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MagnetooszillationenShubnikov-de-Haas Oszillation
Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008
Gliederung:
1. Motivation2. Einführung3. Voraussetzungen4. Oszillation der Gesamtenergie5. Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH)6. De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA)7. Ausblick QHE8. Zusammenfassung
1. Motivation
SdH-Oszillation
2. Einführung Magnetooszillationen:
z.B. SdH: Widerstand xx oszilliert mit
dHvA: magnetisches Moment oszilliert mit
QHE: keine Oszillationen, sondern Peaks im Widerstand xx
B1
B1
Wichtig: Oszillation nicht mit B, sondern mit !!!B1
Grund: Gesamtenergie (Fermi-Energie) oszilliert mit
jede aus der Energie ableitbare Größe oszilliert ebenfalls !!
Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen aus diesen Effekten
B1
Elektron muss mindestens eine Kreisbahn vollenden (klassisch)
c
dazu benötigt man: - hohes B-Feld- lange Stoßzeit
- tiefe Temperaturen T
QM: scharfe Besetzung der Energieniveaus
e-
B
3. Voraussetzungen
1TkBc
QM :
e- durch Wellenfunktion beschrieben
„Enden“ der Wellenfunktion müssen „aufeinander“ passen
Semiklassísche Behandlung: Fläche und Radius der Bahn müssen quantisiert werden !!
4. Oszillation der Gesamtenergie
4.1 Bahnquantisierung im Ortsraum
Klassisch:
e- im B-Feld auf Kreisbahn
Hamiltonoperator:
Lösen der stationären Schrödingergleichung Energieeigenwerte En
Weg motiviert:
e-
.Beobachter .
Beobachter
2
ˆ21ˆ
A
cqp
mH
von 2 Seiten aus gesehen 2-dim harmonischer Oszillator in x-y Ebene
Energieeigenwerte bekannt:
Quantisierte Energieeigenwerte:
21nE cn
Landau-Niveaus
21nE cn B = 0:
mkE
2
22 B ≠ 0:
Umordnung der Zustände
Zustände bleiben aber erhalten !!
4.2 Semiklassischer Ansatz von Onsager & Lifschitz
Wie sehen die Elektronenbahnen aus?
kanon. Impuls:
Bohr-Sommerfeld-Quantisierung:
Kinetischer Term integriert:
Feldimpuls
Acqpp kinkan
2)( ndlpkanPhasenkorrektur
2
Kreisbahnder Fläche 2tSpatproduk
2)()(
cqdlrB
cqdlBr
cqkdldlpkin
Resultat:
Fluß in Einheiten von Tm2 quantisiert !!
Feldimpuls-Term integriert:
Insgesamt erhalten wir:
Quantisierung des magnetischen Flusses:
dfrotAAdlB
2)( ncqdlpkan
ehcnn )( 01 e
hcnn
Flußquantum
Zwischenergebnis:
Im Ortsraum quantisierte Bahnen
Bahn hat diskrete Fläche
Quantisierung des Flusses
Wie sieht quantisierte Bahn im k-Raum aus ?
4.3 Bahnquantisierung im k-Raum
Experimenteller Befund: - Bahn in Ortsraum ~ B
- Bahn in k-Raum ~
Transformationsvorschrift:
B1
LFBrqkF )( Integration
keB
r
Vorschrift für die Transformation der Länge eines Vektors vom Ortsraum in den k-Raum
Im k-Raum überstrichene Fläche:
Um welchen Betrag muss B zunehmen, dass 2 benachbarte Bahnen Sn-1 und Sn gleiche Flächen im k-Raum umschließen?
nn AeBS2
Fläche im k-Raum Fläche im Ortsraum
ce
BBS
B
nn
211
1
1
Gleiche Zunahmen von
Identische Bahnen im k-RaumB1
Merke:
Im Ortsraum quantisierte Bahnen ~ B
Im k-Raum quantisierte Bahnen ~
Physikalische Eigenschaften oszillieren mit
Wie wirkt sich das auf die Gesamtenergie des Systems aus?
B1
B1
4.4 Umverteilung der Zustände im k-Raum B = 0:
- diskrete Punkte
- Energieeigenwerte:
- 1 Zustand hat Fläche :
Dichte der Punkte:
)(22
22222
yxn kkmm
kE
22
L
2
2
L
durch 2 Quantenzahlen bestimmt!
B ≠ 0: (hohes B-Feld)
- diskrete Landau-Zylinder (3-dim)diskrete Landau-Kreise (2-dim)
- Energieeigenwerte:
21nE cn
nur noch durch eine Quantenzahl bestimmt!
Umverteilung:
zu festem n:
kx2 + ky
2 = const
Zustände bleiben erhalten
Zahl der Zustände pro Quantenzahl n = Entartung:
BLSD
2
2 0
2
Lmit
4.5 Oszillation der Gesamtenergie (qualitativ)
B = 0 B = B1 ≠ 0Zustände bis EF besetzt
Energie erhöht um ins Niveau zu kommen
Energie erniedrigt um ins Niveau zu kommen
EF(B = 0) EF(B = B1)=Gesamtenergie bleibt gleich !!
B-Feld steigt an Abstand der Landau-Niveaus wird größer
B = 0 B ≠ 0 = B2 > B1
Keine Zustände, die Energie erniedrigt haben !!!
EF( B = 0) EF( B = B2)<Gesamtenergie erhöht !!!
B = 0 B ≠ 0 = B3 > B2
Nur noch 2 Landau-Niveaus besetzt
EF( B = 0) EF( B = B3)=Gesamtenergie bleibt gleich !!!
Gesamtenergie oszilliert als Funktion von B !!
Teilweise besetzte Niveaus
vollständig besetzte Niveaus
4.6 Oszillation der Gesamtenergie (quantitativ)
Feld B0: s Landau-Niveaus besetzt; Niveau s+1 teilweise besetzt EF liegt in Niveau s+1
B > B0: Entartung nimmt in den Niveaus s zu aus Niveau s+1 wandern Zustände in niedrigere Niveaus s wenn Niveau s+1 leer EF springt ins Niveau s !
bei bestimmten kritischen Feldern springt EF ins niedrigere Niveau !
- „kritische“ Felder, an denen EF springt:
- Gesamtenergie für Feld B:
NBsNDs sNB
Zahl der besetzten Niveaus
Entartung
Gesamtzahl der e-
Niveausbesetzten iseder teilwe EnergieNiveaus-Landau
besetzten der voll Energie
1 21
21 sDNsnDE c
s
nc
B1
B1
Voll besetzte LN
teilweise besetzte LN
Nur voll besetzte Niveaus
Minimum der Gesamtenergie
Gesamtenergie oszilliert mit
damit oszilliert jede aus der Energie ableitbare thermodyn.
Größe auch mit
B1
B1
5. Shubnikov-de-Haas Effekt
Gesamtenergie oszilliert mit
Zustandsdichte oszilliert ebenfalls
elektrische Leitfähigkeit hängt ab von Zustandsdichte an Fermienergie bzw. Widerstand hängt ab von Streuprozessen nahe Fermienergie
Streuprozesse finden statt, falls Fermienergie in Landau-Niveau liegt
Widerstand oszilliert mit :
B1
B1
ssEssA
sABc
F
csxx
2cosexp
)sinh(411)(
10mit
c
skTA
22
Starke Näherung: nur (s = 1)-Term
cc
Fxx
EB
1exp212cos21)(
Oszillation des Widerstandes xx ~1/B
Dämpfungsterm
Die Oszillationen sind demnach periodisch mit 1/B, ihre Amplitude wird für kleiner werdendes B-Feld exponentiell gedämpft !!!
Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen:
aus Messungen der Oszillationen des Widerstandes mit (1/B) kann man die Extremalfläche S (Fermifläche) bestimmen:
Rekonstruktion der Fermiflächen möglich !
Sce
B121
6. De-Haas-van-Alphen Effekt
Gesamtenergie oszilliert mit 1/B
magnetisches Moment oszilliert ebenfalls mit 1/B, da:
BE
7. Ausblick QHE
8. Zusammenfassung
- semiklassische Betrachtung: Bahn-Quantisierung im Ortsraum (2-dim. harmonischer Oszillator)
- Landau-Niveaus
- Fluss hat quantisierte Einheit (hc/e)
- entsprechende Bahn-Quantisierung im k-Raum, d.h. Umordnung der Zustände auf Landau-Zylinder
- mit steigendem B-Feld wird die Entartung größer
- Gesamtenergie oszilliert mit 1/B
- dann oszilliert auch jede aus der Energie ableitbare Größe mit 1/Bz.B. SDH-Effekt: Widerstand oszilliert mit 1/B dHvA-Effekt. Magnetische Moment oszilliert mit 1/B
21nE cn