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Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer
Geoinformation IVorlesung 4
WS 2000/2001
Modellierung des Raumes
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Neuer Abschnitt:Modellierung des
Raumes
Bisher: Modellierung von Objekten
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3 3
Übersicht I
• Räume I• Räume II• Topologische Räume• Topologische Invarianten (Beispiele)• Nicht-topologische Eigenschaften• Punktmengentopologie• Beispiele• Weitere (teilweise „pathologische“) Beispiele• Die „Fahrtzeittopologie“
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4 4
Übersicht II
• Nähe, Offen + Geschlossen• Der Rand oder die Grenze• Beispiele• Zusammenhang• Diskret und indiskret• Topologische Eigenschaften
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5 5
Räume I
• Nach I. Kant ist der Raum eine grundlegende Form unserer Anschauung
• anders ausgedrückt: eine bestimmte Weise, wie wir unsere Wahrnehmung organisieren
• die Vorstellung von Raum geht somit der Erfahrung (Messung) voraus
• eine Messung ist die Bestimmung einer Invariante• ohne das Konzept einer Invariante wäre die strafrechtliche
Verfolgung von Geschwindigkeitsübertretungen nicht zu vertreten
• Geschwindigkeit Invariante gegenüber– Tachometer
– Radarmessung der Polizei
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6 6
• Interessanterweise gibt es nicht einen, sondern mehrere Räume
• abhängig von der Fragestellung
• 4 große Bereiche– Betrachungen auf der Erdoberfläche
• Geometrie auf dem Ellipsoid (geodätisches Rechnen)– Abbildung der Erdoberfläche auf die Ebene (Karte)
• Netzentwürfe, Kartographie– Abbildungen im Raum und in der Ebene
• euklidische Geometrie, lineare Algebra– Projektion auf das Bild– Verzerrende Abbildungen, Topologie
Räume II
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Projektivität
Affinität
Ähnlichkeit
Translation Rotation
Bewegung
Invarianten
Geradentreue
Parallelentreue
Winkeltreue
Abstandstreue
Koordinaten-differenzen
Richtungswinkel-differenzen
Operationen
Rotation r (um 0)Verschiebung t
Zoom + r + t
r + t
... + Parallelenkonvergenz
... + Scherung
Abbildungen
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8 8
Topologische Räume
• In der Praxis sinnvolle Transformationen, die – alle „geometrischen“ Invarianten verletzen können– trotzdem „strukturelle“ räumliche Eigenschaften erhalten
• Paradigma: elastische Verformung– Metapher: Gummihauttransformation– anderes Beispiel: Tätowierung
• (kartographisches) Beispiel:– Übersichtskarte Hamburg (aus einem Tourenplaner)– Liniennetzplan des Hamburger Verkehrsverbundes
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Übersichtskarte Hamburg und Umgebung
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Schnellbahnen Hamburg undUmgebung
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ElastischeVerformung
Ausgangs-punkt
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12 12
Topologische Invarianten (Beispiele)
• Ein Knoten ist Endpunkteiner Kante
• Zwei Kanten kreuzen sich /sind kreuzungsfrei
• Ein Punkt liegt im Innereneiner Fläche
• Ein Punkt liegt auf demRand einer Fläche
• Eine Fläche hat ein Loch
• Eine Fläche ist zusammenängend / nichtzusammenhängend
• Zwei Flächen sindbenachbart
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Nicht-topologische Eigenschaften
• Abstand• Fläche• Winkel• Umfang• Durchmesser
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Mathematik
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Nachbarschaft
Punkt
Punktmengentopologie
• Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) )
• Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt:
T1: Jeder Punkt x S liegt in einer Nachbarschaft von S.
T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines Punktes x S enthält eine Nachbarschaft von x.
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16 16
Beispiele
• Die offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene– Menge aller Punkte, die durch
einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen
• punktierte Linie: offen• durchgezogene Linie:
geschlossen
• Beachte: T2 ist erfüllt– Der Durchschnitt zweier
Nachbarschaften eines x S enthält eine Nachbarschaft von x.
OffeneKreisscheibe
Punkt
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17 17
Weitere (teilweise „pathologische“) Beispiele
• Die diskrete Topologie von S:– S und die Menge aller Teilmengen von S– die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}
(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“)
• Die indiskrete Topologie– S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S
• die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R)
• die offenen Kugeln in S = R3
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Die „Fahrtzeittopologie“
• Gegeben sei ein Gebiet, das durch ein Verkehrsnetz erschlossen ist. S sei die Menge aller Punkte des Gebiets.
• Sei (x,y) die Fahrtzeit auf der kürzesten Verbindung zwischen x und y.
• Annahme Für alle x, y S gilt: (x,y) = (y,x) – Symmetrie, keine Einbahnstraßen
• t-Zone: die Menge aller Punkte, die in weniger als t Minuten erreichbar ist.
• S mit der Menge aller t-Zonen ist eine Topologie.
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Die 1-Stunden-Zone um Liége
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Jetzt kommen mehrere auf den ersten Blick recht
abstrakte Definitionen
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Zielbegriff:Der Rand oder die Grenze
Teilziel:Offene und geschlossene
Flächen
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22 22
Nähe, Offen + Geschlossen
Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, X S, x S
x ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält.
X ist offen, wenn jeder Punkt y X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist.
X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält.
C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1.
nahe
Nicht nahe
offen
geschlossen
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23 23
Der Rand oder die Grenze
Der Abschluß einer Teilmenge X S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten.Notation: X¯
Komplement: X‘
Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X‘ sind. Notation: X°
Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X‘ sind.
Notation: X
Es gilt:X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.)
Der „Rand“ einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten)
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24 24
Beispiele
Die Menge S Das Innere von S
Abschluß von S Rand von S
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25 25
Zusammenhang
Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt.
Nicht zusammenhängend
zusammen
hängend
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26 26
Diskret und indiskret
Übung 1:
Zeigen Sie: In der diskreten Topologie ist jede nichtleere Menge gleichzeitig offen und geschlossen.
Übung 2:Zeigen Sie:In der indiskreten Topologie ist jede nichtleere Menge weder offen noch geschlossen.
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27 27
Euklidische Topologie
äquivalent
nicht äquivalent
Topologische Eigenschaften
Eine topologische Transfor-mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar-schaften auf Nachbarschaften ab.
Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft.
Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen.