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Lineare gemischte Modelle zur Schatzung vonstrukturiert additiven Regressionsmodellen
Thomas KneibInstitut fur Statistik, LMU Munchen
1. Strukturiert additive Regression
2. Modellkomponenten und Priori-Verteilungen
3. Reparametrisierung als lineares gemischtes Modell
4. Inferenz in linearen gemischten Modellen
5. Beispiel: Modellierung von Waldschaden
6. Vergleich mit MCMC-Verfahren
7. Erweiterungen I + II
12.05.2004
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Thomas Kneib Strukturiert additive Regression
Strukturiert additive Regression
• Generalisierte lineare Modelle:
E(yit|uit, γ) = µit = h(ηit) ηit = u′itγ
mit Regressionsparametern γ und Responsefunktion h.
• Probleme einer rein parametrischen Modellierung:
– nicht-lineare Effekte metrischer Kovariablen,
– zeitliche Korrelationen,
– raumliche Korrelationen,
– unbeobachtete Heterogenitat,
– komplexe Interaktionen zwischen Kovariablen.
=⇒ Strukturiert additive Regressionsmodelle
Lineare gemischte Modelle zur Schatzung von strukturiert additiven Regressionsmodellen 1
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Thomas Kneib Strukturiert additive Regression
• Idee: Ersetze den linearen Pradiktor durch einen flexiblen, semiparametrischenPradiktor.
• Raum-Zeit-Modell mit Haupteffekten
ηit = f1(xit1) + . . . + fl(xitl) + ftime(t) + fspat(si) + u′itγ
– f1, . . . , fl glatte Funktionen der metrischen Kovariablen x1, . . . , xl,
– ftime nichtlinearer Effekt der Zeit,
– fspat glatter raumlicher Effekt,
– u′γ ublicher parametrischer Teil des Pradiktors.
• Haufig ist es sinnvoll des zeitlichen Effekt aufzuspalten in Trend- und Saison-Komponente:
ftime(t) = ftrend(t) + fseason(t).
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Thomas Kneib Strukturiert additive Regression
• Analog lasst sich der raumliche Effekt in einen strukturierten und einenunstrukturierten Anteil zerlegen:
fspat(s) = fstr(s) + funstr(s).
• Erweiterungen des Haupteffekt-Modells
– Individuenspezifische Effekte:
ηit = f1(xit1) + . . . + u′γ + w′itbi
mit u.i.v. zufalligen Effekten bi.
– Modelle mit Interaktionen
ηit = . . . + ftime(t) + g(t)uit + . . .
ηit = . . . + f1(xit1) + f2(xit2) + f1|2(xit1, xit2) + . . .
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Thomas Kneib Strukturiert additive Regression
• Einheitliche Schreibweise
ηit = f1(zit1) + . . . + fp(zitp) + u′itγ
wobei
– f1, . . . , fp Funktionen verschiedenen Typs,
– z1, . . . , zp generische Kovariablen.
– Beispiele:
f(v) = f(x) v = x nonparametrische Funktion einer metrischenKovariablen
f(v) = fspat(s) v = s raumlicher Effekt
f(v) = g(x)u v = (x, u) Effekt mit variierenden Koeffizienten
f(v) = f(x1, x2) v = (x1, x2) Interaktionsoberflache
etc.
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Thomas Kneib Modellkomponenten und Priori-Verteilungen
Modellkomponenten und Priori-Verteilungen
• Alle Effekte konnen als Produkt einer Designmatrix Zj und eines Vektors vonRegressionsparametern βj beschrieben werden:
fj = Zjβj.
• Bayesianischer Ansatz: Priori-Verteilung fur βj.
• Allgemeine Form:
p(βj|τ2j ) ∝ exp
(− 1
2τ2j
β′jKjβj
)
wobei Kj eine Strafmatrix ist und τ2j ein Glattungsparameter.
• Verbindung zu penalisierter ML-Schatzung:
P (βj) = log[p(βj|τ2
j )]
= −12λjβ
′jKjβj, λj = 1/τ2
j
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Thomas Kneib Modellkomponenten und Priori-Verteilungen
Stetige Kovariablen und Zeitskalen
• Bayesianische P-Splines:
– Approximiere fj(xj) durch einen B-Spline mit großer Knotenzahl, d.h.
fj(xj) ≈∑m
βjmBm(xj).
– Die Designmatrix Zj enthalt die Auswertungen der Basisfunktionen an denbeobachteten Werten von xj.
– Random Walk-Priori fur die B-Spline-Koeffizienten βj, d.h.
βjm = βj,m−1 + ujm oder βjm = 2βj,m−1 − βj,m−2 + ujm
mit ujm ∼ N(0, τ2j ).
– Die Strafmatrix hat dann die Form Kj = D′D mit Differenzenmatrix D.
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Thomas Kneib Modellkomponenten und Priori-Verteilungen
• Random Walk-Prioris
– Popular zur Modellierung von Zeittrends.
– Konnen als P-Splines vom Grad 0 mit Knoten an allen verschiedenenBeobachtungswerten aufgefasst werden.
• Autoregressive Prioris
– Zur Modellierung flexibler Saisonkomponenten.
– Priori fur Saisonkomponente fseason(t) =: βt mit Periode per:
βt = −per−1∑
j=1
βt−j + ut
wobei ut ∼ N(0, τ2season).
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Thomas Kneib Modellkomponenten und Priori-Verteilungen
Raumliche Kovariablen
• Stationare Gauss-Felder
– Exakte raumliche Information s = (sx, sy).
– Annahme: fspat(s) folgt einem stationaren Gauss-Prozess mit
fspat(s) ∼ N(0, τ2spat)
und isotroper Korrelationsfunktion
C(s, s′) = C(||s− s′||).
– Die Strafmatrix K wird durch die Korrelationsfunktion bestimmt.
– Stationare Gauss-Felder konnen als Oberflachenschatzer mit speziellenBasisfunktionen betrachtet werden.
– Alternative: Zweidimensionale P-splines.
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Thomas Kneib Modellkomponenten und Priori-Verteilungen
• Markov Zufallsfelder
– Keine exakten Lokationen, sondern s ∈ {1, . . . , S} gibt Zugehorigkeit zu Regionenan.
– Definiere geeignete Nachbarschaften.
– Annahme: fspat(s) ist das gewichtete Mittel der Funktionswerte der benachbartenRegionen.
– Die Strafmatrix hat die Form einer Nachbarschaftsmatrix.
Zufallige Effekte
• Konnen verwendet werden zur Modellierung von
– unbeobachteter Heterogenitat zwischen Clustern,
– individuenspezifischen Effekten,
– unstrukturierten raumlichen Effekten.
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Thomas Kneib Modellkomponenten und Priori-Verteilungen
Interaktionen
• Variierende Koeffizienten
– Modellierung von Interaktionen der Form
f(z1, z2) = g(z1)z2
d.h. der Effekt von z2 variiert uber den Wertebereich von z1.
– Haufig ist z2 kategorial.
– g(z1) kann prinzipiell jede beliebige Funktion sein, z.B. ein P-Spline, eineSaisonkomponente, ein Markov-Zufallsfeld, . . .
• Oberflachenschatzer: Zweidimensionale P-Splines
– Verwende Tensorprodukte eindimensionaler B-Splines als Basisfunktionen.
– Definiere zweidimensionalen Random Walk als Priori fur die Koeffizienten.
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Thomas Kneib Reparametrisierung als lineares gemischtes Modell
Reparametrisierung als lineares gemischtes Modell
• Fur gegebene Glattungsparameter konnen die Regressionsparameter uber modifiziertesFisher-Scoring bestimmt werden.
• Problem: Wie bestimmt man die Glattungsparameter?
– Generalisierte Kreuzvalidierung,
– Voller Bayes-Ansatz mit MCMC-Verfahren,
– Verwendung von Methoden fur lineare gemischte Modelle.
• Ziel: Strukturiert additive Regressionsmodelle umschreiben zu linearen gemischtenModellen (genauer: zu Varianzkomponenten-Modellen).
• Jeder Parametervektor βj kann zerlegt werden in einen unpenalisierten Teil (mitflacher Priori) und einen penalisierten Teil (mit i.i.d. Normalverteilungspriori):
βj = Xunpj βunp
j + Xpenj βpen
j .
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Thomas Kneib Reparametrisierung als lineares gemischtes Modell
• Fall 1: Strafmatrix mit vollem Rang
– Kein unpenalisierter Anteil.
– Xpenj βpen
j = K−1/2j βpen
j , d.h. βpenj erhalt man durch Standardisierung von βj.
• Fall 2: Strafmatrix mit Rangabfall
– Xunpj enthalt eine Basis des Nullraums von Kj. (Was wird nicht von Kj
penalisiert?)
– Xpenj enthalt eine orthonormale Basis der Abweichungen von diesem Nullraum
(orthogonal zur Basis in Xunpj ).
• Die unpenalisierten Anteile von fj entsprechen der Funktionsschatzung fur λj →∞,z.B.
– einem Polynom vom Grad k − 1 fur P-splines mit RW-k Priori,
– einer starren Saisonkomponente fur einen flexiblen saisonalen Effekt,
– einem konstanten Effekt fur Markov Zufallsfelder.
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Thomas Kneib Reparametrisierung als lineares gemischtes Modell
• Aus der Zerlegung von βj folgt eine Zerlegung von fj:
fj = ZjXunpj βunp
j + ZjXpenj βpen
j
= Zunpj βunp
j + Zpenj βpen
j .
• Insgesamt erhalt man ein Varianzkomponenten-Modell mit
η = Xβunp + Pβpen
p(βunp) ∝ const βpen ∼ N(0, Λ)
Λ = blockdiag(τ21 I, . . . , τ2
pI).
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Thomas Kneib Inferenz in linearen gemischten Modellen
Inferenz in linearen gemischten Modellen
• Es werden abwechelnd neue Schatzungen fur die Regressionsparameter und dieVarianzparameter bestimmt.
• Neue Regressionsparameter erhalt man durch Losen des Gleichungssystems
(X ′WX X ′WPP ′WX P ′WP + Λ−1
)(βunp
βpen
)=
(X ′WyP ′Wy
)
mit den ublichen GLM-Gewichten W und Arbeitsbeobachtungen y.
• Varianzparameter werden durch Maximieren der marginalen Likelihood (RestrictedLikelihood) gewonnen:
L(Λ) =∫
L(βunp, βpen, Λ)p(βpen)dβpendβunp → maxΛ
.
• Man erhalt empirische Bayes-Schatzer / Posteriori-Modus-Schatzer.
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Thomas Kneib Beispiel: Modellierung von Waldschaden
Beispiel: Modellierung von Waldschaden
• Daten stammen aus jahrlichen Waldschadens-Beurteilungen in Nordbayern in denJahren 1983 bis 2001.
• 83 Beobachtungspunkte mit Buchen.
• yit Entlaubungsgrad von Baum i im Jahr t in drei geordneten Kategorien:
yit = 1 keine Entlaubung,yit = 2 25% Entlaubung oder weniger,yit = 3 mehr als 25% Entlaubung.
• Kovariablen:t Kalenderzeit,si Standort der Buche,ait Alter in Jahren,uit weitere (hauptsachlich kategoriale) Kovariablen.
• ηit = f1(t) + f2(ait) + f3(t, ait) + fspat(si) + u′itγ
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Thomas Kneib Beispiel: Modellierung von Waldschaden
calendar time1983 1989 1995 2001
0
.25
.5
.75
1
Abbildung 2: Raumliche Verteilung der Baume
und Anteil der Zeitpunkte zu denen ein Baum als
geschadigt eingestuft wurde.
Abbildung 1: Zeitliche Entwicklung des Anteils der
verschiedenen Schadigungsstufen .
— keine Schadigung,
- - - mittlere Schadigung,
· · · schwere Schadigung.
0.0 1.0
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Thomas Kneib Beispiel: Modellierung von Waldschaden
calendar time1983 1989 1995 2001
-2.5
0
2.5
Abbildung 3: Effekt der Kalenderzeit (Trend).
Abbildung 4: Alterseffekt.
age in years7 39 71 103 135 167 199 231
-6
-3
0
3
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Thomas Kneib Beispiel: Modellierung von Waldschaden
-2.0 0 2.0
Abbildung 5: Strukturierter raumlicher Effekt.
Abbildung 6: Unstrukturierter raumlicher Effekt.-2.0 0 2.0
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Thomas Kneib Beispiel: Modellierung von Waldschaden
1985
1990
1995
2000
calendar time
50
100
150
200
age of the tree
-1-0
.5 0
0.5
11.
5
Abbildung 7: Interaktionseffekt.
Tabelle 1: Klassifikationen mit und
ohne raumlichem Effekt .
yy 1 2 31 904 64 02 108 426 53 0 16 24
12.5%
yy 1 2 31 850 118 02 150 386 33 0 34 6
19.7%
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Thomas Kneib Vergleich mit MCMC-Verfahren
Vergleich mit MCMC-Verfahren
Nachteile:
D Nicht modular aufgebaut. Der numerische Aufwand wachst schnelleran.
D Kredibilitatsintervalle nur asymptotisch.
D Nur Plug-in Schatzungen fur Funktionale der Parameter.
D Schwieriger zu erweitern.
Vorteile:
U Keine Fragen nach Konvergenz und Mixing.
U Liefert etwas bessere Punktschatzungen.
U In einfachen Modellen wesentlich schneller.
U Bayesianische Betrachtungsweise ist nicht notwendig (?)
U Weniger Vorwissen zur statistischen Theorie notig (?)
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Thomas Kneib Erweiterungen I: Multikategorialer Response
Erweiterungen I: Multikategorialer Response
• Bereits entwickelt: Modelle fur ”einfache” multinomiale Logit-Modelle sowie ordinaleLogit- und Probit-Modelle.
• Mogliche Weiterentwicklungen:
– Multinomiale Probit-Modelle, insbesondere basierend auf korrelierten latentenVariablen.
– Kategorienspezifische Effekte bei nominalem Response.
– Kovariablenabhangige Schwellenwerte bei ordinalem Response.
• Probleme:
– Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten aus multivariaten Normalverteilungen.
– Identifizierbarkeit bei ordinalen Modellen.
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Thomas Kneib Erweiterungen II: Verweildaueranalyse
Erweiterungen II: Verweildaueranalyse
• Bereits entwickelt (nicht von uns): Nonparametrische Modellierung der Baseline-Hazardrate.
• Ziel: Erweiterung auf allgemeinen strukturiert additiven Pradiktor.
• Mogliche Methoden:
– Numerische Maximierung der marginalen Likelihood bezuglich denGlattungsparametern.
– Anpassung von Methoden fur Frailty-Modelle im Cox-Modell.
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