genauerer (fur aquidistante Gitter).
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Vereinfachte HP fur 3D unter monotoner Belastung (17)
FE-Berechnung mit HP ergibt eine Aufwolbung neben dem Fundamentwenn der Dilatanzwinkel ausreichend groß ist.Das Verhalten von HP und EP Modellen ist dabei ahnlich.
P
P
P
Q
Q
Q
Y=0
T
T T
T
n
P
P
P
Q
Q
Q
T
T
n
1 1
2 2
3
P
Q
PR
Y=1
T
n(A.F.R.)
T1
T2
T3
3.q
3.q
3
.q3
.q3
.q3
.q3
q
pkrit.
Zustand
mehrDilatanz
Zug
ist soll
Hypopl. Fließregel:
HP EP Fließregel
Y = 0→ perfekte Elastizitat, z.B. am Zustand T1
Y = 1→ perfekte Plastizitat, z.B. am Zustand T3 T = E : (D−mY ‖D‖)
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Vereinfachte HP fur 3D unter monotoner Belastung (18)
Druckabhangige Elastizitat E = E0 + λEP mit ν = 0, d.h. T = ED
Drucker-Prager Fließkriterium mit abge-rundeter Spitze
y(T) ≡ −M P −B +√Q2 +B2 = 0
mit
P = −trT (∂P/∂Tij) = −δijQ = ‖T∗‖ (∂Q/∂Tij) = T ∗ij/Q
M =√
8/3 sinϕ/(3 + sinϕ)
B =√
24 c cosϕ/(3 + sinϕ)
Q
PPR
1
Y=0T
Die Interpolation 0 < Y < 1 fur T = E : (D− Y wm|D|) erfolgt mit
Y =Q√
(B + MP )2 −B2fur P > PR
Y =(B + MPR)(PR − P ) +
√B2(P − PR)2 + (2B/M + PR)PRQ2
PR(2B + MPR)fur P < PR
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Vereinfachte HP fur monotone Belastung (19)Assoziierte Fließregel (fur dichten Sand) ψ = ϕ
m =
[∂y
∂T
]→=
[T∗√
B2 + ‖T∗‖2+M 1 =
1
bT∗ +M 1
]→Volumentreue (isochore) Fließregel (fur lockeren Sand) ψ = 0
m = h ~1 +√
1− h2 ~T∗ mit h =
1− P/PR, fur P < PR;
0, fur P ≥ PR.
Inkrementelle Berechnung mit einer impliziten Zeitintegration und mit einerkonsistenten Jakobi Matrix:
∂Pmn∂εab
=
[Jijmn − L′ijklmn
Mεkl +
MεLijrs
∂(Y wLijrsmrs)
∂Pmn
]−1[Lijab − LijrsY wmrs
~Mεab
]mit
Mε = ‖Mε‖ und P = Tt+∆t garantiert numerische Stabilitat mit quadrati-
scher Konvergenz der Gleichgewichtsiteration. (Erklarung in der Vorlesungzur Numerik in der Geotechnik)
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Mangelhafte Simlation mit vW-HP (20)
(Avg: 75%)SDV1
+6.800e−01+6.833e−01+6.867e−01+6.900e−01+6.933e−01+6.967e−01+7.000e−01+7.033e−01+7.067e−01+7.100e−01+7.133e−01+7.167e−01+7.200e−01
+6.502e−01
+7.737e−01
Step: Step−2Increment 5010: Step Time = 1.000Primary Var: SDV1Deformed Var: U Deformation Scale Factor: +1.000e+00
FROM G600 BY A.NIEMUNISODB: 1.odb Abaqus/Standard Version 6.7−1 Tue May 08 14:16:59 Mitteleuropäische Sommerzeit 2012
Durchstanzen mit dem Fundament auch bei sehr dichten Bodennur vW-HP.
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Implementierung der HP (20)
Shear Stress (kPa)
-200-110-20+70
+160+250+340+430+520+610+700
ShearStress (kPa)
-15-5
+6+17+27+38+48+59+69+79+90
Streifenfundament (dicht) Kreisfundament (dicht)
Streifenfundament (locker) Kreisfundament (locker)
9m
7.5m0.5m
s=0.2m
Q=15kPaQ=15kPa
γ '=10kN/m3
x1
x2
Deformiertes Netz und Isolinien der Schubspannung T12.Sehr gute (±10%) Ubereinstimung mit Tragfahigkeit nach DIN 4017.
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Implementierung der HP (21)
Im lockeren Sand bildet sich wirklich kein Buckel neben dem Fundament.(Reproduziert durch ψ = 0◦, )
Quelle: Tatsuoka, F., Nakamura, S., Huang, C. C. & Tani, K., Soils & Foundations 1990
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Implementierung der HP (22)
Der Bruchmechanismus wird qualitativ richtig prognostiziert (Vesic 1973).
(a)
(b)
(c)
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Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (23)
Elastizitat gilt bis εampl ≈ 10−5
ε
T
εET
1% 1%0
Anderung der Steifigkeit E(εampl) mit der Verformungsamplitude auchunterhalb von εampl = 10−3
E(10−3) ≈ 1
5E(10−5)
Wichtig fur die Setzungsprognosen.(ε = 0 ist verstanden als Ausgangs-K0-Zustand).
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Kleine DehnungenErhohte Steifigkeit bei Sand furεampl<10−4
σ
εamplε0 0.010.001
σ
εamplε010-310-5
keine Linearität
Lineare Elastizitat nur bis εampl ≈10−5
Nichtlinearitat bei Sand auch furγampl<10−2
10-6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
G/G
max
γ ampl10-5 10-4 10-3 10-2
:e=0.640:e=0.696:e=0.742:e=0.793
Kokusho (1980)
klein
groß
sehr klein
LDVT
TriaxRC υ = G/ρs
Stützmauer
Fundament
Tunnel
![Page 42: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/42.jpg)
Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (24)
Abnahme der Schubsteifigkeit G mit der Dehnungsamplitude γampl
0.0001
Stützmauer
Fundament
Tunnel
klein großsehrklein
LVDT
1μm0.1μm
Triax
G
γ [%]0.001 0.01 0.1 1 10
aus RC υ = G/ρs
ampl
WikipediA: LVDT = Linear Variable Differential-Transformer. Primarspule + zwei
Sekundarspulen. Letztere sind gegenphasig in Reihe geschaltet, dadurch subtrahieren sich die
Spannungen (. . . ) Wird die Symmetrie gestort, so entsteht eine Ausgangsspannung.
![Page 43: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/43.jpg)
Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (25)
Abnahme der Steifigkeit mit γampl(die Schleife wird flacher)
Zunahme der Dampfung mit γampl(die Schleife wird dicker)
GmaxG
Backbonecurve
ampl
Gmax
G D
D=
D=Dämpfung
4π
Dmax
log
γ γ
τ
0
0.5
1.0
Erstbelastung nach einem Einspielen (Shakedown) wird durch “Backbonecurve” beschrieben.Dampfungsmaß D wird oft mit dem Gutefaktor (=quality factor) Q = 1/(2D) ausgedruckt.
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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τEt
Et
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
![Page 45: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/45.jpg)
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
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Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
γ
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γ
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
![Page 57: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/57.jpg)
Hysteretisches Verhalten
I Reversibilitat
I Dampfungsmaß D(γampl)
I Sekantensteifigkeit G(γampl)
γ
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γ
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I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu
I Keine Sprunge beiUber-Belastung.
I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).
I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.
I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.
Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).
![Page 58: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/58.jpg)
Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (26)
Masing Regel:
I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:
Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der
Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d
γ ,τ 0 0
time
τ
γ
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τ 0
ta a
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τ =F(
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Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (26)
Masing Regel:
I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:
Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der
Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d
γ ,τ 0 0
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Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (26)
Masing Regel:
I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:
Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der
Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d
γ ,τ 0 0
time
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t
c
d dbbτ
2x 1
-st l
oadi
ng
γ
τ
-2x 1st loading
τ =F(
γ)
γ , τ R R
γ , τ R R
1st l
oa
ding
c
γ ,τ 0 0
τ 0
![Page 61: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/61.jpg)
Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (26)
Masing Regel:
I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:
Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der
Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d
γ ,τ 0 0
time
τ
γ
τ
τ 0 ta a
bb
τ
γ
τ
τ =F(
γ)
1-st
lo
ading
γ ,τ 0 0
τ 0 t
c
bb
τ
γ
τ
-2x 1-st loading
τ =F(
γ)
γ , τ R R
γ , τ R R
1-st
lo
ading
c
γ ,τ 0 0
τ 0
t
c
τ
2x 1
-st l
oadi
ng
γ
τ
-2x1-st loading
τ =F(
γ)
γ , τ R R
γ , τR R
1st l
oa
ding
c
γ ,τ 0 0
τ 0
ddb
b
t
c
d dbbτ
2x 1
-st l
oadi
ng
γ
τ
-2x 1st loading
τ =F(
γ)
γ , τ R R
γ , τ R R
1st l
oa
ding
c
γ ,τ 0 0
τ 0
![Page 62: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/62.jpg)
Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (26)
Masing Regel:
I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:
Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der
Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d
γ ,τ 0 0
time
τ
γ
τ
τ 0 ta a
bb
τ
γ
τ
τ =F(
γ)
1-st
lo
ading
γ ,τ 0 0
τ 0 t
c
bb
τ
γ
τ
-2x 1-st loading
τ =F(
γ)
γ , τ R R
γ , τ R R
1-st
lo
ading
c
γ ,τ 0 0
τ 0 t
c
τ
2x 1
-st l
oadi
ng
γ
τ
-2x1-st loading
τ =F(
γ)
γ , τ R R
γ , τR R
1st l
oa
ding
c
γ ,τ 0 0
τ 0
ddb
b
t
c
d dbbτ
2x 1
-st l
oadi
ng
γ
τ
-2x 1st loading
τ =F(
γ)
γ , τ R R
γ , τ R R
1st l
oa
ding
c
γ ,τ 0 0
τ 0
![Page 63: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/63.jpg)
Vorschlage fur das backbone Profil F (γ) (27)
• Ramberg & Osgood γ =τ
Gmax+ α
(τ
Gmax
)rmit
γ
γy=
τ
τy+ α
(τ
τy
)r• Hardin & Drnevich
G
Gmax=
1
1 + β(γ/γref)amit β ≈ 1 und a ≈ 0.92
• Prevost τ = Gmaxγmax
y − 12
+√
14− y
m+1
mm+1
− y mit y = τmax/(Gmaxγmax)
• Bardet G(γ) =
Gmax
(τmax − ττmax
)nfur τ < τmax
0 fur τ >= τmax
• Prandtl; Kondner & Zelasko; Jennings; Seed & Idriss; Iwan; Finn; Pyke;Vucetic; Darendeli; Lo Presti, ...
Die 3D Erweiterungen sind kaum zu finden in der Literatur.
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Beispiel: F (γ) nach Hardin, Drnevich (27)
Die Formel G/Gmax = 1/(1 + β(γ/γref)a) betrachtet γ als eine Amplitude,
d.h. γ > 0. Wir bilden τ = F (γ) mit |γ| d.h.
F (γ) ≡ Gmaxγ
1 + β(|γ|/γref)a(7)
F[g_] := Gmax g/(1 + b (Abs[g]/gref)^a);
Gmax = 10000 ; b = 1; gref = 0.001; a = 0.9; (* mat const *)
gR1= 0.01; gR2= -0.005; gR3= 0.00; gR4= -0.0025; gR5=0.015;
tR1 = F[gR1];
tR2 = tR1 + 2 F[(gR2 - gR1)/2];
tR3 = tR2 + 2 F[(gR3 - gR2)/2];
tR4 = tR3 + 2 F[(gR4 - gR3)/2];
tR5 = tR4 + 2 F[(gR5 - gR4)/2];
g0 = ListPlot [{{0,0}, {gR1,tR1},{gR2,tR2},{gR3,tR3},
{gR4,tR4},{gR5,tR5}}];
g1 = Plot[ F[g] , {g, 0, gR1} ];
g2 = Plot[ tR1 + 2 F[(g - gR1)/2] , {g, gR1, gR2} ];
g3 = Plot[ tR2 + 2 F[(g - gR2)/2] , {g, gR2, gR3} ];
g4 = Plot[ tR3 + 2 F[(g - gR3)/2] , {g, gR3, gR4} ];
g5 = Plot[ tR4 + 2 F[(g - gR4)/2] , {g, gR4, gR5} ];
Show[ g0, g1, g2, g3, g4, g5 , PlotRange -> All]
0.005 0.005 0.010 0.015
10
5
5
10
15
1
2
3
4
0
5τ
σ
Die Masing Regelτ − τR
2= F
(γ − γR
2
)garantiert keine geschlossene
Zyklen ohne Aktualisierung von γR und τR. Es ist nicht einfach die LetzteUmkehr!
![Page 65: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/65.jpg)
Intergranulare Dehnung (=iD) (28)
Um Ratcheting zu mildern wird die Steifigkeit nach jeder Pfad-Umkehrerhoht. Dafur muss der jungste Zeitverlauf der Dehnung = iD, hberucksichtigt werden.
• hD > 0 und |h| = R (max. Wert von h), Steifigkeit wird nicht erhoht
• h = 0 Steifigkeit wird 5-fach erhoht
• hD < 0 Steifigkeit wird 5-fach erhoht
Entwicklung von h:h =
(1−|h|R
)D fur hD ≥ 0 Aufbau, h→ R~D
h = D fur hD < 0 Abbau, h→ 0
h
ε
h=R
h=-R
11
ohne iD
ohne iD
εε
T T h = Rh = R
h=-Rh=-R
h=0
hD > 0hD < 0
![Page 66: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/66.jpg)
Intergranulare Dehnung (29)
m LR L + N |D|
h=R und hD>0h=0 oder hD<0
Die Steifigkeit kann bis mR ≈5-fach vergroßert werden.
ohne iD
ohne iD
εε
T T h = Rh = R
h=-Rh=-R
h=0
hD > 0hD < 0
T =
[(1− |h|
R
)mR +
|h|R
]LD +
|h|RN~hD fur hD ≥ 0
T = mRLD fur hD < 0
mit N = −T und ~h = sign(h) also ~hD = |D| gilt.
h = |R| und hD > 0 ergibt T = LD +N~hD =alte Hypoplast.
h = |R| und hD < 0 ergibt T = mRLD =nach Pfad-Umkehr
h = 0 ergibt T = mRLD =elastisches Einspielen
![Page 67: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/67.jpg)
Hypoplast. Schwinger mit intergr. Dehnung (30)
73
10T
ε
-0.4
3 7
1D
ε
73
10T
ε
-0.4
3 7
1D
ε
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
2
4
6
8
10
12T
ε
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
1
ε
D
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.4
0.4
ε
h
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
2
4
6
8
10
12T
ε
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
1
ε
D
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.05
ε
h
-0.05
73
10T
ε
-0.4
3 7
1D
ε0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
2
4
6
8
10
12T
ε
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
1
ε
D
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.4
0.4
ε
h
Ohne iD mit kleiner iD mit großer iD
![Page 68: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/68.jpg)
Ratcheting ohne und mit iD (31)
0.1
0.3
e
00
4 8 12
ε [%]1
T - T
[M
Pa]
12
T [MPa]1
0.20.1 0.5 1
(ln)0.6
0.7
0.65
HP
HP
Odometer Test und Triax. Test
ohne die iD
0.20.1 0.5
e
0.1
0.3
00 4 8 12
ε [%]1
T - T
[M
Pa]
12
T [MPa]11
(ln)0.6
0.7
0.65
HP+
HP+
und mit der iD
![Page 69: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/69.jpg)
Defekte der iD (32)Masing Regel nicht erfullt(Dampfung unrealistisch). /
(a)
(b)
(c)
(d)
τ
γ
Einfaches Scheren.
Verhalten bei unterschiedlichenAmplituden mangelhaft /
Vo
lum
en
1+e
log(p)Druck
iD hier richtig
iD hier zu klein
ohneiD
iD zu groß
soll
Odometer: zyklische Belastung
![Page 70: Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 · Modern Trends in Geomechanics, 2006 Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040215/5edb01a309ac2c67fa68a878/html5/thumbnails/70.jpg)
Defekte bei iD
Prognostizierte Sekanten-Steifigkeit G(γampl) und Dampfung D(γampl) sindzum Teil unrealistisch.
-15
-10
-5
0
5
10
15
-2x10-3
-1 0 1 2γ12
[-]
τ 12[k
Pa]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1
γ [-]
G/G
max
[-]
0
0.2
0.4
0.6
10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1
γ [-]
D[-
]-10
-5
0
5
10
-5.0x10
-4-2.5 0 2.5 5.0
γ12 [-]
τ 12[k
Pa]
12ampl
12ampl
soll
soll