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Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer
Scan-Line-Verfahren
Geoinformation II(6. Semester)
Vorlesung 1
SS 2001
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2 2
Übersicht I
• Übersicht über das Semester• Organisation
• Overlay• n-Segment-Schnitt
• Zur Erinnerung („Diskrete Mathematik“)• Groß-Oh-Notation
• Wachstum
• Hinreichende Bedingung für Schnittfreiheit• Scan-Line-Verfahren
• Idee• Scan-Line-Verfahren
• Gegenbeispiel
• Nachbarschaft
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3 3
Übersicht II
• Verfeinerung des Algorithmus
• Ordnungsrelation „x <‘‘
• Ordnung der Segmente durch die Scan-Line
• Verwaltung der aktiven Elemente
• Wann wird der Schnittpunkt S1 erkannt?
• Vereinfachende Annahmen
• Algorithmus Scan-Line
• Algorithmus II
• Prüfung auf Schnittfreiheit
• Segmentschnitt I
• Segmentschnitt II
• Einfacher Segmentschnitt I
• Einfacher Segmentschnitt II
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4 4
Übersicht über das Semester
• was ist „GIS 2“?– Funktionen von GIS
• Algorithmen in GIS
• effiziente Berechnung
– Speicherung räumlicher Objekte in GIS
• effiziente Suche
• GIS 1 = Modelle für GIS Welt Modell
• GIS 2 = Modell Rechner• 2 große Algorithmen
– Overlay von Netzen und Flächen (Segmentschnitt)
– räumliche Nachbarschaft
• Voronoi-Diagramm,
• Delaunay- Triangulation
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5 5
Motivation: Overlay von Flächen und Landkarten
• von Netzen:– Fluß und Straßennetz: Brücken– Straßen und Eisenbahnnetz: Brücken, Tunnel– Problem: Schnitt von n geraden Linien-Segmenten
• von Landkarten (polygonalen Strukturen)– PLZ und Verkaufsbezirke– Gemeinden und Geologie– Problem: Segmentschnitt + Polygonkonstruktion– heute nur: Schnitt von n Segmenten
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6 6
n-Segment-Schnitt
• einfaches Vorgehen:– paarweiser Vergleich:
s S: s‘ S - {s}überprüfe s und s‘ auf Schnittfreiheit und bestimme ggf. den Schnitt von s und s‘
• Laufzeit: O(n2)für die Praxis viel zu langsam
• Ziel: O(n * log n)• harter und langer Kampf!• erste Idee: betrachte horizontale Projektionen
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7 7
Zur Erinnerung („Diskrete Mathematik“)
Groß-Oh-Notation
Definition:
},n> n alle für f(n)cg(n) mit
0c|NN :{g O(f)
0
00
wobei
...}, 2, 1, {0,N 0 existiert" es "
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8 8
Groß-Oh-Notation
Beispiele:
)O(n n 2 )O(n n5000 2
)O(n n5000n 22 )O(n nn 323
O(log n)
O(n log n)
O(n3)
O(n)
... O(exp n)
O(1)
O(n2)
Inklusion:
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9 9
Wachstum
0
10
20
30
40
50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
n²
n log n
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10 10
Hinreichende Bedingung für Schnittfreiheit
• notwendig für Schnitt: Überlappung der horizontalen Projektionen
• Reduktion einer 2-dimensionalen auf eine 1-dimensionale Fragestellung
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11 11
Scan-Line-Verfahren
A
BF
C
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ES1
S3
S2
S4
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12 12
Idee:
• horizontale Scan-Line über die Ebene schieben– aktive Elemente: Schnitt mit der Scan-Line– nur aktive Elemente können horizontale Überschneidungen
haben– überprüfe aktive Elemente auf Schnittfreiheit
• Problem: wo sind die Haltepunkte der Scan-Line– Anfangspunkt eines Segments
– Endpunkt eines Segments
– geordnete Menge der x-Koordinaten
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13 13
Scan-Line-Verfahren
A
BF
C
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ES1
S3
S2
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14 14
Scan-Line-Verfahren
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S3
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21 21
Scan-Line-Verfahren
A
BF
C
D
ES1
S3
S2
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Scan-Line-Verfahren
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C
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Scan-Line-Verfahren
A
BF
C
D
ES1
S3
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S4
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24 24
Scan-Line-Verfahren
A
BF
C
D
ES1
S3
S2
S4
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25 25
Gegenbeispiel
zu viele Elemente gleichzeitig aktiv O(n2)
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26 26
Nachbarschaft
-Umgebung
A
B
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27 27
Verfeinerung des Algorithmus
• nur benachbarte Segmente betrachten• wie erkennt man sehr schnell, ob zwei Segmente benachbart
sind?• Nutzung der Scan-Line
– Betrachte die Schnittpunkte der aktiven Segmente mit der Scan-Line
– Nachbarschaft ergibt sich aus der Lage der Schnittpunkte
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28 28
Ordnungsrelation „x <‘‘
x x‘
B
A
C
Ax < B
Ax < C
Cx‘ < A
Cx < B
Ax‘ < B
Cx‘ < B
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29 29
Ordnung der Segmente durch die Scan-Line
x< ist eine dynamische (!) Ordnung ...– die nur auf der Menge der aktiven Elemente definiert ist– die Ordnung x< zwischen zwei Elementen wird an ihren
Schnittpunkten umgedreht• aus
a x< b wird am Schnittpunkt s von a und b
b x< a– liefert eine vollständige eindimensionale Ordnung der
aktiven Segmente ...– ... für jeden Haltepunkt der Scan-Line !
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30 30
Verwaltung der aktiven Elemente
A
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C
D
ES1
S3
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S4
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31 31
Verwaltung der aktiven Elemente
A
BF
C
D
ES1
S3
S2
S4
A
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32 32
Verwaltung der aktiven Elemente
A
BF
C
D
ES1
S3
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S4
AE
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33 33
Verwaltung der aktiven Elemente
A
BF
C
D
ES1
S3
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S4
B
EA
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34 34
Verwaltung der aktiven Elemente
A
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C
D
ES1
S3
S2
S4
B
DA
E
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35 35
Verwaltung der aktiven Elemente
A
BF
C
D
ES1
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S2
S4
B
CA
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36 36
Verwaltung der aktiven Elemente
A
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C
D
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S2
S4
B
DC
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37 37
Verwaltung der aktiven Elemente
A
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38 38
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Wann wird der Schnittpunkt S1 erkannt?
A
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Übung: Wird ein Schnittpunkt stets genau einmal erkannt?
C
D
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B
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46 46
Vereinfachende Annahmen
Annahme• 2 Segmente schneiden sich
höchstens in einem Punkt
• in keinem Punkt schneiden sich mehr als 3 Segmente
• die x-Koordinaten aller Segmente sind paarweise verschieden
• kein Segment ist vertikal
Gegenbeispiel
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47 47
Algorithmus Scan-Line
Input:
S: eine Menge von Segmenten
Output:
die Schnittpunkte der Elemente von S
Sei
T = Endpunkte der Segmente von S nach x-Koordinaten sortiert (Haltepunkte)
L = // aktive Segmente von S
while T do
bestimme und entferne den nächsten Punkt pT
x ist x-Koordinate von p
case: p ist linker Endpunkt von sfuege_ein(s,x,L)sl = vorgaenger(s,x,L)sr = nachfolger(s,x,L)
schnitt(sl,s,T);
schnitt(s,sr,T);
p ist rechter Endpunkt von s
sl = vorgaenger(s,x,L)sr = nachfolger(s,x,L)
entferne(s,x,L)
schnitt(sl,sr,T)
p ist Schnittpunkt von s und t
vertausche(s,t,L,x) // t < ssl = vorgaenger(t,x,L)sr = nachfolger(s,x,L)
schnitt(sl,t,T)
schnitt(s,sr,T)
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48 48
Algorithmus II
fuege_ein(s,x,L): fügt das Segment s in die Menge L ein entsprechend der Ordnung an der Stelle x
entferne(s,x,L): entfernt das Segment s aus die Menge L an der Stelle x
nachfolger(s,x,L): liefert den Nachfolger von s in L an der Stelle x, falls vorhanden
vorgaenger(s,x,L) liefert den Vorgänger von s in L an der Stelle x, falls vorhanden
schnitt(s,t,T) prüft s und t auf Schnitt. Berechnet ggf. den Schnittpunkt p und fügt ihn als neuen Haltepunkt in T ein.
offene Probleme:
eine geeignete Datenstruktur für T
eine geeignete Datenstruktur für L
Prüfung auf Schnitt, Berechnung des Schnittpunkts
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49 49
Prüfung auf Schnittfreiheit
• 1. Idee– Berechnung der Geradengleichungen g und g‘ der
Segmente s und s‘– Schnittpunkt p von g und g‘– prüfe ob p in s und s‘
• Problem– vertikale Segmente– Vermeidung unangenehmer Sonderfälle
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50 50
Segmentschnitt I
g1
g2
c)
g2g1
b)
g1
g2
a)
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51 51
Segmentschnitt II
• Reduktion auf das Problem
• P1, P2 liegen auf der gleichen / verschiedenen Seiten der durch g induzierten Geraden
• Homogene Koordinaten:P1=(x1,y1,w1)P2=(x2,y2,w2)P=(x,y,w)
D > 0
D < 0
D = 0P
P2
P1s
g auf P liegt ist, 0D wenn
g von rechts P liegt ist, 0D wenn
g von links P liegt ist, 0D wenn
www
yyy
xxx
D)P,PD(P,
21
21
21
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Einfacher Segmentschnitt I
S1 = det ( P1,P3,P4) Def.: Vor.: Alle Determinanten sind 0:S2 = det ( P3,P1,P2) g und g` schneiden sich genau dann, wenn S1, S2
S3 = det ( P2,P3,P4) sowie S3, S4 jeweils verschiedene Vorzeichen S4 = det ( P4,P1,P2) haben.
P2
P1
P3 P4
P2
P3
P4
P1g
g`
P2
P1
P3
P4
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53 53
Einfacher Segmentschnitt II
Wenn alle Determinanten gleich Null sind, dann folgt daraus, daß alle vier Punkte kollinear sind.
- eine Determinante ist Null:
=> Algorithmus: Einsparen von Multiplikationen