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Kompetenzen hinsichtlichder Methode derFallunterscheidungen
Franz Embacher
Fakultät für Mathematikder Universität Wien
Vortrag im Rahmen der 48. Jahrestagung der Gesellschaft der Didaktik der MathematikUniversität Koblenz-Landau, 14. März 2014
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Hintergrund
• Mathematik-Vorkurse im Sommer (2013) an der Fachhochschule Technikum Wien(http://www.technikum-wien.at/)
• Zu den Vorgaben der FH zählt das Thema Fallunterscheidungen, angewandt auf Bruch(un)gleichungen und Betragsgleichungen.
• Besondere Schwierigkeiten der Studierenden!
• Empirische Untersuchungen mit Studierenden der Universität Wien (Sommer 2013, WS 2013/24 + anschließende Untersuchung im WS 2013/14).
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1. Untersuchung (Sommer 2013, WS 2013/14)
5 Minuten Zeit
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1. Untersuchung: Musterlösung
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1. Untersuchung: Musterlösung
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1. Untersuchung: Musterlösung
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1. Untersuchung: Musterlösung
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1. Untersuchung: Musterlösung
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1. Untersuchung: Musterlösung
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1. Untersuchung: Musterlösung
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1. Untersuchung: Musterlösung
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1. Untersuchung: Musterlösung
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1. Untersuchung: Punkteschema
Punkteschema:
Punkte Beschreibung
0 keine adäquate Fallunterscheidung angesetzt
1 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, maximal 1 Fall ausgeführt, Fallbedingung nicht berücksichtigt
2 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen nicht berücksichtigt
3 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, 1 Fall ausgeführt, Fallbedingung berücksichtigt
4 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen berücksichtigt, Fälle nicht (korrekt) zu einer Gesamtlösung kombiniert .
5 Fallunterscheidungen richtig durchgeführt und (korrekt) zur Gesamtlösung kombiniert
Allfällige Rechenfehler bleiben, soweit eine Diagnose nach diesem Schema möglich ist, unberücksichtigt.
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1. Untersuchung: Studierendengruppen
• 73 TeilnehmerInnen am
Vorkurs Physik/Mathematik-Teil
der Fakultät für Physik im Sommer 2013,Physik-Studierende vor dem ersten Semester [9.9.2013].
• 25 TeilnehmerInnen am
Seminar zur Unterrichtsplanung
im Rahmen des Mathematik-Lehramtsstudiums, Studierende typischerweise im 5. – 9. Semester [2.10.2013].
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1. Untersuchung: Ergebnisse
0 1 2 3 4 5 und größer
0
10
20
30
40
50
60
70 65
2 2 21 1
Vorkurs Physik/Mathematik-TeilSommer 2013
Punktezahl
Häu
figke
it
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1. Untersuchung: Ergebnisse
0 1 2 3 4 5 und größer
0
2
4
6
8
10
12
5
4
11
0
23
Seminar zur UnterrichtsplanungWS 2013/14
Punktezahl
Häu
figke
it
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1. Untersuchung: Resümee
• Physik-Studierende vor dem ersten Semester: 1.4% lösten die Aufgabe korrekt und vollständig (5 Punkte) 89% erzielten 0 Punkte fast keine Erinnerungen an Fallunterscheidungenim Mathematikunterricht
• Mathematik-Lehramts-Studierende: 12% lösten die Aufgabe korrekt und vollständig (5 Punkte) 44% erzielten 2 Punkte („ adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen nicht berücksichtigt“) 20% erzielten 0 Punkte Schwierigkeit Fallbedingungen?
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2. Untersuchung (WS 2013/14)
Nachfolgeuntersuchung im Jänner 2014:
Krimi mit Fallunterscheidungen („Alltagssituation“) Zum Vergleich: Bruchungleichung mit Fallunterscheidungen
jeweils für die Hälfte der Studierenden.
Die Struktur der Argumentation war vorgegeben, es waren nur einige Kästchen auszufüllen.
10 Minuten Zeit
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2. Untersuchung: Krimi
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2. Untersuchung: Krimi
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2. Untersuchung: Krimi
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2. Untersuchung: Krimi
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2. Untersuchung: Krimi – Lösung
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2. Untersuchung: Krimi – Lösung
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2. Untersuchung: Bruchungleichung
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2. Untersuchung: Bruchungleichung
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2. Untersuchung: Bruchungleichung
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2. Untersuchung: Bruchungleichung – Lösung
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2. Untersuchung: Bruchungleichung – Lösung
![Page 30: Kompetenzen hinsichtlich der Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien Vortrag im Rahmen der 48. Jahrestagung](https://reader037.vdokument.com/reader037/viewer/2022103112/55204d7e49795902118ceb05/html5/thumbnails/30.jpg)
2. Untersuchung: Punkteschema
Punkteschema:
Punkte Beschreibung
0 keine Fallbedingung erkennbar berücksichtigt
1 1 Fallbedingung erkennbar berücksichtigt
2 2 Fallbedingungen erkennbar berücksichtigt
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2. Untersuchung: Studierendengruppen
• 23 TeilnehmerInnen an der Vorlesung
Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 2
im Rahmen des Physik-Lehrsmtsstudiums, Physik-Lehramts-Studierende, die nicht Mathematik-Lehramt studieren, im ersten Semester [13.2.2014].
• 20 TeilnehmerInnen am
Seminar zur Unterrichtsplanung
im Rahmen des Mathematik-Lehramtsstudiums, Studierende typischerweise im 5. – 9. Semester [22.1.2014].
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2. Untersuchung: ErgebnisseMathematische Grundlagen für das Physikstudium 2
0 1 2 und größer0123456789
10
VO G2 Häufigkeit Krimi
0 1 2 und größer0
0.51
1.52
2.53
3.54
4.55
VO G2 Häufigkeit Bruchungleichung
![Page 33: Kompetenzen hinsichtlich der Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien Vortrag im Rahmen der 48. Jahrestagung](https://reader037.vdokument.com/reader037/viewer/2022103112/55204d7e49795902118ceb05/html5/thumbnails/33.jpg)
2. Untersuchung: ErgebnisseMathematische Grundlagen für das Physikstudium 2
0 1 2 und größer0123456789
10
VO G2 Häufigkeit Krimi
0 1 2 und größer0
0.51
1.52
2.53
3.54
4.55
VO G2 Häufigkeit Bruchungleichung
Krimi: schlechtere Ergebnisse!
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2. Untersuchung: ErgebnisseSeminar zur Unterrichtsplanung
0 1 20
1
2
3
4
5
6
SE UP Häufigkeit Krimi
0 1 201234567
SE UP Häufigkeit Bruchungle-ichung
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2. Untersuchung: ErgebnisseSeminar zur Unterrichtsplanung
0 1 20
1
2
3
4
5
6
SE UP Häufigkeit Krimi
0 1 201234567
SE UP Häufigkeit Bruchungle-ichung
Krimi: schlechtere Ergebnisse!
![Page 36: Kompetenzen hinsichtlich der Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien Vortrag im Rahmen der 48. Jahrestagung](https://reader037.vdokument.com/reader037/viewer/2022103112/55204d7e49795902118ceb05/html5/thumbnails/36.jpg)
Mögliche Gründe
• Hauptproblem ist die nichttriviale Logik der Anwendung von Fallunterscheidungen für Bruchungleichungen (wohl auch für Betrags(un)gleichungen): Im Alltagsleben gibt es kaum Situationen, in denen die Gefahr besteht, die Fallbedingung zu vergessen! Die Krimi-Aufgabenstellung wurde als unnatürlich empfunden!
• Fallunterscheidungen spielen im Mathematikunterricht eine untergeordnete Rolle. Aus dem österreichischenAHS-Oberstufen-Lehrplan: „Arbeiten mit einfachen Ungleichungen (Abschätzungen, Umformungen, Fallunterscheidungen) “.
• Fallunterscheidungen werden als Spezialmethoden für Bruchungleichungen und Betrags(un)gleichungen betrachtet, nicht als Beispiele mathematischer Argumentation.
![Page 37: Kompetenzen hinsichtlich der Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien Vortrag im Rahmen der 48. Jahrestagung](https://reader037.vdokument.com/reader037/viewer/2022103112/55204d7e49795902118ceb05/html5/thumbnails/37.jpg)
Abhilfe?• Fallunterscheidungen verstärkt in den Mathematikunterricht
integrieren,• aber nicht beschränkt auf Bruch(un)gleichungen und
Betragsgleichungen! Beispiele:• Zahl der Lösungen einer quadratische Gleichung über den
reellen Zahlen (Fallunterscheidung nach dem Vorzeichender Diskriminante)
• Aussagen über Teilbarkeit, z.B.• Bei der Division einer Quadratzahl durch 3 ergibt sich als
Rest 0 oder 1, jedoch niemals 2.(n = k2, Fallunterscheidung nach dem Rest bei Division k:3)
• Für jede natürliche Zahl n ist 3n2 + n gerade.(Fallunterscheidung nach geradem/ungeradem n)
• …
![Page 38: Kompetenzen hinsichtlich der Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien Vortrag im Rahmen der 48. Jahrestagung](https://reader037.vdokument.com/reader037/viewer/2022103112/55204d7e49795902118ceb05/html5/thumbnails/38.jpg)
Danke für Ihre Aufmerksamkeit!
Diese Präsentationfinden sie am Web unter
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/MatheDidaktik/GDM2014/