Lineare zeitinvariante analoge Systeme =gt Differentialgleichungen
Differenzengleichung (Beispiel)
R
Cx(t) y(t)
Lineare zeitinvariante diskrete Systeme =gt Differenzengleichungen
dy(t)dt asymp (1Ts)[y(nTs)-y((n-1)Ts)]
y[n] = b0x[n] - a1y[n-1]Ts
x[n] y[n]
-a1
b0
RC
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 1
b0 = Ts(Ts+τ) und a1 = b0-1
τmiddotdy(t)dt + y(t) = x(t)
Differenzengleichung
Nicht-rekursive Systeme (FIR-Transversalfilter)
Rekursive Systeme (IIR-Filter)
Ts Ts
b0 b1 bN
x[n]x[n-1] x[n-N]
y[n]
Ts
-a1
y[n-1]Ts
-aM -aM-1
y[n-M]
bN-1
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 2
Impulsantwort und Faltungssumme
LTD-System
n
δ[n]
1
h[n] (Impulsantwort)
n
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n k
Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] fuumlr beliebige Eingangsfolgen x[n]
x0[n] = x[0]middotδ[n] =gt y0[n] = x[0]middoth[n]
xk[n] = x[k]middotδ[n-k] =gt yk[n] = x[k]middoth[n-k]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k
y n x k h n k h k x n k
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 3
y[10]
Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091
Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5
RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = -1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 0
0 10 200
05
1h[
k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1y[
n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 12
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
Differenzengleichung
Nicht-rekursive Systeme (FIR-Transversalfilter)
Rekursive Systeme (IIR-Filter)
Ts Ts
b0 b1 bN
x[n]x[n-1] x[n-N]
y[n]
Ts
-a1
y[n-1]Ts
-aM -aM-1
y[n-M]
bN-1
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 2
Impulsantwort und Faltungssumme
LTD-System
n
δ[n]
1
h[n] (Impulsantwort)
n
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n k
Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] fuumlr beliebige Eingangsfolgen x[n]
x0[n] = x[0]middotδ[n] =gt y0[n] = x[0]middoth[n]
xk[n] = x[k]middotδ[n-k] =gt yk[n] = x[k]middoth[n-k]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k
y n x k h n k h k x n k
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 3
y[10]
Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091
Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5
RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = -1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 0
0 10 200
05
1h[
k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1y[
n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 12
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
Impulsantwort und Faltungssumme
LTD-System
n
δ[n]
1
h[n] (Impulsantwort)
n
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n k
Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] fuumlr beliebige Eingangsfolgen x[n]
x0[n] = x[0]middotδ[n] =gt y0[n] = x[0]middoth[n]
xk[n] = x[k]middotδ[n-k] =gt yk[n] = x[k]middoth[n-k]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k
y n x k h n k h k x n k
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 3
y[10]
Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091
Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5
RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = -1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 0
0 10 200
05
1h[
k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1y[
n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 12
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
y[10]
Faltung (Beispiel)Demo dsv1kap4_digisys_faltungschrittm DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 4
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung RC=1s fs=10 Hz b0 = 00909 und a1 = -09091
Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5
RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = -1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 0
0 10 200
05
1h[
k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1y[
n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 12
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
Faltung (Beispiel 2)Demo dsv1kap4_digisys_faltungm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 5
RC-Tiefpass-Approximation b0 = 02 und a1 = -08 Signal Saumlgezahnimpuls
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = -1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 0
0 10 200
05
1h[
k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 1
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1y[
n]
0 10 200
05
1
x[n]
diskrete Zeit n = 12
0 10 200
05
1
h[k]
0 10 200
05
1
x[n-
k]
0 10 200
05
1
y[n]
Bevor ein Signal x eintrifft (n lt 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System)Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen xFaltung = Signale spiegeln mit Impulsantwort multiplizieren Terme aufaddieren
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 6
H(f) Frequenzgang
H(f) = H(z=ej2πfTs)
Fourier-Transformierte von h[n]
Polarkoordinatendarstellung =gt
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
IH(f)I Amplitudengang
meistens in dB dh 20log10(IH(f)I)
gerade Funktion dh IH(f)I = IH(-f)I
φ(f) Phasengang
ungerade Funktion dh φ(f) = -φ(-f)
φ(f) = arctan( Im[H(f)] Re[H(f)] )
(f)jeH(f)H(f)
H(f)
Re[H(f)]
Im[H(f)]
IH(f)I
φ(f)
(-f)-jeH(-f)(-f)H
wenn h[n] reell
H(f) = H(-f)
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 7
IH(f0)Imiddotcos[2πf0middotnTs+φ(f0)]
= IH(f0)Imiddotcos[2πf0middot(nTs-Δ0)]
cos(2πf0middotnTs)
0
00 f2π
)(fΔ
H(f)
Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs
Linearer Phasengang
H(f) verzoumlgert alle Frequenzkomponenten um Δ=K2π
φ(f) = -Kf
wobei Zeitverzoumlgerung
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 8
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
z-TransformationDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 9
( ) [ ] snsT
n
X s x n e
ssTz e
( ) [ ] n
n
X z x n z
Laplace-Transformation von x[n]
Substitution
Definition z-Transformation
Eigenschaft Zeitverschiebung x[n-k] z-kmiddotX(z)
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
z-Transformation amp ImpulsantwortDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 10
Beispieln = -1 0 1 2 3 hellip
h[n] = 0 b0 -a1middotb0 a12middotb0 -a1
3middotb0 hellip
H(z) = 0middotz1 + b0middotz0 -a1middotb0middotz-1 +a12middotb0middotz-2 -a1
3middotb0middotz-3 hellip
-1 2 -2 00 1 1 -1
1
bH(z) = b (1 - a z + a z -+ ) =
1+a z
h[n] = b0 (-a1)n
Impulsantwort
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
Linearitaumlt ()
Zeitverschiebung ()
Faltung ()
Multiplikation mit Exponentialfolge
Multiplikation mit der Zeit
Anfangswerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Endwerttheorem fuumlr einseitige z-Trafo
Eigenschaften der z-Transformation
amiddotx1[n] + bmiddotx2[n] amiddotX1(z) + bmiddotX2(z)
x[n-k] z-kmiddotX(z)
x[n] h[n] X(z) middot H(z)
anmiddotx[n] X(za)
nmiddotx[n] -zmiddotdX(z)dz
)(lim]0[ zXxz
)()1(lim][lim1
zXznxzn
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 11
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
Frequenzgang eines LTD-SystemsDSV 1 200501 Rur Filterentwurf 12
H(z) Uumlbertragungsfunktion (UTF)
z-Transformierte der Impulsantwort h[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
z-Transformation - FouriertransformierteDSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 13
Fourier-Laplace-Transformation X(f) = X(s = j2πf)
Laplace-z-Transformation X(s) = X(z = esTs)
Fourier-z-Transformation X(f) = X(z = ej2πfTs)
Beispiel
Approximation RC-Tiefpass 1 Ordnung mit fg=100 Hz
fs= 10 kHz b0= 006 a1= -094
=gt sTf2πj1
0
ea1
bH(f)
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
DSV 1 200501 RurampHrt LTD-Systeme 14
z-Transformation der s-Ebene
ssTez Substitution
Imaginaumlre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet
Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet
s-Ebene
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)z-Ebene
j2πmiddotfs2
j2πmiddotfs
-j2πmiddotfs2
-j2πmiddotfs
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
PN-Darstellung der UTF
Nullstelle
3 Pole
P=ej2πfTs
fuumlr f=fs8
f = 0 f = fs2
s2
s1
s3
s4
x[n] K Ts Ts Ts
1 -1 1 -1
y[n]
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 15
NMM
1kk
N
1kk
0 z)p(z
)z(zbH(z)
s
s
Nj2πfT
kk 1M
j2πfTk
k 1
e zH(f) K
e p
Nullstellen der UTF
Pole der UTF Abstand Punkt P=ej2πfTs auf Einheitskreis zu Pol pk
Beispiel
+
H(z) = Kmiddot(z-1)middot(z+j)middot(z-j) z3 H(f=fs8) = Kmiddots1middots2middots3 s43
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
Vergleich Laplace- z- und Fourier-TrafoDemo dsv1kap4_digisys_vergleichm DSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 16
-2-1
01
-10
0
100
1
2
Re(s) =
kontinuierlich in der s-Ebene (Laplace) s = +j
Im(s) =
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang der imaginaumlren Achse (Fourier)
abs(
H)
-050
051
-1
0
10
1
Re(z)
zeitdiskret in der z-Ebene (z-Transformation) z = exp(sTs)
Im(z)
abs(
H)
-10 -5 0 5 100
05
1
15
2Amplitudengang entlang dem Einheistkreis (Fourier)
Ts
abs(
H)
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
Zusammenfassung LTD-Systeme
h[n]x[n]
Impulsantwort
k
k]x[nh[k]h[n]x[n]y[n]
Faltungssumme
Differenzengleichung
Y(f) = X(f)middotH(f)Y(z) = X(z)H(z)
n
ss
)nfH(fT
1H(f)
X(f)X(z)
1 N0 1 N
1 M1 M
b b z b zY(z)H(z) =
X(z) 1 a z a z
s-j2πf nT
n=-
H(f) = h[n] e
H(f) FrequenzgangH(z) Uumlbertragungsfunktion
lt=
H(f) = H(z=ej2πfTs)
DSV 1 200501 Rur LTD-Systeme 17
y[n]
M
1kk
N
0kk k]y[nak]x[nby[n]
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 18
Anwendungen
bull bull
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 19
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-
KorrelationDSV 1 200601 Hrt LTD-Systeme 20
- Folie 1
- Folie 2
- Folie 3
- Folie 4
- Folie 5
- Folie 6
- Folie 7
- Folie 8
- Folie 9
- Folie 10
- Folie 11
- Folie 12
- Folie 13
- Folie 14
- Folie 15
- Folie 16
- Folie 17
- Folie 18
- Folie 19
- Folie 20
-