![Page 1: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/1.jpg)
KomplexitatstheorieReduktionsmethode,
erste NP-vollstandige Probleme
Martin Dietzfelbinger
11.+18.+25. Mai 2009
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009
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Kapitel 2
Grundlegende NP-vollstandigeProbleme
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 1
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2.1 Das Cliquenproblem und seine Verwandten
4
2 3
1
5
6 7
Graph mit (maximal großer) Clique.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 2
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MaxClique: Gegeben ein ungerichteter Graph G = (V,E),
finde eine Clique V ′ in G mit moglichst vielen Knoten.
Ein Optimierungsproblem.
Zugehoriges Entscheidungsproblem: Clique:
Gegeben ein ungerichteter Graph G = (V,E) und eine Zahl
k ≥ 1.
Frage: gibt es eine Clique V ′ in G mit (mindestens) k Knoten?
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 3
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Satz 2.1.1
Clique ist NP-vollstandig.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 4
![Page 6: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/6.jpg)
Satz 2.1.1
Clique ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) Clique ∈ NP:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 4
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Satz 2.1.1
Clique ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) Clique ∈ NP: schon gesehen.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 4
![Page 8: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/8.jpg)
Satz 2.1.1
Clique ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) Clique ∈ NP: schon gesehen.
(ii) Mit Reduktionsmethode.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 4
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Satz 2.1.1
Clique ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) Clique ∈ NP: schon gesehen.
(ii) Mit Reduktionsmethode.
Behauptung: 3-Sat ≤p Clique.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 4
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Mussen: Funktion f definieren
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
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Mussen: Funktion f definieren
f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
![Page 12: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/12.jpg)
Mussen: Funktion f definieren
f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)
ϕ: 3-KNF-Formel
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
![Page 13: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/13.jpg)
Mussen: Funktion f definieren
f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)
ϕ: 3-KNF-Formel
Gϕ Graph,
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
![Page 14: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/14.jpg)
Mussen: Funktion f definieren
f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)
ϕ: 3-KNF-Formel
Gϕ Graph, kϕ ∈ N
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
![Page 15: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/15.jpg)
Mussen: Funktion f definieren
f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)
ϕ: 3-KNF-Formel
Gϕ Graph, kϕ ∈ N mit
• f polynomialzeitberechenbar,
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
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Mussen: Funktion f definieren
f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)
ϕ: 3-KNF-Formel
Gϕ Graph, kϕ ∈ N mit
• f polynomialzeitberechenbar, und
• Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
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Mussen: Funktion f definieren
f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)
ϕ: 3-KNF-Formel
Gϕ Graph, kϕ ∈ N mit
• f polynomialzeitberechenbar, und
• Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:
ϕ ∈ 3-Sat
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
![Page 18: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/18.jpg)
Mussen: Funktion f definieren
f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)
ϕ: 3-KNF-Formel
Gϕ Graph, kϕ ∈ N mit
• f polynomialzeitberechenbar, und
• Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:
ϕ ∈ 3-Sat ⇔
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
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Mussen: Funktion f definieren
f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)
ϕ: 3-KNF-Formel
Gϕ Graph, kϕ ∈ N mit
• f polynomialzeitberechenbar, und
• Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:
ϕ ∈ 3-Sat ⇔ f(ϕ) = (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
![Page 20: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/20.jpg)
Mussen: Funktion f definieren
f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)
ϕ: 3-KNF-Formel
Gϕ Graph, kϕ ∈ N mit
• f polynomialzeitberechenbar, und
• Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:
ϕ ∈ 3-Sat ⇔ f(ϕ) = (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
(Syntaxcheck: f(x) = 0 falls x keine 3-KNF-Formel.)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 5
![Page 21: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/21.jpg)
Beispiel :
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 6
![Page 22: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/22.jpg)
Beispiel :
ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 6
![Page 23: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/23.jpg)
Beispiel :
ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).
Gϕ:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 6
![Page 24: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/24.jpg)
Beispiel :
ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).
Gϕ:
u
11 21 31
3212
13
23
33
u uu
uu
u
u
u
22
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 6
![Page 25: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/25.jpg)
Beispiel :
ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).
Gϕ:
u
11 21 31
3212
13
23
33
u uu
uu
u
u
u
22
kϕ := 3 (Anzahl der Klauseln)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 6
![Page 26: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/26.jpg)
Formal : Gegeben
ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 7
![Page 27: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/27.jpg)
Formal : Gegeben
ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr
mit
Cj = (lj1 ∨ lj2 ∨ lj3), 1 ≤ j ≤ r.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 7
![Page 28: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/28.jpg)
Formal : Gegeben
ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr
mit
Cj = (lj1 ∨ lj2 ∨ lj3), 1 ≤ j ≤ r.
Graph Gϕ hat 3r Knoten
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 7
![Page 29: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/29.jpg)
Formal : Gegeben
ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr
mit
Cj = (lj1 ∨ lj2 ∨ lj3), 1 ≤ j ≤ r.
Graph Gϕ hat 3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 7
![Page 30: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/30.jpg)
Formal : Gegeben
ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr
mit
Cj = (lj1 ∨ lj2 ∨ lj3), 1 ≤ j ≤ r.
Graph Gϕ hat 3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Ein Knoten fur jede Literal-Position in ϕ.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 7
![Page 31: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/31.jpg)
Formal : Gegeben
ϕ = C1 ∧ · · · ∧ Cr
mit
Cj = (lj1 ∨ lj2 ∨ lj3), 1 ≤ j ≤ r.
Graph Gϕ hat 3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Ein Knoten fur jede Literal-Position in ϕ.
kϕ = r.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 7
![Page 32: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/32.jpg)
3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
![Page 33: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/33.jpg)
3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
![Page 34: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/34.jpg)
3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten (= Klauseln)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
![Page 35: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/35.jpg)
3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten (= Klauseln) mit je 3 Knoten.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
![Page 36: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/36.jpg)
3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten (= Klauseln) mit je 3 Knoten.
Kanten Eϕ:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
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3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten (= Klauseln) mit je 3 Knoten.
Kanten Eϕ:
Keine Kante innerhalb einer Spalte.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
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3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten (= Klauseln) mit je 3 Knoten.
Kanten Eϕ:
Keine Kante innerhalb einer Spalte.
j 6= j′:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
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3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten (= Klauseln) mit je 3 Knoten.
Kanten Eϕ:
Keine Kante innerhalb einer Spalte.
j 6= j′: Kante zwischen ujs und uj′s′
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
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3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten (= Klauseln) mit je 3 Knoten.
Kanten Eϕ:
Keine Kante innerhalb einer Spalte.
j 6= j′: Kante zwischen ujs und uj′s′
existiert genau dann wenn
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
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3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten (= Klauseln) mit je 3 Knoten.
Kanten Eϕ:
Keine Kante innerhalb einer Spalte.
j 6= j′: Kante zwischen ujs und uj′s′
existiert genau dann wenn
nicht ljs und lj′s′ entgegengesetzte Literale sind.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
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3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten (= Klauseln) mit je 3 Knoten.
Kanten Eϕ:
Keine Kante innerhalb einer Spalte.
j 6= j′: Kante zwischen ujs und uj′s′
existiert genau dann wenn
nicht ljs und lj′s′ entgegengesetzte Literale sind.
(Entgegengesetzt sind z.B. X3 und X3.)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
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3r Knoten
uj1, uj2, uj3, 1 ≤ j ≤ r.
Anordnung in r Spalten (= Klauseln) mit je 3 Knoten.
Kanten Eϕ:
Keine Kante innerhalb einer Spalte.
j 6= j′: Kante zwischen ujs und uj′s′
existiert genau dann wenn
nicht ljs und lj′s′ entgegengesetzte Literale sind.
(Entgegengesetzt sind z.B. X3 und X3.)
Die im Bild eingetragenen Literale sind nicht Teil des Graphen
Gϕ; sie dienen nur zur Orientierung.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 8
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Beispiel :
ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).
Gϕ:u u
u
uu
u
u
u
X
u
1
X1
X1
X2
X2
X3X4
X4
X222
11 21 31
3212
13
23
33
kϕ = 3
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 9
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Beispiel :
ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).
Gϕ:
u
11 21 31
3212
13
23
33
u uu
uu
u
u
u
22
kϕ = 3
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 10
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Nicht schwer zu sehen:
Die Funktion f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)ist in polynomieller Zeit berechenbar.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 11
![Page 47: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/47.jpg)
Nicht schwer zu sehen:
Die Funktion f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)ist in polynomieller Zeit berechenbar.
Behauptung:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 11
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Nicht schwer zu sehen:
Die Funktion f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)ist in polynomieller Zeit berechenbar.
Behauptung: Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 11
![Page 49: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/49.jpg)
Nicht schwer zu sehen:
Die Funktion f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)ist in polynomieller Zeit berechenbar.
Behauptung: Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:
ϕ ∈ 3-Sat⇔ f(ϕ) ∈ Clique,
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 11
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Nicht schwer zu sehen:
Die Funktion f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)ist in polynomieller Zeit berechenbar.
Behauptung: Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:
ϕ ∈ 3-Sat⇔ f(ϕ) ∈ Clique,
das heißt:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 11
![Page 51: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/51.jpg)
Nicht schwer zu sehen:
Die Funktion f : ϕ 7→ (Gϕ, kϕ)ist in polynomieller Zeit berechenbar.
Behauptung: Fur jede 3-KNF-Formel ϕ gilt:
ϕ ∈ 3-Sat⇔ f(ϕ) ∈ Clique,
das heißt:
ϕ ist erfullbar ⇔ Gϕ hat Clique der Große kϕ.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 11
![Page 52: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/52.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 12
![Page 53: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/53.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇒“:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 12
![Page 54: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/54.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇒“: Gegeben: Belegung v mit v(ϕ) = 1.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 12
![Page 55: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/55.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇒“: Gegeben: Belegung v mit v(ϕ) = 1.
Beispiel : v(X1) = v(X2) = v(X3) = v(X4) = 1.
u
X
u
1
X1
X1
X2
X2
X3X4
X4
X222
11 21 31
3212
13
23
33
u uu
uu
u
u
In jeder Spalte gibt es ein wahres Literal.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 12
![Page 56: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/56.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇒“: Gegeben: Belegung v mit v(ϕ) = 1.
Beispiel : v(X1) = v(X2) = v(X3) = v(X4) = 1.
u
X
u
1
X1
X1
X2
X2
X3X4
X4
X222
11 21 31
3212
13
23
33
u uu
uu
u
u
In jeder Spalte gibt es ein wahres Literal. Keine Clique!
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 12
![Page 57: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/57.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇒“: Gegeben: Belegung v mit v(ϕ) = 1.
Beispiel : v(X1) = v(X2) = v(X3) = v(X4) = 1.
uu
u
u
X
u
1
X1
X1
X2
X3X4
X4
X222
X2
11 21 31
3212
13
23
33
u uu
u
Aus jeder Spalte ein wahres Literal wahlen! → Clique.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 13
![Page 58: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/58.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 59: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/59.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sj
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 60: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/60.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj
) = 1.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 61: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/61.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj
) = 1.
Dann ist
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 62: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/62.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj
) = 1.
Dann ist
V ′
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 63: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/63.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj
) = 1.
Dann ist
V ′ := {uj,sj|
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 64: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/64.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj
) = 1.
Dann ist
V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 65: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/65.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj
) = 1.
Dann ist
V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}
eine Clique in Gϕ mit r Knoten.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 66: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/66.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj
) = 1.
Dann ist
V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}
eine Clique in Gϕ mit r Knoten.
Denn:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 67: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/67.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj
) = 1.
Dann ist
V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}
eine Clique in Gϕ mit r Knoten.
Denn: lj,sjund lj′,s
j′haben unter v den Wert 1
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 68: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/68.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj
) = 1.
Dann ist
V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}
eine Clique in Gϕ mit r Knoten.
Denn: lj,sjund lj′,s
j′haben unter v den Wert 1
⇒ konnen nicht entgegengesetzte Literale sein
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 69: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/69.jpg)
Allgemein:
In jeder Klausel Cj gibt es ein Literal lj,sjmit v(lj,sj
) = 1.
Dann ist
V ′ := {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}
eine Clique in Gϕ mit r Knoten.
Denn: lj,sjund lj′,s
j′haben unter v den Wert 1
⇒ konnen nicht entgegengesetzte Literale sein
⇒ (uj,sj, uj′,s
j′) ∈ Eϕ.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 14
![Page 70: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/70.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 15
![Page 71: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/71.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 15
![Page 72: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/72.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 15
![Page 73: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/73.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten. Beispiel :
u
u
u
X
u
1
X1
X1
X2
X2
X3X4
X4
X222
11 21 31
3212
13
23
33
u uu
uu
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 15
![Page 74: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/74.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten. Beispiel :
u
u
u
X
u
1
X1
X1
X2
X2
X3X4
X4
X222
11 21 31
3212
13
23
33
u uu
uu
Definiere Belegung: v(X3) = v(X4) = 1, die anderen auf 0.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 15
![Page 75: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/75.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten. Beispiel :
u
u
u
X
u
1
X1
X1
X2
X2
X3X4
X4
X222
11 21 31
3212
13
23
33
u uu
uu
Definiere Belegung: v(X3) = v(X4) = 1, die anderen auf 0.
Erfullend fur
ϕ = (X1 ∨X2 ∨X4) ∧ (X2 ∨X1 ∨X3) ∧ (X1 ∨X2 ∨X4).
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 15
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Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 16
![Page 77: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/77.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten.
⇒ r Knoten liegen in verschiedenen Spalten
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 16
![Page 78: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/78.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten.
⇒ r Knoten liegen in verschiedenen Spalten
⇒ fur jedes j gibt es genau ein sj ∈ {1, 2, 3},
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 16
![Page 79: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/79.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten.
⇒ r Knoten liegen in verschiedenen Spalten
⇒ fur jedes j gibt es genau ein sj ∈ {1, 2, 3}, so dass
V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 16
![Page 80: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/80.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten.
⇒ r Knoten liegen in verschiedenen Spalten
⇒ fur jedes j gibt es genau ein sj ∈ {1, 2, 3}, so dass
V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.
Definiere Belegung:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 16
![Page 81: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/81.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten.
⇒ r Knoten liegen in verschiedenen Spalten
⇒ fur jedes j gibt es genau ein sj ∈ {1, 2, 3}, so dass
V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.
Definiere Belegung:
v(Xi) :=
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 16
![Page 82: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/82.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten.
⇒ r Knoten liegen in verschiedenen Spalten
⇒ fur jedes j gibt es genau ein sj ∈ {1, 2, 3}, so dass
V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.
Definiere Belegung:
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 16
![Page 83: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/83.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten.
⇒ r Knoten liegen in verschiedenen Spalten
⇒ fur jedes j gibt es genau ein sj ∈ {1, 2, 3}, so dass
V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.
Definiere Belegung:
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 16
![Page 84: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/84.jpg)
Zu zeigen: ϕ ist erfullbar ⇔ (Gϕ, kϕ) ∈ Clique.
”⇐“: Gegeben: Clique V ′ in Gϕ mit r Knoten.
⇒ r Knoten liegen in verschiedenen Spalten
⇒ fur jedes j gibt es genau ein sj ∈ {1, 2, 3}, so dass
V ′ = {uj,sj| 1 ≤ j ≤ r}.
Definiere Belegung:
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 16
![Page 85: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/85.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
�
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 86: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/86.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
1. Fall: lj,sj= Xi.
�
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 87: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/87.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
1. Fall: lj,sj= Xi.
Dann v(Xi) = 1,
�
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 88: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/88.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
1. Fall: lj,sj= Xi.
Dann v(Xi) = 1, also v(Cj) = 1.
�
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 89: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/89.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
1. Fall: lj,sj= Xi.
Dann v(Xi) = 1, also v(Cj) = 1.
2. Fall: lj,sj= Xi.
�
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 90: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/90.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
1. Fall: lj,sj= Xi.
Dann v(Xi) = 1, also v(Cj) = 1.
2. Fall: lj,sj= Xi.
Dann kann nicht v(Xi) = 1 sein.
�
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 91: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/91.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
1. Fall: lj,sj= Xi.
Dann v(Xi) = 1, also v(Cj) = 1.
2. Fall: lj,sj= Xi.
Dann kann nicht v(Xi) = 1 sein.
Sonst ware lj′,sj′
= Xi fur einen Knoten uj′,sj′
in Clique V ′.
�
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 92: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/92.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
1. Fall: lj,sj= Xi.
Dann v(Xi) = 1, also v(Cj) = 1.
2. Fall: lj,sj= Xi.
Dann kann nicht v(Xi) = 1 sein.
Sonst ware lj′,sj′
= Xi fur einen Knoten uj′,sj′
in Clique V ′.
Das ist unmoglich, weil
�
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 93: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/93.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
1. Fall: lj,sj= Xi.
Dann v(Xi) = 1, also v(Cj) = 1.
2. Fall: lj,sj= Xi.
Dann kann nicht v(Xi) = 1 sein.
Sonst ware lj′,sj′
= Xi fur einen Knoten uj′,sj′
in Clique V ′.
Das ist unmoglich, weil (uj,sj, uj′,s
j′) keine Kante in Eϕ ist.
�
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 94: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/94.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
1. Fall: lj,sj= Xi.
Dann v(Xi) = 1, also v(Cj) = 1.
2. Fall: lj,sj= Xi.
Dann kann nicht v(Xi) = 1 sein.
Sonst ware lj′,sj′
= Xi fur einen Knoten uj′,sj′
in Clique V ′.
Das ist unmoglich, weil (uj,sj, uj′,s
j′) keine Kante in Eϕ ist.
Also v(Xi) = 0 und v(lj,sj) = 1; �
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 95: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/95.jpg)
v(Xi) :=
{1 falls Xi = lj,sj
fur ein j,
0 sonst.
Sei nun j beliebig, 1 ≤ j ≤ r.
1. Fall: lj,sj= Xi.
Dann v(Xi) = 1, also v(Cj) = 1.
2. Fall: lj,sj= Xi.
Dann kann nicht v(Xi) = 1 sein.
Sonst ware lj′,sj′
= Xi fur einen Knoten uj′,sj′
in Clique V ′.
Das ist unmoglich, weil (uj,sj, uj′,s
j′) keine Kante in Eϕ ist.
Also v(Xi) = 0 und v(lj,sj) = 1; also v(Cj) = 1. �
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 17
![Page 96: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/96.jpg)
”Unabhangige Menge“/
”Independent Set“:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 18
![Page 97: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/97.jpg)
”Unabhangige Menge“/
”Independent Set“:
G=
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 18
![Page 98: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/98.jpg)
”Unabhangige Menge“/
”Independent Set“:
G=
Definition
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 18
![Page 99: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/99.jpg)
”Unabhangige Menge“/
”Independent Set“:
G=
Definition
G = (V,E) sei ein Graph.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 18
![Page 100: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/100.jpg)
”Unabhangige Menge“/
”Independent Set“:
G=
Definition
G = (V,E) sei ein Graph.
V ′ ⊆ V heißt unabhangig
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 18
![Page 101: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/101.jpg)
”Unabhangige Menge“/
”Independent Set“:
G=
Definition
G = (V,E) sei ein Graph.
V ′ ⊆ V heißt unabhangig(auch
”stabil“, engl.
”independent set“) in G,
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 18
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”Unabhangige Menge“/
”Independent Set“:
G=
Definition
G = (V,E) sei ein Graph.
V ′ ⊆ V heißt unabhangig(auch
”stabil“, engl.
”independent set“) in G,
wenn es innerhalb von V ′ keine Kante gibt.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 18
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Das Independent-Set-Problem: Ein Maximierungsproblem.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 19
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Das Independent-Set-Problem: Ein Maximierungsproblem.
MaxIS: Gegeben Graph G = (V,E),
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 19
![Page 105: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/105.jpg)
Das Independent-Set-Problem: Ein Maximierungsproblem.
MaxIS: Gegeben Graph G = (V,E),
finde unabhangige Menge V ′ ⊆ V
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 19
![Page 106: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/106.jpg)
Das Independent-Set-Problem: Ein Maximierungsproblem.
MaxIS: Gegeben Graph G = (V,E),
finde unabhangige Menge V ′ ⊆ V mit |V ′| moglichst groß.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 19
![Page 107: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/107.jpg)
Das Independent-Set-Problem: Ein Maximierungsproblem.
MaxIS: Gegeben Graph G = (V,E),
finde unabhangige Menge V ′ ⊆ V mit |V ′| moglichst groß.
Im Beispiel
G=
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 19
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Das Independent-Set-Problem: Ein Maximierungsproblem.
MaxIS: Gegeben Graph G = (V,E),
finde unabhangige Menge V ′ ⊆ V mit |V ′| moglichst groß.
Im Beispiel
G=
ist 2 großtmoglich.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 19
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Das Independent-Set-Problem: Ein Maximierungsproblem.
MaxIS: Gegeben Graph G = (V,E),
finde unabhangige Menge V ′ ⊆ V mit |V ′| moglichst groß.
Im Beispiel
G=
ist 2 großtmoglich.
Entscheidungsvariante IS:
Gegeben Graph G = (V,E) und Zahl 1 ≤ k ≤ |V |.Frage: gibt es in G eine unabhangige Menge mit ≥ k Knoten?
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 19
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Formalisierung:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 20
![Page 111: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/111.jpg)
Formalisierung:
IS
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 20
![Page 112: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/112.jpg)
Formalisierung:
IS :={
(G, k) | G = (V,E) Graph, 1 ≤ k ≤ m;
es gibt V ′ ⊆ V mit |V ′| ≥ k
und ∀v, w ∈ V ′ : v 6= w ⇒ (v, w) /∈ E}
.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 20
![Page 113: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/113.jpg)
Formalisierung:
IS :={
(G, k) | G = (V,E) Graph, 1 ≤ k ≤ m;
es gibt V ′ ⊆ V mit |V ′| ≥ k
und ∀v, w ∈ V ′ : v 6= w ⇒ (v, w) /∈ E}
.
Satz 2.1.2
IS ist NP-vollstandig.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 20
![Page 114: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/114.jpg)
Formalisierung:
IS :={
(G, k) | G = (V,E) Graph, 1 ≤ k ≤ m;
es gibt V ′ ⊆ V mit |V ′| ≥ k
und ∀v, w ∈ V ′ : v 6= w ⇒ (v, w) /∈ E}
.
Satz 2.1.2
IS ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) IS ∈ NP: Wie ublich fur Entscheidungsvarianten
von NP-Optimierungsproblemen, wie bei Clique.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 20
![Page 115: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/115.jpg)
Satz 2.1.2
IS ist NP-vollstandig.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 21
![Page 116: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/116.jpg)
Satz 2.1.2
IS ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) IS ist NP-schwer. Reduktionsmethode!
Wir zeigen: Clique ≤p IS.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 21
![Page 117: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/117.jpg)
Satz 2.1.2
IS ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) IS ist NP-schwer. Reduktionsmethode!
Wir zeigen: Clique ≤p IS.
G= G=
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 21
![Page 118: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/118.jpg)
Satz 2.1.2
IS ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) IS ist NP-schwer. Reduktionsmethode!
Wir zeigen: Clique ≤p IS.
G= G=
”Komplementgraph“ G = (V,E) zu G = (V,E):
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 21
![Page 119: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/119.jpg)
Satz 2.1.2
IS ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) IS ist NP-schwer. Reduktionsmethode!
Wir zeigen: Clique ≤p IS.
G= G=
”Komplementgraph“ G = (V,E) zu G = (V,E):
(v, w) ∈ E ⇔ (v, w) /∈ E
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 21
![Page 120: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/120.jpg)
G= G=
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
![Page 121: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/121.jpg)
G= G=
Klar: V ′ Clique in G ⇔ V ′ unabhangig in G
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
![Page 122: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/122.jpg)
G= G=
Klar: V ′ Clique in G ⇔ V ′ unabhangig in G
Reduktionsfunktion: f : (G, k) 7→ (G, k)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
![Page 123: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/123.jpg)
G= G=
Klar: V ′ Clique in G ⇔ V ′ unabhangig in G
Reduktionsfunktion: f : (G, k) 7→ (G, k)
(Inputs w, die nicht die Form (G, k) haben,
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
![Page 124: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/124.jpg)
G= G=
Klar: V ′ Clique in G ⇔ V ′ unabhangig in G
Reduktionsfunktion: f : (G, k) 7→ (G, k)
(Inputs w, die nicht die Form (G, k) haben, werden von f
z.B. auf 0 abgebildet.)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
![Page 125: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/125.jpg)
G= G=
Klar: V ′ Clique in G ⇔ V ′ unabhangig in G
Reduktionsfunktion: f : (G, k) 7→ (G, k)
(Inputs w, die nicht die Form (G, k) haben, werden von f
z.B. auf 0 abgebildet.) – Leicht: f ∈ FP.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
![Page 126: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/126.jpg)
G= G=
Klar: V ′ Clique in G ⇔ V ′ unabhangig in G
Reduktionsfunktion: f : (G, k) 7→ (G, k)
(Inputs w, die nicht die Form (G, k) haben, werden von f
z.B. auf 0 abgebildet.) – Leicht: f ∈ FP.
Und:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
![Page 127: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/127.jpg)
G= G=
Klar: V ′ Clique in G ⇔ V ′ unabhangig in G
Reduktionsfunktion: f : (G, k) 7→ (G, k)
(Inputs w, die nicht die Form (G, k) haben, werden von f
z.B. auf 0 abgebildet.) – Leicht: f ∈ FP.
Und: Fur jeden Input (G, k) gilt:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
![Page 128: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/128.jpg)
G= G=
Klar: V ′ Clique in G ⇔ V ′ unabhangig in G
Reduktionsfunktion: f : (G, k) 7→ (G, k)
(Inputs w, die nicht die Form (G, k) haben, werden von f
z.B. auf 0 abgebildet.) – Leicht: f ∈ FP.
Und: Fur jeden Input (G, k) gilt:
(G, k) ∈ Clique
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
![Page 129: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/129.jpg)
G= G=
Klar: V ′ Clique in G ⇔ V ′ unabhangig in G
Reduktionsfunktion: f : (G, k) 7→ (G, k)
(Inputs w, die nicht die Form (G, k) haben, werden von f
z.B. auf 0 abgebildet.) – Leicht: f ∈ FP.
Und: Fur jeden Input (G, k) gilt:
(G, k) ∈ Clique ⇔ f((G, k)) = (G, k) ∈ IS
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
![Page 130: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/130.jpg)
G= G=
Klar: V ′ Clique in G ⇔ V ′ unabhangig in G
Reduktionsfunktion: f : (G, k) 7→ (G, k)
(Inputs w, die nicht die Form (G, k) haben, werden von f
z.B. auf 0 abgebildet.) – Leicht: f ∈ FP.
Und: Fur jeden Input (G, k) gilt:
(G, k) ∈ Clique ⇔ f((G, k)) = (G, k) ∈ IS
also Clique ≤p IS via f .
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 22
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Problem”
Vertex Cover“: Ein Minimierungsproblem.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 23
![Page 132: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/132.jpg)
Problem”
Vertex Cover“: Ein Minimierungsproblem.
G=
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 23
![Page 133: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/133.jpg)
Problem”
Vertex Cover“: Ein Minimierungsproblem.
G=
Definition
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 23
![Page 134: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/134.jpg)
Problem”
Vertex Cover“: Ein Minimierungsproblem.
G=
Definition
G = (V,E) sei ein Graph.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 23
![Page 135: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/135.jpg)
Problem”
Vertex Cover“: Ein Minimierungsproblem.
G=
Definition
G = (V,E) sei ein Graph.
Ein Knoten v uberdeckt eine Kante (u, w),
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 23
![Page 136: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/136.jpg)
Problem”
Vertex Cover“: Ein Minimierungsproblem.
G=
Definition
G = (V,E) sei ein Graph.
Ein Knoten v uberdeckt eine Kante (u, w), falls v ∈ {u, w}.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 23
![Page 137: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/137.jpg)
Problem”
Vertex Cover“: Ein Minimierungsproblem.
G=
Definition
G = (V,E) sei ein Graph.
Ein Knoten v uberdeckt eine Kante (u, w), falls v ∈ {u, w}.V ′ ⊆ V ist Knotenuberdeckung von G,
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 23
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Problem”
Vertex Cover“: Ein Minimierungsproblem.
G=
Definition
G = (V,E) sei ein Graph.
Ein Knoten v uberdeckt eine Kante (u, w), falls v ∈ {u, w}.V ′ ⊆ V ist Knotenuberdeckung von G, wenn jede Kante in
E von einem Knoten in V ′ uberdeckt wird.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 23
![Page 139: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/139.jpg)
Knotenuberdeckungsproblem/Vertex-Cover-Problem MinVC:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 24
![Page 140: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/140.jpg)
Knotenuberdeckungsproblem/Vertex-Cover-Problem MinVC:
Zu Graph G = (V,E)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 24
![Page 141: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/141.jpg)
Knotenuberdeckungsproblem/Vertex-Cover-Problem MinVC:
Zu Graph G = (V,E) finde Knotenuberdeckung V ′ ⊆ V
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 24
![Page 142: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/142.jpg)
Knotenuberdeckungsproblem/Vertex-Cover-Problem MinVC:
Zu Graph G = (V,E) finde Knotenuberdeckung V ′ ⊆ V
mit |V ′| moglichst klein.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 24
![Page 143: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/143.jpg)
Knotenuberdeckungsproblem/Vertex-Cover-Problem MinVC:
Zu Graph G = (V,E) finde Knotenuberdeckung V ′ ⊆ V
mit |V ′| moglichst klein.
Im Beispiel ist 3 kleinstmoglich.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 24
![Page 144: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/144.jpg)
Knotenuberdeckungsproblem/Vertex-Cover-Problem MinVC:
Zu Graph G = (V,E) finde Knotenuberdeckung V ′ ⊆ V
mit |V ′| moglichst klein.
Im Beispiel ist 3 kleinstmoglich.
Entscheidungsvariante VC:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 24
![Page 145: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/145.jpg)
Knotenuberdeckungsproblem/Vertex-Cover-Problem MinVC:
Zu Graph G = (V,E) finde Knotenuberdeckung V ′ ⊆ V
mit |V ′| moglichst klein.
Im Beispiel ist 3 kleinstmoglich.
Entscheidungsvariante VC: Gegeben Graph G = (V,E) mit
V = {1, . . . ,m}
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 24
![Page 146: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/146.jpg)
Knotenuberdeckungsproblem/Vertex-Cover-Problem MinVC:
Zu Graph G = (V,E) finde Knotenuberdeckung V ′ ⊆ V
mit |V ′| moglichst klein.
Im Beispiel ist 3 kleinstmoglich.
Entscheidungsvariante VC: Gegeben Graph G = (V,E) mit
V = {1, . . . ,m} und Zahl k ≤ m.
Frage: Gibt es eine Knotenuberdeckung fur G mit ≤ k
Knoten?
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 24
![Page 147: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/147.jpg)
Formalisierung als Sprache:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 25
![Page 148: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/148.jpg)
Formalisierung als Sprache:
VC
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 25
![Page 149: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/149.jpg)
Formalisierung als Sprache:
VC :={
(G, k) | G = (V,E) Graph, 1 ≤ k ≤ |V |;
es gibt V ′ ⊆ V mit |V ′| ≤ k
und ∀(v, w) ∈ E : v ∈ V ′ ∨ w ∈ V ′}
.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 25
![Page 150: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/150.jpg)
Formalisierung als Sprache:
VC :={
(G, k) | G = (V,E) Graph, 1 ≤ k ≤ |V |;
es gibt V ′ ⊆ V mit |V ′| ≤ k
und ∀(v, w) ∈ E : v ∈ V ′ ∨ w ∈ V ′}
.
Satz 2.1.3
VC ist NP-vollstandig.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 25
![Page 151: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/151.jpg)
Formalisierung als Sprache:
VC :={
(G, k) | G = (V,E) Graph, 1 ≤ k ≤ |V |;
es gibt V ′ ⊆ V mit |V ′| ≤ k
und ∀(v, w) ∈ E : v ∈ V ′ ∨ w ∈ V ′}
.
Satz 2.1.3
VC ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) VC ∈ NP: Wie ublich fur Entscheidungsvarianten
von NP-Optimierungsproblemen, wie bei Clique.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 25
![Page 152: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/152.jpg)
Satz 2.1.3
VC ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) VC ist NP-schwer: Wir zeigen IS ≤p VC.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 26
![Page 153: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/153.jpg)
Satz 2.1.3
VC ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) VC ist NP-schwer: Wir zeigen IS ≤p VC.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 26
![Page 154: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/154.jpg)
Satz 2.1.3
VC ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) VC ist NP-schwer: Wir zeigen IS ≤p VC.
Schwarz: Knotenuberdeckung
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 26
![Page 155: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/155.jpg)
Satz 2.1.3
VC ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) VC ist NP-schwer: Wir zeigen IS ≤p VC.
Schwarz: Knotenuberdeckung
Weiß: Unabhangige Menge
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 26
![Page 156: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/156.jpg)
Satz 2.1.3
VC ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) VC ist NP-schwer: Wir zeigen IS ≤p VC.
Schwarz: Knotenuberdeckung
Weiß: Unabhangige Menge
Hilfsbehauptung (leicht zu sehen):
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 26
![Page 157: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/157.jpg)
Satz 2.1.3
VC ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) VC ist NP-schwer: Wir zeigen IS ≤p VC.
Schwarz: Knotenuberdeckung
Weiß: Unabhangige Menge
Hilfsbehauptung (leicht zu sehen):
V ′ unabhangig in G
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 26
![Page 158: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/158.jpg)
Satz 2.1.3
VC ist NP-vollstandig.
Beweis: (ii) VC ist NP-schwer: Wir zeigen IS ≤p VC.
Schwarz: Knotenuberdeckung
Weiß: Unabhangige Menge
Hilfsbehauptung (leicht zu sehen):
V ′ unabhangig in G ⇔ V − V ′ Knotenuberdeckung in G
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 26
![Page 159: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/159.jpg)
Also:
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 27
![Page 160: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/160.jpg)
Also:
G = (V,E) hat unabhangige Menge der Große ≥ k ⇔
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 27
![Page 161: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/161.jpg)
Also:
G = (V,E) hat unabhangige Menge der Große ≥ k ⇔G = (V,E) hat Knotenuberdeckung der Große ≤ |V | − k
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 27
![Page 162: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/162.jpg)
Also:
G = (V,E) hat unabhangige Menge der Große ≥ k ⇔G = (V,E) hat Knotenuberdeckung der Große ≤ |V | − k
Reduktionsfunktion f : ((V,E), k) 7→ ((V,E), |V | − k)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 27
![Page 163: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/163.jpg)
Also:
G = (V,E) hat unabhangige Menge der Große ≥ k ⇔G = (V,E) hat Knotenuberdeckung der Große ≤ |V | − k
Reduktionsfunktion f : ((V,E), k) 7→ ((V,E), |V | − k)(klar: in FP !)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 27
![Page 164: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/164.jpg)
Also:
G = (V,E) hat unabhangige Menge der Große ≥ k ⇔G = (V,E) hat Knotenuberdeckung der Große ≤ |V | − k
Reduktionsfunktion f : ((V,E), k) 7→ ((V,E), |V | − k)(klar: in FP !) erfullt
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 27
![Page 165: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/165.jpg)
Also:
G = (V,E) hat unabhangige Menge der Große ≥ k ⇔G = (V,E) hat Knotenuberdeckung der Große ≤ |V | − k
Reduktionsfunktion f : ((V,E), k) 7→ ((V,E), |V | − k)(klar: in FP !) erfullt
((V,E), k) ∈ IS ⇔
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 27
![Page 166: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/166.jpg)
Also:
G = (V,E) hat unabhangige Menge der Große ≥ k ⇔G = (V,E) hat Knotenuberdeckung der Große ≤ |V | − k
Reduktionsfunktion f : ((V,E), k) 7→ ((V,E), |V | − k)(klar: in FP !) erfullt
((V,E), k) ∈ IS ⇔ f(((V,E), k)) ∈ VC.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 27
![Page 167: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/167.jpg)
Also:
G = (V,E) hat unabhangige Menge der Große ≥ k ⇔G = (V,E) hat Knotenuberdeckung der Große ≤ |V | − k
Reduktionsfunktion f : ((V,E), k) 7→ ((V,E), |V | − k)(klar: in FP !) erfullt
((V,E), k) ∈ IS ⇔ f(((V,E), k)) ∈ VC.
Also: IS ≤p VC via f .
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 27
![Page 168: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/168.jpg)
Problem”
Hitting Set“ MinHittingSet: Ein Minimierungsproblem.
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Problem”
Hitting Set“ MinHittingSet: Ein Minimierungsproblem.
(”to hit“: treffen).
Eingabe: Endliche Menge A, Teilmengen C1, . . . , Cm von A.
Aufgabe: Finde eine moglichst kleine Menge B ⊆ A mit:
B ∩ Cj 6= ∅ fur 1 ≤ j ≤ m.
(B”trifft“ alle Mengen Cj in mindestens einem Punkt.)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 28
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Problem”
Hitting Set“ MinHittingSet: Ein Minimierungsproblem.
(”to hit“: treffen).
Eingabe: Endliche Menge A, Teilmengen C1, . . . , Cm von A.
Aufgabe: Finde eine moglichst kleine Menge B ⊆ A mit:
B ∩ Cj 6= ∅ fur 1 ≤ j ≤ m.
(B”trifft“ alle Mengen Cj in mindestens einem Punkt.)
Entscheidungsvariante: HittingSet.
Eingabe: A, C1, . . . , Cm wie oben und k ≤ m.
Frage: Gibt es eine Teilmenge B ⊆ A mit (hochstens) k
Elementen, die jede Menge Cj trifft?
Ubung : Beschreibe diese Probleme formal als Optimierungs-
probleme und als Suchvariante/Entscheidungsvariante.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 28
![Page 171: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/171.jpg)
Satz 2.1.5 HittingSet ist NP-vollstandig.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 29
![Page 172: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/172.jpg)
Satz 2.1.5 HittingSet ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) HittingSet ∈ NP: Wie ublich fur Entscheidungs-
varianten von NP-Optimierungsproblemen, wie bei Clique.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 29
![Page 173: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/173.jpg)
Satz 2.1.5 HittingSet ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) HittingSet ∈ NP: Wie ublich fur Entscheidungs-
varianten von NP-Optimierungsproblemen, wie bei Clique.
(ii) HittingSet ist NP-schwer:
Wir zeigen VC ≤p HittingSet.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 29
![Page 174: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/174.jpg)
Satz 2.1.5 HittingSet ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) HittingSet ∈ NP: Wie ublich fur Entscheidungs-
varianten von NP-Optimierungsproblemen, wie bei Clique.
(ii) HittingSet ist NP-schwer:
Wir zeigen VC ≤p HittingSet.
Reduktionsfunktion: f : (V,E, k) 7→ (A, C1, . . . , Cm, k),
wobei A = {1, . . . , n} = V ;
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 29
![Page 175: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/175.jpg)
Satz 2.1.5 HittingSet ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) HittingSet ∈ NP: Wie ublich fur Entscheidungs-
varianten von NP-Optimierungsproblemen, wie bei Clique.
(ii) HittingSet ist NP-schwer:
Wir zeigen VC ≤p HittingSet.
Reduktionsfunktion: f : (V,E, k) 7→ (A, C1, . . . , Cm, k),
wobei A = {1, . . . , n} = V ;
C1, . . . , Cm sind Paarmengen, die genau den m Kanten in E
entsprechen; Schranke k wird ubernommen.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 29
![Page 176: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/176.jpg)
Satz 2.1.5 HittingSet ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) HittingSet ∈ NP: Wie ublich fur Entscheidungs-
varianten von NP-Optimierungsproblemen, wie bei Clique.
(ii) HittingSet ist NP-schwer:
Wir zeigen VC ≤p HittingSet.
Reduktionsfunktion: f : (V,E, k) 7→ (A, C1, . . . , Cm, k),
wobei A = {1, . . . , n} = V ;
C1, . . . , Cm sind Paarmengen, die genau den m Kanten in E
entsprechen; Schranke k wird ubernommen.
Diese Funktion ist in polynomieller Zeit berechenbar und
sie hat die Reduktionseigenschaft, weil eine Knotenuberde-
ckung in (V,E) genau dasselbe ist wie ein”hitting set“ in
(A, C1, . . . , Cm). �
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 29
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Ein Input fur MinHittingSet lasst sich in normalisierter
Form als 0-1-Matrix M darstellen.
M hat n Spalten und m Zeilen.
Die Spalten entsprechen den Elementen von A = {1, . . . , n};die Zeilen stellen die charakteristischen Funktionen von
C1, . . . , Cm dar:
aji = 1 falls i ∈ Cj, und aji = 0 falls i /∈ Cj.
Gesucht ist eine Auswahl von moglichst wenigen Spalten, so
dass jede der m Zeilen in einer der ausgewahlten Spalten eine
1 hat.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 30
![Page 178: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/178.jpg)
0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 1 1 1 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 1 0 1 00 0 1 1 1 1 0 01 1 0 1 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 0
Spalten 2, 3, 5, 8 sind eine legale Losung:
in jeder Zeile eine 1.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 31
![Page 179: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/179.jpg)
0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 1 1 1 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 1 0 1 00 0 1 1 1 1 0 01 1 0 1 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 0
Zeilen 5, 6, 7, 8 sind eine legale Losung:
in jeder Spalte eine 1.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 32
![Page 180: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/180.jpg)
Problem”
Set Cover“
MinSetCover: Ein Minimierungsproblem.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 33
![Page 181: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/181.jpg)
Problem”
Set Cover“
MinSetCover: Ein Minimierungsproblem.
Eingabe: Endliche Menge A, Teilmengen C1, . . . , Cm von A.
Aufgabe: Finde eine moglichst kleine Menge I ⊆ {1 . . . , m}(eine Auswahl der C1, . . . , Cm) mit:
A =⋃i∈I
Ci.
(Ci, i ∈ I,”uberdeckt“ ganz A.)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 33
![Page 182: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/182.jpg)
Problem”
Set Cover“
MinSetCover: Ein Minimierungsproblem.
Eingabe: Endliche Menge A, Teilmengen C1, . . . , Cm von A.
Aufgabe: Finde eine moglichst kleine Menge I ⊆ {1 . . . , m}(eine Auswahl der C1, . . . , Cm) mit:
A =⋃i∈I
Ci.
(Ci, i ∈ I,”uberdeckt“ ganz A.)
Sinnvoll ist diese Aufgabe nur, wenn A = C1 ∪ · · · ∪ Cm ist,
aber das verlangt man nicht unbedingt.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 33
![Page 183: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/183.jpg)
Entscheidungsvariante: SetCover.
Eingabe: A, C1, . . . , Cm wie oben und k ≤ m.
Frage: Gibt es eine Menge I ⊆ {1 . . . , m} mit |I| ≤ k, derart
dass A =⋃
i∈I Ci?
Ubung : Beschreibe diese Probleme formal als Optimierungs-
probleme und als Suchvariante/Entscheidungsvariante.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 34
![Page 184: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/184.jpg)
Satz 2.1.6 SetCover ist NP-vollstandig.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 35
![Page 185: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/185.jpg)
Satz 2.1.6 SetCover ist NP-vollstandig.
Beweis: (i) SetCover ∈ NP: Wie ublich fur Entscheidungs-
varianten von NP-Optimierungsproblemen, wie bei Clique.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 35
![Page 186: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/186.jpg)
(ii) SetCover ist NP-schwer:
Wir zeigen VC ≤p SetCover.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 36
![Page 187: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/187.jpg)
(ii) SetCover ist NP-schwer:
Wir zeigen VC ≤p SetCover.
Reduktionsfunktion: f : (V,E, k) 7→ (A, C1, . . . , Cn, k).
Dabei: V = {1, . . . , n}.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 36
![Page 188: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/188.jpg)
(ii) SetCover ist NP-schwer:
Wir zeigen VC ≤p SetCover.
Reduktionsfunktion: f : (V,E, k) 7→ (A, C1, . . . , Cn, k).
Dabei: V = {1, . . . , n}.A = E; (!!!)
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 36
![Page 189: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/189.jpg)
(ii) SetCover ist NP-schwer:
Wir zeigen VC ≤p SetCover.
Reduktionsfunktion: f : (V,E, k) 7→ (A, C1, . . . , Cn, k).
Dabei: V = {1, . . . , n}.A = E; (!!!)
Ci = {e ∈ E | Knoten i liegt auf e}, fur 1 ≤ i ≤ n.
Diese Funktion ist in polynomieller Zeit berechenbar und sie
hat die Reduktionseigenschaft, weil eine Knotenuberdeckung
in (V,E) genau dasselbe ist wie eine Teilmenge I ⊆ {1, . . . , n}mit E =
⋃i∈I Ci.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 36
![Page 190: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/190.jpg)
(ii) SetCover ist NP-schwer:
Wir zeigen VC ≤p SetCover.
Reduktionsfunktion: f : (V,E, k) 7→ (A, C1, . . . , Cn, k).
Dabei: V = {1, . . . , n}.A = E; (!!!)
Ci = {e ∈ E | Knoten i liegt auf e}, fur 1 ≤ i ≤ n.
Diese Funktion ist in polynomieller Zeit berechenbar und sie
hat die Reduktionseigenschaft, weil eine Knotenuberdeckung
in (V,E) genau dasselbe ist wie eine Teilmenge I ⊆ {1, . . . , n}mit E =
⋃i∈I Ci.
(Ein Knoten i ∈ V uberdeckt genau die Kanten in Ci!) �
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 36
![Page 191: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/191.jpg)
Ein Input fur MinSetCover lasst sich in normalisierter Form
als 0-1-Matrix M darstellen.
M hat n Spalten und m Zeilen.
Die Spalten entsprechen den Elementen von A = {1, . . . , n};die Zeilen stellen die charakteristischen Funktionen von
C1, . . . , Cm dar:
aji = 1 falls i ∈ Cj, und aji = 0 falls i /∈ Cj.
Gesucht ist eine Auswahl von moglichst wenigen Zeilen, so
dass jede der n Spalten in einer der ausgewahlten Zeilen eine
1 hat.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 37
![Page 192: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/192.jpg)
Das haben wir schon gesehen!
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 38
![Page 193: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/193.jpg)
Das haben wir schon gesehen! – Fast!
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 38
![Page 194: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/194.jpg)
Das haben wir schon gesehen! – Fast!
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Zeilen 2, 3, 5, 8 sind eine legale Losung: in jeder Spalte eine 1.
MinHittingSet und MinSetCover sind eigentlich dassel-
be Problem – man ubersetzt das eine in das andere Problem
durch Transponieren einer 0-1-Matrix.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 38
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Das haben wir schon gesehen! – Fast!
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Zeilen 2, 3, 5, 8 sind eine legale Losung: in jeder Spalte eine 1.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 39
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Das haben wir schon gesehen! – Fast!
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Zeilen 2, 3, 5, 8 sind eine legale Losung: in jeder Spalte eine 1.
MinHittingSet und MinSetCover sind eigentlich dassel-
be Problem – man ubersetzt das eine in das andere Problem
durch Transponieren einer 0-1-Matrix.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 39
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Haben:
NP-vollstandige Sprachen
Sat, 3-Sat,Clique, IS,VC, HittingSet und
SetCover.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 40
![Page 198: Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 · 2010. 5. 3. · Komplexit atstheorie Reduktionsmethode, erste NP-vollst andige Probleme Martin Dietzfelbinger 11.+18.+25. Mai 2009 FG](https://reader035.vdokument.com/reader035/viewer/2022071412/61091f822922fa1dbf1e57d6/html5/thumbnails/198.jpg)
Haben:
NP-vollstandige Sprachen
Sat, 3-Sat,Clique, IS,VC, HittingSet und
SetCover.
Nur der Anfang von Tausenden von NP-vollstandigen
Problemen.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 40
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Haben:
NP-vollstandige Sprachen
Sat, 3-Sat,Clique, IS,VC, HittingSet und
SetCover.
Nur der Anfang von Tausenden von NP-vollstandigen
Problemen.
Zugehorige NP-Suchprobleme: Sat, 3-Sat
Zugehorige NP-Optimierungsprobleme: Clique, IS,VC,
MinHittingSet und MinSetCover
haben vermutlich keinen Polynomialzeitalgorithmus.
FG KTuEA, TU Ilmenau KT – 11.+18.05.2009 40